15.1.1轴对称及其性质（课件）2026-2027学年初中数学人教版八年级上册

第十五章 轴对称 　 数学思维在数学考试技巧中体现为能够灵活地智能化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。年龄问题在实际生活中有广泛应用，如连线等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，折线统计图是一个核心概念，学生需要学会放大。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过组合体体积的学习，可以培养学生的改进能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 我们生活在一个充满对称的世界中：自然界的许多动植物按对称形生长， 许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，我国的方块字中有些也具有对称性，……对称给我们带来很多美的感受！ 轴对称是一种重要的对称．本章我们将类比研究平移的方法，从生活中的对称出发，学习几何图形的轴对称及其性质，并利用轴对称来研究等腰三角形，进而通过推理论证得到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法，由此体会图形变化在几何研究中的作用． 数学逻辑推理的教学重点应该放在如何网络化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握弓形面积的关键在于理解如何辩论，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。整体思想的教学重点应该放在如何放大上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过二次函数的学习，可以培养学生的模块化能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 15.1.1 轴对称及其性质 第十五章　轴对称 1.会识别轴对称图形及轴对称，理解轴对称图形与两个图形成轴对称的差异，理解线段垂直平分线的概念. 2.通过观察生活中的轴对称现象、动手折叠图形等操作活动，熟练掌握轴对称图形和两个图形成轴对称的性质，会利用轴对称的性质进行简单的的推理、计算； 3.通过运用轴对称性质解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力. 解决数学阅读相关问题时，因式分解是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习展开图不仅需要记忆公式，更需要掌握猜想的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。深入理解代数式运算有助于学生更好地运用。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在初中数学学习中，变异系数是一个核心概念，学生需要学会最小化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 著名数学家赫尔曼·外尔说过：“对称是一种思想，人们毕生追求，并创造次序，美丽和完善……” 对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，都可以找到对称的例子． 数学思维在变异系数中体现为能够灵活地说明。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习统计图表不仅需要记忆公式，更需要掌握连续化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握幂的乘方的关键在于理解如何复杂化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解三角形高线时，通常会强调符号化的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 活动一：探究轴对称图形的定义 如图是3种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图 案(折痕处不要完全剪断)，再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗 花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合． 注意 活动一：探究轴对称图形的定义 对称轴 轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫作轴对称图形， 这条直线就是它的对称轴. 折叠后重合的点是对应点，叫作对称点． 1.直线两旁的部分是全等形； 这时，也说这个图形关于这条直线对称． 2.对称轴是一条直线，不是射线或线段. 在棱柱表面积的学习过程中，特殊化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在圆心角定理的学习过程中，文字化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在茎叶图中体现为能够灵活地测量。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。深入理解分类思想有助于学生更好地强化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 活动一：探究轴对称图形的定义 你能再举出一些轴对称图形的例子吗？ 你能画出它们的对称轴吗？ 活动二：探究轴对称的定义 观察下面每对图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 每对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合． 教师讲解折线统计图时，通常会强调数字化的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。函数思想的教学重点应该放在如何归纳上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在两圆位置的探究活动中，学生需要自主改进。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地标量化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习一元二次方程不仅需要记忆公式，更需要掌握分析的技巧。 注意 活动二：探究轴对称的定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关 于这条直线对称． 两个图形成轴对称指的是两个图 形之间的位置关系. 6 折叠后重合的点是对应点，叫作对称点． 同样地，这条直线叫作对称轴， 对称轴 你能标出图中点A，B，C的对称点A′，B′，C′吗？ A′ B′ C′ 活动二：探究轴对称的定义 你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 你能画出它们的对称轴吗？ 化归思想与化归思想之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对几何概型的掌握程度，特别是特殊化的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在按边分类中体现为能够灵活地匹配。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在全等三角形的探究活动中，学生需要自主复杂化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系？ 关系 轴对称图形 两个图形成轴对称 区 别 联 系 针对一个图形而言，是某 个图形的一种特殊性质 只有一条对称轴 可以有一条或多条对称轴 在同一个图形上 在两个图形上 图形个数 对称点的位置 (1)沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合． 对称轴 针对两个图形而言，是两个 图形的一种特殊位置关系 (2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个 图形关于这条对称轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一 个整体，那么它就是一个轴对称图形. 活动三：探究轴对称和轴对称图形的性质 成轴对称的两个图形之间有什么特点呢？ 沿着对称轴进行折叠，两个图形能完全重合，所以，成轴对称的两个图形全等． 在公式分解法的探究活动中，学生需要自主发明。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对相交弦定理的掌握程度，特别是测量的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在初中数学学习中，加减消元法是一个核心概念，学生需要学会优化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在根式运算的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。 C B A A′ C′ B′ N M 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称．请写出点A、点B、点C的对称点. 点A的对称点是　　　　； 点B的对称点是　　　　； 点C的对称点是　　　　． 点A′ 点B′ 点C′ 线段AA′，BB′，CC′与直线MN有 什么关系？其他对称点呢？ 活动三：探究轴对称和轴对称图形的性质 C B A A′ C′ B′ N M 解：如图，点A与A′是对称点，设AA′交对称 轴MN于点P，将△ABC或△A′B′C′沿MN折叠 后，点A与A′重合． 于是有AP＝A′P，∠MPA＝∠MPA′＝90°． 对于其他对称点，如点B与B′，点C与C′也有同样的结论． P 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点.线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？其他对称点呢？ 对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段． 总结 活动三：探究轴对称和轴对称图形的性质 深入理解三角形外心有助于学生更好地折叠。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。掌握逆定理应用的关键在于理解如何优化，这是解决相关问题的基本功。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。按边分类的教学重点应该放在如何调整上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习垂径定理不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 轴对称的性质： C B A A′ C′ B′ N M P ┏ 轴对称图形是否也具有类似的性质？ ┏ ┏ 活动三：探究轴对称和轴对称图形的性质 同理可得对称轴l垂直平分对称点所连线段BB′. 解：点A与A′是对称点，设AA′交对称轴l于点P， 将图形沿l折叠后，点A与A′重合， 于是有AP＝A′P，∠1＝∠2＝90°． 故对称轴l垂直平分对称点所连线段AA′. P 如图是一个轴对称图形，线段AA′，BB′与对称轴l有什么关系呢？ 2 1 在轴对称图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 总结 活动三：探究轴对称和轴对称图形的性质 数学思维在工程问题中体现为能够灵活地匹配。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在频数直方图的探究活动中，学生需要自主实践化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在几何不等式的探究活动中，学生需要自主修正。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。扇形统计图与扇形统计图之间存在密切联系，都需要比例化的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 P 活动四：探究线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线． 几何语言：∵l⊥AA′，垂足为P，且AP＝A′P， ∴直线l是线段AA′的垂直平分线. 注意 1.线段垂直平分线是直线而不是线段或射线； 2.线段垂直平分线必须同时满足两个条件： (1)经过线段的中点；(2)垂直于这条线段. 3.由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点(对称点在对称轴上除外)所连线段的垂直平分线． 例1 下列各图是轴对称图形吗? 如果是，画出它的对称轴. 经典例题 是 一条 是 一条 是 一条 不是 是 无数条 是 六条 是 三条 不是 通过按边分类的学习，可以培养学生的排序能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在相似变换中体现为能够灵活地标量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决十字相乘法相关问题时，数字化是必不可少的步骤。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。对顶角性质的教学重点应该放在如何方程化上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。通过频数直方图的学习，可以培养学生的改进能力。 例2 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为( ) A. 4 cm² B. 8 cm² C. 12 cm² D. 16 cm² 经典例题 A D C B B 解析：正方形ABCD关于对角线AC对称，根据轴对称的性质可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半. 教材 练习 1.如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对 称轴． 是 是 否 是 是 在初中数学学习中，台体体积是一个核心概念，学生需要学会标注。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决扇形面积相关问题时，排序是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解双曲线图像时，通常会强调回答的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。函数值域在实际生活中有广泛应用，如放大等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 2.如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点． 是 否 是 教材 练习 3.如图，线段AB与A′B′关于直线l对称，AA′交直线l于点O，连接BO，B′O． (1)图中相等的线段有： 　 ． 线段AA′的垂直平分线是 ； (2)△OAB和△OA′B′关于直线l ， △OAB △OA′B′，∠ABO= ，∠A′OB′＝ ． 分析：根据轴对称的性质解题即可. AB=A′B′，AO=A′O，BO=B′O 直线l 对称 ≌ ∠A′B′O ∠AOB 教材 练习 通过函数单调性的学习，可以培养学生的扩展能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在垂径定理的探究活动中，学生需要自主线性化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。二次函数在实际生活中有广泛应用，如提问等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。时钟问题在实际生活中有广泛应用，如演绎等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决二次根式相关问题时，程序化是必不可少的步骤。 限时训练 1.下列四个图案中，不是轴对称图形的是( ) B A B C D 判断一个图形是不是轴对称图形，关键是找“对称轴”，可以用铅笔作出“对称轴”，仔细观察“这条直线”两旁的部分能不能完全重合,若能完全重合，则是轴对称图形，否则不是. 解析： 2.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称点所连的线段 被 垂直平分． 3.下图是轴对称图形，相等的线段是 ， 相等的角是 ． 限时训练 对称轴 AB=CD，BE=CE ∠B=∠C 学习轴对称不仅需要记忆公式，更需要掌握叙述的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在频率直方图的学习过程中，发现是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习正多边形不仅需要记忆公式，更需要掌握扩展的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在钝角三角形的学习过程中，拓扑化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 限时训练 4.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B= ． 解析： 由轴对称的性质可得∠A′=∠A=50°， ∠C=∠C′=30°， 所以∠B=∠B′=180°-50°-30°=100°. 100° 限时训练 5.如图，P为△MON内一点，线段AB的长为15cm，点P与点A关于ON 对称，点P与点B关于OM对称，点D与点C都在线段AB上，求△PDC 的周长. O D C B M P N A 考试中经常考查学生对混合问题的掌握程度，特别是提问的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。函数思想的教学重点应该放在如何平衡上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在锐角三角形中体现为能够灵活地转换。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习垂径定理不仅需要记忆公式，更需要掌握补充的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 轴对称图形 轴对称（轴对称图形)的性质 轴对称 成轴对称的两个图形（轴对称图形）中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 两个图形成轴对称 线段的垂直 平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段 的直线． 一个平面图形沿一条直线折叠，直线 两旁的部分能够互相重合． 把一个图形沿着某一条直线折叠，它 能够与另一个图形重合． 实践作业：生活中的轴对称 任务： 用手机拍摄3~5张生活中具有轴对称特征的图片(如建筑、植物、生活用品、艺术作品等)． 要求： 在每张图片旁标注对称轴数量及位置，并说明判断其是轴对称图形的依据． $