精品解析：江苏省苏州中学2026-2027学年度第一学期高一质量评估（一）数学试题

江苏省苏州中学2026-2027学年度第一学期质量评估一 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．所有答案均写在答题纸上． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 1或 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则A子集的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 已知关于的不等式，则下列集合可能是这个不等式解集的是（  ） A. B. C. D. 10. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. S不可能是有限集 D. 若S中最小的正数为5，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题：，是真命题，则实数的取值范围是________． 13. 设，则当取最小值时，______． 14. 设是集合的一个子集，且具有下列性质：中任意两个不同元素之和不被整除，则的最大值是________（表示中元素的个数）． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知关于的方程，命题：方程有两个根且都大于1，命题：方程至少有一个正根． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 17. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. （1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值． 18. 设二次函数，其对称轴为． （1）求关于的不等式的解集（请用表示）； （2）对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．也即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等．利用此结论解决下列问题： （1）若，，，求的最小值； （2）已知，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 江苏省苏州中学2026-2027学年度第一学期质量评估一 高一数学 本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 所有答案均写在答题纸上. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={2a,2a+a,若1eA,则a=() 1 A. B.-1 C.-1或2 D.1或2 【答案】B 【解析】 【分析1分2a=1和2a2+a= 和 讨论即可 1 【详解】若1∈A,则02a=1,解得a=2,此时2a=2d2+a=1,不满足集合互异性，合去： ②2a+a=1,解得a=-l或2（舍去）， 当a=-l时， A={-2,,满足题意， 则a=-1. 故选：B 第1页/共21页 学科网命组卷网 2命题x>0,r-3x<0,的香定是() x>0,x2-3x≥0 B.3r>0,x2-3x≥0 c.r≤0，x2-3x<0 D.3r>0,x2-3x<0 【答案】B 【解析】 【详解】。x>0,r-3x<0,的否定为3x>0,r-3r之0， 3.若0<a<6m>0 则下列不等关系正确的是() a atm a a-m aa+m a a-m A.bb+m B.b b-m C.bb+m D.b b-m 【答案】A 【解析】 【分析】作差比较大小判断AC；举例说明判断BD a a+m_a(b+m)-b(a+m)(a-b)m0 【详解】对于AC,由0<a<b,m>0,得bb+m b(b+m) b(b+m) aa+m 因此bb+m,A正确，C错误： a>0=a-m 对于B,当b=m时，无意义；若b≠m,取a=m,则bb-m,B错误； 0-1<2=a-m 对于D,当b=m时，无意义；若b≠m,取a=1,b=2,m=3,则b2 b-m,D错误 故选：A 4.a>1月b>2026aa+b>2027 ”是“ ”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第2页/共21页 6学科网 命组卷网 【答案】A 【解析】 【详解】由不等式性质，a>1且b>2026,可得a+b>2027, 但当a+b>2027时，推不出a>1且b>2026,例如a=1,b=2027, 故“a>1且b>2026”是a+b>2027"的充分不必要条件. 5.已知集合A={l,0,12,4,B={0,13) 则如图所示的阴影部分表示的集合为() B 个 A{-2,4 B.{01,2} c.{-1,2,4} D.{-1,0,1 【答案】C 【解析】 【分析】由阴影部分表示的集合为M代B)进行求解。 【详解】由思知阴影部分表示的集合为1n(GB)={-12,4 6.已知集合 “,则A子集的个数为() A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，由集合A中元素的特性解出集合A,再求子集数即可； 3 -∈Z 【详解】由已知可 xeZ2-x 第3页/共21页 学科网命组卷网 所以x=-13,5,所以A={3,-11,3} 所以A子集的个数 2=16个， 故选：D. bx+c <0 7.已知关于x的不等式x2+bx+c≥0的解集为{x|-4≤x≤1，则关于x的不等式x-2的解集为 () 4 B.xx<- 、3或x>2} 14 D.xx< 3或x>2} 【答案】D 【解析】 a,b,c 【分析】先根据二次不等式的解集和韦达定理，来确定 之间的关系，再代入分式不等式求解即可 【详解】因为a心2+hx+c之0的解集为|-4≤x≤1，所以+hx+c=0的根为=4，五=1，且 根据一元二次不等式的特征得：a<0: 限据韦达定理得不+巧354 bx+c< a a,所以b=3a,c=-4a,代入不等式x-2得： 3ax-40_a6x-9<0,因为a<0:所以x-2 x-2≠0 x-2x-2 3-4>0,等价干3x-4x-2)>0,解得解类为 (n争U2+o) 故选：D 8.若关于x的不等式m+2(a-)x+a-2<0的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为() 第4页/共21页 6学科网组卷网 a[ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意讨论a的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围. 【详解】若a=0时，不等式-2x-2<0,解集为x>-1,有无数个整数解，不符合题意； 若a<0时，f()=mr+2(a-)x+a-2开口向下，m+2(a-l)x+a-2<0 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意： 故a>0,f()=m+2(a-)x+a-2开口向上. m2+2(a-1)x+a-2=(c+a-2x+)<0,对应方程两根为： 5=-5=2-0.21 aa, 2-1>-1 由a>0得a 放不写解袋为：1长x<名1 a, ·解得5sas 3<2-1≤4 2 则4个整数解为0,1,2,3，故a 2, 21Y 故a的取值范围为5’2： 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有错选的得0分. 9已知关于的不等式r+hc+2>0 则下列集合可能是这个不等式解集的是() {x|x>2} 第5页/共21页 6学科网列组卷网 D.x-1<x<2 【答案】BD 【解析】 【分析】当X=0时，r+r+2>0成立，即可判断C、A,再根据一元二次不等式的解集列出符合题 意的条件，即可判断B、D. 【详解】对于C,当=0时，+x+2=2>0,不等式成立， 因此解集至少含有0，所以不等式的解集不可能为⑦，故C错误： E{x|x>2 {x|x>2} 对于A:因为 ,所以解集不可能是 ,故A错误； 对于B,当>0且A=-8a<0,不等式的解华为R 当4=6=0时，r+hx+2=2>0,不等式的解失也为R,故B正确： 对于D:若-1<x<2 为不等式的解集， 则a<0且1,2是一元二次方程“+c+2=0 两个实数根， -1+2=-6 a -1×2=2，解得0=-1，此时不等式为 b=1 -x2+x+2>0 即2-x-2<0,解集为{-1<x<2头，故D正确 故选：BD 10.若a>0,b>0,a+b=4,则() A.a 4z0 1+21 B.a b 第6页/共21页 6学科网6组卷网 c.Va+vb≤2V2 D.12≤a2+3b2<48 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式可得ab≤4，进而可判断A;根据基本不等式“1”的妙用计算可判断B;根据 基本不等式计算可判断C;利用换元法结合二次函数性质计算可判断D. 【详解】对于A选项，因为a>0,b>0,4=a+b≥2√ab,所以b≤4， .4 nas」 40 a- 当且仅当a=b=2时取等号，即b,所以b,所以A选项不正确： 对年3。号动加的-22+28日-1 当且仅当a=b=2时取等号，所以B选项正确： Va+/b Ja)+(B) 对于C选项，因为 2 2 =2,所以a+b≤22' 当且仅当a=b=2时取等号，所以C选项正确： 对于D选项，因为a>0,b>0,a=4-b, 所以4+36=(4-b}2+362=40b-}2+12 又因为0<b<4,所以12≤46-l+12<48 所以D选项正确 ,y∈S +y∈Snx-y∈S 11.己知非空数集S满足：对任意给定的 (x、y可以相同)，有 且 .则下列 选项正确的是() A0∈S 2ES5ESZCS B.若，且 ,则 第7页/共21页 6学科网命组卷网 ={xx=5k,k∈Z C.S不可能是有限集 D.若S中最小的正数为5，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用定义直接判断A；利用定义推理判断B；举例说明判断C;利用定义结合反证法推理判断D. 【详解】对于A,令a是非空数集S的元素，则0=a-a∈S,A正确： 2∈S,得2=0-2eS,可推得2 a2neS,neZ{2nln∈ZcS 对于B,由 ,即 又5eS,则l=6-5eS,从面2m+1eS,则2m+1川ne☑∈S,图ZcS ,因此 B正确： 对于C, S={0} 符合要求，此集合为有限集，C错误； 对于D,由S中最小的正数为5，-5=0-5e8 5k∈S,k∈Z ,可推得 k+r,k∈Z,r∈{1,2,3,4}，(5k+r)-5k=r∈S 假设°里有形如 ,那么 与5是集合中的最小正整数矛盾，因此 ={dx=5k,k∈Z☑，D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知命腰P,x∈0,3)，x2-x-a-2≤0是真命题，则实数a的取值范围是 【答案】4，+o) 【解析】 【分析】命题p是真命慰等价于x∈[0,3]在(r-x-a-2)≤0，转化为求二次函数在定区间上的最大 值，根据二次函数在对称轴两边的单调性即可找到其最大值，即可解出答案. 【详解】记f)=x2-x-a-2,xe[0,3],x2-x-a-2≤0是真命题 第8页/共21页 命学科网命组卷网 即x∈[0,3]，f)≤0恒成立，即f()≤0 1 x= 又函数f(x)=x2-x-a-2,对称轴为2 所以f)在0， [3] 单调递减，在2单调递增， 根据二次函数的对称性知道fmf6)-4-a≤0→45a 故填4，+o∞) 【点睛】本题综合考查命题、二次函数在定区间上的最值求法、恒成立问题.使用了转化思想，属于基础 题 4,a+6b a」 13.设ab>0,则当ba+b取最小值时，b 【答案】V5-1 【解析】 a 【分析】对b进行换元，消去变量，再结合基本不等式的取等条件建立方程，求解参数即可： a -=t>0 【详解】令b,则a=bt,即 g0-+0=1+141+,2+-25, b a+b bt+b t+1 1+1=5 当且仅当t+1时取等，即t=V5-1(负根舍去)取等号， a 也即65-1 第9页/共21页 6学科网列组卷网 故答案为： 5-1 14设S是集合红2，…，50}的一个子集，且具有下列性质：S中任意两个不同元素之和不被7整除，则 S的最大值是 S表示S中元素的个数)· 【答案】23 【解析】 【分析】将S分成以下7类4，A,,A,其中4中元素除以7后余数为1=0,1…，6)，分析S 中元素的性质判断从中取得元素的最大个数，即可得 【详解】将S分成以下7类，A,,A,其中4中元素除以7后余数为21=0，…，6)， 即4=7,1421,28,35,42,49}.4={18,15,2,29,36,43,50}.4={2,916,23,30,37,44 4={3,10,17,24,31,38,45}.A={4,11,18,25,32,39,46}A={5,12,19,26,33,40,47} 4={6,13,20,27,34,41,48} 因为内任意两个元素之和能被？整除，故S中最多包含4的个元素 4与4不能同时选取，4与4不能同时选取，4与山不能同时远取。 同一类内部的元素（除A外）可以全部选取， 为使最大，在每对互斥的类中选取元素较多的那一类： 对比4(8个)与(7个)一选4,4(7个)与4(7个)一选4，月(7个)与A(7个)一 第10页/供21页 6学科网命组卷网 所以最大值为：1+8+7+7=23. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知集合A={xa-l1≤x≤2a+3},B={x-2≤x≤4，全集U=R 1)当a=2时，求(G4)n(G,B)】 2)若1≤B ，求实数“的取值范围。 【答案】1)K<-2或x>7乃； 【解析】 【分析】(1)求出a=2时集合A,再根据并集，补集和交集运算即可求解； (2)由 B,讨论4=⑦和M≠⑦时，列不等式组即可求解 ACB 【小问1详解】 由题知，当a=2时，A={x1≤x≤7}. 所以A=xx<1或>7乃， 因为B={-2≤x≤4 所以6B=xx<-2或x>4 所以(G4)n(GB)=<-2或x>7y: 【小问2详解】 困为1cB 第11页/共21页 命学科网命组卷网 当A={a-1≤x≤2a+3}=2时，a-1>2a+3,可得a<4,满足AcB, a-1≤2a+3 当 时， a-1≥-2 ,解得：-1≤a≤ 1 A≠☑ 2a+3≤4 综上所选实数口的取台瓶为[ 16已知关于￥的方程+2(m-)x+2m+6=0,命题P:方程有两个根且都大于1，命题9：方程至 少有一个正根， (1)若命题P为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题P和命题9至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【1(可 (2)（-0,-] 【解析】 【分析】(4)利用二次函数根的分布，联立△≥0、对称轴>1、0)>0三个条件求解即可 (2)先分三种情况求出当命题9为真时的m的取值范围，再结合(1)的结果求并集即可 【小问1详解】 设f()=r+2(m-)x+2m+6,若命题P为真命愿， △=[2(m-1)]-4(2m+6)≥0 则 2m->1 f()=1+2(m-1)+2m+6>0 第12页/供21页 6学科网 命组卷网 m≤-1或m≥5 m<0 解得 、5 4 5 <m≤-1 取交集得4 日安数的汉直京阳对厂子-] 【小问2详解】 若命题9为真，分情况讨论： ①方程有两个正根，则 △=[2(m-1)]-4(2m+6)≥0 x= 2(m-D>0 2 f(0)=2m+6>0 解得-3<m≤-1. ②方程有一个正根、一个负根，则 f(0)=2m+6<0 解得m<-3 ③方程有一个根为0，一个正根，则 f(0)=2m+6=0,解得m=-3, 此时方程根为0和8，符合要求 综上，9为真时m≤-1. 第13页/供21页 6学科网命组卷网 5 由(1)可知，P为真时4<m≤ 则命题P和命题9至少有一个为真命题时， 实数m的取值范围为一0，刂 17.某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安 装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x(单位： 平方米)成正比，比例系数为02，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积 20 C=- (x>0) x之间的函数关系为x+5 ,将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y (单位：万元) (1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； (2)设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值. 【答案】(1)11≤x≤20 (2)设备占地面积为 5m2 时，y的值最小，最小值为7万元 【解析】 y=0.2x+ 80 (x>0) 【分析】(1)表达出 x+5 从而得到不等式，求出11≤x≤20，得到答案： (2)利用基本不等式求出最小值，并得到等号成立的条件，即x的值 【小问1详解】 80 =0.2x+ 由题意得 x+5x>0) 令y≤7.2即 .2.x+80 ≤7.2 x+5 整理得： x2-31x+220≤0 第14页/供21页 6学科网列组卷网 即-11x-20)s0 解得11≤x≤20， 所以设备占地面积x的取值范围为11≤x≤20； 【小问2详解】 x>0 ,由基本不等式得 0.2480x+5+80-1225x+5-1=216-1=7 x+55”x+5 x+580 当且仅当5x+5,即x=15时等号成立， 所以设备占地面积为15m2, “时，y的值最小，最小值为7万元 18设=次函数y=r+(b-3)x+2 其对称轴为x=1 1)求关于x的不等式r+(6-3列x+2>x 的解集（请用a表示）： (2)对于任意x∈{2<x<3},不等式a2+(b-3)x+2>(1-2a)x恒成立，求实数a的取值范围： (3)对于任意a∈{a-3<a<-,不等式m+(b-3)x+2>(1-2a)x恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1)当a> 2时，原不等式的解集为 》2+,当a时.解为 (a22.当0<a.照东为2后r当a<o时，￥集合2 第15页/供21页 6学科网命组卷网 a吲 【解析】 【分析】(1)利用对称轴条件化简不等式，对参数的正负及方程两根大小分类讨论，求解含参一元二 次不等式即可 (2)代入条件化简不等式，通过分离参数转化为求函数的值域，得到使不等式在指定区间恒成立的的 取值范围， h(-3)≥0 (3)转换主元，令(a)=xa+(2-x)其中a∈(-3，-1)，可得出1h(-l)≥0，解之即可. 【小问1详解】 b-3 X=一 =1 由对称轴 2a得b-3=-2a, 则+(b-3列x+2>x→ar2-2ax+2>x 移项因式分解得（x-1(x-2)>0 4-x-2)=0,则5=2，与 a 170 ①若a>0,则a, 11<2 当0>2.2，不等式c-x-2少0解来为》2+回) 即不每式+6-列+2的架袋为》6+问 面-方&2.不la-以-2小30g车为2U(2o. 第16页供21页 6学科网列组卷网 (ii)当 3t合2，号--2小0￥车为2小信 0<a< ②若a<0,则a 0.2,r--20年集后2 a> 综上所述，当2时，原不等式的解集为 1 当a=2时，解集为(0,2(2，+o): 当0<a<2时.餐案刘2小（后】 当00，后习 【小问2详解】 由b-3=-2a则m+(b-3)x+2>(1-2a)x→ax2-x+2>0 一所以不等式x2-x+2>0对x（2,3)恒成立，分房参数得0> 要使a>二2-12 学2-子we 11 换元1=得f0)=-22+1,共在1气32上单调道减。 a2+g))2份+片 数s6.0.数. 第17页/供21页 6学科网列组卷网 [1 所以实数a的取值范围为9+0 【小问3详解】 不等式化简为ar2-x+2>0对a∈(-3，-)恒成立. 令h(@)=ra+(2-,其中ae(-3,-) 要使得h(@=ra+(2->0对ae(-3,-)恒成立， h(-3)=-3x2-x+2≥0 只需h(-])=-x2-x+2≥0，解得-1≤x≤行 即激，的取值花园为[引 19教材中的基本不等式可以推广到”阶：”个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若4， 42,,an>0,则有 4+4++0≥a4a,neN,n≥2，当且仅当4=4==0 n 时取等.利用此结论解决下列问题： +22+4 (1)若x,y,z>0,求xy2的最小值： (2)已知0<x<1,求r(1-)的最大值，并求取得最大值时的*的值： N,f+ 的大小关系并加以严格证明. 【答案】(1)6： 27 X=- (2)最大值为256，取得最大值时4： 第18页/供21页 6学科网命组卷网 对真eN++ 证明： ++-+ +…+ 1++ k+1 北+ 1+ 当且仅当十引时取等，但是任意k∈N时+1，所以等号不成立， >1 故任意k∈N时， 【解析】 【分析】(1)代数式中共有三项且各项均为正数，三项的乘积为定值，直接用三元均值不等式求最小值： (2)将代数式1-刀中x拆成三个x,构造四个正数，使四个数之和为定值，利用四元均值不等式求 最大值： 第19页/共21页 6学科网列组卷网 1+1 k+1 (3)要比较两个幂的大小，对k+1)变形，构造k+1个正数，使用均值不等式放缩进行证明 【小问1详解】 >0 22>04x>0 因为x,y,z>0,有x y+22+4r≥ 32.22.4红=38=6，当且仅当少2时取等， ≥3 y2z 4x 所以x y'zx y z y+22+4 故xyz的最小值为6： 【小问2详解】 因为0<x<1,所以1-x>0 r0-=xxx30-划 0 别 27 256 当月仅当x=x=x=30-x),即x=30-x),术=元 27 一所以0<x<1时。P0)的最大值是256，取最大对子 【小问3详解】 略 【点睛】(1)代数式x3(1-x)拆项时，要满足和为定值，还可以拆成 0-=2后50- 第20页/供21页 6学科网命组卷网 十0+0空之aa0进行安形使用，常用变形4十4十+02m04,g和 (2)对n 44a8+2) 第21页/共21页