第14章 全等三角形 期中考前复习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

人 教 版 · 八 年 级 上 册 · 第 十 四 章 全等三角形 课 时 学 案 对应元素 · 五种判定 · 尺规作图 · 角的平分线 · 九课时 · 二十四题（学生版） 班级：____________ 姓名：____________ 日期：____________ 01 学习目标 1．理解全等三角形的概念，能准确识别全等三角形中的对应边、对应角，会按对应顺序用符号表示两个三角形全等。 2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；三边分别相等的两个三角形全等（SSS）。 3．会证明“两角及其中一角的对边分别相等”的两个三角形全等（AAS），探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）定理。 4．会用尺规作一个角等于已知角、作角的平分线；能根据已知条件（三边、两边及其夹角、两角及其夹边、一直角边和斜边）用尺规作三角形。 5．探索并证明角平分线的性质定理及其逆定理，能分清“点在角平分线上”与“点在角的内部且到两边距离相等”。 6．能用全等三角形证明线段相等、角相等、两条直线平行或垂直，并能解释测量中的简单实际问题。 02 单元结构与研究路径 2.1 课时安排 课时 内容 本课核心任务 1 14.1 全等三角形 认识对应元素，掌握全等的性质与记法 2 14.2 判定（1） SAS；用反例说明 SSA 不能判定 3 14.2 判定（2） ASA；由 ASA 推出 AAS 4 14.2 判定（3） SSS；由全等证角相等、两线平行 5 14.2 判定（4） 尺规作图：作等角、按条件作三角形 6 14.2 判定（5） HL；直角三角形全等 7 14.3 角的平分线（1） 性质定理；尺规作角的平分线 8 14.3 角的平分线（2） 判定定理；“点在角的内部” 9 章末综合 连续使用全等，完成较复杂的证明 全章研究路径 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。“完全重合”同时要求形状相同、大小相同。 性质：由“重合”直接得到对应边相等、对应角相等。这是全等三角形“用出去”的依据。 判定：实际判断两个三角形是否全等，不可能总把图形搬过来重合。于是研究“最少需要几组条件”，得到 SAS、ASA、SSS、AAS、HL。 应用：用判定证全等，再用性质证线段相等、角相等、两线平行或垂直；角平分线的性质与判定、尺规作图、测量距离，都是这套思路的应用。 学法提示 每学一个判定，都问自己三个问题：需要几组条件？条件的位置有什么要求？为什么少一组就不行？能把反例画出来，才算真正分清了这个判定。 03 课时 1｜14.1 全等三角形 教材回顾 概念与记法 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 记法：≌。字母必须按对应顶点依次写： 与、 与、 与 对应。字母顺序一乱，后面的对应边、对应角就会全部错位。 性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。由此还可以得到：全等三角形的周长相等，面积相等。 符号语言：因为≌，所以，，；，，。 图 1 对应顶点、对应边与对应角 探究与思考 怎样又快又准地找对应元素 ·先看全等符号。符号中字母的排列顺序，就是对应顶点的顺序，这是最可靠的依据。 ·再看图上的隐含关系。公共边、公共角、对顶角，各自对应自己；平行线带来的同位角、内错角，也常常是一组对应角。 ·没有字母线索时看大小。最长边对最长边，最大角对最大角，最小边对最小边。 ·看变换。把两个三角形平移、翻折或旋转，如果能完全重合，那么变换前后的两个三角形全等，落在一起的元素就是对应元素。 图 2 平移、翻折、旋转都不改变图形的形状和大小 不要这样找对应 对应元素不是按图形摆放的“左右、上下”来定的，而是按“谁与谁重合”来定的。图上看起来相邻的两条边，未必是对应边；一定要先定对应顶点。 例题精讲 例1．如图，把 沿 翻折，得到，点 的对应点为。已知，，求、、 的度数。 图 3 沿 翻折 当堂检测 检1．已知≌，，，，， 的周长为 24。求、、、。 04 课时 2｜14.2 判定（1）SAS 教材回顾 判定全等，需要几组条件 只给一条边或一个角，两个三角形的形状、大小都可以变，不能判定全等。 给两个条件——两边、两角、一边一角——画出来的三角形仍可能不同，也不能判定全等。所以判定全等至少需要三组条件，而且三组条件的位置必须合适。 基本事实（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”。 符号语言：在 和 中，若，，，则≌（SAS）。 图 4 两边及其夹角（SAS） 探究与思考 “两边一角”，角的位置决定成败 已知，，再给一组角，有两种给法： ① 给夹角。这时两条边和它们的夹角确定，画出的三角形形状、大小唯一，可以用SAS判定。 ② 给其中一边的对角，例如。这时不能判定。图 5 就是一个反例： 公共，， 公共，但，两个三角形并不全等。 图 5 “边边角”反例： 公共，， 相同，但 SSA 不是判定 “两边及其中一边的对角”简称 SSA，一般不能判定两个三角形全等。只有当这组对角恰好是直角时，才归入后面第 6 课时的 HL。写证明时，先检查角是不是两条边的夹角。 例题精讲 例2．如图，点、、、 在同一条直线上，且依次排列，，，。求证：≌，且。 图 6：、、、 依次共线， 当堂检测 检2．下列各组条件中，能判定≌ 的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 05 课时 3｜14.2 判定（2）ASA 与 AAS 教材回顾 两角一边的两种位置 基本事实（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。简写成“角边角”或“ASA”。 定理（AAS）：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”。 AAS 的由来：已知，，。由三角形内角和，得；这时、 分别是、 的夹边，再用 ASA 即可。所以 AAS 不是新的基本事实，而是由 ASA 推出来的定理。 符号语言：在 和 中，若，，，则≌（AAS）。 图 7 两角及其夹边（ASA） 探究与思考 ASA 与 AAS 怎么选 两角一边的条件，先看这条边是不是两个角的夹边： ·边夹在两个角之间 →ASA； ·边是其中一个角的对边 →AAS。 两种都能判定，但书写时理由不同。若题目给的是 AAS 的条件，也可以先由内角和求出第三个角，再改写成 ASA；不过直接写 AAS 更简洁。 例题精讲 例3．如图，点、、、 在同一条直线上，且依次排列，，，。求证：≌，且。 图 8：、、、 依次共线， 当堂检测 检3．在 和 中，已知，。添加下列哪个条件后，仍不能判定两个三角形全等（ ） A． B． C． D． 06 课时 4｜14.2 判定（3）SSS 教材回顾 三边定形 基本事实（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等。简写成“边边边”或“SSS”。 符号语言：在 和 中，若，，，则≌（SSS）。 稳定性：三角形的三条边确定后，它的形状和大小就确定了，所以三角形具有稳定性。四边形不具有稳定性，这是三角形与四边形的重要区别。 图 9 三边分别相等（SSS） 探究与思考 为什么三边能定形 先画一条边。再分别以、 为圆心，以另外两条边的长为半径画弧，两弧的交点就是第三个顶点。交点一旦确定，三角形的形状、大小就确定了。这就是 SSS 的直观依据，也是“已知三边作三角形”的作图方法。 例题精讲 例4．如图，点、、、 在同一条直线上，且依次排列，，，。求证：≌，且。 图 10：、、、 依次共线 当堂检测 检4．如图，，。求证：。 图 11 公共边 是第三组条件 07 课时 5｜14.2 判定（4）尺规作图 教材回顾 尺规作图的基本要求 工具：没有刻度的直尺和圆规。直尺只能用来画直线、射线、线段；圆规只能用来画圆或弧。不能用量角器量角，也不能用刻度尺量长度。 基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线（在后面 14.3 角的平分线课时学习）。 作一个角等于已知角：①作射线；②以 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 于、交 于；③以 为圆心、 长为半径画弧，交 于；④以 为圆心、 长为半径画弧，与③中所画的弧交于；⑤过、 作射线。则 就是所求作的角。 依据：连接、，由作图得，，，所以≌（SSS），所以，即。 图 12 作一个角等于已知角 探究与思考 按条件作三角形 ·已知三边：先作一边，再分别以两端点为圆心、另两边为半径画弧，交点即第三个顶点，依据 SSS。 ·已知两边及其夹角：先作夹角，再在两边上截取已知长度，连接第三边，依据 SAS。 ·已知两角及其夹边：先作夹边，再在两端作已知角，两角另一边的交点即第三个顶点，依据 ASA。 作图题要保留作图痕迹，并在最后写清“如图， 即为所求”。 例题精讲 例5．已知。求作，使。写出作法，并说明作图依据。 当堂检测 检5．下面是“作一个角等于已知角”的五个步骤：①作射线；②以 为圆心、适当长为半径画弧，交 于、 于；③以 为圆心、 长为半径画弧，与前一弧交于；④以 为圆心、 长为半径画弧，交 于；⑤过、 作射线。 正确的顺序是____；作图依据是____。 08 课时 6｜14.2 判定（5）HL 教材回顾 直角三角形全等的判定 HL 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”。 使用前提：两个三角形都必须是直角三角形。书写时先指明直角，例如“在 Rt 和 Rt 中，”。 符号语言：若，（斜边），（直角边），则 Rt≌ Rt（HL）。 与 SAS 的区别：HL 的条件是“斜边＋一条直角边”，不是任意“两边及一角”；它只适用于直角三角形，普通三角形没有 HL。 图 13 斜边和一条直角边（HL） 探究与思考 为什么斜边和一条直角边能定形 通过把两个直角三角形拼合、比较，可以发现：只要直角、斜边和一条直角边确定，直角三角形的形状和大小就确定了。这个结论就是 HL 定理。它与 SAS 不同，HL 的两条边中必须有一条是斜边。 已知一直角边和斜边作直角三角形：①作；②在射线 上截取（已知直角边）；③以 为圆心、斜边 的长为半径画弧，交射线 于点；④连接。Rt 就是所求作的三角形。依据：已知直角、一条直角边和斜边，由 HL 知形状、大小唯一。 例题精讲 例6．如图，，，。求证：Rt≌ Rt。若，求 的度数。 图 14 两个直角三角形，已知斜边和一条直角边 当堂检测 检6．如图，，。求证： 平分。 图 15 公共斜边 09 课时 7｜14.3 角的平分线（1）性质 教材回顾 性质定理 定义：从角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 符号语言：因为 平分， 在 上， 于， 于，所以。 证明：因为，，所以。因为 平分，所以。在 和 中，，，，所以≌（AAS），所以。 图 16 角平分线上的点到两边距离相等 探究与思考 尺规作角的平分线 作法：①以 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 于、交 于；②分别以、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点；③作射线。则 平分。 依据：连接、。由作图得，，又，所以≌（SSS），所以。 两个细节：半径要“大于”，否则两弧不相交；交点要取“角内部”的那一个，否则可能得到角平分线的反向延长线。 图 17 尺规作角的平分线（、 为弧与两边的交点， 为角内交点） 例题精讲 例7．如图， 平分， 在 上， 于， 于。已知，，求 及 的度数。 图 18 角平分线上的点到两边距离相等 当堂检测 检7．在 中，， 平分，交 于点， 于点。若，，求 的长。 10 课时 8｜14.3 角的平分线（2）判定 教材回顾 判定定理 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 符号语言：因为 在 的内部， 于， 于，且，所以 平分。 证明思路：， 给出两个直角； 给出一条直角边； 是公共斜边。所以 Rt≌ Rt（HL），从而。 图 19 角内部到两边距离相等的点 探究与思考 为什么必须强调“角的内部” 把 的两边延长成两条直线。到这两条直线距离相等的点，可能在 的平分线上，也可能在它的邻补角的平分线上。邻补角的平分线上的点虽然到两边所在直线的距离相等，但它不在 的内部，不能叫“在这个角的平分线上”。 所以判定定理的三个前提缺一不可：点在角的内部、两个垂直、两段距离相等。 例题精讲 例8．如图， 是 内部一点， 于， 于，且。求证： 平分。 图 20 角内部到两边距离相等的点 当堂检测 检8．在 中，点 在边 上， 于， 于，且。求证： 平分。 11 课时 9｜章末综合：连续使用全等 教材回顾 一对不够，就用两对 有些图形里没有现成的三组条件，需要先用一次全等得到一组边或角，再把这组边或角作为第二对三角形的条件。这样的题叫“连续使用全等”，写法上要分成两步，每一步都写完整： ① 先证第一对三角形全等，得到需要的边相等或角相等； ② 再把得到的结论作为条件，证第二对三角形全等，最后得出结论。 可重复使用的条件有：公共边、公共角、对顶角、平行线带来的同位角或内错角。 图 21 先证第一对，再证第二对 例题精讲 例9．如图，，， 与 交于点，直线 过点，分别交、 于、。求证：。 图 22：，， 过交点 当堂检测 检9．在 和 中，，。请你添加一个条件，使≌，并写出判定依据。要求写出两种不同的添法。 12 易错诊断 典型错误 错在哪里 正确做法 ≌，却把 与 当成对应边 没有按字母顺序确定对应顶点 先写对应顶点： 对、 对、 对，再读对应边 用“两边及其中一边的对角”证全等 把 SSA 当成了 SAS 只有夹角才是 SAS；SSA 的反例见课时 2 图 5 用“三个角分别相等”证全等 AAA 只能定形状，不能定大小 三个条件中至少要有一组边 只写，不写、 “距离”必须由垂线段表示 用性质或判定，都先写两个垂直 判定角平分线时漏掉“点在角的内部” 邻补角的平分线上的点也满足距离相等 先写“ 在 的内部” 用 HL 时只写“两边相等”，或对普通三角形用 HL HL 是“斜边＋一条直角边”，且只用于直角三角形 先写 Rt△ 和直角，再写斜边、直角边 由全等直接写，不写理由 缺少“全等三角形的对应边相等”这一句 判定、性质各写一句，过程分才完整 作角平分线时，两弧半径取得太小，或交点取了角外的那一个 半径不大于 时两弧不相交；角外交点得到反向延长线 半径大于，交点取角内部 证明题的三个“必须” 必须按对应顺序写全等符号；必须凑齐三组条件，每组后面注明理由；必须在判定之后写一句性质，才能得出线段或角相等。 13 分层作业 A 组 · 基础 A1．已知≌，，，，。求、、。 A2．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ） A．三边分别相等 B．两角及其夹边分别相等 C．两边及其夹角分别相等 D．两边及其中一边的对角分别相等 B 组 · 中档 B1．如图，，。求证：。 图 23 连接 B2．如图，，，垂足分别为、，且、 在边 上，，。求证：。 图 24 两个直角三角形，、 在边 上 C 组 · 提升 C1．如图，，，连接 交 于点。求证：①；②，且。 图 25：， C2．要测量池塘两端、 的距离，在平地上取一个可以直接到达、 的点。连接 并延长到，使；连接 并延长到，使；连接。若量得 m，求、 两点间的距离，并说明理由。 14 学习自评 评价内容 会 基本会 需复习 能按对应顺序写出全等符号，并说出对应边、对应角 □ □ □ 能根据已知条件选择 SAS、ASA、AAS、SSS 或 HL □ □ □ 会用“同加同减”找共线等线段，用平行线找等角 □ □ □ 能用尺规作一个角等于已知角、作角的平分线，并说出依据 □ □ □ 能区分角平分线的性质与判定，不遗漏“点在角的内部” □ □ □ 能独立完成一次或连续两次全等证明，书写完整 □ □ □ 复习建议：标“需复习”的项目，回到对应课时重做“当堂检测”；标“基本会”的项目，重点补写理由，避免会做但丢过程分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人 教 版 · 八 年 级 上 册 · 第 十 四 章 全等三角形 课 时 学 案 对应元素 · 五种判定 · 尺规作图 · 角的平分线 · 九课时 · 二十四题（教师版 · 含答案与解析） 班级：____________ 姓名：____________ 日期：____________ 01 学习目标 1．理解全等三角形的概念，能准确识别全等三角形中的对应边、对应角，会按对应顺序用符号表示两个三角形全等。 2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；三边分别相等的两个三角形全等（SSS）。 3．会证明“两角及其中一角的对边分别相等”的两个三角形全等（AAS），探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）定理。 4．会用尺规作一个角等于已知角、作角的平分线；能根据已知条件（三边、两边及其夹角、两角及其夹边、一直角边和斜边）用尺规作三角形。 5．探索并证明角平分线的性质定理及其逆定理，能分清“点在角平分线上”与“点在角的内部且到两边距离相等”。 6．能用全等三角形证明线段相等、角相等、两条直线平行或垂直，并能解释测量中的简单实际问题。 02 单元结构与研究路径 2.1 课时安排 课时 内容 本课核心任务 1 14.1 全等三角形 认识对应元素，掌握全等的性质与记法 2 14.2 判定（1） SAS；用反例说明 SSA 不能判定 3 14.2 判定（2） ASA；由 ASA 推出 AAS 4 14.2 判定（3） SSS；由全等证角相等、两线平行 5 14.2 判定（4） 尺规作图：作等角、按条件作三角形 6 14.2 判定（5） HL；直角三角形全等 7 14.3 角的平分线（1） 性质定理；尺规作角的平分线 8 14.3 角的平分线（2） 判定定理；“点在角的内部” 9 章末综合 连续使用全等，完成较复杂的证明 全章研究路径 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。“完全重合”同时要求形状相同、大小相同。 性质：由“重合”直接得到对应边相等、对应角相等。这是全等三角形“用出去”的依据。 判定：实际判断两个三角形是否全等，不可能总把图形搬过来重合。于是研究“最少需要几组条件”，得到 SAS、ASA、SSS、AAS、HL。 应用：用判定证全等，再用性质证线段相等、角相等、两线平行或垂直；角平分线的性质与判定、尺规作图、测量距离，都是这套思路的应用。 学法提示 每学一个判定，都问自己三个问题：需要几组条件？条件的位置有什么要求？为什么少一组就不行？能把反例画出来，才算真正分清了这个判定。 03 课时 1｜14.1 全等三角形 教材回顾 概念与记法 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 记法：≌。字母必须按对应顶点依次写： 与、 与、 与 对应。字母顺序一乱，后面的对应边、对应角就会全部错位。 性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。由此还可以得到：全等三角形的周长相等，面积相等。 符号语言：因为≌，所以，，；，，。 图 1 对应顶点、对应边与对应角 探究与思考 怎样又快又准地找对应元素 ·先看全等符号。符号中字母的排列顺序，就是对应顶点的顺序，这是最可靠的依据。 ·再看图上的隐含关系。公共边、公共角、对顶角，各自对应自己；平行线带来的同位角、内错角，也常常是一组对应角。 ·没有字母线索时看大小。最长边对最长边，最大角对最大角，最小边对最小边。 ·看变换。把两个三角形平移、翻折或旋转，如果能完全重合，那么变换前后的两个三角形全等，落在一起的元素就是对应元素。 图 2 平移、翻折、旋转都不改变图形的形状和大小 不要这样找对应 对应元素不是按图形摆放的“左右、上下”来定的，而是按“谁与谁重合”来定的。图上看起来相邻的两条边，未必是对应边；一定要先定对应顶点。 例题精讲 例1．如图，把 沿 翻折，得到，点 的对应点为。已知，，求、、 的度数。 图 3 沿 翻折 分析 翻折前后两个三角形完全重合，所以≌。由“ 与、 与、 与”对应，要求的量可以先直接用性质搬过来； 还要回到 中用内角和求。 解答 由翻折得≌，对应顶点为 对、 对、 对。所以，，。在 中，，所以。 追问 若再给出，，求、。由对应边相等得，。 归纳 翻折题先定对应顶点，再把“对应边相等、对应角相等”逐条搬用。折痕 是两个三角形的公共边，它对应它自己。 当堂检测 检1．已知≌，，，，， 的周长为 24。求、、、。 答案 由对应关系 对、 对、 对，得，，，。 04 课时 2｜14.2 判定（1）SAS 教材回顾 判定全等，需要几组条件 只给一条边或一个角，两个三角形的形状、大小都可以变，不能判定全等。 给两个条件——两边、两角、一边一角——画出来的三角形仍可能不同，也不能判定全等。所以判定全等至少需要三组条件，而且三组条件的位置必须合适。 基本事实（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”。 符号语言：在 和 中，若，，，则≌（SAS）。 图 4 两边及其夹角（SAS） 探究与思考 “两边一角”，角的位置决定成败 已知，，再给一组角，有两种给法： ① 给夹角。这时两条边和它们的夹角确定，画出的三角形形状、大小唯一，可以用SAS判定。 ② 给其中一边的对角，例如。这时不能判定。图 5 就是一个反例： 公共，， 公共，但，两个三角形并不全等。 图 5 “边边角”反例： 公共，， 相同，但 SSA 不是判定 “两边及其中一边的对角”简称 SSA，一般不能判定两个三角形全等。只有当这组对角恰好是直角时，才归入后面第 6 课时的 HL。写证明时，先检查角是不是两条边的夹角。 例题精讲 例2．如图，点、、、 在同一条直线上，且依次排列，，，。求证：≌，且。 图 6：、、、 依次共线， 分析 要证的两条边、 都不在已知里，但，两边都加上中间的，就得到。又由 得。三个条件正好是“边—角—边”。 解答 因为，所以，即。因为，所以。在 和 中，，，，所以≌（SAS）。所以。 追问 若把 直接改成，结论还成立吗？成立，三个条件仍然是“边—角—边”。若只给、、，就不能判定，因为、 分别是、 的对边，属于 SSA。 归纳 共线线段题，先看两条目标线段能不能由“同加一段”或“同减一段”得到；再检查相等的角是不是两条边的夹角。 当堂检测 检2．下列各组条件中，能判定≌ 的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 答案 C A 中 是 的对边，属于 SSA；B 中 是 的对角，也属于 SSA；C 中、 的夹角是，、 的夹角是，符合 SAS；D 是 AAA，只能说明形状相同。 05 课时 3｜14.2 判定（2）ASA 与 AAS 教材回顾 两角一边的两种位置 基本事实（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。简写成“角边角”或“ASA”。 定理（AAS）：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”。 AAS 的由来：已知，，。由三角形内角和，得；这时、 分别是、 的夹边，再用 ASA 即可。所以 AAS 不是新的基本事实，而是由 ASA 推出来的定理。 符号语言：在 和 中，若，，，则≌（AAS）。 图 7 两角及其夹边（ASA） 探究与思考 ASA 与 AAS 怎么选 两角一边的条件，先看这条边是不是两个角的夹边： ·边夹在两个角之间 →ASA； ·边是其中一个角的对边 →AAS。 两种都能判定，但书写时理由不同。若题目给的是 AAS 的条件，也可以先由内角和求出第三个角，再改写成 ASA；不过直接写 AAS 更简洁。 例题精讲 例3．如图，点、、、 在同一条直线上，且依次排列，，，。求证：≌，且。 图 8：、、、 依次共线， 分析 由 两边都加上，得。由，以直线 为截线，得同位角。再加上已知，正好是“两角及其中一角的对边”，用 AAS。 解答 因为，所以，即。因为，所以。在 和 中，，，，所以≌（AAS）。所以，从而。 追问 若把 换成，还能证吗？可以。此时，，，正好是 SAS，结论仍成立。 归纳 已知两角时，先找第三条边或夹边，再在 ASA、AAS 中选一个；证平行时，把全等得到的对应角放回“截线”位置，看它是同位角还是内错角。 当堂检测 检3．在 和 中，已知，。添加下列哪个条件后，仍不能判定两个三角形全等（ ） A． B． C． D． 答案 D A 中 是、 的夹边，用 ASA；B 中 是 的对边，用 AAS；C 中 是 的对边，用 AAS；D 只添了第三个角，属于 AAA，不能判定。 06 课时 4｜14.2 判定（3）SSS 教材回顾 三边定形 基本事实（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等。简写成“边边边”或“SSS”。 符号语言：在 和 中，若，，，则≌（SSS）。 稳定性：三角形的三条边确定后，它的形状和大小就确定了，所以三角形具有稳定性。四边形不具有稳定性，这是三角形与四边形的重要区别。 图 9 三边分别相等（SSS） 探究与思考 为什么三边能定形 先画一条边。再分别以、 为圆心，以另外两条边的长为半径画弧，两弧的交点就是第三个顶点。交点一旦确定，三角形的形状、大小就确定了。这就是 SSS 的直观依据，也是“已知三边作三角形”的作图方法。 例题精讲 例4．如图，点、、、 在同一条直线上，且依次排列，，，。求证：≌，且。 图 10：、、、 依次共线 分析 已知两组边，还缺第三组边。由 两边都加上，得，三组边就凑齐了。证平行要用“同位角相等”，所以先由全等得到。 解答 因为，所以，即。在 和 中，，，，所以≌（SSS）。所以，从而。 追问 由这组全等，还能得到哪些结论？还能得到，，从而。 归纳 SSS 题常常差一条“公共边”或“同加同减得到的边”；证平行时，先证全等，再把对应角放回截线位置。 当堂检测 检4．如图，，。求证：。 图 11 公共边 是第三组条件 证明 在 和 中，，，（公共边），所以≌（SSS）。所以（全等三角形的对应角相等）。 07 课时 5｜14.2 判定（4）尺规作图 教材回顾 尺规作图的基本要求 工具：没有刻度的直尺和圆规。直尺只能用来画直线、射线、线段；圆规只能用来画圆或弧。不能用量角器量角，也不能用刻度尺量长度。 基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线（在后面 14.3 角的平分线课时学习）。 作一个角等于已知角：①作射线；②以 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 于、交 于；③以 为圆心、 长为半径画弧，交 于；④以 为圆心、 长为半径画弧，与③中所画的弧交于；⑤过、 作射线。则 就是所求作的角。 依据：连接、，由作图得，，，所以≌（SSS），所以，即。 图 12 作一个角等于已知角 探究与思考 按条件作三角形 ·已知三边：先作一边，再分别以两端点为圆心、另两边为半径画弧，交点即第三个顶点，依据 SSS。 ·已知两边及其夹角：先作夹角，再在两边上截取已知长度，连接第三边，依据 SAS。 ·已知两角及其夹边：先作夹边，再在两端作已知角，两角另一边的交点即第三个顶点，依据 ASA。 作图题要保留作图痕迹，并在最后写清“如图， 即为所求”。 例题精讲 例5．已知。求作，使。写出作法，并说明作图依据。 作法 ①作射线；②以 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 于、交 于；③以 为圆心、 长为半径画弧，交 于；④以 为圆心、 长为半径画弧，与③中所画的弧交于；⑤过、 作射线。则 就是所求作的角。 依据 连接、。由作图得，，，所以≌（SSS），所以，即。 追问 若改为已知三边作三角形，作法有什么不同？先作一边，再分别以两端点为圆心、另两边为半径画弧，交点就是第三个顶点，依据仍是 SSS。 归纳 尺规作图的每一步都要能说出“圆心、半径、交点”；作角的依据是 SSS，作三角形的依据分别对应 SSS、SAS、ASA。 当堂检测 检5．下面是“作一个角等于已知角”的五个步骤：①作射线；②以 为圆心、适当长为半径画弧，交 于、 于；③以 为圆心、 长为半径画弧，与前一弧交于；④以 为圆心、 长为半径画弧，交 于；⑤过、 作射线。 正确的顺序是____；作图依据是____。 答案 ①②④③⑤；SSS（三边分别相等的两个三角形全等，对应角相等）。 08 课时 6｜14.2 判定（5）HL 教材回顾 直角三角形全等的判定 HL 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”。 使用前提：两个三角形都必须是直角三角形。书写时先指明直角，例如“在 Rt 和 Rt 中，”。 符号语言：若，（斜边），（直角边），则 Rt≌ Rt（HL）。 与 SAS 的区别：HL 的条件是“斜边＋一条直角边”，不是任意“两边及一角”；它只适用于直角三角形，普通三角形没有 HL。 图 13 斜边和一条直角边（HL） 探究与思考 为什么斜边和一条直角边能定形 通过把两个直角三角形拼合、比较，可以发现：只要直角、斜边和一条直角边确定，直角三角形的形状和大小就确定了。这个结论就是 HL 定理。它与 SAS 不同，HL 的两条边中必须有一条是斜边。 已知一直角边和斜边作直角三角形：①作；②在射线 上截取（已知直角边）；③以 为圆心、斜边 的长为半径画弧，交射线 于点；④连接。Rt 就是所求作的三角形。依据：已知直角、一条直角边和斜边，由 HL 知形状、大小唯一。 例题精讲 例6．如图，，，。求证：Rt≌ Rt。若，求 的度数。 图 14 两个直角三角形，已知斜边和一条直角边 分析 两个三角形都有直角，已知斜边，直角边，正好满足 HL。全等后， 对应，再在直角三角形中用两锐角互余求。 解答 在 Rt 和 Rt 中，（斜边），（直角边），所以 Rt≌ Rt（HL）。所以。在 Rt 中，，所以。 追问 若把 换成，还能用 HL 吗？能，换成了另一条直角边。若换成 呢？可以用 AAS：，，。 归纳 HL 只负责判定全等，角度、长度还要回到直角三角形里用互余、对应边相等来算；写理由时一定先写“Rt△”和直角。 当堂检测 检6．如图，，。求证： 平分。 图 15 公共斜边 证明 在 Rt 和 Rt 中，（公共斜边），（直角边），所以 Rt≌ Rt（HL）。所以，即 平分。 09 课时 7｜14.3 角的平分线（1）性质 教材回顾 性质定理 定义：从角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 符号语言：因为 平分， 在 上， 于， 于，所以。 证明：因为，，所以。因为 平分，所以。在 和 中，，，，所以≌（AAS），所以。 图 16 角平分线上的点到两边距离相等 探究与思考 尺规作角的平分线 作法：①以 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 于、交 于；②分别以、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点；③作射线。则 平分。 依据：连接、。由作图得，，又，所以≌（SSS），所以。 两个细节：半径要“大于”，否则两弧不相交；交点要取“角内部”的那一个，否则可能得到角平分线的反向延长线。 图 17 尺规作角的平分线（、 为弧与两边的交点， 为角内交点） 例题精讲 例7．如图， 平分， 在 上， 于， 于。已知，，求 及 的度数。 图 18 角平分线上的点到两边距离相等 分析 在角平分线上，且、 都是到两边的垂线段，可以直接用性质得。求 要先由角平分线得，再在 Rt 中用互余。 解答 因为 平分，所以。因为，， 在 上，所以。在 Rt 中，。 追问 若只知 在 的平分线上，且 到 的距离为 3，那么 到 的距离是多少？是 3。这里的“距离”就是垂线段的长度，所以必须先作出（或说明）两个垂直。 归纳 性质把“角相等”直接转成“距离相等”，不必再证一次全等；但使用前一定要写清“两个垂直”。 当堂检测 检7．在 中，， 平分，交 于点， 于点。若，，求 的长。 答案 因为，，所以。因为，所以；又，且 平分，所以。 10 课时 8｜14.3 角的平分线（2）判定 教材回顾 判定定理 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 符号语言：因为 在 的内部， 于， 于，且，所以 平分。 证明思路：， 给出两个直角； 给出一条直角边； 是公共斜边。所以 Rt≌ Rt（HL），从而。 图 19 角内部到两边距离相等的点 探究与思考 为什么必须强调“角的内部” 把 的两边延长成两条直线。到这两条直线距离相等的点，可能在 的平分线上，也可能在它的邻补角的平分线上。邻补角的平分线上的点虽然到两边所在直线的距离相等，但它不在 的内部，不能叫“在这个角的平分线上”。 所以判定定理的三个前提缺一不可：点在角的内部、两个垂直、两段距离相等。 例题精讲 例8．如图， 是 内部一点， 于， 于，且。求证： 平分。 图 20 角内部到两边距离相等的点 分析 要证 平分角，只需证。两个直角三角形有公共斜边，又有一条直角边，用 HL。 解答 因为，，所以。在 Rt 和 Rt 中，（公共斜边），（直角边），所以 Rt≌ Rt（HL）。所以，即 平分。 追问 若去掉“ 在 内部”这个条件，结论还成立吗？不成立。到两边所在直线距离相等的点，还可能在邻补角的平分线上。 归纳 判定是性质的逆过程：性质由“角平分线”推“距离相等”，判定由“距离相等”推“角平分线”；用判定时，先写位置，再写两个垂直，最后写距离相等。 当堂检测 检8．在 中，点 在边 上， 于， 于，且。求证： 平分。 证明 因为点 在边 上，所以 在 的内部。又，，且，所以点 到 两边的距离相等。由角平分线的判定定理，得 平分。 11 课时 9｜章末综合：连续使用全等 教材回顾 一对不够，就用两对 有些图形里没有现成的三组条件，需要先用一次全等得到一组边或角，再把这组边或角作为第二对三角形的条件。这样的题叫“连续使用全等”，写法上要分成两步，每一步都写完整： ① 先证第一对三角形全等，得到需要的边相等或角相等； ② 再把得到的结论作为条件，证第二对三角形全等，最后得出结论。 可重复使用的条件有：公共边、公共角、对顶角、平行线带来的同位角或内错角。 图 21 先证第一对，再证第二对 例题精讲 例9．如图，，， 与 交于点，直线 过点，分别交、 于、。求证：。 图 22：，， 过交点 分析 要证，最直接的是证≌。但这组三角形缺，而、 正好来自另一对全等三角形 与。所以先证第一对，再证第二对。 证明 因为，所以，。在 和 中，，，，所以≌（ASA），所以。 又因为，所以。在 和 中，，，（对顶角相等），所以≌（ASA），所以。 追问 若直线 不过点， 还成立吗？不一定。因为这时 与 不再是对顶角，第二对全等缺少条件。 归纳 连续使用全等，先找“第二对缺什么”，再回头看“哪一对全等能提供它”；第一对全等的结论要单独写成一步，不能跳。 当堂检测 检9．在 和 中，，。请你添加一个条件，使≌，并写出判定依据。要求写出两种不同的添法。 答案 添，用 SAS；添，用 ASA；添，用 AAS。任写两种即可。添边时注意边必须是夹角的两边；添角时注意已有的 是夹边还是对边。 12 易错诊断 典型错误 错在哪里 正确做法 ≌，却把 与 当成对应边 没有按字母顺序确定对应顶点 先写对应顶点： 对、 对、 对，再读对应边 用“两边及其中一边的对角”证全等 把 SSA 当成了 SAS 只有夹角才是 SAS；SSA 的反例见课时 2 图 5 用“三个角分别相等”证全等 AAA 只能定形状，不能定大小 三个条件中至少要有一组边 只写，不写、 “距离”必须由垂线段表示 用性质或判定，都先写两个垂直 判定角平分线时漏掉“点在角的内部” 邻补角的平分线上的点也满足距离相等 先写“ 在 的内部” 用 HL 时只写“两边相等”，或对普通三角形用 HL HL 是“斜边＋一条直角边”，且只用于直角三角形 先写 Rt△ 和直角，再写斜边、直角边 由全等直接写，不写理由 缺少“全等三角形的对应边相等”这一句 判定、性质各写一句，过程分才完整 作角平分线时，两弧半径取得太小，或交点取了角外的那一个 半径不大于 时两弧不相交；角外交点得到反向延长线 半径大于，交点取角内部 证明题的三个“必须” 必须按对应顺序写全等符号；必须凑齐三组条件，每组后面注明理由；必须在判定之后写一句性质，才能得出线段或角相等。 13 分层作业 A 组 · 基础 A1．已知≌，，，，。求、、。 答案 由对应关系得，所以；，。 A2．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ） A．三边分别相等 B．两角及其夹边分别相等 C．两边及其夹角分别相等 D．两边及其中一边的对角分别相等 答案 D A 是 SSS，B 是 ASA，C 是 SAS；D 是 SSA，不能判定。 B 组 · 中档 B1．如图，，。求证：。 图 23 连接 证明 连接。在 和 中，，，（公共边），所以≌（SSS）。所以（全等三角形的对应角相等）。 B2．如图，，，垂足分别为、，且、 在边 上，，。求证：。 图 24 两个直角三角形，、 在边 上 证明 因为，，所以。在 Rt 和 Rt 中，（斜边），（直角边），所以 Rt≌ Rt（HL）。所以，即。 C 组 · 提升 C1．如图，，，连接 交 于点。求证：①；②，且。 图 25：， 证明 ①在 和 中，，，，所以≌（SSS），所以。 ②在 和 中，，，，所以≌（SAS），所以，。又、、 在同一条直线上，，所以，即。 归纳 第①问为第②问提供了一组相等的角，是典型的“连续使用全等”。 C2．要测量池塘两端、 的距离，在平地上取一个可以直接到达、 的点。连接 并延长到，使；连接 并延长到，使；连接。若量得 m，求、 两点间的距离，并说明理由。 解 在 和 中，，（对顶角相等），，所以≌（SAS）。所以 m。理由：全等三角形的对应边相等。 归纳 测量不可直接到达的两点距离，常用“构造全等三角形，把不可测的线段搬到可测的线段上”。 14 学习自评 评价内容 会 基本会 需复习 能按对应顺序写出全等符号，并说出对应边、对应角 □ □ □ 能根据已知条件选择 SAS、ASA、AAS、SSS 或 HL □ □ □ 会用“同加同减”找共线等线段，用平行线找等角 □ □ □ 能用尺规作一个角等于已知角、作角的平分线，并说出依据 □ □ □ 能区分角平分线的性质与判定，不遗漏“点在角的内部” □ □ □ 能独立完成一次或连续两次全等证明，书写完整 □ □ □ 复习建议：标“需复习”的项目，回到对应课时重做“当堂检测”；标“基本会”的项目，重点补写理由，避免会做但丢过程分。 15 答案速查 当堂检测 题号 答案 关键依据 检1 ，，， 对应角、对应边相等；内角和 检2 C SAS；其余为 SSA 或 AAA 检3 D A 为 ASA，B、C 为 AAS，D 为 AAA 检4 由 SSS 证≌，得 公共边 检5 ①②④③⑤；SSS 三边相等推出对应角相等 检6 由 HL 证 Rt≌ Rt，得 平分 公共斜边，直角边 检7 ；角平分线性质 检8 由角平分线判定定理得 平分 在角内，，， 检9 添 用 SAS；添 用 ASA；添 用 AAS 任写两种，条件位置要正确 分层作业 题号 答案 关键依据 A1 ，， 对应元素相等；内角和 A2 D SSA 不能判定 B1 连接，由 SSS 得 公共边 B2 由 HL 证 Rt≌ Rt，得 斜边，直角边 C1 ①SSS 得；②SAS 得，再证，所以 连续使用全等；邻补角 C2 m SAS 证≌ 使用提示：答案只给结论与关键依据。证明题的完整过程见各题解析；若结论对而过程缺理由，按“过程不规范”重做一遍。 学科网（北京）股份有限公司 $