专题05 代数式（期中重难点复习）2026-2027学年七年级上学期数学期中考试重难点专题训练（人教版）

专题05 代数式（期中重难点复习） 【新教材人教版七年级上册】 题型归纳 【题型1 列代数式】 1 【题型2 正（反）比例关系】 5 【题型3 用代数式表示数、图形的规律】 7 【题型4 代数式书写方法】 12 【题型5 代数式表示的实际意义】 13 【题型6 已知字母的值 ，求代数式的值】 15 【题型7 已知式子的值，求代数式的值】 19 【题型8 程序流程图与代数式求值】 23 【题型9 数字类规律探索】 26 【题型10 图形类规律探索】 34 【题型1 】 1．小华用20元现金购买了m元/本的笔记本n本，则还余现金（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】先计算购买笔记本的总花费，再用总现金减去总花费得到剩余金额． 【详解】解：总现金为20元，购买n本单价为m元的笔记本，总花费为元， 故剩余现金为元． 2．用代数式表示“比的2倍少3的数”，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先求出的2倍即，再表示出比这个结果少3的数，即可得到对应代数式． 【详解】解：的2倍表示为， ∴比少3的数为． 3．某商店购进每双x元的运动鞋50双，每双y元的旅游鞋60双，那么该商店一共需要支付（     ）元． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：购进50双运动鞋的费用为元，购进60双旅游鞋的费用为元，总支付金额为元． 4．踏上研学之旅，从规划乘车人数到计算行程时间，每一步都有数学的智慧相伴．让我们用数学的眼光拆解实际问题——用代数式表达其中奥秘． 光明中学组织七年级学生搭乘大巴车前往延安革命纪念馆，经统计，若全部租用载客量（不包含司机）为28人的大巴车，需租辆，且差4人可全部坐满，则参加此次研学活动共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【详解】解：辆载客28人的大巴满员可载人， ∵差4人可全部坐满， ∴总人数为人． 5．长春市某景区成人门票单价是30元，儿童门票单价是15元．某旅行团有a名成人和b名儿童，则旅行团的门票费用总和为________________元． 【答案】 【分析】旅行团的总门票费用等于成人门票总费用加上儿童的门票总费用，据此列式即可． 【详解】解：旅行团的门票费用总和为元． 6．“的绝对值的相反数与的和”，用代数式表示为________ 【答案】 【分析】逐层次拆解题干的运算顺序，从最内层的数开始，依次对应绝对值、相反数、求和的运算，避免颠倒运算层级． 【详解】解：第一步：对求绝对值，对应表达式为， 第二步：对上述绝对值的结果求相反数，对应表达式为， 第三步：将上述结果与做求和运算，即两部分相加， ∴最终对应的代数式为． 7．有若干片相同的拼图，其形状如图所示（单位：），凸出的部分是半径为的半圆，且拼图沿水平方向排列时可紧密拼成一行，此时底部可与直线贴齐．当4片拼图紧密拼成一行时长度为，如图所示．下列结论正确的是___________（填序号）． ①依题意，； ②1片拼图的长度为； ③将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加； ④将片拼图紧密拼成一行时，总长度为． 【答案】④ 【分析】根据图形确定b的值，利用4片拼图总长列方程求出a，进而计算单片长度、增量及n片总长公式，逐一判断结论． 【详解】解：由题意可知，凸出部分是半径为的半圆，则， ∵4片拼图紧密拼成一行时长度为， ∴，故①错误； ∴， ∴， ∴1片拼图的长度为，故②错误， ∴将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加，故③错误， ∴将n片拼图紧密拼成一行时，总长度为，故④正确． 综上所述，结论正确的是④． 8．解答下列各题： (1)一个圆环的外圈大圆的半径为R，内圈小圆的半径为r．用代数式表示这个圆环的面积S； (2)请写出代数式在几何问题中表示的数量或数量关系． 【答案】(1) (2)表示底边长为、该底边上的高为的三角形的面积． 【分析】（1）根据圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，结合圆的面积公式列代数式； （2）匹配常见几何图形的面积公式，确定代数式对应的几何意义． 【详解】（1）解：∵大圆半径为， ∴大圆面积为． ∵小圆半径为， ∴小圆面积为． ∵圆环的面积为大圆面积与小圆面积的差， ∴． （2）解：在几何问题中，三角形的面积等于底与对应高乘积的一半．当底边长为，该底边上的高为时，三角形面积． 9．我市城区要进行老旧小区改造提升工程，需要提前配送工程所需砂石，本市甲、乙两个砂石储备厂分别可调出砂石吨和吨，改造工程中，位于城西的小区改造项目需要砂石吨，位于城东的小区改造项目需要砂石吨．物流运输公司报价，从两个砂石厂到两个项目地点的运费如下表： 到小区改造项目 到小区改造项目 甲砂石厂 每吨元 每吨元 乙砂石厂 每吨元 每吨元 (1)设从甲砂石厂运送到小区的砂石为吨， 则从甲砂石厂运送到小区的砂石为________吨， 从乙砂石厂运送到小区的运费为________元；（用含的代数式表示） (2)如果从甲砂石厂运送到小区的砂石为吨，求把全部砂石从甲、乙两砂石厂运送到、两地的总运费． 【答案】(1)， (2)把全部砂石从甲、乙两砂石厂运送到、两地的总运费为元 【分析】（1）根据甲厂可调出砂石吨、小区总共需要吨，用表示各路线运量，再根据“运费=吨数×单价”计算运费； （2）把代入，算出四条运送路线的运量和运费，相加得到总运费． 【详解】（1）解：甲厂一共可调出吨，运到小区吨， 甲运到小区吨， 小区一共需要吨，甲送来吨，剩下的由乙厂送， 乙送到小区吨， 乙送到每吨元， 乙砂石厂运送到小区的运费为元． （2）解：∵从甲砂石厂运送到小区的砂石为吨， ∴从甲砂石厂运送到小区的砂石为吨， 从乙砂石厂运送到小区的砂石为吨， 从乙砂石厂运送到小区的砂石为吨， ∴把全部砂石从甲、乙两砂石厂运送到、两地的总运费为：（元）． 【题型2 】 10．下列选项中两个量成反比例关系的是（     ） A．圆的面积与其半径 B．商品折扣一定，原价与折后价 C．全班的人数一定，男生人数和女生人数 D．打印一份文件，打印机的打印速度和打印所需时间 【答案】D 【分析】若两个量的乘积为定值，则这两个量成反比例关系．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、圆的面积，面积与半径的乘积不为定值，不成反比例关系． B、商品折扣一定时，折后价原价折扣率（定值），成正比例关系，不成反比例关系； C、全班人数一定时，男生人数女生人数全班人数（定值），和为定值，不成反比例关系； D、文件总页数一定时，打印速度打印时间总页数（定值），乘积为定值，成反比例关系． 11．表中x和y两个量成反比例关系，则“”处应填（     ） x y 3 6 A．16 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据反比例关系的定义得到，为定值，结合表中数据求出k的值，进而求解即可． 【详解】解：∵和成反比例关系， ∴，为定值． 将，代入，得， ∴． 当时，， ∴， ∴“”处应填1． 12．、都不为0，如果，那么和成______比例；如果 ，那么和成______比例． 【答案】 正 反 【分析】根据正比例与反比例的定义，判断两个相关联的量的比值或乘积是否为定值．比值一定为正比例，乘积一定为反比例，据此求解即可． 【详解】解：两种相关联的量，若比值一定，则成正比例；若乘积一定，则成反比例， 因为 ，，都不为，可得与的比值为定值，所以和成正比例； 因为 ，根据比例的基本性质，可得 ，，都不为，可得与的乘积为定值，所以和成反比例． 13．判断下列各题中的两个量之间的关系，并说明理由． (1)在1小时内，匀速运动所走的路程和时间； (2)三角形的面积是，它的一边长和该边上的高； 【答案】(1)成正比例；理由如下： ∵匀速运动，即速度不变， ∴路程与时间的比值（速度）一定， ∴路程与时间成正比例． (2)成反比例；理由如下： ∵， ∴，即一边长和该边上的高乘积为定值， ∴三角形的一边长和该边上的高成反比例． 【详解】（1）略 （2）略 【题型3 】 14．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找到数的排列规律，求出第行结束的时候一共出现的数的个数，再求第行从左向右的第个数，即可解答． 【详解】解：由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数， 第行从左向右的第个数为， 第行从左向右的第个数为． 15．石墨烯（Graphene）是碳的同素异形体，碳原子以杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格，应用很广泛，被认为是一种未来革命性的材料．如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的石墨烯结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，……，按此规律，第⑧个图形需要小木棒的根数是（     ） A．64 B．67 C．70 D．72 【答案】B 【分析】观察图形中小棒数量的变化，发现相邻两个图形的小棒数量差为定值，归纳出第n个图形的小棒数量公式，代入计算即可． 【详解】解：第①个图案用了11根小棒， 第②个图案用了19根小棒，， 第③个图案用了27根小棒，， …… 以此类推，第n个图形需要小木棒的根数是， 所以第⑧个图形需要小木棒的根数是． 16．下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第个图形中一共有个，第个图形中一共有个，第个图形中一共有个，，按此规律排列，则第个图形中的个数为_______． 【答案】 【分析】写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解． 【详解】解：第①个图形中三角形有：（个）， 第②个图形中三角形有：（个）， 第③个图形中三角形有：（个）， ， 依此类推，第个图形中三角形有（个）， 所以，第⑥个图形中三角形个数一共是：（个）． 17．“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________个． 【答案】/ 【详解】解：第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有个黑点； 第四个图形有个黑点， ∴第m幅图的点数是个． 18．观察下列等式并回答问题:第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)按发现的规律分别写出第5个等式，第6个等式和第项． (2)求的值． 【答案】(1) 第5个等式：； 第6个等式：； 第项：（为正整数） (2) 【分析】（1）观察等式分母的连续奇数与序号的对应关系，总结分数拆分规律，写出对应等式； （2）利用拆分规律展开各项，抵消中间项后计算求和结果； 【详解】（1）解：∵第1个等式分母的两个数为，，即； 第2个等式分母的两个数为，，即； 第3个等式分母的两个数为，，即； …… ， ∴第项为（为正整数）， 当时，； 当时，； （2）解： ． 19．探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： (2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (3)利用上述规律计算下式的值：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把左右两列各式的值逐个算出，数值相等的两式即为要连的一对； （2）根据（1）中相等关系找出规律即可； （3）由（2）把每个因式写成相邻两数之比，连乘后前一个因式的分子与后一个因式的分母交叉约分，最后只剩首、末各一个数． 【详解】（1）解：，； ，； ，； ，． ∴上面每一组左右两式的结果相同，即为所求的四组连线． （2）解：由（1）知，； （3）解：由（2）知． ∴原式 ． 【题型4 】 20．下列代数式中，符合书写规范要求的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项应为，不符合规范； 选项应为，不符合规范； 选项应为，不符合规范； 选项符合书写规范． 21．下列各式中，符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项，数字与字母相乘时，数字应写在字母左侧且省略乘号，正确写法为，故不符合规范； 选项，带分数与字母相乘时，需化为假分数，正确写法为，故不符合规范； 选项，代数式中除法运算需写成分数形式，正确写法为，故不符合规范； 选项，符合代数式书写规范． 22．下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分数等． （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为． 故答案为：． （2）解：不规范，带分数应写成假分数，即． 故答案为：． （3）解：不规范，1应省略不写，应写为或． 故答案为：或． （4）解：不规范，除法应写成分数形式，即． 故答案为：． 【题型5 】 23．甲、乙两人对赋予实际意义，甲：若正方形的边长为n，则表示正方形的面积．乙：若梨的单价为n元，则元表示梨的总价．那么下列选项的说法正确的是（     ） A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】根据代数式的意义解答即可． 【详解】解：甲的说法中，正方形边长为，面积应为，表示正方形的周长，故甲错误． 乙的说法中，梨的单价为元，梨的总金额为元，故乙正确． 24．下列关于代数式的意义中，说法不正确的是（     ） A．表示的2倍与5的和 B．表示与6的和的2倍 C．表示的3倍与4的和的一半 D．表示与的和的平方 【答案】C 【详解】解：A．表示的2倍与5的和，正确； B．表示与6的和的2倍，正确； C．表示的3倍除以2再加4，而才是的3倍与4的和的一半，故不正确； D．表示与的和的平方，正确． 25．同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．如“”可以表示一个长是，宽是的长方形的面积．请你再对“”赋予一个实际意义：__________． 【答案】 已知一支钢笔的单价为元，购买支钢笔的总花费可表示为（答案不唯一） 【分析】表示与的乘积，只需构造实际生活中具有3倍数量关系的场景即可． 【详解】解：根据代数式的意义，表示乘以，结合实际生活可构造符合要求的实例，例如：已知一支钢笔的单价为元，购买支钢笔的总花费可表示为，符合题意，实例不唯一． 26．某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 【答案】第二天网络预约的人数 【分析】根据题意，第二天网络预约的游客人数比第一天少300人，因此第二天人数可表示为，故代数式表示第二天人数． 本题考查了代数式的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客m人，第二天比第一天少300人， 则第二天人数为， 所以代数式“”表示第二天网络预约的人数． 故答案为：第二天网络预约的人数． 27．体育委员小金带了500元去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元．那么代数式表示的实际意义是什么？如果体育委员小金买了4个足球、2个篮球，那么剩余的经费是多少？ 【答案】代数式表示的实际意义是体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费；体育委员小金买了4个足球、2个篮球，剩余的经费为元 【分析】本题考查了代数式在实际问题中的意义，理解代数式中各项的含义，结合已知条件分析代数式所表示的实际意义，同时根据购买物品的数量和单价计算剩余经费． 【详解】解：代数式表示体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费； 如果体育委员小金买了4个足球、2个篮球，那么剩余的经费为元． 【题型6 】 28．已知，，则y的值为（    ） A．或 B．1或 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义，有两个取值，需分别代入计算，避免漏解． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，； 当时，． ∴的值为或． 29．当时，下列代数式的值为8的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分别代入各选项计算，即可判断选项． 【详解】解：将分别代入各选项计算， A、，A符合题意； B、，B不符合题意； C、，C不符合题意； D、，D不符合题意． 30．已知，则的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用非负性求，的值，再代入原式裂项求和． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， 解得，． 当，时， ． 31．若，b的相反数是3，且，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴或 ∵的相反数是 ∴ 当 时，，不满足 的条件，舍去； 当 时，，满足条件； ∴取 代入计算，得． 32．若，则________________． 【答案】1 【分析】根据绝对值和平方的非负性，两个非负代数式的和为0时每一项均为0，据此求出a、b的值，再代入待求式计算． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，， 解得，， ∴ ∴ 33．若，则代数式的值是______；若，则代数式的值是______． 【答案】 6 【分析】将代入求值即可； 转化为，将代入求值即可． 【详解】解：将代入得：； ，将代入得：． 34．已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的平方是16，y是最大的负整数．求：的值． 【答案】 或 【分析】根据题意可得，，，，然后把以上代数式整体代入所求代数式即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的平方是16，y是最大的负整数， ∴，，，， ∴当时，， 当时，， ∴的值为或． 35．点在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)用“”或“”填空：___________0，___________0； (2)若互为相反数，互为倒数，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据数轴可得，再根据有理数加减确定代数式的正负即可； （2）根据数轴可得，，再利用绝对值的意义、相反数和倒数的定义得到，，，，然后再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， ∴，； （2）解：由图可知：，， ∵，，c、d互为相反数，互为倒数， ∴，，，， ∴ ． 36．一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示． (1)求出阴影部分的面积； (2)当，，时，计算出阴影部分的面积是多少？（提示：圆周率用表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据阴影部分面积等于三角形面积减去圆的面积表示出即可； （2）代入各数据求值即可． 【详解】（1）解：∵直角三角形面积公式是两条直角边乘积的一半， ∴直角三角形面积是， ∵圆的面积是， ∴图中阴影部分面积是；   （2）解：当，，时，阴影部分的面积是 ． 【题型7 】 37．已知的值是2，则多项式的值是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：∵的值是2， ∴， ∴． 38．已知式子的值是，则式子的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求式子变形为含的形式，整体代入已知值计算． 【详解】解：∵， ∴． 39．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4，求的值（     ） A． B．3 C．或5 D．或 【答案】C 【详解】解：由题意得，，，即， ∴， 当时，原式； 当时，原式， 综上：的值为或5． 40．已知、互为相反数，、互为倒数且，的绝对值为，的值为_______． 【答案】 或 【分析】结合相反数、倒数、绝对值的性质，先确定、的取值，再根据分式有意义的条件计算分式部分的值，最后分的两种可能取值代入代数式计算结果． 【详解】解：∵、互为相反数， ∴，即， ∵、互为倒数， ∴， ∵代数式有意义， ∴， ∴， ∵的绝对值为3， ∴或 当时，代入原式得： 当时，代入原式得： ∴原式的值为或 41．当时，的值为，则的值为________； 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的整体值，再将所求代数式变形为含该整体的形式，代入计算即可. 【详解】解：∵当时，的值为， ∴将代入代数式得 ， 整理得， 将所求代数式变形为 ， 把代入上式， 得． 42．已知是2026个由1和组成的数，且满足，则的值为___________． 【答案】 【分析】设的个数为未知数，根据已知总和求出的个数，再分别计算每个平方项的值后求和即可. 【详解】解：设有个，则剩下个； ∵ ∴ 整理得 解得 当时， 当时， 因此所求式子的值为 . 43．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【答案】 【分析】先根据题意可得，，，再代入求值即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴． ∵c，d互为倒数， ∴． ∵， ∴， ∴． 44．完成下列各题： (1)比较下列各组中两个算式的结果的大小（在横线上选填“>”、“=”或“<”） ________； ________； ________； ________； ________． (2)观察并归纳（1）中的规律，用含、的一个关系式把你的猜想表示出来； (3)若，且、都是正数，求的最小值． 【答案】(1)，，，，； (2)； (3) 【分析】（1）分别计算中两个算式左边和右边的值，即可比较出大小． （2）按照（1）中的规律，可将、分别替换掉对应的数，即可得出猜想． （3）将代入上一问所总结的规律即可． 【详解】（1）解：，， ； ，， ； ，， ； ，， ， ，， ． （2）解：观察（1）中的规律，将式子中的数分别替换为、， 得． （3）解：，且、都是正数，， ， 即， 的最小值为． 【题型8 】 45．按照如图所示的程序计算，若，则输出的结果是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】框图的运行规则是：先输入x，计算，再判断该结果是否大于0；若大于0则输出，若不大于0则把这次算出的结果当作新的x重新代入继续计算，直到结果大于0为止． 【详解】解：把代入：； 因为，不满足大于0，所以走“否”的分支， 把作为新的x，重新计算：； 因为成立，所以走“是”的分支，输出结果16； 因此输出的结果是16． 46．如图所示的程序框图，在此运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第2026次输出的结果是（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】求出前面若干次输出的结果，找出规律即可求解． 【详解】解：第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，第3次输出的结果为，第4次输出的结果为8，第5次输出的结果为4，第6次输出的结果为2，第7次输出的结果为1，第8次输出的结果为8，第9次输出的结果为4，第10次输出的结果为2，第11次输出的结果为1，…， 从第4次开始，每4次循环一次，而，则第2026次输出的结果与第6次输出的结果相同，且为2． 47．小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，⋯，那么第2025次输出的结果是__________． 【答案】 【分析】根据数值转换机中的规律，确定出第2025次输出的结果即可． 【详解】解：把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 故输出的结果是1、4、2循环， 依此类推， ， 第2025次输出的结果为2． 48．按下面的程序计算： 当输入时，输出结果是，当输入时，输出结果是，如果输入的值是正整数，输出结果是，那么满足条件的的值最多有_______个． 【答案】4 【分析】根据输出结果是即可得，解方程即可求得第一个数，再求出输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有的答案． 【详解】解：根据题意得： 当输出结果是时，，解得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 当时，解得：， ∵输入的值是正整数， ∴不符合题意，舍去. ∴满足条件的的值最多有4个． 49．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．下面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图（1）的输出结果、图（2）的运算过程． 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 图（2）的输出 【答案】解：填表如下 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 12 24 图（2）的输出 9 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 【分析】根据程序流程图，代入字母的值进行计算即可. 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表略． 【题型9 】 50．一个三位自然数的各个数位上的数字互不相同且均不为零，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字的4倍，则称为“谐和数”．例如：172满足，所以172是“谐和数”，显然712也是“谐和数”．最大的“谐和数”与最小的“谐和数”之差为（     ） A．802 B．843 C．934 D．924 【答案】A 【分析】结合“谐和数”定义与数位特征，分别构造最小、最大的“谐和数”后求差． 【详解】解：设“谐和数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中，，均为的互不相同的整数，满足， 先求最小的“谐和数”： 要使三位数最小，需优先让百位尽可能小， 取，则，即． ∵ 为的整数，且，， ∴ ， 解得， ∵ 为整数，且， ∴ ， 此时，各个数位上的数字互不相同，符合条件，最小的“谐和数”为； 再求最大的“谐和数”： 要使三位数最大，需优先让百位尽可能大， 取，则，即， ∵ 为的整数，且，， ∴ ， 解得， ∵ 为整数， ∴ 或， 当时，，与相同，不符合条件， 当时，，各个数位上的数字互不相同，符合条件，最大的“谐和数”为； 两数之差为． 51．大于1的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，若分裂后，其中有一个奇数是2027，则的值是（    ） A．44 B．45 C．46 D．47 【答案】B 【详解】解：由题意可知，分裂为个连续奇数，第一个奇数为，最后一个奇数为． 当时，第一个奇数为，最后一个奇数为． ∵ ∴不符合题意， 当时，第一个奇数为，最后一个奇数为． ∵ ∴符合题意， 当时，第一个奇数为，最后一个奇数为． ∵ ∴不符合题意， 当时，第一个奇数为，最后一个奇数为． ∵ ∴不符合题意． 52．如图，善于观察的小弘同学发现一个由正整数组成的数阵，照此规律，2027这个数按从上到下、从左到右的顺序是(     ) A．第45行的第1个数 B．第46行的第2个数 C．第47行的第3个数 D．第48行的第4个数 【答案】B 【分析】根据题意可得第n行最后一数为，据此先判断2027这个数在第几行，进而可得在该行的第几个． 【详解】解：由题意知第n行最后一数为， ∵，，， ∴2027这个数在第46行， ∵， ∴2027这个数在第46行的第2个数． 53．计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是________． 【答案】7 【分析】观察前若干个算式结果的个位数字，总结循环规律，通过计算2023除以循环周期的余数，匹配对应位置的个位数字． 【详解】解：依次计算前几个算式的结果： ，个位数字为1， ，个位数字为3， ，个位数字为7， ，个位数字为5， ，个位数字为1， 可归纳出个位数字的规律：以1、3、7、5为一组循环出现，循环周期为4． ∵ ∴的个位数字与循环组中第3个数字一致，为7． 54．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上点的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，，这样依次得到点，，，，．若点在数轴上表示的数是2，则点在数轴上表示的数是___________． 【答案】 【分析】根据“相关点”的定义依次计算前几个点的数值，找到数列的循环规律，通过计算除以循环长度的余数，确定对应的数值． 【详解】解：根据“相关点”的定义，点表示的数为时，其相关点表示的数为， 表示的数是， ， 表示的数是， ， 表示的数是， ， 由此可知，数列按，，的顺序每3个数为一个循环组重复出现， ，即2026除以3的余数为1， 与循环组中第1个位置的数相同，为． 55．有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； （2）如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 【答案】 【分析】（1）根据图中数据计算即可作答； （2）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 【详解】解：（1）∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同， ∴取第一行可得，点数的和为； （2）将填入三角形的三个顶点处， 与之间填，与之间填，与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为． 56．观察下面有规律排列的三行数： ① ② ③ (1)第①行的第10个数是________； (2)第②行中每个数与第①行对应数的关系是________（用含的等式表示）； (3)分别取第①②③行中的第个数，依次记为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给三行数，发现变化规律，按照规律计算即可． （2）根据（1）中发现的规律求出数值即可． （3）根据（1）中发现的规律代入计算即可． 【详解】（1）解：观察第①行数可知，后一个数是前一个数的倍，所以第①行的第个数可表示为； 故第个数是：； （2）解：观察第②行数可知，第②行的每一个数比第①行对应位置的数大，故第②行中每个数与第①行对应数的关系是：； （3）解：观察第③行数可知，第③行的每一个数是第①行对应位置数的，所以第③行的第个数可表示为； 当时，， 此时． 57．【提出问题】数学课上，老师提出一个问题：如何求的值． 【问题探究】甲、乙两位同学的探究过程如下： 甲同学借助图形进行探究，如图，他将一个面积为1的正方形纸片进行分割，部分②面积是部分①面积的一半，部分③面积是部分②面积的一半，依此类推，他用最大正方形的面积减去阴影部分面积即是的值． 乙同学从代数角度进行探究，设，则 即： 由甲、乙同学的探究过程可知： (1)阴影⑥面积为______________； (2)补全乙同学的证明过程，并求出最终结果． 【拓展应用】 (3)根据上述两位同学的探究方法，归纳__________． (4)由（3）归纳的结论，__________． 【答案】(1) (2)证明：设， 则， 即 ∴， ∴； (3) (4) 【分析】（1）根据一个面积为1的正方形纸片进行分割，部分②面积是部分①面积的一半，部分③面积是部分②面积的一半，依此类推，即可求解； （2）根据材料提示方法证明即可； （3）设，则，根据材料提示方法计算即可求解； （4）原式，根据（3）的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据图示可得 （2）略 （3）解：设，则， ∴， ∴； （4）解： ． 【题型10 】 58．在一个圆周上取n（）个点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，可以将圆分割成若干个不重叠的区域．如图：当圆周上有2个点时，圆被分成2个区域；当圆周上有3个点时，圆被分成4个区域……当圆周上有100个点时，圆被分成的区域数为（   ） A．198 B．196 C．101 D．100 【答案】A 【分析】根据已知图形找出规律即可求解，由已知图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知， 当圆周上有2个点时，圆被分成的区域为：； 当圆周上有3个点时，圆被分成的区域为：； 当圆周上有4个点时，圆被分成的区域为：；…… 所以当圆周上有n个点时，圆被分成的区域为． 当时，． 59．如图，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第n个图形需要杯子的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据前4个图形需要杯子的个数总结规律即可得到答案． 【详解】解：第1个图形需要杯子的个数为， 第2个图形需要杯子的个数为， 第3个图形需要杯子的个数为， 第4个图形需要杯子的个数为， ……， 以此类推，可知第n个图形需要杯子的个数为 60．如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的，对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时针转动了2026次后，关于点B的说法正确的是（     ） A．点B对应的数是2027 B．点B对应的数是2026 C．点B不在数轴上 D．点B对应的数是2025 【答案】D 【分析】根据题意确定五边形边长及转动周期，分析点在数轴上的位置规律，结合余数求解． 【详解】解：由点，分别与数轴上的，对应，得五边形边长为， 五边形有条边， 每转动次，图形向右平移个单位长度，为一个循环周期， ， 转动次后的状态与转动次后的状态对应点位置规律相同，且经历了个周期， 转动次后，点落在数轴上，对应的数为， 转动次后，点在数轴上，对应的数为． 61．如图是用相同长度的火柴棒摆成的一组图形，第1个图形由1个正方形组成，第2个图形由2个正方形组成，…，按此规律，第n个图形需要火柴棒__________根（用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】观察可知每增加1个正方形，就增加3根火柴棒，据此规律可得答案， 【详解】解：第1个图形需要火柴棒根， 第2个图形需要火柴棒根， 第3个图形需要火柴棒根， ……， 以此类推，可知第n个图形需要火柴棒根． 62．石墨烯（）是碳的同素异形体，碳原子以杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格，应用很广泛，被认为是一种未来革命性的材料．如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的石墨烯结构平面图，第1个图案用了11根小棒，第2个图案用了19根小棒，第3个图案用了27根小棒，……，按此规律，第个图形需要小木棒的根数是_______根． 【答案】 / 【分析】观察图形中小棒数量的变化，发现相邻两个图形的小棒数量差为定值8，归纳出第n个图形的小棒数量公式即可． 【详解】解：第1个图案用了11根小棒，； 第2个图案用了19根小棒，； 第3个图案用了27根小棒，； … ∴第n个图形需要小棒的根数是． 63．在数学兴趣小组活动中，小明为了求的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则的值为______（结果用表示）． 【答案】 【分析】观察可知每一次分割都是前面图形的，可以用总面积减去剩下的面积求得答案即可． 【详解】解：由图和题意可知，剩下图形的面积为； ∴的值为. 64．九台三十一中食堂餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)当有6张桌子时，第一种摆放方式能坐______人，第二种摆放方式能坐______人； (2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐______人，第二种摆放方式能坐______人； (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 【答案】(1)26；16 (2)； (3)解：选择第一种方式， 理由：当时， 第一种摆放方式能坐人数：， 第二种摆放方式能坐人数：， ∴选择第一种方式． 【分析】（1）第一种，第一张桌子坐6人，后边每多一张桌子多坐4人；第二种，第一张桌子坐6人，后边每多一张桌子多坐2人，由此求解； （2）根据（1）中规律即可列代数式； （3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断． 【详解】（1）解：当有6张桌子时， 第一种摆放方式能坐人数：（人）， 第二种摆放方式能坐人数：（人）； （2）解：当有n张桌子时， 第一种摆放方式能坐人数：（人）， 第二种摆放方式能坐人数：（人）； （3）略 65．阶长方形： 【操作】如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”）为． 【思考】3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和．      (1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图，并写出对应的宽长比； (2)直接写出4阶长方形的宽长比的所有可能的值________； 【探究】 (3)①100阶长方形的宽长比共有________种可能的值； ②若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？ 【答案】(1)解：另外两种3阶长方形的裁剪示意图如图所示，对应的宽长比分别是，； (2)，；，；，；，； (3)①；② 【分析】（1）根据题目给出的方法画出图形即可； （2）由前面n阶长方形的宽长比的规律解答即可； （3）根据n阶长方形的宽长比的规律解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 综上：4阶长方形的宽长比的所有可能的值有，；，；，；，； （3）解：①因为2阶长方形的宽长比有两种可能，即是； 3阶长方形的宽长比有四种可能，即是； 4阶长方形的宽长比有八种可能，即是； …… 所以100阶长方形的宽长比共有种可能的值； ②因为 ∴阶数为 一个长方形的宽长比为，则它是39阶长方形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 代数式（期中重难点复习） 【新教材人教版七年级上册】 题型归纳 【题型1 列代数式】 1 【题型2 正（反）比例关系】 3 【题型3 用代数式表示数、图形的规律】 4 【题型4 代数式书写方法】 5 【题型5 代数式表示的实际意义】 6 【题型6 已知字母的值 ，求代数式的值】 6 【题型7 已知式子的值，求代数式的值】 8 【题型8 程序流程图与代数式求值】 9 【题型9 数字类规律探索】 10 【题型10 图形类规律探索】 12 【题型1 】 1．小华用20元现金购买了m元/本的笔记本n本，则还余现金（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．用代数式表示“比的2倍少3的数”，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．某商店购进每双x元的运动鞋50双，每双y元的旅游鞋60双，那么该商店一共需要支付（     ）元． A． B． C． D． 4．踏上研学之旅，从规划乘车人数到计算行程时间，每一步都有数学的智慧相伴．让我们用数学的眼光拆解实际问题——用代数式表达其中奥秘． 光明中学组织七年级学生搭乘大巴车前往延安革命纪念馆，经统计，若全部租用载客量（不包含司机）为28人的大巴车，需租辆，且差4人可全部坐满，则参加此次研学活动共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 5．长春市某景区成人门票单价是30元，儿童门票单价是15元．某旅行团有a名成人和b名儿童，则旅行团的门票费用总和为________________元． 6．“的绝对值的相反数与的和”，用代数式表示为________ 7．有若干片相同的拼图，其形状如图所示（单位：），凸出的部分是半径为的半圆，且拼图沿水平方向排列时可紧密拼成一行，此时底部可与直线贴齐．当4片拼图紧密拼成一行时长度为，如图所示．下列结论正确的是___________（填序号）． ①依题意，； ②1片拼图的长度为； ③将拼图紧密拼成一行时，每增加一片拼图，总长度增加； ④将片拼图紧密拼成一行时，总长度为． 8．解答下列各题： (1)一个圆环的外圈大圆的半径为R，内圈小圆的半径为r．用代数式表示这个圆环的面积S； (2)请写出代数式在几何问题中表示的数量或数量关系． 9．我市城区要进行老旧小区改造提升工程，需要提前配送工程所需砂石，本市甲、乙两个砂石储备厂分别可调出砂石吨和吨，改造工程中，位于城西的小区改造项目需要砂石吨，位于城东的小区改造项目需要砂石吨．物流运输公司报价，从两个砂石厂到两个项目地点的运费如下表： 到小区改造项目 到小区改造项目 甲砂石厂 每吨元 每吨元 乙砂石厂 每吨元 每吨元 (1)设从甲砂石厂运送到小区的砂石为吨， 则从甲砂石厂运送到小区的砂石为________吨， 从乙砂石厂运送到小区的运费为________元；（用含的代数式表示） (2)如果从甲砂石厂运送到小区的砂石为吨，求把全部砂石从甲、乙两砂石厂运送到、两地的总运费． 【题型2 】 10．下列选项中两个量成反比例关系的是（     ） A．圆的面积与其半径 B．商品折扣一定，原价与折后价 C．全班的人数一定，男生人数和女生人数 D．打印一份文件，打印机的打印速度和打印所需时间 11．表中x和y两个量成反比例关系，则“”处应填（     ） x y 3 6 A．16 B． C．1 D． 12．、都不为0，如果，那么和成______比例；如果 ，那么和成______比例． 13．判断下列各题中的两个量之间的关系，并说明理由． (1)在1小时内，匀速运动所走的路程和时间； (2)三角形的面积是，它的一边长和该边上的高； 【题型3 】 14．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 15．石墨烯（Graphene）是碳的同素异形体，碳原子以杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格，应用很广泛，被认为是一种未来革命性的材料．如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的石墨烯结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，……，按此规律，第⑧个图形需要小木棒的根数是（     ） A．64 B．67 C．70 D．72 16．下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第个图形中一共有个，第个图形中一共有个，第个图形中一共有个，，按此规律排列，则第个图形中的个数为_______． 17．“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________个． 18．观察下列等式并回答问题:第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)按发现的规律分别写出第5个等式，第6个等式和第项． (2)求的值． 19．探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： (2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (3)利用上述规律计算下式的值：． 【题型4 】 20．下列代数式中，符合书写规范要求的是（     ） A． B． C． D． 21．下列各式中，符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 22．下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【题型5 】 23．甲、乙两人对赋予实际意义，甲：若正方形的边长为n，则表示正方形的面积．乙：若梨的单价为n元，则元表示梨的总价．那么下列选项的说法正确的是（     ） A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错 24．下列关于代数式的意义中，说法不正确的是（     ） A．表示的2倍与5的和 B．表示与6的和的2倍 C．表示的3倍与4的和的一半 D．表示与的和的平方 25．同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．如“”可以表示一个长是，宽是的长方形的面积．请你再对“”赋予一个实际意义：__________． 26．某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 27．体育委员小金带了500元去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元．那么代数式表示的实际意义是什么？如果体育委员小金买了4个足球、2个篮球，那么剩余的经费是多少？ 【题型6 】 28．已知，，则y的值为（    ） A．或 B．1或 C．1 D． 29．当时，下列代数式的值为8的是（     ） A． B． C． D． 30．已知，则的结果是（     ） A． B． C． D． 31．若，b的相反数是3，且，则的值为________． 32．若，则________________． 33．若，则代数式的值是______；若，则代数式的值是______． 34．已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的平方是16，y是最大的负整数．求：的值． 35．点在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和． (1)用“”或“”填空：___________0，___________0； (2)若互为相反数，互为倒数，求的值． 36．一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示． (1)求出阴影部分的面积； (2)当，，时，计算出阴影部分的面积是多少？（提示：圆周率用表示） 【题型7 】 37．已知的值是2，则多项式的值是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 38．已知式子的值是，则式子的值是（     ） A． B． C． D． 39．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4，求的值（     ） A． B．3 C．或5 D．或 40．已知、互为相反数，、互为倒数且，的绝对值为，的值为_______． 41．当时，的值为，则的值为________； 42．已知是2026个由1和组成的数，且满足，则的值为___________． 43．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 44．完成下列各题： (1)比较下列各组中两个算式的结果的大小（在横线上选填“>”、“=”或“<”） ________； ________； ________； ________； ________． (2)观察并归纳（1）中的规律，用含、的一个关系式把你的猜想表示出来； (3)若，且、都是正数，求的最小值． 【题型8 】 45．按照如图所示的程序计算，若，则输出的结果是 （ ） A． B． C． D． 46．如图所示的程序框图，在此运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第2026次输出的结果是（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 47．小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，⋯，那么第2025次输出的结果是__________． 48．按下面的程序计算： 当输入时，输出结果是，当输入时，输出结果是，如果输入的值是正整数，输出结果是，那么满足条件的的值最多有_______个． 49．在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．下面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图（1）的输出结果、图（2）的运算过程． 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 图（2）的输出 【题型9 】 50．一个三位自然数的各个数位上的数字互不相同且均不为零，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字的4倍，则称为“谐和数”．例如：172满足，所以172是“谐和数”，显然712也是“谐和数”．最大的“谐和数”与最小的“谐和数”之差为（     ） A．802 B．843 C．934 D．924 51．大于1的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，若分裂后，其中有一个奇数是2027，则的值是（    ） A．44 B．45 C．46 D．47 52．如图，善于观察的小弘同学发现一个由正整数组成的数阵，照此规律，2027这个数按从上到下、从左到右的顺序是(     ) A．第45行的第1个数 B．第46行的第2个数 C．第47行的第3个数 D．第48行的第4个数 53．计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是________． 54．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上点的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，，这样依次得到点，，，，．若点在数轴上表示的数是2，则点在数轴上表示的数是___________． 55．有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； （2）如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 56．观察下面有规律排列的三行数： ① ② ③ (1)第①行的第10个数是________； (2)第②行中每个数与第①行对应数的关系是________（用含的等式表示）； (3)分别取第①②③行中的第个数，依次记为，求的值． 57．【提出问题】数学课上，老师提出一个问题：如何求的值． 【问题探究】甲、乙两位同学的探究过程如下： 甲同学借助图形进行探究，如图，他将一个面积为1的正方形纸片进行分割，部分②面积是部分①面积的一半，部分③面积是部分②面积的一半，依此类推，他用最大正方形的面积减去阴影部分面积即是的值． 乙同学从代数角度进行探究，设，则 即： 由甲、乙同学的探究过程可知： (1)阴影⑥面积为______________； (2)补全乙同学的证明过程，并求出最终结果． 【拓展应用】 (3)根据上述两位同学的探究方法，归纳__________． (4)由（3）归纳的结论，__________． 【题型10 】 58．在一个圆周上取n（）个点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，可以将圆分割成若干个不重叠的区域．如图：当圆周上有2个点时，圆被分成2个区域；当圆周上有3个点时，圆被分成4个区域……当圆周上有100个点时，圆被分成的区域数为（   ） A．198 B．196 C．101 D．100 59．如图，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第n个图形需要杯子的个数为（     ） A． B． C． D． 60．如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的，对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时针转动了2026次后，关于点B的说法正确的是（     ） A．点B对应的数是2027 B．点B对应的数是2026 C．点B不在数轴上 D．点B对应的数是2025 61．如图是用相同长度的火柴棒摆成的一组图形，第1个图形由1个正方形组成，第2个图形由2个正方形组成，…，按此规律，第n个图形需要火柴棒__________根（用含n的式子表示）． 62．石墨烯（）是碳的同素异形体，碳原子以杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格，应用很广泛，被认为是一种未来革命性的材料．如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的石墨烯结构平面图，第1个图案用了11根小棒，第2个图案用了19根小棒，第3个图案用了27根小棒，……，按此规律，第个图形需要小木棒的根数是_______根． 63．在数学兴趣小组活动中，小明为了求的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则的值为______（结果用表示）． 64．九台三十一中食堂餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)当有6张桌子时，第一种摆放方式能坐______人，第二种摆放方式能坐______人； (2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐______人，第二种摆放方式能坐______人； (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 65．阶长方形： 【操作】如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”）为． 【思考】3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和．      (1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图，并写出对应的宽长比； (2)直接写出4阶长方形的宽长比的所有可能的值________； 【探究】 (3)①100阶长方形的宽长比共有________种可能的值； ②若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $