专题07 整式的加法与减法 期中重难点专题训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题07 整式的加法与减法（期中重难点复习） 【新教材人教版七年级上册】 题型归纳 【题型1 同类项的判断】 1 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 2 【题型3 合并同类项】 2 【题型4 去括号或添括号】 4 【题型5 整式的加减运算】 5 【题型6 整式的加减中的化简求值】 8 【题型7 整式加减中的无关型问题】 9 【题型8 整式加减的应用】 11 【题型9 带有字母的绝对值化简问题】 13 【题型1 】 1．下列各式与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组中的两项，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列各组中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D． 与 4．写出代数式的一个同类项_____． 5．已知单项式3ab2，请写出一个它的同类项为________． 6．下列合并同类项是否正确？若不正确，请改正： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 】 7．已知代数式是同类项，那么的值是（     ） A． B．0 C．1 D．3 8．已知整式与的和是一个单项式，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 9．如果，那么的值分别为（     ） A． B． C． D． 10．若与 是同类项，则__________． 11．若单项式与是同类项，则______． 12．若 与可以合并成一项，则的值是______． 13．k取何值时，与是同类项？ 14．已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由． 【题型3 】 15．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 16．下列各式中，运算正确的是（     ） A． B． C． D． 17．多项式的值（     ） A．与x、y、z的大小都无关 B．与x、y的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与y、z的大小无关 D．与x、y、z的大小都有关 19．若与的和仍是单项式，则__________． 20．如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ . 21．定义一种新运算“※”，规定：．若，则______． 22．合并同类项： (1)； (2)． 23．按要求完成下列小题： (1)合并同类项：； (2)先合并同类项，再求代数式的值：，其中． 24．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，计算_________； (2)已知，，求代数式的值． (3)已知，，求的值． 【题型4 或】 25．下列说法正确的是（     ） A．的系数是，次数是3 B．与是同类项 C．正有理数和负有理数统称为有理数 D． 26．下列各式，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 27．下列各式由等号左边变到右边变形错误的有（   ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．要使等式成立，内应填的项是（     ） A． B． C． D． 29．[（______）][（______）]． 30．根据去括号法则，在下面各式中填“”或“”： （）____________； （）______． 31．对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的是______． 32．化简： (1)； (2)． 33．化简： (1) (2) 34．先化简，再求值：已知，，其中，，求的值． 35．观察下列各式： ； ； ； ． (1)探索以上四个式子的变化情况，你能总结出添括号的法则吗？ (2)利用你探索出来的规律，解答下面的题目：已知，求的值． 【题型5 】 36．下列描述：①一个有理数不是整数就是分数；②几个有理数相乘，如果积为正数，那么负因数的个数是偶数个；③的底数是，指数是；④系数是；⑤单项式与多项式的和一定是多项式．其中错误的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 37．下列各式中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 38．对于整式，，，从，，0，1四个数中选出三个不同的数分别作为，，的值，构造整式，称这种操作为“添系数绝对操作”，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如：取，，，则，当时，，当时，，所以或．下列说法： ①至少存在一种“添系数绝对操作”使操作后化简的结果为常数； ②若为单项式，则一共有6种“添系数绝对操作”； ③若，则“添系数绝对操作”的结果一共有8种． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 39．有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，则_________ ． 40．有三张同样的卡片各写着一个正整数，这三个互不相等的数分别是，，．（）从这三张卡片中任取两张，记录的两个数之差的绝对值为m，并将m与剩余的一张卡片上的数作差，记这个差的绝对值为k． （1）若三个数是5，4，3，且5和4先被取出，则________； （2）若，且k的最小值为6，则的最大值为________． 41．对于一组整式：，，，，在每个式子前分别添加“”或“”号后求和，再求和的绝对值，称此操作为“代数和绝对值”操作．例如，依次添加“，，，”进行“代数和绝对值”操作，结果为．若存在一种“代数和绝对值”操作，使得操作后化简的结果为常数，则此常数是______；设为按照“，，，”进行“代数和绝对值”操作的结果，为按照“，，，”进行“代数和绝对值”操作的结果，令．若有理数，满足，则的最小值为______． 42．有理数在数轴上的位置如图所示： (1)______0，______0，______0． (2)化简：． 43．已知代数式： (1)若，求代数式C； (2)在（1）的条件下，若，，求代数式C的值； (3)若代数式的值与x的取值无关，求y的值． 44．已知，求多项式的值． 小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以．所以． 所以多项式的值为5． (1)若多项式的值为6，则多项式的值为___________； (2)当时，的值为11，当时，求的值； (3)若，，求多项式的值． 45．【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离，请根据数轴解决以下问题： (1)数轴上表示数和的两点之间的距离是_________；（用含的式子表示） (2)若，则的值为_________； (3)当取最小值时，可以取正整数_________； (4)当_________时，的值最小，最小值为_________； (5)一条东西向笔直的公路边有三个居民区和市民广场，居民区分别位于市民广场西侧，东侧，东侧．居民区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人，现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递，若快递的运输成本为元（千份千米），假设每位居民有1份快递，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【题型6 】 46．已知，，且的值与、的取值无关，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 47．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 48．化简：_______；当 ， 时，这个代数式的值是_______；_______． 49．定义一种新运算，观察下列算式： ；；；． 请你填一填． __________；__________； 若，则__________． 50．已知，，求的值，其中，． 51．按要求完成下列各题： (1)已知：关于的多项式中，不含与的项．求代数式的值． (2)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值（用含的式子表示）． 52．已知，． (1)化简结果按的降幂排列； (2)若的值与字母的取值无关，求、的值； (3)在(2)的条件下，当时，求的值． 53．父亲看到嘉悦在做一道数学题：“化简：”．请帮助嘉悦完成下面这两个任务，并说明理由． (1)父亲说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能得到a的值么？” (2)父亲又说：“若代入，则这个式子的值是，你能求出a的值么？” 【题型7 】 54．若多项式中不含和项，则、的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 55．代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 56．当______时，关于，的多项式中不含项． 57．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则 ______． 58．已知整式A和B满足：，． (1)求整式A； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 59．已知关于x的多项式A和B，其中（m，n为常数），． (1)若多项式A的值与字母x的取值无关，求m、n的值； (2)当，时，求； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 60．如图①，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图②，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是的倒数． (1)______，______，______． (2)x是数轴上任意一个有理数，则的最小值是______． (3)如图③，E，F，G是数轴上的三点，点E表示的数是，点F表示的数是，点G表示的数是6，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设运动后，点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【题型8 】 61．下列选项中，能用表示的是（     ） A．整条线段的长度 B．整条线段的长度 C．这个图形的面积 D．这个长方形的周长 62．如图，圆的面积为，五边形的面积为，两个图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为（     ） A．9 B． C． D． 63．“幻圆”是古老的数学问题，将，，，，，，，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的个数字之和都相等，其中，，，已填入如图所示的位置，则图中的值为______． 64．已知是荣荣做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了题上，刚好遮住了一项（阴影部分），那么被墨水遮住的一项是________． 65．观察图形，回答下列问题： (1)用含的代数式表示边的长度：____________； (2)用含，的代数式，表示阴影部分的周长为______，面积为______； (3)当，时，求阴影部分的周长和面积． 66．甘肃省陇南市成县、徽县木偶戏（又称“木脑壳戏”）是甘肃省非物质文化遗产，也是陇南市特色戏．木偶戏属于民间小戏剧种，是秦腔的一种古老的表演形式，已经有数百年的历史，主要活跃于城乡舞台．如图，某地计划在一块长方形公园空地上修建两个长方形木偶戏戏台（阴影部分）． (1)用含m，n的代数式表示木偶戏戏台的面积： ________平方米，________平方米； (2)如果修建戏台的费用为200元/平方米，当米，米时，求修建戏台需要的总费用． 67．关于3的倍数探究题． 阅读以下材料，完成相应探究任务： 材料：已知一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． 例如：设一个两位数的十位数字为 ，个位数字为 （其中，），通常记这个两位数为，则这个两位数可表示为： 可将其变形为： 显然能被3整除，因此当能被3整除时，就能被3整除，即能被3整除． (1)探究任务一：三位数的情形 设一个三位数的百位、十位、个位数字分别为 、、（其中，，），仿照两位数的表示方法，这个三位数可表示为： ； 可将其变形为： ； (2)探究任务二：五位数的证明 对于任意正整数，我们发现的所有数位上的数字都是9，例如，，因此一定是9的倍数，从而也是3的倍数． 设一个五位数为：（），记该五位数为N，已知． 求证：N能被3整除． 【题型9 】 68．若整数a、b、c、d满足，且，则的值是（     ） A．0 B．2 C．10 D．12 69．已知，，的大小关系如图所示，则下列各式： ①；②；③；④； 其中正确的有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 70．如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为，且是的中点．如果，那么原点的位置在_____．（填序号） ①线段上；②线段的延长线上；③线段上；④线段的延长线上． 71．已知非零有理数 a，b，c，满足 ，则 ______． 72．已知，，在数轴上的位置如下图，且． (1)__________0，___________0．（请用“>”，“<”填空）； (2)化简：． 73．材料一：我们知道，在数轴上，表示数a对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地来说，数轴上两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，那么A、B两点之间的距离为：． 材料二：若有理数x，a，b满足，则我们称x是关于a，b的“友好数”．例如：∵，∴5是关于2和10的“友好数”． (1)若m是关于4，12的“友好数”，则m的值可能为下列哪些数_______ （填序号）； ①1；         ②5；         ③9；             ④13． (2)若m是关于1，5的“友好数”，则_________； (3)数轴上有两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，且它们在表示数4的点同侧，当4是关于a，b的“友好数”时，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 整式的加法与减法（期中重难点复习） 【新教材人教版七年级上册】 题型归纳 【题型1 同类项的判断】 1 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 3 【题型3 合并同类项】 6 【题型4 去括号或添括号】 10 【题型5 整式的加减运算】 15 【题型6 整式的加减中的化简求值】 24 【题型7 整式加减中的无关型问题】 29 【题型8 整式加减的应用】 34 【题型9 带有字母的绝对值化简问题】 39 【题型1 】 1．下列各式与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与所含字母相同，但是字母m的指数不相同，二者不是同类项； B、与所含字母相同，但是字母m的指数不相同，字母n的指数也不相同，二者不是同类项； C、与所含字母相同，但是字母m的指数不相同，二者不是同类项； D、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，二者是同类项． 2．下列各组中的两项，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】同类项与系数无关，从所含字母、相同字母的指数两方面判断各选项． 【详解】解：A选项与、C选项与中，相同字母的指数均不同，不是同类项； B选项中与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项； D选项中是常数项，含字母，不是同类项． 3．下列各组中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D． 与 【答案】C 【详解】解：中的指数是，的指数是；中的指数是，的指数是，相同字母指数不同，故A项不是同类项； 含字母、；只含字母，所含字母不同，故B项不是同类项； 与，所含字母都是、，的指数都是，的指数都是，故项是同类项； 含字母；含字母，所含字母不同，故D项不是同类项． 4．写出代数式的一个同类项_____． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，解题关键是熟练掌握同类项的定义，根据同类项的概念写出符合条件的单项式即可， 【详解】解：依题意，是代数式的一个同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 5．已知单项式3ab2，请写出一个它的同类项为________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查同类项的定义，同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式．关键是抓住“所含字母相同、相同字母的指数相同”这两个核心条件，只要改变原单项式的非零系数，即可得到它的同类项． 【详解】解：根据同类项的定义，所含字母为、，且的次数为1，的次数为2的单项式都与是同类项，例如； 故答案为：(答案不唯一)． 6．下列合并同类项是否正确？若不正确，请改正： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确，改正为． (2)不正确，与不是同类项，不能合并． (3)不正确，改正为． (4)正确 【分析】先判断各小题中的项是否为同类项，再根据合并同类项的规则验证计算是否正确，错误的予以改正． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：，原式正确． 【题型2 】 7．已知代数式是同类项，那么的值是（     ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据同类项中相同字母的指数相同求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴的值是． 8．已知整式与的和是一个单项式，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】两个整式的和为单项式，则二者为同类项，需根据同类项的定义求出,的值，再代入计算． 【详解】解：∵ 整式与的和是单项式， ∴ 两个整式为同类项，相同字母的指数分别相等， ∴ ，． 解得 ，． ∴ ． 9．如果，那么的值分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个单项式为同类项，且相同字母的指数与结果中对应字母的指数相等，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴ ，， 解得 ，． 10．若与 是同类项，则__________． 【答案】5 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，据此可直接得出、的取值，代入计算即可得到的结果． 【详解】解：同类项要求相同字母的指数相同，故 ，， ∴． 11．若单项式与是同类项，则______． 【答案】4 【分析】根据同类项的定义，相同字母的指数对应相等，据此求出的取值，再计算的结果． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴相同字母的对应指数相等， 对于字母，有，解得， 对于字母，有， ∴． 12．若 与可以合并成一项，则的值是______． 【答案】8 【分析】根据同类项定义可得，然后可得的值，进而可得的值． 【详解】解：∵ 与可以合并成一项， ∴ 与是同类项， ∴， 解得， 则． 13．k取何值时，与是同类项？ 【答案】 【分析】根据同类项的特征，利用相同字母的指数相等建立等式求解k． 【详解】解：∵与是同类项， ∴字母的指数相等， ∴． 14．已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由． 【答案】或，理由见解析 【分析】根据题意，三个单项式的和仍是单项式，可知其中必有两个是同类项，且这两个同类项的和为0，剩下第三个单项式，据此分情况讨论求出的值即可。． 【详解】解：或， 理由：∵单项式，，相加得到的和仍然是单项式， ∴其中必有两个单项式是同类项，且这两个同类项的和为0， ∴，是同类项相加等于零或，是同类项相加等于零， ∴或． 【题型3 】 15．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误； B.，故本选项计算错误； C.，故本选项计算正确； D.，故本选项计算错误． 16．下列各式中，运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式的运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，错误； B、，错误； C、，正确； D、，错误． 17．多项式的值（     ） A．与x、y、z的大小都无关 B．与x、y的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与y、z的大小无关 D．与x、y、z的大小都有关 【答案】B 【分析】对多项式去括号、合并同类项化简，根据化简结果判断与字母取值的关系． 【详解】解： ． ∵ 化简结果含字母,，不含字母， ∴ 多项式的值与,的大小有关，与的大小无关． 18．如果单项式与的差是单项式，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个单项式的差为单项式，则二者为同类项，即相同字母的指数对应相等，据此求出,的值后代入计算乘方即可． 【详解】解：∵单项式与的差是单项式， ∴二者为同类项， ∴，， 解得，， ∴， ∴． 19．若与的和仍是单项式，则__________． 【答案】5 【分析】两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，相同字母的指数必须分别相等． 【详解】解：由题意得，，所以． 20．如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ . 【答案】13 【详解】解：由题意得：单项式 与 是同类项， ∴，， 解得， ∴． 21．定义一种新运算“※”，规定：．若，则______． 【答案】 【分析】根据新运算规则化简所求式子，再将已知条件整体代入计算． 【详解】解：由新运算规则，得 ∵， ∴． 22．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．按要求完成下列小题： (1)合并同类项：； (2)先合并同类项，再求代数式的值：，其中． 【答案】(1) (2)合并同类项后的结果为，代数式的值为 【详解】（1）解：； （2）解： ， 当时，原式 ． 24．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，计算_________； (2)已知，，求代数式的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把看成一个整体，合并同类项时仅对整体前的系数进行加减运算，整体部分保持不变； （2）去括号化简代数式，整理为含已知式的形式，整体代入求值； （3）将所求代数式拆分为含已知式的形式，整体代入求值． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 【题型4 或】 25．下列说法正确的是（     ） A．的系数是，次数是3 B．与是同类项 C．正有理数和负有理数统称为有理数 D． 【答案】A 【分析】逐一核对：选项确认的数字系数为、字母指数和为3即次数为3，选项对比与的相同字母指数判断是否符合同类项定义，选项对照有理数的完整分类标准判断是否遗漏0，选项依据去括号法则验证的去括号变形是否正确，即可得出所有选项的正误结论． 【详解】解：∵的系数是，次数是， ∴正确； ∵与的相同字母指数不相同， ∴错误； ∵正有理数、0、负有理数统称为有理数， ∴错误； ∵， ∴错误． 26．下列各式，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住去括号的两个核心要点：括号前为负号时内部各项均变号，括号前的系数需乘遍括号内所有项． 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 27．下列各式由等号左边变到右边变形错误的有（   ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据去括号法则逐项判断变形是否正确，统计错误个数即可，用到的去括号法则为，括号前为负号时，去括号后括号内每一项都要变号，括号前有系数时，系数需乘括号内的每一项． 【详解】解：① ∵，与等式右边不相等，∴ ①变形错误； ② ∵，与等式右边不相等，∴ ②变形错误； ③ ∵，与等式右边不相等，∴ ③变形错误； ④ ∵，与等式右边相等，∴ ④变形正确； 综上，错误的变形共有3个． 28．要使等式成立，内应填的项是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对等式左边去括号，再调整式子形式与右边对比，即可求出内的项． 【详解】解：， 对比，得． 29．[（______）][（______）]． 【答案】 【分析】把看作一个整体，利用添括号法则对右式变形即可求解． 【详解】解：把看作整体，根据添括号法则，等式右边得， ． 30．根据去括号法则，在下面各式中填“”或“”： （）____________； （）______． 【答案】 【分析】当括号前为正号，去括号后各项符号不变，当括号前为负号，去括号后各项改变符号，据此解答即可． 【详解】解：（）； （）． 31．对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是注意可以添加1个括号，也可以添加2个括号．根据括号前是“”，添括号后，各项的符号都不改变判断①；根据相反数判断②；通过列举判断③． 【详解】解∶①如， ，故①符合题意； ②的相反数为，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故②符合题意； ③第1种∶ ； 第2种∶； 第3种∶； 第4种∶； 第5种∶； 第6种∶； 第7种∶； 第8种∶；故③符合题意； 故答案为∶①②③ ． 32．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照合并同类项法则，系数相加，字母和字母的指数不变进行化简． （2）先去括号，注意括号前面是负号时括号内各项变号，再找出同类项合并化简． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 33．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 34．先化简，再求值：已知，，其中，，求的值． 【答案】化简结果：;  值： 【分析】先去括号、合并同类项把式子化为最简形式，再代入数值计算．注意先化简再代入可避免复杂计算；代入负数或分数时要加括号，按运算顺序计算． 【详解】解：先合并同类项：． 去括号并合并： 代入、： 当，时： 35．观察下列各式： ； ； ； ． (1)探索以上四个式子的变化情况，你能总结出添括号的法则吗？ (2)利用你探索出来的规律，解答下面的题目：已知，求的值． 【答案】(1)添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 (2) 【分析】（1）注意观察等号两边的变化，等号右边添加了括号，然后观察符号的变化即可； （2）将所求式子添加括号变形为含有和的形式，然后再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵， ∴ ． 【题型5 】 36．下列描述：①一个有理数不是整数就是分数；②几个有理数相乘，如果积为正数，那么负因数的个数是偶数个；③的底数是，指数是；④系数是；⑤单项式与多项式的和一定是多项式．其中错误的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有理数的分类、多个有理数乘法运算、有理数幂的概念、单项式的系数以及多项式的判断等知识点，对描述逐一进行判断． 【详解】解：①有理数分为整数和分数，描述正确； ②积为正数，说明相乘的有理数均不为，负因数个数为偶数，描述正确； ③的底数是，描述错误； ④的系数是，描述错误； ⑤单项式与多项式的和可能为单项式，如，描述错误． 综上所述，错误的描述共有个． 37．下列各式中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据去括号，添括号法则，解答即可. 解：A选项：，原题解答正确，不符合题意； B选项：，与等式右边不相等，原题解答错误，符合题意； C选项：，原题解答正确，不符合题意； D选项：，原题解答正确，不符合题意． 38．对于整式，，，从，，0，1四个数中选出三个不同的数分别作为，，的值，构造整式，称这种操作为“添系数绝对操作”，并将绝对值化简后的结果记为“”，例如：取，，，则，当时，，当时，，所以或．下列说法： ①至少存在一种“添系数绝对操作”使操作后化简的结果为常数； ②若为单项式，则一共有6种“添系数绝对操作”； ③若，则“添系数绝对操作”的结果一共有8种． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将整理为的形式，其中，，再逐一分析三个说法. 【详解】解：由题意得，记，，则，化简结果为或，是从中选的三个不同的数， ① 若化简结果为常数，则，即， 取，则，，为常数，故①正确； ② 若为单项式，则为单项式，分两种情况： （常数单项式）：， 当时，，则为和，共种排列； 当时，，则为和，共种排列； 当或时，无符合条件的，共种操作； （一次单项式）：，即， 仅符合，此时可选，共种操作， 两种情况无重叠，总共有种操作，故②正确； ③ 若，则从个数中选个按从小到大排列，共组： ：，化简结果为，共种； ：，化简结果为，共种； ：，化简结果为，共种； ：，化简结果为，共种， 总共有种结果，故③错误， 综上，正确的有个. 39．有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，则_________ ． 【答案】 【分析】先根据数轴判断字母大小，然后判断绝对值中式子的正负，再去掉绝对值符号，合并化简． 【详解】解：据题图可知，， 则，， 故． 40．有三张同样的卡片各写着一个正整数，这三个互不相等的数分别是，，．（）从这三张卡片中任取两张，记录的两个数之差的绝对值为m，并将m与剩余的一张卡片上的数作差，记这个差的绝对值为k． （1）若三个数是5，4，3，且5和4先被取出，则________； （2）若，且k的最小值为6，则的最大值为________． 【答案】 2 13 【分析】（1）根据题目定义直接计算k的值； （2）根据题目定义直接计算k的值，再枚举所有取卡片的场景，化简三个k的表达式，结合k的最小值为6的约束推导a与b的关系，进而求解的最大值． 【详解】解：（1）取出5和4，则，剩余卡片为3， 故； （2）任取两张卡片共有三种取法，分别对应三个k值： ① 取a和b，剩余，则，故； ② 取a和c，剩余b，，故； ③ 取b和c，剩余a，，故； ∵，三个数为互不相等的正整数，，分情况化简： 当时，． 若，则，此时， 故k的最小值为，即或， 此时，b最小为9，对应最大值为． 若，则，此时k的最小值为6，分两种可能： 若，即， ∵， ∴， 此时，解得，与矛盾，无符合条件的解． 若，即或，需满足： 当时，，代入得，对所有正整数成立， 此时，b最小为1，对应最大值为． 当时，， ∵， ∴， 即，此时． 当时，，此时，无法满足k的最小值为6，无符合条件的解． 综上，的最大值为13． 41．对于一组整式：，，，，在每个式子前分别添加“”或“”号后求和，再求和的绝对值，称此操作为“代数和绝对值”操作．例如，依次添加“，，，”进行“代数和绝对值”操作，结果为．若存在一种“代数和绝对值”操作，使得操作后化简的结果为常数，则此常数是______；设为按照“，，，”进行“代数和绝对值”操作的结果，为按照“，，，”进行“代数和绝对值”操作的结果，令．若有理数，满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】第一问要使操作结果为常数，需的系数和为，计算得到满足条件的结果为；第二问先求出的最小值，再结合绝对值的性质得到各变量的取值范围，进而计算目标式的最小值． 【详解】解：（1）使操作后化简的结果为常数，即使的系数为， 有， 此常数为； （2）， ， 因此， 分区间化简得： 当时，； 当时，； 当时，； 因此的最小值为，仅当时取最小值， 根据绝对值的性质： ，当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号， 因此，题目等式等于，故等号成立，得，，， 求的最小值，代入，当取最小值，取最小值时，原式最小为 ． 42．有理数在数轴上的位置如图所示： (1)______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据数轴的性质可得，再根据加法、减法法则即可得； （2）结合（1）的结论，先化简绝对值，再计算整式的加减法即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，． （2）解：由（1）可知，，，， ∴ ． 43．已知代数式： (1)若，求代数式C； (2)在（1）的条件下，若，，求代数式C的值； (3)若代数式的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，即可； （2）把，代入（1）中结果进行计算即可求解； （3）把变形为，再令x的系数为0，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：当，时， （3）解：， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：． 44．已知，求多项式的值． 小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以．所以． 所以多项式的值为5． (1)若多项式的值为6，则多项式的值为___________； (2)当时，的值为11，当时，求的值； (3)若，，求多项式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知等式求出的值，将目标多项式变形为含的形式，整体代入计算． （2）将代入已知多项式得到的值，将代入目标多项式后变形为含的形式，整体代入计算． （3）将目标多项式拆分为含已知两个代数式的组合，整体代入已知值计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵当时，， ∴，即， 当时， ． （3）解：∵，， ∴． 45．【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离，请根据数轴解决以下问题： (1)数轴上表示数和的两点之间的距离是_________；（用含的式子表示） (2)若，则的值为_________； (3)当取最小值时，可以取正整数_________； (4)当_________时，的值最小，最小值为_________； (5)一条东西向笔直的公路边有三个居民区和市民广场，居民区分别位于市民广场西侧，东侧，东侧．居民区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人，现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递，若快递的运输成本为元（千份千米），假设每位居民有1份快递，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)，； (5)菜鸟驿站建在之间能使总运输成本最低，最低成本是元． 【分析】根据绝对值的几何意义即可求解； 由可知，数轴上表示数和的两点之间的距离为，然后进行有理数加减运算即可； 由表示数到数的距离之和，则当时，取最小值，然后求出正整数即可； 由表示数到数、、之间的距离之和，当时，的值最小，然后求出两点之间距离即可； 设菜鸟驿站在处，则运输成本为，再通过绝对值的几何意义即可得出菜鸟驿站建在之间能使总运输成本最低，然后通过有理数乘法即可求出最低成本． 【详解】（1）解：由绝对值的几何意义可知，数轴上表示数和的两点之间的距离是； （2）解：由可知，数轴上表示数和的两点之间的距离为， ∴或； （3）解：由表示数到数的距离之和， ∴当时，取最小值， ∵是正整数， ∴； （4）解：由表示数到数、、之间的距离之和， ∴当时，的值最小，最小值为； （5）解：设菜鸟驿站在处，则运输成本为元， ∵的几何意义为数到数、、、、、的距离之和， ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本是（元）， ∴菜鸟驿站建在之间能使总运输成本最低，最低成本是元． 【题型6 】 46．已知，，且的值与、的取值无关，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先化简，根据其值与、无关，令含、的项的系数为，求解、后代入计算． 【详解】解：， ， ， ， ∵ 的值与、的取值无关， ∴ ，， 解得 ，， ∴ ． 47．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∴ ． 48．化简：_______；当 ， 时，这个代数式的值是_______；_______． 【答案】 7 【详解】解： 当，时，代入得：； ． 49．定义一种新运算，观察下列算式： ；；；． 请你填一填． __________；__________； 若，则__________． 【答案】 0 9 【分析】归纳已知算式的新运算规则，观察已知算式，可总结新运算的通用规则为：运算结果等于前一个数的4倍加上后一个数．依次代入计算，利用整体代入求解最后一空，即可求解． 【详解】解： ．． ∵ ∴． 等式两边同时除以2，得． ． 50．已知，，求的值，其中，． 【答案】 【分析】先把已知代入，利用去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把，代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 51．按要求完成下列各题： (1)已知：关于的多项式中，不含与的项．求代数式的值． (2)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先合并同类项，根据不含、项得到、，求出，再化简代数式，代入计算得到结果 45． （2）先把代入式子得到，再将代入，利用奇次幂符号改变，整体代换，算出代数式的值为． 【详解】（1）解： 先整理多项式， ∵ 多项式不含与的项， ∴ ，， ∴ ，， 化简代数式： ， 把，代入得： 原式 ． （2）解： 当时， ， ∴ ， 当时， ， 把代入得： 原式 ． 52．已知，． (1)化简结果按的降幂排列； (2)若的值与字母的取值无关，求、的值； (3)在(2)的条件下，当时，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）将、代入，去括号合并同类项后按的降幂排列． （2）多项式的值与取值无关，则含的各次项系数为0，列方程求解． （3）将、的值和代入化简后的式子计算． 【详解】（1）解：由题意得，． （2）∵的值与字母的取值无关． ∴含的二次项和一次项的系数均为0． 即，． 解得， （3）在（2）的条件下，． 当时，． 53．父亲看到嘉悦在做一道数学题：“化简：”．请帮助嘉悦完成下面这两个任务，并说明理由． (1)父亲说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能得到a的值么？” (2)父亲又说：“若代入，则这个式子的值是，你能求出a的值么？” 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对原式进行去括号，合并同类项，根据最后的答案为常数，可知的系数为0，从而求出a的值． （2）将代入化简后的式子中，得到一个关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ∵标准答案是常数， ∴ 解得：． （2）由（1）可知：原式，把代入， 得：， 解得：． 【题型7 】 54．若多项式中不含和项，则、的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵多项式不含项和项， ∴，． 解得，． 55．代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【答案】D 【详解】解：原式 ， ∴ 不论取何值，原式都等于． 56．当______时，关于，的多项式中不含项． 【答案】 【分析】先合并同类项，再根据多项式不含项，即合并同类项后项的系数为，列式求出的值即可． 【详解】解：， ∵多项式中不含项， ∴项的系数为， 即， 解得． 57．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则 ______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用代数式表示，整式加减中的无关问题，先求出，再设经过t秒，即可表示出，， 然后分两种情况：若时，可知，接下来根据当可得答案；若时，根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点表示的数是，点表示的数是4， 设经过t秒，则，， 若时， ， 当时，即时，的值不随着t的变化而变化； 若时， ， 当时，即时，的值不随着t的变化而变化． 所以若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则或． 故答案为：或． 58．已知整式A和B满足：，． (1)求整式A； (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）对于求整式A的问题，突破口是已知A和B的关系式，因为要得到A的表达式，所以对该式变形得到，再将已知的B的表达式代入，通过整式的加减运算即可得到A． （2）对于求b的值的问题，首先需要计算的表达式，将得到的A和已知的B代入后，合并同类项整理为关于a的多项式形式；如果多项式的值与a的取值无关，那么a的一次项系数为0，据此列方程求解即可得到b的值． 【详解】（1）解：∵已知等式 ， ∴移项可得： ， ∵ ， ∴代入上式： ． （2） 解：将A、B的表达式代入得： ， ∵ 的值与a的取值无关， ∴含a的项的系数必须为0， 即：， 解得 ． 59．已知关于x的多项式A和B，其中（m，n为常数），． (1)若多项式A的值与字母x的取值无关，求m、n的值； (2)当，时，求； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据多项式与取值无关的条件，令含的项系数为0，列方程求解； （2）先化简多项式，代入m、n的取值后，结合的表达式计算； （3）将看作整体，利用已知方程求整体值，代入计算． 【详解】（1）解：先化简多项式： ， ∵多项式的值与的取值无关， ∴项与项的系数均为0，即， 解得； （2）解：当，时， 代入的表达式得：， ∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴． 60．如图①，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图②，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是的倒数． (1)______，______，______． (2)x是数轴上任意一个有理数，则的最小值是______． (3)如图③，E，F，G是数轴上的三点，点E表示的数是，点F表示的数是，点G表示的数是6，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设运动后，点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【答案】(1)；； (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据有理数相关知识，即可获得答案； （2）根据的范围分类讨论即可； （3）先分别用含的代数式表示出与，再根据的范围去掉绝对值符号，根据的值是一个定值求出m的值． 【详解】（1）解：对于：是3的相反数，所以； 对于：最大的负整数是，所以； 对于：c是的倒数，所以； （2）解：当时，， 因为， 故； 当时，； 当时，， 因为， 故； 综上，当时，的最小值为； （3）解：点初始表示，向左运动（速度2单位/秒），秒后表示的数为， 点初始表示，向右运动（速度3单位/秒），秒后表示的数为， 点初始表示，向右运动（速度1单位/秒），秒后表示的数为， 根据计算与， ，， 当时，，， ， 由于的值是定值，所以， 解得； 当时，，， ， 由于的值是定值，所以， 解得； 综上，当时，；当时，． 【题型8 】 61．下列选项中，能用表示的是（     ） A．整条线段的长度 B．整条线段的长度 C．这个图形的面积 D．这个长方形的周长 【答案】D 【分析】根据题意列出代数式即可． 【详解】解：A：整条线段的长度为； B：整条线段的长度为； C：这个图形的面积为； D：这个长方形的周长为． 62．如图，圆的面积为，五边形的面积为，两个图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为（     ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】设重叠部分的面积为，用含的式子表示和，作差即可． 【详解】解：设重叠部分的面积为，则，， 所以． 63．“幻圆”是古老的数学问题，将，，，，，，，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的个数字之和都相等，其中，，，已填入如图所示的位置，则图中的值为______． 【答案】或 【分析】先计算所有数的和，结合两个圆周上的数字之和相等求出公共和，再利用竖直径上的数字之和求出的值，然后根据剩余数字确定的可能值，最后代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得，这八个数的和为：， ∵两个圆周上的个数字之和相等且包含所有个数， ∴横、竖直径与两个圆周上的个数字之和均为， ∵竖直径上的个数字之和为， ， ∴， 设内圆左侧圆圈内的数为，外圆左侧圆圈内的数为， ∵内圆周上的个数字之和为， ， ∴， 此时已填入的数字为，剩余的数字为， ∴外圆左侧圆圈内的数与分别为或， 当时，； 当时，； 综上所述，图中的值为或． 64．已知是荣荣做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了题上，刚好遮住了一项（阴影部分），那么被墨水遮住的一项是________． 【答案】 【分析】根据题意得出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解： ， 所以被墨水遮住的一项是． 65．观察图形，回答下列问题： (1)用含的代数式表示边的长度：____________； (2)用含，的代数式，表示阴影部分的周长为______，面积为______； (3)当，时，求阴影部分的周长和面积． 【答案】(1) (2)， (3)阴影部分的周长为，面积为 【分析】（1）由图形可得，，根据整式的加减，化简，即可； （2）将阴影部分的边逐个相加即可得出阴影部分的周长，阴影部分的面积由大长方形的面积减去小长方形的面积，即，即可； （3）把，代入阴影部分的周长的代数式和阴影部分的面积的代数式，即可． 【详解】（1）解：由图形可得，． （2）解 ：阴影部分的周长为：； 阴影部分的面积为：． （3）解：把，代入阴影部分的周长的代数式为：； 把，代入阴影部分的面积的代数式为：． 66．甘肃省陇南市成县、徽县木偶戏（又称“木脑壳戏”）是甘肃省非物质文化遗产，也是陇南市特色戏．木偶戏属于民间小戏剧种，是秦腔的一种古老的表演形式，已经有数百年的历史，主要活跃于城乡舞台．如图，某地计划在一块长方形公园空地上修建两个长方形木偶戏戏台（阴影部分）． (1)用含m，n的代数式表示木偶戏戏台的面积： ________平方米，________平方米； (2)如果修建戏台的费用为200元/平方米，当米，米时，求修建戏台需要的总费用． 【答案】(1)， (2)元 【分析】（1）根据长方形的面积公式计算即可得出结果； （2）先求出修建戏台的总面积，再结合修建戏台的费用为200元/平方米，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得平方米，平方米； （2）解：修建戏台的总面积为（平方米）， ∵修建戏台的费用为200元/平方米， ∴当米，米时，修建戏台需要的总费用为（元）． 67．关于3的倍数探究题． 阅读以下材料，完成相应探究任务： 材料：已知一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． 例如：设一个两位数的十位数字为 ，个位数字为 （其中，），通常记这个两位数为，则这个两位数可表示为： 可将其变形为： 显然能被3整除，因此当能被3整除时，就能被3整除，即能被3整除． (1)探究任务一：三位数的情形 设一个三位数的百位、十位、个位数字分别为 、、（其中，，），仿照两位数的表示方法，这个三位数可表示为： ； 可将其变形为： ； (2)探究任务二：五位数的证明 对于任意正整数，我们发现的所有数位上的数字都是9，例如，，因此一定是9的倍数，从而也是3的倍数． 设一个五位数为：（），记该五位数为N，已知． 求证：N能被3整除． 【答案】(1) ； (2) 证明：由题意得， 变形得： ∵ 是3的倍数， ∴ 、、、均能被3整除， ∵ ，9能被3整除， ∴ 能被3整除． 【分析】（1）仿照两位数的表示与变形逻辑，将三位数按数位展开，拆分出3的倍数项与数位和； （2）将五位数按数位展开，利用是3的倍数的结论，结合数位和为9的条件证明整除． 【详解】（1）解：仿照两位数的数位表示方法，三位数的百位为、十位为、个位为， 故， 参照材料的变形方式，拆分出3的倍数项，得：． （2）解：略． 【题型9 】 68．若整数a、b、c、d满足，且，则的值是（     ） A．0 B．2 C．10 D．12 【答案】D 【分析】25的正因数不足4个，需结合负因数凑出4个不同整数，再根据大小关系确定各值代入计算． 【详解】解：∵为不同整数，且， 又∵25的整数因数为， ∴满足乘积为25的四个不同整数只能是， ∵， ∴，，，， ∴． 69．已知，，的大小关系如图所示，则下列各式： ①；②；③；④； 其中正确的有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据数轴确定 的正负性，利用有理数乘法法则、减法法则及绝对值的性质逐项判断. 【详解】解：由数轴可知 ， ①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③正确； ④，故④正确. 综上所述，正确的有2个. 70．如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为，且是的中点．如果，那么原点的位置在_____．（填序号） ①线段上；②线段的延长线上；③线段上；④线段的延长线上． 【答案】① 【分析】由中点的性质得，原等式化简为，当a，b同号时，，推出，与矛盾，从而得出a，b异号，再结合，得出，． 【详解】解：是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 当a，b同号时，，则， 可得，即，与矛盾，不合题意； 故a，b异号， 结合数轴可得， 又， ， ， ， ， 原点的位置在①线段上． 71．已知非零有理数 a，b，c，满足 ，则 ______． 【答案】 【分析】对于任意非零有理数，只能取1或，正数对应1，负数对应，根据已知和为1判断中正负个数，即可计算所求式子． 【详解】解：对于任意非零有理数，若，则，若，则， ∵， ∴中必有2个正数，1个负数， ∴， ∴， ∴． 72．已知，，在数轴上的位置如下图，且． (1)__________0，___________0．（请用“>”，“<”填空）； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）多个有理数相乘，符号取决于负号的个数，遵循奇负偶正的原则；两个异号的有理数相加，取绝对值大的符号； （2）减去一个数等于加上这个数的相反数，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，去掉绝对值符号化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知：，，，， ∴，； （2）解：，，， ，，， ． 73．材料一：我们知道，在数轴上，表示数a对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地来说，数轴上两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，那么A、B两点之间的距离为：． 材料二：若有理数x，a，b满足，则我们称x是关于a，b的“友好数”．例如：∵，∴5是关于2和10的“友好数”． (1)若m是关于4，12的“友好数”，则m的值可能为下列哪些数_______ （填序号）； ①1；         ②5；         ③9；             ④13． (2)若m是关于1，5的“友好数”，则_________； (3)数轴上有两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，且它们在表示数4的点同侧，当4是关于a，b的“友好数”时，求的值． 【答案】(1)②③ (2)或 (3)的值为或 【分析】（1）根据“友好数”定义，分别计算即可判断； （2）由题意可得，分、、三种情况，即可求解； （3）由是关于，的“友好数”，可得，再根据点、在的同侧，分，、，两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，，故1不是关于4，12的“友好数”； ②当时，，故5是关于4，12的“友好数”； ③当时，，故9是关于4，12的“友好数”； ④当时，，故13不是关于4，12的“友好数”； 综上所述，符合条件的为②③． （2）解：由题意得，， 当时，则， 解得，符合； 当时，则， ∴无符合条件的； 当时，则， 解得，符合； 综上所述，或． （3）解：∵ 是关于，的“友好数”， ∴ ， ∵ 点、在的同侧， ∴①当，时，， 化简得； ②当，时，， 化简得； 综上所述，的值为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $