15.1.2 线段的垂直平分线的性质和判定（第1课时）课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.1.2　线段的垂直平分线 （第 1 课时　性质与判定） 学科：数学（人教版·八年级上册） 第十五章　轴对称 主讲人：____________　　学校：____________ 学习目标 1. 掌握线段垂直平分线的性质：线上的点到两端点距离相等。 2. 掌握判定：到两端点距离相等的点在垂直平分线上。 3. 理解性质与判定的互逆关系，会用它们进行计算与证明。 4. 会用尺规作线段的垂直平分线，并说明依据。 一 复习引入 复习引入：认识垂直平分线 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 符号：若 l⊥AB 于 O，且 OA＝OB，则 l 是 AB 的垂直平分线。 思考：在 l 上任取一点 P，连接 PA、PB，PA 与 PB 有什么关系？ 二 探究新知 探究：垂直平分线的性质 操作：在直线 l 上移动点 P，测量 PA、PB 的长度。 猜想：无论 P 在何处，总有 PA＝PB。 证明：因为 l⊥AB，所以 ∠POA＝∠POB＝90°； 又 OA＝OB，PO＝PO，所以 △POA≌△POB（SAS），故 PA＝PB。 性质定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 符号语言：因为 点 P 在 AB 的垂直平分线上， 所以 PA＝PB。 作用：把“垂直平分”转化为“线段相等”，是计算与证明的桥梁。 二 探究新知 探究：性质的逆命题 逆命题：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 已知：PA＝PB。求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上。 证明：过 P 作 PO⊥AB 于 O，则 ∠POA＝∠POB＝90°。 又 PA＝PB，PO＝PO，所以 Rt△POA≌Rt△POB（HL）， 得 OA＝OB，即 PO 垂直平分 AB。 判定定理 与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言：因为 PA＝PB，所以 点 P 在 AB 的垂直平分线上。 注意：性质与判定互为逆命题，条件和结论互换。 应用：到两点距离相等的所有点，组成这两点连线的垂直平分线。 口诀：“判定看距离，性质看垂直”——别用反了。 三 典型例题 例1：周长转化 在 △ABC 中，BC＝8，AB 的垂直平分线交 BC 于 D，AC＝5。 求 △ACD 的周长。 解：因为 D 在 AB 的垂直平分线上，所以 AD＝BD。 所以 AC＋CD＋AD＝AC＋CD＋BD＝AC＋BC。 ＝5＋8＝13。即 △ACD 的周长为 13。 三 典型例题 例2：证明点在垂直平分线上 如图，AB＝AC，MB＝MC。求证：直线 AM 是 BC 的垂直平分线。 证明：因为 AB＝AC，所以点 A 在 BC 的垂直平分线上； 因为 MB＝MC，所以点 M 在 BC 的垂直平分线上。 又两点确定一条直线，所以直线 AM 是 BC 的垂直平分线。 点评：“两点定线”——找两个到端点等距的点即可。 四 巩固练习 巩固练习（一） 1. 已知 PA＝PB，则点 P 在（　　） A. AB 上　B. AB 的垂直平分线上　C. AB 的中点 答：B 2. 在 △ABC 中，AC 的垂直平分线交 BC 于 E，AB＝4，BC＝9， 则 △ABE 的周长为 13。 四 巩固练习 巩固练习（二）：三线共点 3. 三角形三条边的垂直平分线交于一点，这点叫外心。 证明思路：设 AB、AC 的垂直平分线交于 O， 则 OA＝OB，OA＝OC，所以 OB＝OC， 即 O 也在 BC 的垂直平分线上。 结论：外心到三个顶点的距离相等。 五 易错辨析 易错辨析 错1：把“垂直平分线”说成“垂线”或“中线”。 正：必须同时满足垂直和平分两个条件。 错2：用判定时只说“在垂直平分线上”，不写清到哪两点距离相等。 正：判定必须落到“PA＝PB”上。 错3：认为“到两端点距离相等的点”有且只有一个。 正：这样的点有无数个，它们组成整条垂直平分线。 六 方法归纳 方法归纳 一转化：垂直平分 ⇄ 线段相等，双向使用。 二思路：见垂直平分线，连端点得等腰；见两边相等，想垂直平分线。 三模型：△ACD 周长 → AC＋BC 的“折线拉直”模型。 四定线：两个到端点等距的点确定垂直平分线。 七 课堂检测 课堂检测 1. 若点 P 在 AB 的垂直平分线上，PA＝5，则 PB＝5。 2. 到三角形三个顶点距离相等的点是（　　） A. 三边中线的交点　B. 三边垂直平分线的交点 答：B（外心） 3. 用尺规作 AB 的垂直平分线，半径必须大于 ½AB。 这节课我们学了什么？ 一条性质：垂直平分线上的点到两端点距离相等。 一条判定：到两端点距离相等的点在垂直平分线上。 一组互逆：性质与判定互为逆命题，条件结论互换。 一个模型：周长问题“折线拉直”，求距离和最短。 九 课后作业 课后作业 1. 基础题：教材习题 15.1 第 3、4 题。 2. 计算题：△ABC 中 AB＝AC＝10，BC＝12，AB 的垂直平分线交 BC 于 D，求 △ACD 周长。 3. 证明题：用尺规作 AB 的垂直平分线，并说明作图依据。 4. 思考题：为什么三角形三边的垂直平分线一定交于一点？ $