精品解析：江西九江市武宁尚美中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

江西省武宁县尚美中学2026-2027学年度上学期10月月考 高三数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助一元二次不等式解法得到两集合后利用交集定义即可得. 【详解】，解得或， 即， ，解得， 即， 则. 故选：C. 2. 已知为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】设出公差与公比，由题中所给条件列方程组即可求出公差与公比，即可得解. 【详解】设的公差为，的公比为， 则由题可知，有，解得或（舍去），则， 因此. 故选：B. 3. 设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】直接由共轭复数的定义及复数的几何意义可得. 【详解】因为复数，是的共轭复数，所以， 所以复平面内对应的点为，位于第一象限. 4. 已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球表面积是圆柱侧面积的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】D 【解析】 【详解】设圆柱底面半径，轴截面为正方形，则圆柱的高． 所以外接球的直径，所以. 可得球表面积为，圆柱侧面积为， 所以，所以外接球表面积是圆柱侧面积的倍． 5. 已知今天是星期三，则天后是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期五 【答案】A 【解析】 【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论. 【详解】 ． 即除以7的余数为5，所以天后是星期一. 故选：A. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数平方关系，结合完全平方公式以及角的范围分析求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得， 由， 因为，所以，又，所以， 所以，所以. 7. 命题，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，”的否定为“”. 8. 已知函数，，若有3个根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可以将问题分为和两部分来考虑，再将变量分离，对新得到的函数进行单调性分析，最后综合考虑求解. 【详解】当时，，令，得， 设，对求导，可得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减，在处取到最大值， 当，，则， 当，增长速度远慢于的增长速度，则； 当时，，令，得， 设，对求导，可得， 则在上单调递增， 当，增长速度远快于的增长速度，则， 当，增长速度远快于的增长速度，则； 因此我们大致可以得到以下图像： 因此我们把问题有3个根，转变成了与的图象共有三个交点， 观察图象知，当时上述条件成立. 二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分） 9. 下列命题中，真命题是（   ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【答案】BD 【解析】 【分析】分别利用不等式性质、特称命题否定规则、充分必要条件定义、扇形面积与弧长公式逐一判断四个命题真假，筛选出真命题． 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，命题“，”的否定是“，”，B正确； 对于C：当，此时，则充分性成立， 若，则，则必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，C错误； 对于D，设扇形半径为， 由圆心角为的扇形的面积为，得，解得， 所以扇形的弧长为，D正确． 10. 已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A. 当时，方程的两个实根和为0 B. 方程无实根的一个必要条件是 C. 方程有两个正实根的充要条件是 D. 方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 11. 已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（ ） A. B. C. D. 当面积最大时，的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用圆过原点、等比数列和弦长公式求出三个圆的半径，再借助直角三角形等面积法求出垂线段长，最后结合定点到圆切线的距离最值，即可确定三角形面积最大时的切线方程. 【详解】对于A：过坐标原点，所以，则，故A正确； 对于B：，，成等比数列，所以 ①， 设直线到的距离为，因为直线与圆相切，所以， 又因为直线与圆相交，弦长，所以 ②， 将②代入①得：，解得，所以，故B错误； 对于C：是的切线，为切点，故，又因为， ，则，在中，， 根据等面积法：，即， 所以，故C正确； 对于D：，其中为到的距离，因为为定值，故最大时，面积最大. 当时，达到最大值为， 因为，所以， 所以设的方程为，即， 因为与相切，所以，解得或， 如图可得，所以的方程为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 函数的极大值点与极小值点分别为________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】函数的定义域为， 令，得或. 当时，，函数在区间单调递增； 当时，，函数在区间单调递减； 当时，，函数在区间单调递增. 所以函数的极大值点与极小值点分别为. 13. 已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】所求体积可表示为，故只需求出三角形的面积即可，其中，由对称性也有，由于是已知的，所以只要求得即可进一步求解. 【详解】如图，易知，，所以， 作于点，易知，所以， ， ， 故三棱锥的体积为 . 故答案为：. 14. 马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用马尔可夫链因俄国数学家安德雷马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，次状态无关现有，两个盒子，各装有个黑球和个红球，从，两个盒子中各任取一个球，交换后放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中恰有个红球的概率为则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】用古典概型，根据组合数算出第一次操作后A盒恰有1个红球的概率和恰有2个红球的概率.用全概率公式得到与的递推关系.对递推式变形，得出数列是等比数列，并确定其首项与公比.依据等比数列通项公式求出的表达式.把代入表达式，算出的值. 【详解】设第次操作后盒子中恰有个红球的概率为， 则没有红球的概率为． 由题意知，，， 因为， 所以 ，又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱中点， ，，． （1）求证： ； （2）若中点为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为平面，所以，， 在矩形中：，则、、两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：、、，设， 故，，， 所以，即. （2）. 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为、、、、， 故，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 化简得，令，得，所以，， ，， ， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知的内角所对的边分别为，. （1）若，，求； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的等式转化为角的关系式，结合已知求出，再借助已知条件变形结合正弦定理求得边长； （2）把用与表达，代入化简得到，利用基本不等式确定的上界，进而推出的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以. 因为，所以，又，所以. 【小问2详解】 因为，所以，因为， 所以. 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以的最小值为. 17. 已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． （1）求证：数列是等比数列，并求； （2）设，记数列的前项和为，证明：． （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】（1） 因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得，因此数列是以2为首项，以为公比的等比数列，故. （2） 由(1)知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，， 所以，综上，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用“点在直线上”建立等量关系，联立关系式，得到递推式，即可证明是等比数列，利用等比数列的通项公式得出的通项公式； （2）将代入的表达式，利用裂项相消法得到，利用指数函数的单调性，确定的取值范围以证明不等式； （3）利用等差数列公差的定义，求得公差的表达式， 即得的通项公式，利用错位相减法求和可得答案. 【小问1详解】 因为数列是以2为首项，以为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得 将代入， 得， 两边同乘得，故数列前项的和. 18. 已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值； （3）如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明：由题知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去y并整理得， 此时且， 由韦达定理得，， 直线的方程为， 令，解得，即， 同理得， 因为O为的中点， 所以，即， 所以， 因为，， 所以， 整理得， 所以或， 若，即， 此时直线方程为，即， 则直线过点，不合题意； 若，此时直线方程为， 则直线恒过定点， 所以为定值， 因为为直角三角形，且为斜边． 所以当R为的中点时，． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率与实轴长列出方程组即可求解； （2）根据直线与圆E相切，得出，设，则，求得的最小值即可求解的最小值； （3）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组得出韦达定理，再求得的坐标，由O为的中点，即可得出证明． 【小问1详解】 因为双曲线C的离心率为，实轴长为， 所以，解得，， 则， 故双曲线C的方程为． 【小问2详解】 因为圆E的方程为， 所以圆E的圆心，半径， 因为点S是双曲线C上的动点，T是圆E上的动点，直线与圆E相切， 所以， 此时， 设， 因为点S是双曲线C上的动点，所以 ，即 ， ， 当时，取得最小值，且， 则． 【小问3详解】 略． 19. 已知函数，是的导函数. （1）当时，求函数的单调区间. （2）当时，是否存在，使得成立?请说明理由. （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为 ，无单调递增区间 （2）当 时，，则， 不妨设，，，则， 所以， 而． 若存在，使得， 则，得， 令，则， 所以在 上单调递增， 而，故方程在时无实数解， 所以不存在,使得 成立． （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导函数的正负性判断； （2）设，，，化简得出，构造函数，研究函数的零点即可； （3）令，利用单调性求最小值，进而得出，，再构造函数求值域即可. 【小问1详解】 当时， ，则． 令，则， 令，得；令，得． 故在上单调递增，在上单调递减． 故，则（等号不恒成立）， 则的单调递减区间为，无单调递增区间． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 恒成立，即恒成立， 令，由，得． 令，则， 则在上单调递增． 又，， 则存在，且，即， 使得当时；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以， 即， 又，得． 而，设，，则， 则在上单调递增， 而，， 故的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省武宁县尚美中学2026-2027学年度上学期10月月考 高三数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 3. 设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球表面积是圆柱侧面积的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 5. 已知今天是星期三，则天后是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期五 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 命题，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知函数，，若有3个根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分） 9. 下列命题中，真命题是（   ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 10. 已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A. 当时，方程的两个实根和为0 B. 方程无实根的一个必要条件是 C. 方程有两个正实根的充要条件是 D. 方程有两个正实根的一个充分条件是 11. 已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（ ） A. B. C. D. 当面积最大时，的方程为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 函数的极大值点与极小值点分别为________，________． 13. 已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为______. 14. 马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用马尔可夫链因俄国数学家安德雷马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，次状态无关现有，两个盒子，各装有个黑球和个红球，从，两个盒子中各任取一个球，交换后放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中恰有个红球的概率为则的值为________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱中点， ，，． （1）求证： ； （2）若中点为，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知的内角所对的边分别为，. （1）若，，求； （2）若，求的最小值. 17. 已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． （1）求证：数列是等比数列，并求； （2）设，记数列的前项和为，证明：． （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 18. 已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值； （3）如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值． 19. 已知函数，是的导函数. （1）当时，求函数的单调区间. （2）当时，是否存在，使得成立?请说明理由. （3）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $