精品解析：甘肃定西市安定区城区学校联考2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

安定区城区2026—2027学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某校八年级师生准备前往象山茶园开展研学活动，每班需要准备一个三角形的班旗．下列给出的三个数据中，能实现三角形班旗制作的是（ ） A. 3，4，8 B. 3，4，7 C. 5，6，10 D. 5，6，11 3. 如图，在中，，是的角平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，他发现与全等，请你说明小华得到全等的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是中的平分线，，交于点E，，交于点F，若，则的面积是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图，，点C在的垂直平分线上．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列结论：①；②和面积相等；③；④．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 点P(2，3)关于x轴的对称点的坐标为________． 12. 如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 13. 如图，，和和是对应角，若，则的长为__________． 14. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若，，则线段的长为_______． 15. 如图，在等边三角形中，于点，于点．若，则的长是_____． 16. 如图，将沿着直线 l 折叠，点C落在点D的位置，若，则的度数是_________ 三、解答题 （本题共11个小题，满分72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 在中，比大，比大， 求中各角的度数． 18. 如图，，求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中画出关于y轴对称的，并写出和的坐标． （2）在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 20. 如图，在中，完成下列问题． （1）用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 21. 如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 22. 如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 23. 如图，为外部一点，连接、，已知，． （1）尺规作图：在内求作一点，使；（保留作图痕迹，不用写做法）； （2）根据你的作图，判定的依据是___________； （3）求的度数． 24. 如图，在中，分别为的中线和高，为的平分线，分别交于点E，G． （1）若，，求的度数． （2）若的面积为40，，求的长． 25. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在斜边AB上，且AD=AC，过点B作BE⊥CD交直线CD于点E． （1）求∠BCD的度数； （2）求证：CD=2BE． 26. 【模型提出】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点，于点E，则线段，与之间满足的数量关系是__________； ②如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，，，则的长为__________． 【模型初探】 （2）如图3，四边形中，，，则的面积为__________． （3）如图4，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰．连接交延长线于点E．判断与的数量关系并证明． 【模型拓展】 （4）如图5，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，则的面积为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安定区城区2026—2027学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 某校八年级师生准备前往象山茶园开展研学活动，每班需要准备一个三角形的班旗．下列给出的三个数据中，能实现三角形班旗制作的是（ ） A. 3，4，8 B. 3，4，7 C. 5，6，10 D. 5，6，11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，解题的关键是掌握该性质定理的应用． 只需验证每个选项是否满足该条件即可． 【详解】解：对于选项A：， ∴不能组成三角形； 对于选项B：∵， ∴ 不能组成三角形； 对于选项C：∵， ∴ 能组成三角形； 对于选项D：∵， ∴ 不能组成三角形； 故选：C． 3. 如图，在中，，是的角平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线定义和直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余得，由角平分线定义得，根据直角三角形两锐角互余得 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，再根据角的和差即可求出的度数． 【详解】解：， ， ∵， ． 故选：A． 5. 小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，他发现与全等，请你说明小华得到全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由作法易得，，，由的判定定理可以得到三角形全等，从而求解． 【详解】解：在与中， ， ∴． 故选：A． 6. 如图，是中的平分线，，交于点E，，交于点F，若，则的面积是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 7. 如图，，点C在的垂直平分线上．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的判定和性质得出相等的线段，然后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴． 8. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】需分内角为顶角或底角两种情况讨论求解． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为． ①当的角为顶角时， ∴底角． ②当的角为底角时， ∴底角为． 综上，这个等腰三角形的底角为或． 9. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离；以及垂线段最短求解． 【详解】作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M． 如图， 根据两点之间，线段最短，可知选项B使牧马人所走路径最短． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”． 10. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列结论：①；②和面积相等；③；④．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】结合是的中线，可知点是边的中点，可得，所以和等底同高，据此可对②作出判断， 再利用三角形全等的判定方法可证和全等，对④作出判断， 然后由全等三角形的性质和平行线的判定定理可得与的关系． 【详解】解：∵是的中线， ∴，，②正确； 又∵，， ∴，④正确； ∴，，①正确； ∴，③正确． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 点P(2，3)关于x轴的对称点的坐标为________． 【答案】（2，－3）． 【解析】 【详解】试题分析：关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，－3）． 考点：关于x轴对称的点的坐标特征． 12. 如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 【答案】 75 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵是的外角，， ∴． 13. 如图，，和和是对应角，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出相等的线段，然后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即． 14. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若，，则线段的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质． 首先根据求出，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】如图所示，过D点作于E， ∵ ∴，即 解得 由作图可得，平分 ∵， ∴． 故答案为：4． 15. 如图，在等边三角形中，于点，于点．若，则的长是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是注意掌握数形结合思想． 由在等边三角形中，，可求得，则可求得，又由，由三线合一的知识，得出，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，是等边三角形， ， ， 故答案为：2． 16. 如图，将沿着直线 l 折叠，点C落在点D的位置，若，则的度数是_________ 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质得：，根据外角性质得：，，然后把代入计算即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 则， 则． 三、解答题 （本题共11个小题，满分72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 在中，比大，比大， 求中各角的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理列方程解决即可． 【详解】解：设，则， ， 解得：， ，，． 18. 如图，，求证：． 【答案】证明：， ， 即， 在与中， ， ． 【解析】 【分析】根据证明即可． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中画出关于y轴对称的，并写出和的坐标． （2）在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1）解：，，关于y轴的对称点分别是，画图如下： 则即为所求，． （2）解：根据题意，作图如下： 则点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据轴对称的性质，作图即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 20. 如图，在中，完成下列问题． （1）用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 如图，线段即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线和三角形内角和定理，熟练掌握基本作图，是解题的关键． （1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ， ∴． 21. 如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可得证． 【详解】略 22. 如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，以及三角形的外角定理，等腰三角形的性质． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【小问1详解】 解的垂直平分线交于点， ， ， ； 【小问2详解】 解：的周长 ， ，， 的周长． 23. 如图，为外部一点，连接、，已知，． （1）尺规作图：在内求作一点，使；（保留作图痕迹，不用写做法）； （2）根据你的作图，判定的依据是___________； （3）求的度数． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接即可得到答案； （2）①根据（1）中的尺规作图，结合全等三角形的判定定理即可得到答案； （3）结合全等三角形的判定可得，在和中，由三角形内角和定理得到、，数形结合表示出计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中尺规作图可得， 再由，结合两个三角形全等的判定定理即可得到， 故答案为：； 【小问3详解】 解：在中，由三角形内角和定理可得， 在中，由三角形内角和定理可得， ， ， ． 24. 如图，在中，分别为的中线和高，为的平分线，分别交于点E，G． （1）若，，求的度数． （2）若的面积为40，，求的长． 【答案】（1） （2）3.5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）根据中线求出，由面积求出，再由即可求解． 【小问1详解】 解：， ． 平分， 为的高， ， ； 【小问2详解】 解：为的中线，， ， ， ． 25. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在斜边AB上，且AD=AC，过点B作BE⊥CD交直线CD于点E． （1）求∠BCD的度数； （2）求证：CD=2BE． 【答案】（1）22.5°； （2）证明：作AF⊥CD交CD于点F， ∵AD=AC， ∴CF=FD=CD，∠FAD=∠CAB=22.5°， ∵∠ADC=67.5°， ∴∠BDE=67.5°， ∴∠DBE=90°-67.5°=22.5°， ∴∠CBE=45°+22.5°=67.5°， 在△AFD和△CEB中， ∴△AFD≌△CEB， ∴BE=DF， ∴CD=2BE． 【解析】 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形求出的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出的度数，最后余角的概念求值即可； （2）作AF⊥CD交CD于点F，首先根据等腰三角形三线合一得出CF=FD=CD，∠FAD=∠CAB=22.5°，进一步可证明△AFD≌△CEB，则有BE=DF，则结论可证． 【详解】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=∠B=45°， ∵AD=AC， ∴∠ACD=∠ADC==67.5°， ∴∠BCD=90°-67.5°=22.5°； （2）略 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定及性质，掌握这些性质及定理是解题的关键． 26. 【模型提出】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点，于点E，则线段，与之间满足的数量关系是__________； ②如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，，，则的长为__________． 【模型初探】 （2）如图3，四边形中，，，则的面积为__________． （3）如图4，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰．连接交延长线于点E．判断与的数量关系并证明． 【模型拓展】 （4）如图5，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，则的面积为__________． 【答案】（1）①；②3 （2）32 （3），证明如下： 如图所示，过点D作交延长线于H， ∵是等腰直角三角形，且为直角边， ∴， ∴同理可证明， ∴； ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （4）或 【解析】 【分析】（1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）过点B作交延长线于H，同（1）可证明，则，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）过点D作交延长线于H，同理可证明，得到；再证明，得到，则； （4）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：如图所示，过点B作交延长线于H， 同（1）可证明， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，过点A作于E，过点作交延长线于，如图所示： ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，过点A作于E，过点作交延长线于，如图所示： ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $