精品解析：吉林长春市第八十七中学2026-2027学年上学期八年级数学期中测试卷

数学试卷 （满分：120分，时间：120分） 一、选择题（共8小题，24分） 1. “的算术平方根”用符号表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义：一般地，如果一个非负数的平方等于，那么这个非负数就叫做的算术平方根，以及算术平方根的表示方法：非负数的算术平方根记作；即可得到答案． 【详解】解：的算术平方根用符号表示为． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任何实数都有立方根 B. 只有非负实数才有立方根 C. 任何实数都有平方根 D. 只有正实数才有算术平方根 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵任何实数都有立方根，∴A正确，B错误； ∵负数没有平方根，∴C错误； ∵0的算术平方根是0，∴D错误． 3. 对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理的知识．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，符合题意， ∴当，时，不符合若，不符合题意， 故选：C． 4. 已知，则m，n之间的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将等式为即可解答． 本题考查了幂的乘方，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：． ． 故选：D． 5. 若的展开式中的一次项系数为3，则的值为( ) A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 依题意，， 解得： 6. 在一家创意家居装饰店中，老板接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种卡片来装饰一面墙壁，拼成一个长为，宽为的长方形图案．为了完成这个装饰任务，老板需要型卡片、型卡片和型卡片的张数分别是（ ） A. 3，5，2 B. 2，3，5 C. 2，5，3 D. 3，2，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的乘法的应用，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．根据长方形的面积公式可知该墙壁面积，即可得出答案． 【详解】解：∵ 长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积， ∴需要型卡片、型卡片和型卡片的张数分别3、2、5张． 故选：D． 7. 如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（ ） A. 17 B. 20 C. 25 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，作垂线，全等三角形的判定与性质等知识；由作图知，平分，，则可证明，有，，则，则的周长等于，从而求解． 【详解】解：由作图可知，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长等于， 故选：B． 8. 如图，分别平分，且点到的距离，的周长为，则的面积等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接CO，根据角平分线的性质知，点O到三边AB，BC，AC的距离相等，为，把分割成三个小三角形计算面积即可得结果． 【详解】连接CO， ∵分别平分， ∴点O到边AB，BC，AC的距离都相等，为， ∴ 故选：D． 【点睛】考查了角平分线的性质，分割法求三角形的面积，熟记角平分线性质是解题关键． 二、填空题（共6小题，18分） 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算等式右边，得到，一个数的平方等于 36，这个数可以是 6 或者 ，所以． 【详解】解： ． 10. 代数式的最小值为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用二次根式的非负性，确定的最小值，进而得到原代数式的最小值． 【详解】解：二次根式的被开方数非负，且二次根式的运算结果非负， ， 当时，原代数式取得最小值， 将代入原代数式，得最小值为． 11. 利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 若，则___________． 【答案】48.5 【解析】 【分析】从表格数据归纳得到规律，被开方数的小数点向右移动两位，其算术平方根的小数点相应向右移动一位，据此利用已知近似值计算结果. 【详解】解：， 即被开方数的小数点向右移动两位得到， 又， 根据规律可得. 12. 已知实数、满足，则的值_______． 【答案】 【解析】 【分析】对原式配方后，利用平方和算术平方根的非负性求出，的值，再代入所求式子计算． 【详解】解：对原等式整理配方，原等式可变形为 ， ∵ ，， ∴，， 解得 ，， 将，代入得： ． 13. 如果整式是某个整式的平方，那么常数___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：， ∴， 解得：或 故答案为：或． 14. 已知：如图在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，，以下四个结论：①；②；③；④，其中结论正确的是_______．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先得，再结合，，证明，则，，因为，得，所以，因为，，则，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， 即，故④正确， 综上，正确的有①②③④． 三、解答题（共10小题，78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先移项，再将系数化为，最后对等式两边同时开平方求解即可． （2）先移项，再对等式两边同时开立方求出． 【小问1详解】 解：， ， ， 同时开平方得， 解得或； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 16. 因式分解、计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 【小问3详解】 解：原式． 【小问4详解】 解：原式． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）网格中的形状是______； （2）在图①中确定一点，连接、，使与全等； （3）在图②中的边上确定一点，连接，使与的面积比． 【答案】（1）直角三角形； （2） 如图①，即为所求； （3） 如图②，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出，，，再根据勾股定理的逆定理得出答案； （2）根据全等三角形的判定作图即可； （3）根据网格取的中点P，连接，则为的中线，可得与面积相等，则与的面积比是． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，作全等三角形，三角形中线的性质，熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 19. 已知：如图，、是上的两点，且，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，有， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由两直线平行可得内错角相等即，由等式的性质可得，由边角边可证； （2）由（1）中的全等三角形对应角相等可得，又根据内错角相等两直线平行即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． （1）求的平方根； （2）若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入求出的值，再计算它的平方根． （2）先求出，再估算无理数得到整数部分和小数部分，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：的平方根是 解得 的立方根是 解得 ∴ 的平方根是； 【小问2详解】 解：是的算术平方根， ， ， 的整数部分，小数部分， ． 21. 用1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片，2张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形． （1）观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式1： ． 代数式2： ． （2）从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （3）如图2，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形可得出结论； （2）由面积相等可得出结论； （3）设，，将，代入（2）所得结论进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，图1中两个阴影图形面积的和为代数式1：；代数式2：； 【小问2详解】 解：从（1）中可得或． 【小问3详解】 解：方法1： 设，， ∵，， ∴，， 代入得，， 解得， 由图可知． 方法2： 设，， ∵，， ∴，， 代入得，， 解得， 由图可知． 22. 观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③． （1）模仿以上做法，尝试对进行因式分解：______； （2）观察以上结果，猜想______；（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求的值． 【答案】（1） （2） （3）1023 【解析】 【分析】本题考查了分组法进行因式分解与整式规律探究，找出因式分解的规律是解题的关键． （1）按照给定例题的方法，总结规律，进行因式分解即可； （2）依据（1）中的规律即可得到答案； （3）因为，所以，则，即可作答． 【小问1详解】 解：∵①； ②； ③， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据（1）的规律， ①； ②； ③ ∴， ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴． 23. 问题情境：如图1，△中，，，点为△外一点，，过作，垂足分别为、．求证：． 实践探究：如图2，△中，，，点是上一点，， 于，求证：． 问题解决：如图3，△中，，，点为上一点，，过点作，且，连接．若，请直接写出的值为________． 【答案】 问题情境：证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 实践探究：证明：如图所示，过作于F， 由（1）可知 ∴， ∵，， ∴， ∴； 问题解决：1 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理： （1）由同角的余角相等，即可得出，即可证得，再根线段的和差关系即可证明结论； （2）过作，由（1）可知，即可得出，再由等腰三角形三线合一可得出：，即可的得出结论； （3）过作，由（1）可知，，即可得出，，再证得，得出，即可得出结论． 【详解】解：问题情境：略 实践探究：略 问题解决：如图所示，过作于F， 由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 如图，在中，，．直线/经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒． （1）当点M在上，点N在上时， ①_________，_________（用含t的代数式表示） ②当时，与全等吗？并说明理由． （2）要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出t的值． 【答案】（1）①； ②当时，与全等， 理由：如图， 当时， ，， ∴， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）或4或16 【解析】 【分析】（1）①由题意知，，根据，求解即可； ②当时，，，从而得出，再证明，，即可由证明． （2）分四种情况：I）当时，即点M在上，点N在上；II）当时，即点M在上，点N在上；III）当时，即点M在上，点N在上；IV）当时，点M停在点A处，点N在上；分别求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意知，， ∴，； ②略 【小问2详解】 解：I）当时，点M在上，点N在上，如图， ，， ， ， ， 要使与全等，则， ， 解得； II）当 时，即点M在上，点N在上，如图， 若、两点重合，则与全等， 此时， 即， 解得； III）当时，即点M在上，点N在上，如图， ，， ， ， ， 要使与全等，则， ， 解得（舍去）； IV）当时，点M停在点A处，点N在上，如图， 当点与重合时，若，则与全等， 此时， 解得， 综上，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为或7或10， 故答案为：或4或16． 【点睛】本题考查动点问题，全等三我的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论，以免漏解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 （满分：120分，时间：120分） 一、选择题（共8小题，24分） 1. “的算术平方根”用符号表示为（ ）． A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任何实数都有立方根 B. 只有非负实数才有立方根 C. 任何实数都有平方根 D. 只有正实数才有算术平方根 3. 对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则m，n之间的关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若的展开式中的一次项系数为3，则的值为( ) A. 1 B. C. D. 6. 在一家创意家居装饰店中，老板接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种卡片来装饰一面墙壁，拼成一个长为，宽为的长方形图案．为了完成这个装饰任务，老板需要型卡片、型卡片和型卡片的张数分别是（ ） A. 3，5，2 B. 2，3，5 C. 2，5，3 D. 3，2，5 7. 如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（ ） A. 17 B. 20 C. 25 D. 18 8. 如图，分别平分，且点到的距离，的周长为，则的面积等于(　　) A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，18分） 9. 若，则______． 10. 代数式的最小值为_____________． 11. 利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 若，则___________． 12. 已知实数、满足，则的值_______． 13. 如果整式是某个整式的平方，那么常数___________． 14. 已知：如图在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，，以下四个结论：①；②；③；④，其中结论正确的是_______．（填序号） 三、解答题（共10小题，78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 因式分解、计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）网格中的形状是______； （2）在图①中确定一点，连接、，使与全等； （3）在图②中的边上确定一点，连接，使与的面积比． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 已知：如图，、是上的两点，且，，．求证： （1）； （2）． 20. 已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． （1）求的平方根； （2）若的整数部分是，小数部分是，求的值． 21. 用1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片，2张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形． （1）观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式1： ． 代数式2： ． （2）从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （3）如图2，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 22. 观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③． （1）模仿以上做法，尝试对进行因式分解：______； （2）观察以上结果，猜想______；（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求的值． 23. 问题情境：如图1，△中，，，点为△外一点，，过作，垂足分别为、．求证：． 实践探究：如图2，△中，，，点是上一点，， 于，求证：． 问题解决：如图3，△中，，，点为上一点，，过点作，且，连接．若，请直接写出的值为________． 24. 如图，在中，，．直线/经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒． （1）当点M在上，点N在上时， ①_________，_________（用含t的代数式表示） ②当时，与全等吗？并说明理由． （2）要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $