江苏省苏州中学2026-2027学年高一第一学期数学周练3(9.29)

苏州中学高一数学周练3(9.29) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分 1.己知全集U=R,集合A={x|0<x<2},B={x|x>1},则图中阴影部分所表示的集合 为() C A.{x|0<x<2 B.{x1<x<2 C.{c|0<x≤1} D.{x|0<x<1} 2.“x2=4”是“x4-3x2-4=0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知实数a,b>0,且a+b=1,则 的最小值是() A.2V2+3 B.2+1 C.3-22 D.4V2 1已知合题“∈R。4女2+a-2)z+星>0°是真念题，则实数&的取值范围为《) A.(0,4) B.[0,4 C.[4,+∞) D.(-0∞，0]U[4,+o∞) 5.若不等式ax2+ba+c>0的解集为 3则2++<0成立的充要条件是 () A.-1<x<6 B.-1」 <x<0 2 y C.-3<x<) D.-2<x<3 6.关于x的不等式(ax-1)2<x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是() （(到 B. 34],「43 c(多) (景动（任） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 7.下列说法错误的是() A.若a>b,则ac2>bc2 3苏a>8则日大片 c.若a>b,c>d,则a+c>b+d D.若b>a>0,m>0,则b+m<6 a+m a 8.魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明。设每个直角三角形的两条直角边 长分别为a和b(a卡b),如图2。由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是 () E B 朱 朱 朱 朱 朱 朱 F 朱 黄 朱 朱 黄 朱 b 朱 朱 朱 朱 朱 朱 Q 图1 图2 A由正方形4BCD面积大于8个朱色图形面积得Q+>8X品 B由正方形EFGH面积大于4个朱色图形面积得(Na2+)2>4× 6 a2+b2 2 C.由三角形EBF面积大于黄色图形面积得W 2≥11 。+6 D.由正方形EFGH面积的2倍大于正方形ABCD面积得2(Wa2+b网)2>(a+)? 9.下列选项正确的是() A若正实数工，y满足工十y=1.则到≤月 B若飞∈R,则2+3+2十2 ,的最小值为3 c若正实数，y满足+2划=3，则(e+1g+1)的最大值为号 D.若正数，y满足2十y十15=十9，且2十y≤1，则，y均为定值 x y 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分 1 0.设a,6>0,a+6=1,则6+的最小值为 1. 11.若关于x的不等式a≥x+1+x-2存在实数解，则实数a的取值范围是 2 四、解答题：本题共3题，共42分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12.(10分)记关于x的不等式心一0<0的解集为P,不等式x-1≤1的解集为Q。 x+1 (1)若a=3,求P; (2)若QCP,求正数a的取值范围。 18.(15分)已知函数fe)=a2+(a-2z+日(aER). (1)若关于x的不等式f(x)≥0的解集是实数集R,求a的取值范围： (2)当a<0时，解关于z的不等式f回)-号≤0， 14.(17分)如图，长方形ABCD(AB>AD)的周长为10。 B D M (1)若点M在线段AB上运动，点N在线段BC上运动，且AB=3,AM=CN,则 △AMN面积的最大值是多少？ (2)沿AC折叠使点B到点B位置，AB'交DC于点P。 (i)求证：△ADP的周长是定值，并求出该定值： (ii)判断△ADP的面积是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。 3 苏州中学高一数学周练3(9.29) 参考答案与详细解析 1.已知全集U=R,集合A={x|0<x<2},B={x|x>1,则图中阴影部分所表示的集合 为() A.{x|0<x<2} B.{x|1<x<2 C.{x|0<x≤1 D.{x0<x<1} 【答案】C。 阴影部分为A∩CwB。由B=(1,+∞)，得CUwB=(-∞，1]，所以A∩CwB=(0,1]。注意x= 1属于阴影所表示的集合，而x=0不属于。 2.“x2=4”是“x4-3x2-4=0”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C。 因x4-3x2-4=（x2-4)(x2+1),且对任意实数x都有x2+1>0,故x4-3x2-4= 0←→x2=4。两个命题互相推出，所以是充要条件。 3.已知实数a,b>0,且a+b=1,则 +日的最小位是() A.2V2+3 B.2+1 C.3-2W2 D.4v2 【答案】A,最小值为3+2√2。 由a+b=1及a,b>0,得 +日（+）e+-3+台+28+2 等号成立当且仅当会-名即6=Va,结合a+b=1,得a=V5-16=2-v2,均为正 数，故最小值可以取到。 1 4.已知命题“z∈R,42+(a-2)x+4>0”是真命题，则实数a的取值范围为（） A.(0,4) B.[0,4 C.[4,+∞) D.（-∞，0]U[4,+o) 【答案】A。 二次项系数为4>0，二次函数对所有实数x严格大于零，当且仅当判别式小于零。故 △=a-22-4×4×1=a-22-4<0, 解得0<a<4。当a=0或a=4时有实根，不能满足严格大于零，端点不取。 5.若不等式ax2+bx+c>0的解集为 人分）则2+名+<0成立的充要条什是 a a () A.-1<x<6 、1 B. <x<0 c.-3<m<2 D.-2<x<3 【答案】D。 原二次不等式的解集是两根之间的有界开区间，故Q<0,两根为-)和3。在a2+证+c>0 两边除以负数a,不等号反向，恰得2+b十￡<0。因此两不等式等价，解集仍为 a a ( 6.关于x的不等式(ax-1)2<x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ a(3-() (割[》 e(-》 【答案】B。 原不等式等价于[(a-1)x-1[(a+1)x-1<0。当a<1时，展开后的二次项系数a2-1<0 ，且在”=0时多项式值为1>0，解集为两个无界区间，含无穷多个整数：Q=1时解为x>2 1 4三1时解为x<一2，均不符合 当a>1时，解集为 (。）白0<<苏有两个数解，则们必为12 ,须满足 当a<-1时，令t=-a>1、u=-x,原不等式变为(tu-1)2<u2,且x,u的整数解一一对 应，散g≤-8<多即<a≤营 4 综上，a∈ 多引[居》在网=专时第三个整数恰在开茶点，不能计入：在回-多时 3 第二个整数在开端点，必须排除。 7.下列说法错误的是() A.若a>b,则ac2>bc2 R苏a>6则日<君 C.若a>b,c>d,则a+c>b+d D.若b>a>0,m>0,则6+m<b a+m 【答案】AB。 A:当c=0时，ac2=bc2=0,严格不等式不成立，故错误。 B:取a=1,6=-1,有a>6但-1>-1-行故错误：原条件甚至未排除分母为零的特 . 形。 C:由(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)>0,可知正确。 D:由6>4a>0,m>0,得。-6+m-m6-0>0,放正确。木题选错误说法，所以选 aa+m a(a+m) AB。 8.魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明。设每个直角三角形的两 条直角边长分别为α和b(a≠b),如图2。由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理 正确的是() E B 朱 朱 朱 朱 朱 朱 朱 黄 朱 朱 黄 朱 H 朱 6 朱 朱 朱 朱 朱 D G 图1 图2 A.由正方形ABCD面积大于8个朱色图形面积得(a+b)2>8×2b B.由正方形BFCH面积大于4个朱色图形面积得(@+)'>4×b 。1 a2+b2 2 C.由三角形EBF面积大于黄色图形面积得 2 之1,1 a+b D.由正方形EFGH面积的2倍大于正方形ABCD面积得2(Va2+b)>(a+b)2 【答案】ABD. 每个朱色直角三角形面积为b,中间黄色正方形面积为(@-b}P>0.外正方形ABCD的边长 为a+b,内正方形EFGH的边长为√a2+b2。 A:外正方形由8个朱色三角形和中间黄色正方形组成，故(a+P=8×b+a-P>8× 2b,推理正确。 B:内正方形由4个朱色三角形和中间黄色正方形组成，放a2+62=4×ab+a-郇P>4×b ，推理正确。 Cc:S%Br=支山不一完大于(a-6P:例如取a=1,b=3,前者为多后者为4，选暖所用的面 积关系不成立。虽然其末尾不等式本身对正数成立，但不能由所述错误面积关系推出，故该推理错 误。 D:2 SEFGH-S4BCD=2(a2+b2)-（a+b)2=(a-b)2>0,故推理正确。 9.下列选项正确的是() A若正实数工y满是十y=1.则列≤ 品若ER则243+子2的最小值为3 C.若正实数，y满足x+2y=3,则(c+1)g+1)的最大值为9 D.若正数，y满足十g+15=+9.且+<1.则，y均为定值 【答案】ACD. 1 1 A:由4y≤(x+别2=1，得w≤：当x=g=2 时等号成立，正确。 B:令t=x2≥0，则 x2+3+ 17 )三t+11t2t+3)之0 x2+22 t+2-2=2(t+2) 即x=0时等号成立，实际最小值为号，不 C:由(x+1)+2(g+1)=6,得 2(c+1)(y+1)≤ e+1)+2g+1) 2 =9. 1 当+1=2(y+1)时等号成立，联立c+2y=3得c=2,)=2满足正数条件，因此最大值 9 为2正确。 7 D:设s=x+y,则0<s≤1。有 (任+)e+=0+是+号≥1 等号当且仅当y=3x。由已知8+15= 1+9得s(s+15)≥16，即(8-1(8+16)≥0。结合 0<8≤1，只能8=1.并且上述个等式取等，所以g=如，架符云=y=子均为定直，止 确。 10。设a,6>0,a+言1.则6+日的最小值为 0 【答案】4。 由a+}-1、ab>0,知b>1且a=。 1 1 b+a=6+61=(6-1)+2+6124. a 1 等号当且仅当6-1=1，即6=2，此时a=2符合条件，故最小值为4 11.若关于x的不等式a≥|x+1+x-2存在实数解，则实数a的取值范围是 0 【答案】(-o,-3]U[3,+∞)。 由三角不等式，x+1+|-2≥(c+1)-(x-2)川=3，当且仅当-1≤x≤2时取等号。因此 存在实数x使原不等式成立，当且仅当a≥3，解得a≤-3或a≥3。等号时仍存在解，故两个 端点均保留。 12.(10分)记关于r的不等式巴二0<0的解集为P,不等式z-1≤1的解集为Q。 x+1 (1)若a=3,求P: (2)若QCP,求正数a的取值范围。 D当Q=3时，x≠1。由十大0得分子5分母异号，从而1<x<3,放P上 （-1,3)。 (2)由x-1≤1，得Q=[0,2。因a>0.Da<0的解集为P=(-1,a。要使0,2 x+1 (-1,@),左端点0>-1已满足，右端点2必须在P内，即a>2。当a=2时，2P,故不 能取。所求范围为(2，+∞)。 13.(15分)已知函数f)=ax2+(a-2)z+4(a∈R)。 (1)若关于x的不等式f(x)≥0的解集是实数集R,求a的取值范围； (2)当a<0时，解关于z的不等武f回)-是≤0. ①)若a=0,则f@)=-2x+,不可能对一切实数非负；若a<0,抛物线开可向下，也不可 能满足。因此必须a>0,并且判别式不大于零： △=(a-22-4如×1=a2-5a+4=a-1)a-4纠≤0， 解得1≤a≤4，均满足a>0,故所求范围为[1,4。 (2)原不等式等价于 aax2+(a-2)x-2≤0←→(x+1)(ax-2)≤0. 由于a<0.可写成(e+(e-)≥0.比较两个根-1与会 ①当a<-2时-1<名解集为(0，-u[民+∞ ②当a=-2时，原式为-2(x十1)2≤0，对所有实数成立，解集为R。 2 2 ③当-2<a<0时，二<-1，解集为 0 -00, U[-1,+∞) 14.(17分)如图，长方形ABCD(AB>AD)的周长为10。 B D D ------------ A M A B (1)若点M在线段AB上运动，点N在线段BC上运动，且AB=3,AM=CN,则 △AMN面积的最大值是多少？ (2)沿AC折叠使点B到点B位置，AB'交DC于点P。 (i)求证：△ADP的周长是定值，并求出该定值： (ii)判断△ADP的面积是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。 (1)由周长为10、AB=3,得BC=AD=2。设AM=CN=t,则0≤t<2,BN=2-t 。以AM为底，BN为高，得 sww-ae-)-日北-1Ps 1 当t=1时取等号，符合运动范围，故最大面积为2” 1 (2)(i)由折叠可知，∠PAC=∠BAC。又因AB与DC平行，∠BAC=∠ACP,所以 ∠PAC=∠ACP,从而AP=CP。 9 因此△ADP的周长为 AD+DP+AP=AD+DP+CP=AD+DC==5. 故其周长是定值5。 设AD=u、AB=v,则u+v=5,0<u<v。记DP=z,则AP=CP=v-z。在直角三 角形ADP中，由勾股定理得u2+z2=(v-之)2，于是 DP-2=2-u2 2 由0<u<w,可知0<DP<w,与P在线段DC内相符。 由（①），v=5-w,且0<u<)；面积 1v2-u25u(5-2u S=2 4(5-u) 令t=5-u,则 <t<5.从而 s=-(5-24-) 由2t+ 25≥2W0=10V2,得 0-2vg S≤ 等号当且仅当2t= 5,即t= 5 确实位于 2、AD=5-5 符合 AB>AD>0。因此面积存在最大值，为 2 (3-2V2) 10