江苏苏州市黄埭中学2026-2027学年高二第一学期10月阶段性检测数学试卷

高二10月阶段性检测试卷 数学 一、单项选择题（每小题5分，共40分。） 1. 468 数列一2，，57，…的通项公式可以为() A.（-1)"2n 3(12” C.(←1n-1,2n D.(-1)+1 2n 2m+1 2n+1 2m-1 2.已知直线过点(m,√3)，(1，m+2),且倾斜角为150°，则m=()。 A.V3+1 B.4-2V3 C.-2 D.2 3.在等比数列{an}中，a1·a2·a3=27,a2十a6=15,则a4=()。 A.±6 B.-6 C.36 D.6 4. 已知等差数列{a}中，a1=-202,其前m项和为S,若202 S2022 S10 10 =2012,则S2024= ()。 A.2021 B.-2022 C.2024 D.-2023 5.已知直线l1:mx+2y-2=0与直线l2:5x+(m+3)y-5=0,若l1∥l2,则m=()。 A.-5 B.2 C.2或-5 D.5 6.设数列{an}的通项公式为an=n2-(k-5)n+1,若数列{an}是单调递增数列，则实数k的取 值范围为()。 A.（4,十∞) B.(-0,4) C.(8,+o) D.(-o,8) 7.如图的一连串直角三角形，己知 OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6=A6A7=A7A8=·=2, 4,4,A,,为直角顶点，设这些直角角形的周长从小到大组玻的数列为Q:令，二2S 为数列{bn}的前n项和，则S120=()。 A 图乙 A.9 B.10 C.11 D.12 高二数学第1页（共14页） 8.过定点A的直线(a+1)-y+2=0与过定点B的直线x+(a+1)y-5a-2=0交于点P( P与A,B不重合)，则△PAB面积的最大值为()。 A.4 B.9 C.2 D.3 2 2 二、多项选择题（每小题6分，共18分） g.已知a}满足a1=3,as41=2neN),则下列说法正确的是《）： A.a2=1 B. 1 是等差数列 an C. 2m-1 an= 3 0设aan+山的前n项和为S,则Sn三2n 10.已知数列{an}满足a1+2a2十…十2m-1an=n·2m,则(）。 A.an=n+1 B.{an}的前n项和为 n(n+2) 2 C.{(-1)ran}的前100项和为100 D.{an-5}的前30项和为357 11.己知数列{an}的通项公式是an=2m,在a1和a2之间插入1个数c11,使a1,1,a成等差数 列；在a2和a3之间插入2个数c21,c22,使a2,c21,c22,a成等差数列；··；在an和an+1之间插入n 个数nl,xn2,…,nn,使an,Enl,n2,…,n,an+1成等差数列。这样得到新数列{bn}: a1,C11,a2,21,C22,a3,E31,E32,C33,a4···· 记数列{bn}的前n项和为Sn,则()。 A.as=b36 B.an+xn1+xn2+·+xnn+an+1=3n·2m-1 C.b38=320 D.S45=6401 三、填空题（每小题5分，共15分。） 12.已知{a}是公比为号的等比数列，若a1十a4十a7十十7=100，则 2 a3+a6+ag+…·+ag9= 13.求过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程 13 14.数列{am}中，a=20n-1-2n之2，n∈N),且a1=1,设数列{a}的前n项和为Sm, 若3λ(Sn+n)≤4对任意n∈N恒成立，则实数入的最大值为 高二数学第？页（共14页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。） 15.(13分)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a2a1=a4,3ag+2a4=a5 (1)求{an}的通项公式。 (2)令bn=log3a3m-8,数列{bn}的前n项和为Sm,当n为何值时Sn最小，并求出Sn的最小 值。 16.（15分)已知数列{an}满足：a1=1,an+1+3an=4n,n∈N*。 1 (1)求证：{am-n+4} 成等比数列。 (2)求数列{an}的前n项和Sn。 17.(15分)设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn,S3=7a1,且a1,a3,20+a2成等差数列。 (1)求{an}的通项。 (2)若数列{bn}满足bn=bn+1+bnbn+1log2an,b1=1,求数列{bn}的前n项和Tn 高二数学第3页（共14页） 18.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+S+1=3an+1-4。 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)在an与an+1之间插入n个实数，使这n十2个数依次组成公差为dn的等差数列，求数列 {} 的前n项和Tn。 19.(17分)已知数列{an}各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*,都有 2Sn=3a品+an-2, 数列{bn}各项都是正整数，b1=1,b2=4,且数列a1,a2,a,·,ab,是等比数列。 (1)求a1,a2 (2)证明：数列{an}是等差数列。 (8)求满足子2<号的成小正整数m 高二数学第4页（共14页） 高二10月阶段性检测试卷 数学 参考答案与详细解析 468 1.数列-2,3行…的通项公式可以为（）。 A.（-1r2 B.（-1)"2m 2n 2n 2n+1 C.(-1)n-1 2n+1 D.(-1)+1,2n 2n-1 【参考答案与详细解析】 答案：B 分子绝对值依次为2,4,6,8，，可表示为2n:分母依次为1,3,5,7，，可表示为2n-1。奇数项为负、 偶数项为正，符号因子为（-1)”。 故可取a=（1)” ·（n∈N*)。代入n=1,2,3,4,分别得到题设四项，选B。 2. 已知直线过点(m,√3)，(1，m+2),且倾斜角为150°，则m=()。 A.V3+1 B.4-2V3 C.-2 D.2 【参考答案与详细解析】 答案：C,即m=-2 直线斜率k=tan150°= V3 3， 不是竖直直线，所以须有m卡1。由两点斜率公式， m+2-3_3 1-m 3 整理得 √3(m+2-V3)=m-1,(W3-1)m=2-2W3, 所以m=-2。此时两点为(-2，V③和(1,0，确实不同，斜率为- ,选C。 3 3.在等比数列{an}中，a1·a2·a3=27,a2十a6=15,则a4=(）。 A.±6 B.-6 C.36 D.6 【参考答案与详细解析】 答案：D即6 设公比为q。由等比数列性质a1ag=a吃，得a=27,所以a2=3。 由2+a6=15,得a6=12,从而q4=8s=4,故q2=2。 a2 于是a4=a2q=3×2=6,选D。公比虽可正可负，但所求项的值唯一。 高二数学第5页（共14页） 4.己知等差数列{an}中，a1=-2022,其前n项和为Sn,若 S2022 2022 S10=2012,则S224= 10 ()。 A.2021 B.-2022 C.2024 D.-2023 【参考答案与详细解析】 答案：C,即2024 设公差为d。由 =+”2得 S S202S10 2021-9 d=1006d=2012, 202210 2 所以d=2。因此2024=-2022+2023×2=2024， S24= 2024(-2022+2024) 2 =2024. 故选C。 5. 己知直线1：mx+2y-2=0与直线12：5x+(m+3)y-5=0,若11∥l2,则m=()。 A.-5 B.2 C.2或-5 D.5 【参考答案与详细解析】 答案：A,即-5 两直线平行，其法向量平行，故 m(m+3)-2×5=0,(m+5)(m-2)=0, 得到m=-5或m=2。还须排除两直线重合。 当m=2时，两式分别化为x+y-1=0和5(x+y-1)=0,两直线重合，不符合平行条件。 当m=-5时，两式为-5x+2y-2=0与5x-2y-5=0,法向量反向，常数项不成相同比例，故平 行且不重合。所以m=-5,选A。 6.设数列{an}的通项公式为an=n2-(k-5)n+1,若数列{an}是单调递增数列，则实数k的取 值范围为()。 A.(4+∞ B.（-o,4) C.(8,+∞) D.(-∞，8) 【参考答案与详细解析】 答案：D,即(-o,8) 数列单调递增，等价于对任意正整数n,都有an+1一an>0。计算得 an+1-am=2m+1-(k-5)=2n+6-k. 当n≥1时，其最小值为8-k,于n=1取得。所以所求条件是8-k>0,即k<8。 若k=8,则a2=a1,不是严格递增，端点不取。故选D。 高二数学第6页（共14页） 7.如图的一连串直角三角形，已知 OA1=A1A2=A2A3=AgA4=A4A5=A5A6=A6A7=A7A8=·=2, 4,A,A,”为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为a,令，三之2S 为数列{bn}的前n项和，则S20=()。 A A7 As 图乙 A.9 B.10 C.11 D.12 【参考答案与详细解析】 答案：B,即10 由勾股定理，OA1=2,并且 0A+1=0A2+A,A+1=0A+4. 逐项递推得OA?=4n,所以OAn=2v元。第n个三角形OAn An+1的周长为 an =2Vn+2Vn +1+2. 该式随严格增大，确实对应题设周长从小到大的顺序。因此 2 1 bn=2vn+2yn+iVn+vn+i =Vn+1-V. 裂项求和得 S120=(√2-1)+(3-√2+.+(W121-V120)=11-1=10. 故选B。 8.过定点A的直线(a十1)x-y+2=0与过定点B的直线x+(a+1)y-5a-2=0交于点P( P与A,B不重合)，则△PAB面积的最大值为()。 A.4 B.9 C.2 D.3 【参考答案与详细解析】 溪：8，即号 第一条直线写为ax+(x-y+2)=0,恒过的定点满足x=0,x-y+2=0,故A=(0,2) 第二条直线写为a(y-5)+(x+y-2)=0,故B=（-3,5)。于是 AB2=（-3)2+32=18. 两直线的法向量分别为(a+1,-1)和(1，a+1),点积为0，故两直线互相垂直；这也包括其中一条竖直的 情形。因此∠APB=90°。 高二数学第7页（共14页） 记PA=u>0,PB=v>0,则2+v2=AB2=18,从而 Sapaw 1 4Γ21 等号要求u=v。当a=-1时，两直线为y=2、x=-3,交点P=(-3,2),有PA=PB=3,且P 与A,B均不同，所以上界能够取得。 放面积设大值为号达 9. 已知a,}满足a1-3,a1=3子2a（m∈N）,测下列说法正确的是（）， A. a2=1 B. 1 是等差数列 C. an= 2m-1 3 D.设{ana+1}的前n项和为Sn,则Sn= 9n 2n+1 【参考答案与详细解析】 答案：ABD 由a1=3>0和递推式归纳可知所有a>0,因而分母3+2an>0,可以取倒数。 3×3 A:a2= 3+2×3 =1,正确。 B:递推式取倒数得 1=3+2am=1+2 an+1 3an an 3 倒数数列是首项、公差？的等差数列，1 3 @由上式无-子汁m号-。2跟 0 anan+1- 因此 9n 2n+1 D正确。故选ABD。 10.已知数列{an}满足a1+2a2十…十2m-1an=n·2m,则()。 A.an=n+1 B{a}的前n项和为n C.{(-1)”an}的前100项和为100 D.{lam-5}的前30项和为357 【参考答案与详细解析】 答案：AD 当n=1时，a1=2。当n≥2时，将题设在n与n-1时的等式相减，得 2m-1a=n2m-(n-1)2m-1=(n+1)2m-1, 高二数学第8页（共14页） 故an=n+1。此式也满足n=1,所以A正确。 B:前n项和为 k+1）=nm+)+n=nn+3, 2 2 k=1 不是选项所给公式，B错误。 C:把相邻两项配对， 10 ∑(-1(k+1)=(-2+3)+(-4+5)+…+(-10+101)=50, k= 故C错误。 D:a-5=k-4,须在k=4处分段，故 30 k-41=8+2+1)+0+(1+2++26=6+26×27=357. 2 k=1 所以D正确，选AD。 11.己知数列{an}的通项公式是an=2”,在a1和a2之间插入1个数x11,使a1,x11,2成等差数 列；在a2和a3之间插入2个数x21,c22,使a2,x21,x22,a3成等差数列；；在an和an+1之间插入n 个数xn,cn2,·,cnn,使an,cnl,n2,·,cnn,an+1成等差数列。这样得到新数列{bn: a1,D11,02,D21,D22,3,C31,C32,D33,a4,··· 记数列{bn}的前n项和为Sn,则()。 A.a8=b36 B.an+xl+xn2+…+cmm十an+1=3n·2n-1 C.b38=320 D.S45=6401 【参考答案与详细解析】 答案：AD 从a,到an+1一共有n+1个间隔，公差为 d,=21-2.2 n+1n+1 A:am在新数列中的位置为 1+∑(k+1)=1+m-(m+2_m(m+1) 2 2 k=1 所以as=b36,A正确；同时ag=b45。 B:含两端点的等差数组共有n十2项，其和为 (n+2)(2m+2+ 2 2=3(n+2)2m-1, 不是3n2m-1,B错误。 Cas=b6=256,从as到9的公差为256，所以 6s=256+2×256-2816 9 9 320, C错误。 高二数学第9页（共14页） D:把前45项分成第k组(k=1,·,8)和末项ag。每组从ak开始，含其后插入的k项，不含a+1, 每组和为 3(k+2)2k-1-2k+1=(3k+2)2k-1. 记U=1+2.2+…+8.27,将2与U错位相减得 U=8.28-(1+2+·+27)=2048-255=1793. 于是 S45=3U+2(1+2+·+27)+29=3×1793+2×255+512=6401. D正确，故选AD。 12。已知{a}是公比为号的等比数列，若a1+a+a+十an=10,则 a3+a6十ag+·+ag9= 【参考答案与详细解析】 答案：25 两个和均有33项，第二个和中的每项，均为第一个和中对应项向后移两位，因而 1 a3j a3j- 2 4031-2 (0=1,·,33). 所以 a3+a6+···+ag9= 4(a1+a4+·+ag7）=25. 13.求过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程 【参考答案与详细解析】 答案：3x-2y=0或x+y-5=0 设两轴截距均为t,分两种情况讨论。 ①当t≠0时，可以用载距式三+兰=1，即+十)=t。代入P2,3),得t=5,所以直线为x+) 5=0。 @当t=0时，直线过原点0，又过P2,3),放方程为y=号0，即3如-2%=0：这条直线在两轴上的 3 截距均为0，也满足题设。 综上，所求直线为3x一2y=0或x十y-5=0。截距式不能表示过原点的情形，不能因此遗漏截距为0的 情况。 14.数列a}巾，a=01-号(n之2neNr),且41=1，设数列a,}的前n项和为S 1 3 若3λ(Sm+n)≤4对任意n∈N恒成立，则实数入的最大值为 【参考答案与详细解析】 答案：3 2 遂推式变形为a十1-a1十1，所以a十)是首项2、公比号的等比数列， 高二数学第10页（共14页） 于是 -空an小( 1十2 引-()门 k=1 当n为奇数时，括号内等于1+员，最大为 3 于n=1取得：当n为偶数时，括号内在(0,1)内。 因此 0<Sm+n≤2， 且右端点可以取得。 原不等式在n=1时要求6似≤4，故入≤号反之，若入≤景利用品+n>0,得 3(Sn+n)≤2(Sm+n)≤4， 所以该条件也充分。故入的最大值为 3° 15.（13分)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a2a1=a4,3ag+2a4=a5。 (1)求{an}的通项公式。 (2)令bn=log3a3m-8,数列{bn}的前n项和为Sn,当n为何值时Sm最小，并求出Sn的最小 值。 【参考答案与详细解析】 答案：（1)an=3m+1;（2)n=2时，Sn的最小值为-5。 (1)设首项a1>0,公比q>0。由a2a1=a4,得 a3q=a1q3→a1=q2. 由3a3+2a4=a5,并除以非零的a1q2,得 3+2q=q2,(q-3)(g+1)=0. 因为q>0,所以q=3,于是a1=9。因此an=9·3m-1=3+1。 (2)由(1)，agm=33m+1,故bn=(3n+1)-8=3n-7。这是首项-4、公差3的等差数列，其前n 项和为 S.=n-4+3n-7刃_n3n-1 2 2 又b1=一4<0，b2=-1<0,从b3=2起各项均为正数，所以前两项累加使和减小，此后每加一项使和 增大。 因此仅当n=2时Sm最小，最小值S2=-4-1=-5。 高二数学第11页（共14页） 16.（15分)已知数列{an}满足：a1=1,an+1十3an=4n,n∈N*。 (1)求证： {a-n+ 4了 成等比数列。 (2)求数列{an}的前n项和Sn 【参考答案与详细解析】 答案：(1)首项为年公比为-3的等比数列：(2)S,=n2m+卫+1-（3 1 4 +162 1 （1)令cm=am-n+4则 61=aa1-a+1+号 =4n-3an-n-1+4 1 3 =-3an+3n- 1 =-3am-n+ -3Cn 又9=1-1+寻0.所以6}是首项不公比-3的等比数列.得证。 1 (2)由(1)，Cm= 4(-3)m-1,故 分别对等差部分与等比部分求和，得 Sn=n(n+1) n,11-(-3)r 2 4+41-(-3) =(2m+1+1-(-3) 4 16 3,4 当n=1时，右式为羞+6=1，与首项-致. 17.(15分)设公比为正的等比数列{an}前n项和为Sn,S3=7a1,且a1,a3,20+a2成等差数列。 (1)求{an}的通项。 (2)若数列{bn}满足bn=bn+1十bnbn+1log2an,b1=1,求数列{bn}的前n项和Tn。 【参考答案与详细解析】 答案：(1)an=2+:(2)T.=n+1° 2n (1)设公比9>0。由S3=a1(1+q+q)=7a1,利用等比数列首项非零，得 q2+q-6=0,(g-2)(g+3)=0. 所以q=2。由三个数成等差数列，得2ag=a1十(20+a2),即8a1=a1+20+2a1,故a1=4,从而 an=4,2m-1=2n+1。 (2)由(1)，log2an=n+1,递推式化为 on on+i[1+(n+1)on]. 因为M=1>0,若bn>0,则1+(n+1b>0.从而+1=1+n+1 一>0。归纳可知各项都为正 数，可作倒数变换。 高二数学第12页（共14页） 两边除以bnbn+1,得 对n≥2累加，并检验n=1,得 2-1+k+1)=1+-m+2-nn+少. 2 k=1 于是bm= n=2(故 x=2(-本) 2n n+1 18.(17分)己知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+Sn+1=3an+1-4。 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)在an与a+1之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列，求数列 ∫1 的前n项和Tn。 【参考答案与详细解析】 答案：(1)a=2;(2)n=3-n+3。 2n (1)用Sn+1=Sn+an+1代入题设，得 2Sn+an+1=3an+1-4, an+1=Sm+2. 当n=1时，2=a1+2=4=2a1。 当n≥2时，将an+1=Sn+2与an=Sn-1十2相减，得 an+1-an Sn-Sn-1 an; an+1=2an. 结合首个间隔，递推对所有n≥1成立。因此{an}是首项2公比2的等比数列，an=2”。 (2)两个端点之间插入n项后，共有n+1个等长间隔，故 dn =anti-an 2n 1n+1 n+1=n+1>0, 设u=东，则 错位相减可得 n k=1 2。因此 所以=2-n+ 工0+之2+2 3经3 2n k=1 高二数学第13页（共14页） 19.(17分)己知数列{an}各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*,都有 2Sn 3an an -2, 数列{bn}各项都是正整数，bi=1,b2=4,且数列ab1,a2,a,·,ab是等比数列。 (1)求a1,a2 (2)证明：数列{an}是等差数列。 3》求满足32<日的最小正整数n Sn 1 【参考答案与详细解析】 答案：(1)a=1,a=手（2)公差为号的等差数列：（⊙）n=5。 (1)当n=1时，2a1=3a2+a1-2,即 3a1-a1-2=（a1-1)(3a1+2）=0. 由a1>0,得a1=1。 当n=2时，2(1+a2)=3a吃+a2-2,即 3a2-a2-4=(a2+1)(3a2-4)=0. 4 由2>0，得=3 (2)将题设在n+1和n时的两式相减，得 2an+1=3(a2+1-a2)+(an+1-an). 移项并因式分解为 (an+1+an)[3(an+1-an）-1=0. 1 由各项为正数，au1+an>0,所以a+1-a,三对任意九≥1成立 故a}是首项1、公差专的等差数列，并且 0sn+2 3, S,n(n+5) 6 (3)因b1=1,b2=4,等比数列{a%n}的前两项是 ab1=a1=1, ah2=a4=2, 所以该等比数列的公比为2，a.=2m-1。代入(2)的通项，得 bn+2=2"-1, bm=3.2m-1-2. 3 该式在正整数下均为正整数，且符合已知前两项。因此 Sn n(n+5) 6n+2=18.2n7 依次检查最前面的正整数： 1 2 4 5 Sn 25 on+2 18 144 1 前四项均不满足严格小于 :当n=5时， 。5<6=,所以所求最小正整数为n=5。 高二数学第14页（共14页）