精品解析：江西省临川第一中学2026-2027学年高三年级上学期一轮复习测试（一）数学试题

2026年10月高三年级一轮复习测试（一） 数学 2026.10.12 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 设集合，，则( ) A. B. C. D. 2. 已知复数满足：，则（ ） A. -1 B. -i C. 1 D. i 3. 已知向量与的方向相同，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 工程师调试一个精密温控系统，该系统的偏差值与温度T（）的函数关系式为，若存在一个“平衡温度”，使得系统偏差值为0，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知定义域为R的奇函数（a，m，），则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若恰有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合是同一个集合 D. 已知命题；命题，则和都是真命题 11. 已知函数的定义域为，若存在且，使得且，则称为“函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 为“函数” B. 若为“函数”，则 C. 若为“函数”，则不可能是偶函数 D. 若为“函数”，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，，，则的值为______． 13. 已知函数，．若，，满足，则实数a的最小值为__________． 14. 已知，，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求及. （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数（，）． （1）若关于的不等式的解集为，求的值． （2）若，且当时，的值域也为，其中． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的取值范围． 17. 已知函数． （1）当，时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，若函数在内不单调，求实数的取值范围． 18. 已知函数，． （1）若，讨论的单调性； （2）若关于的不等式恒成立，求的最大值； （3）若存在唯一的正数，使得在上恒成立，求的值． 19. 已知函数的定义域和值域分别为，若函数满足：（i）的定义域为；（ii）的值域为；（iii），则称与具有关系. （1）若，判断下列两个函数是否与具有关系，并说明理由； ①；②. （2）若与具有关系，证明：函数的图象与的图象关于直线对称； （3）已知函数与具有关系，令. ①判断函数的单调性； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月高三年级一轮复习测试（一） 数学 2026.10.12 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 设集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集概念运算即可． 【详解】依题意，，， ∴﹒ 故选：D． 2. 已知复数满足：，则（ ） A. -1 B. -i C. 1 D. i 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则求解复数即可. 【详解】因为，所以， 所以. 3. 已知向量与的方向相同，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】向量与的方向相同，，可设，， 由，解得，所以有. 4. 工程师调试一个精密温控系统，该系统的偏差值与温度T（）的函数关系式为，若存在一个“平衡温度”，使得系统偏差值为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 则在上单调递减，而，， 可得，由零点存在性定理可得，故B正确. 5. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 6. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 7. 已知定义域为R的奇函数（a，m，），则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据奇函数性质求得，再求的定义域，并结合复合函数单调性法则“同增异减”判断即可. 【详解】 ， 因为是定义在R上的奇函数， 所以，即恒成立， 所以，解得， 所以，定义域为， 所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”可得在上单调递增，在上单调递减， 所以，函数的单调递增区间为. 8. 已知函数若恰有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化问题为函数和的图象有3个不同的交点，进而结合图象求解即可. 【详解】函数恰有4个零点，则函数和的图象有4个不同的交点， 又因为，所以是函数的一个零点， 所以函数和的图象有3个不同的交点． 设， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，则， 且，时，. 作出函数的图象： 由图可知，要使和的图象有3个不同的交点，则或， 所以的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、B、D，利用二次函数的性质可判断C． 【详解】对于A，由于，当时等号成立， 因此的最大值为，故A正确； 对于B，由于， 当，时等号成立，因此的最小值为9，故B错误； 对于C，由于， 当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确； 对于D，由于， 当时等号成立，因此的最小值为，故D正确． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合是同一个集合 D. 已知命题；命题，则和都是真命题 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，表示空集，不含任何元素，而是一个包含了一个元素的集合， 两者不是同一个集合，故A错误； 对于B，表示的元素一定属于，表示全集中不在中的元素构成的集合， 则也表明的元素一定属于，因此，故B正确； 对于C，：自变量是的取值，，该集合是， ：函数值的取值，集合是，故C错误； 对于D，对于命题，取，发现是假命题，则是真命题； 对于命题，取时成立，则是真命题，故D正确； 11. 已知函数的定义域为，若存在且，使得且，则称为“函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 为“函数” B. 若为“函数”，则 C. 若为“函数”，则不可能是偶函数 D. 若为“函数”，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】函数要求存在不等的满足且，A可取直接验证成立；B由导等式推出，代入函数式可得；C可用偶函数作为反例说明错误；D由导等式得到，把写成变量函数可证. 【详解】对于A，，， 取，， 由，，得， 由，，得， 满足函数的定义，A正确； 对于B，，， 存在，使得， 由②得，即， 因为，所以，即， 将代入①得，化简得， 要存在（若，则，不满足）， 则要有非零实根，即， 所以若为“函数”，则，B正确； 对于C，举反例：偶函数，， 取，， 由，，得， 由，，得， 满足函数的定义，C错误； 对于D，，， 存在，，，使得， 由④得， 因为，所以，即， 整理③式：， 即， 两边同除以： ， 变形得：⑤， 不妨令，设，结合， 则，，， 代入⑤式： ， 记， 先证高中常用不等式：时，， 令 ，在单调递增， ，即，得到， 代入：， 令， ， 由基本不等式：， 等号当，即时取等， ，故，等号取不到，， 于是，，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，的夹角为，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，的夹角为，，，则， 所以. 13. 已知函数，．若，，满足，则实数a的最小值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】将双变量问题转化成. 【详解】因为，，满足，所以， 对于对称轴，在上单调递减，在上单调递增，所以， 又在上单调递增，，解得， 实数的最小值为. 14. 已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】e 【解析】 【分析】利用同构可得，结合导数可求的最小值. 【详解】设，则，所以为上的增函数， 而即为，所以， 即，故即，故， 所以，其中. 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求及. （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出集合与，再根据交并补的运算性质求出及即可；（2）由是的充分不必要条件，则，列出不等关系求出的取值范围即可. 【小问1详解】 由题可得，则或， 当时，，所以，； 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则，又，所以，则，即， 所以，当时，且等号不能同时取到，解得，所以， 当时，，不合题意，所以的取值范围为. 16. 已知函数（，）． （1）若关于的不等式的解集为，求的值． （2）若，且当时，的值域也为，其中． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）由题意可知，，的图象的对称轴为直线,开口向上． 当时，在上单调递减， 则 ①-②，得． 又，所以． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，再根据韦达定理求解； （2）（ⅰ）利用二次函数的性质可知，的图象的对称轴为直线，开口向上，故在上单调递减，求出值域，最后证明结论. （ⅱ）由（ⅰ）可知，即 即关于x的方程在上有两个不同的实根，再利用二次函数与一元二次方程根的分布关系求解c的取值范围. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以，是关于的方程的两个根． 所以，，即，． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可知，即 即关于的方程在上有两个不同的实根． 令，的图象开口向上且对称轴为直线， 则，解得． 故c的取值范围是． 17. 已知函数． （1）当，时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，若函数在内不单调，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先求导数，再分两类讨论，①和②，由①可得函数是单调递减函数不符合题意；由②，再构造函数，再求导，可得，从而可得在内单调递增，进而将问题转化为在上有变号零点，再结合零点存在性定理可得. 【小问1详解】 当，时，，求导得， 所以，，所以切线方程为， 所以函数的图象在处的切线方程为． 【小问2详解】 由题知，， ①当时，因为，所以，， 所以，因此在内单调递减，不满足题意，舍去； ②当时，令，则， 因为，所以，，所以， 则在内单调递增，即在内单调递增. 要使函数在内不单调，则在上有变号零点， 又因为，故只需， 又因为，因此. 综上①②，实数的取值范围为． 18. 已知函数，． （1）若，讨论的单调性； （2）若关于的不等式恒成立，求的最大值； （3）若存在唯一的正数，使得在上恒成立，求的值． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用导数判断函数的单调性可得； （2）先用导数求得函数的最大值，进而将问题转化为，再构造函数，，再用导数判断函数单调性及函数的零点，从而可得的最大值； （3）先将不等式化简构造为，先通过端点效应得及，对求导得极值点，根据极值点是否在内分两种情况讨论：当，记，要使恒成立，即且有唯一解，通过导数判断得；当，利用唯一性排除可得. 【小问1详解】 若时，，其定义域为，， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由题意知，的定义域为，， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以. 要使恒成立，则，即恒成立. 设，，则， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，，不符合；当时，，符合题意. 要使恒成立，则的最大值为. 因此的最大值为. 【小问3详解】 不等式化为在上恒成立． 设． 因为对任意，恒成立， 当，必有，即. 当时，，即，故． ，令，得. 因为函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增，在上单调递减， ． 设，． 欲存在唯一的正数，使得，只需，且取得最小值时的值唯一． ，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，解得. 当时，，则在上单调递减， 欲满足题意，则，解得，故． 若且给定，显然满足的值不唯一， 若，则满足的为． 但当时，， 由（2）知，当时，均有，故的值不唯一． 若，则，不存在满足. 综上所述，． 19. 已知函数的定义域和值域分别为，若函数满足：（i）的定义域为；（ii）的值域为；（iii），则称与具有关系. （1）若，判断下列两个函数是否与具有关系，并说明理由； ①；②. （2）若与具有关系，证明：函数的图象与的图象关于直线对称； （3）已知函数与具有关系，令. ①判断函数的单调性； ②证明：. 【答案】（1）根据题意知的定义域为，值域为， ①的定义域为，值域为，满足（i）（ii）， ，所以与①不具有关系； ②的定义域为，值域为，满足（i）（ii）， ，满足（iii）， 所以与②具有关系. （2）设上任一点为，上任意一点为 则若与具有关系，则，则， ， 这就意味着与互为反函数，则互为反函数的图象关于直线对称； （3）①单调递增， ②根据题意知， 当时，，令， 则， 令，则， 所以单调递增，则， 所以，则单调递增， 则， 所以， 则 【解析】 【分析】(1)根据定义可判断函数与是否具有关系； (2)要证明函数的图象与的图象关于直线对称，只需证明上任意一点关于对称点在上即可，即与互为反函数； (3)要证明，只需证明，构造新的函数，对其求导得到新的函数，在对函数进行缩放，对新函数求导，可得到其单调性，以此再向上推，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由(2)知若与具有关系，则与互为反函数， 函数，则函数， ，对求导， 可得，令， ， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以， 则单调递增. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $