第十四章·全等三角形·期中复习·满分压轴讲义 ·2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十四章·全等三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握全等三角形的概念与性质，会识别对应边、对应角 · 熟练运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法证明三角形全等 · 掌握角平分线的性质与判定定理，并会解决实际问题 · 会用全等三角形的性质证明线段相等、角相等 · 掌握倍长中线、截长补短等辅助线模型，解决综合与压轴问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.全等三角形的概念与性质 全等形：能够完全重合的两个图形；全等三角形：能够完全重合的两个三角形 对应元素：互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角 全等用符号「≌」表示，如△ABC≌△DEF，读作「△ABC全等于△DEF」，书写时对应顶点写在对应位置 性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，周长相等、面积相等 概念辨析例题：如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，则∠F的度数为____。 答案：60° 解析：全等三角形对应角相等，∠F=∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-70°=60° ✅️ 2.全等三角形的判定 SSS：三边分别相等的两个三角形全等 SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；AAS：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等 HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 概念辨析例题：如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，则判定△ABD≌△ACE的依据是（ ） 答案：SAS 解析：AB=AC、AD=AE两边分别相等，且∠BAD与∠CAE是这两边的夹角，由SAS可得△ABD≌△ACE ✅️ 3.角平分线的性质与判定 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 「距离」指点到角两边的垂线段长度，作辅助线时常过角平分线上的点向两边作垂线 尺规作角平分线：以顶点为圆心画弧交两边于两点，再分别以这两点为圆心等半径画弧交于一点，连接顶点与该交点 概念辨析例题：如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC=4，则PD=____。 答案：4 解析：由角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，故PD=PC=4 ✅️ 4.全等三角形的综合应用 证线段相等、角相等：常转化为证明两个三角形全等，用对应元素相等得结论 倍长中线：倍长中线后构造全等三角形，转移线段和角 截长补短：在长线段上截取一段或延长短线段，构造全等三角形解决线段和差问题 旋转、折叠、平移：图形变换前后两个三角形全等，注意找对应边、对应角 概念辨析例题：如图，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，则△BDE≌△CDA的依据是____。 答案：SAS 解析：BD=CD（中线性质）、DE=AD（倍长）、∠BDE=∠CDA（对顶角相等），两边及夹角分别相等，由SAS得△BDE≌△CDA 🧀 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 全等性质 对应边相等、对应角相等 周长、面积也相等，书写注意对应顶点 SSS / SAS 三边相等；两边及夹角相等 SAS中的角必须是两边的夹角 ASA / AAS 两角夹边相等；两角及对边相等 注意边角的对应位置，勿混淆 角平分线 到角两边距离相等；判定反之 距离指垂线段长，常作垂线辅助 📩 核心考点 【考点1】全等三角形的判定与性质（第1-11题） · 根据已知条件选择判定方法：边多选SSS，两边一角选SAS（角为夹角），两角一边选ASA/AAS，直角三角形选HL · 注意SAS中角必须是两边的夹角，SSA不能判定全等 · 用全等性质求角：对应角相等，结合三角形内角和定理 1．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至，使，连接，则线段长度的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】在上截取，利用全等三角形的判定和性质，可得，，当时，的长度最小，此时的长度最小，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，进行解答，即可． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，的长度最小，此时的长度最小， ∵，， ∴． ∴． 2．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，C、D、E三点在同一直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键． 先证明，再利用全等三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确，，， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∵， ∴平分，故④正确． 故选：D． 3．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形中线的定义可得，运用可证明可得，即可判断①；由全等三角形的性质可得，再根据面积的和差可判定②；由全等三角形的性质可得，利用平行线的判定定理即可判断③；直接根据全等三角形的判定判断④即可． 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，所以①正确； ∵ ∴， ，即和面积相等，所以②正确； ∵， ， ∴，所以③正确； 与BC不一定相等， 不能判断，所以④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据三角形中线可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断A；根据全等三角形性质可得，根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断D；根据三角形面积之间的关系及全等三角形性质可判断C；根据三角形中线求三角形面积，结合三角形面积公式，即可判断B． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故A正确，不符合题意， ∵， ∴， ∴ ，故D正确，不符合题意； ， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，故B错误，符合题意． 5．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，垂直的平分线于点M，D为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的面积公式等知识点，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 如图：延长AM交于N，证明，根据全等三角形的性质得到，再根据三角形的面积公式以及三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：如图：延长AM交于N， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， 故选：A． 6．（25-26八年级上·河北·课后作业）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 由全等三角形的判定定理或，均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ， ， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，和都是等边三角形，，连结，，为直线，的交点，连结，当线段最长时，的值是______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、求过圆内一点的最长弦、圆周角定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，圆中最长的弦相关问题，解直角三角形，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题先证明，得出、、、四点共圆，进而作的外接圆，当为直径时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、、、四点共圆， 如图： 作的外接圆，当为直径时，取得最大值， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，中，，角平分线，交于点F，若，则______度． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角 【分析】本题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．过点F作于点G，于点H，于点T，连结，先根据角平分线定理证明，，从而得到，再根据“斜边直角边”证明，得到，设，列出方程并求解，得到，由此即得答案． 【详解】解：过点F作于点G，于点H，于点T，连接， 平分， ，， 平分， ，， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川广元·阶段检测）有下列命题：①有一边相等的两个等边三角形全等；②腰长相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等；③各有两边长分别是5，4的两个等腰三角形全等；④判定三角形全等的条件中，至少要有一对边对应相等．其中，正确的命题是________（填序号）． 【答案】①④ 【难度】0.4 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、判断命题真假 【分析】根据等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形全等的判定定理，对每个命题逐一进行分析判断即可． 【详解】命题①：等边三角形的三条边都相等，若两个等边三角形有一边相等，那么它们的三条边都相等。根据可判定这两个三角形全等，所以①正确； 命题②：的角可能是顶角，也可能是底角。当一个等腰三角形的顶角是，另一个等腰三角形的底角是时，两个三角形的形状不同，不全等，所以②错误； 命题③：可能是腰长，也可能是底长。当一个等腰三角形的腰长为，底长为；另一个等腰三角形的腰长为，底长为5时，两个三角形的三边长度不同，不全等，所以③错误； 命题④：三角形全等的判定定理中，都至少有一对边对应相等，所以④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形全等的判定定理，掌握以上知识是解题的关键． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则______（用，表示） 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】两点之间线段最短、两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在上截取，连接，，证明，则，当三点共线时，的值最小，然后利用角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图，若在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若在延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ACBD中，点P在对角线AB上，连接PC，PD，，．试说明： (1)． (2)． 【答案】(1) ∵， ∴． 在和中，，，， ∴． (2) 由（1）可知，， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴． 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）要证明，可利用角边角判定定理，结合已知的角相等和公共边来推导； （2）先通过（1）的全等得到对应边相等，再证明，从而得到． 【详解】（1）略 （2） 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是通过已知角的关系，结合公共边或补角性质，逐步证明三角形全等，进而得到对应边相等． 【考点2】角平分线的性质与判定（第12-20题） · 性质：角平分线上的点到角两边距离相等，求距离常用 · 判定：到角两边距离相等的点在角平分线上，证角平分常用 · 过角平分线上的点向两边作垂线，构造相等的距离 12．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）如图，某同学要用直尺和圆规找平分线上的一点，首先用圆规以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，下面的操作步骤不能找到平分线上的点的是（    ） A．连接，作的垂直平分线，与的交点即为所求 B．分别过点，，作和的垂线，两垂线的交点即为所求 C．过点作的垂线，与垂直平分线的交点即为所求 D．分别在和上各取一点和，使，连接和，交点即为所求 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的作图方法，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键，根据全等三角形的判定与性质和角平分线的作图逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据此选项的作图结合垂直平分线的性质可得此选项正确； B、根据此选项的作图结合角平分线的性质可得此选项正确； C、根据此选项的作图，不能证明交点是角平分线上的点； D、根据此选项作图结合全等三角形的判定与性质可得此选项正确； 故选：C． 13．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，中，，点D，E分别在，上，．分别以D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图−角平分线、角平分线的性质．根据题意可得，平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点G作于点H， 由题意可得，平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ①根据角平分线，可知，，根据外角，可知，，推出，即可得到结论；②过作于，于，于，根据角平分线的性质，证明，和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果． 【详解】解：①∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ②过作于，于，于，如图所示： ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ，而不一定等于， ∴不一定等于，故②错误； ③，平分， 垂直平分，故③正确； ④， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④错误． 综上分析可知，①③正确， 故选：B． 15．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列结论中，一定正确的是（   ） ①；②； ③； ④． A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构造建三角形全等是关键． ①和②根据三角形内角和定理可得然后根据平分，平分，可得再根据三角形内角和定理即可进行判断；③作平分可得 证明 可得 进而可以判断；④作，由平分可得，所以，进而可以进行判断． 【详解】解：①在中，， 平分，平分， ． 故①错，②对． ③作平分交于，则 在和中, 同理 故③对． ④作分别交于 由③知平分 故④对． 故答案为D． 16．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 __________ ，的面积的最大值为 ___________________ ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】角平分线的有关计算、确定第三边的取值范围、根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握三角形三边关系定理，构造全等三角形．由三角形三边关系定理可得到 的取值范围；延长、交于点，由证明，推出，，从而可得，当时，的面积取最大值，根据三角形面积公式求解即可，进而得到的面积的最大值． 【详解】解：在中，， ，解得， 如图所示，延长、交于点， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值，最大值为， 的面积的最大值为， 故答案为：，． 17．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积________． 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，根据角平分线性质定理得，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，再通过证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ，，分别为的角平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， 为的角平分线，，， ， ， 的面积， 故答案为：4． 18．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么的周长是________． 【答案】32 【难度】0.4 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 首先根据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可推得，根据等角对等边得出，结合对顶角相等和全等三角形的判定证明，根据全等三角形的性质得出的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ∵是的中点， ∴． ∵， ∴． 由对顶角相等可知：． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴的周长． 故答案为：32． 19．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是______． 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】证明即可判断①，证明即可判断②；过作于点，根据角平分线的性质得，结合，可得，又可得，即可判断③，证明、，可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和△FBD中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③如图所示，过作于点， ∵是边的中点，， ∴，即， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ④∵， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 即、都为等腰三角形，故④正确， ∴正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定性质，等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识点的综合运用，第三个问题难度比较大，添加辅助线是解题的关键． 20．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，，，三条角平分线，，交于点O，于点H．下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论序号有_______________． 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】由得，即可求得，可判断①正确； 由，而，可推导出，可判断②正确； 由，得，再由推导出，即可证明，可判断③错误； 过点O作于点M，于点N，证明，得出，可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵于H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 如图，过点O作于点M，于点N， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【考点3】全等三角形的性质与判定综合（第21-33题） · 由全等证线段相等、角相等，再结合等腰、等边、直角三角形的性质 · 多步全等：先证一组全等得中间结论，再证第二组全等 · 注意图形中的公共边、公共角、对顶角等隐含条件 21．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质 【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析： ①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误． ②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形． ③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误． ④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 22．（25-26八年级上·海南·期中）如图，是的角平分线，，垂足为F，交于点E．有下列结论：①；②；③；④的面积的面积，其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题需要根据角平分线的性质、垂直的定义以及全等三角形的判定与性质，对每个结论进行分析判断． 【详解】解：结论①：∵是的角平分线 ∴ ∵，所以 在和中： ∴ ∴，结论①正确； 结论②：由可得 ∵ ∴是的垂直平分线 ∴，结论②正确； 结论③：仅根据已知条件，无法得出，结论③错误； 结论④：∵，和以为底时，高相同 根据三角形面积公式（a为底，h为高） ∴的面积=的面积，结论④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，掌握“利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段相等和面积相等的关系”是解题的关键． 23．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：A． 24．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别是和的平分线，于点，交于点，于点，交于点，，，，，结论①；②；③．其中不正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】利用证明和即可判断①②，利用全等推出，，通过等量代换即可判断③． 【详解】解：① 是的平分线， ． ， ， ， ． ，． ①正确． ② 是的平分线， ． ， ， ， ． ． ，， ． ②正确． ③由和可知， ，， ， ， ， ， ， ， ． ③正确． 25．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．根据角平分线的判定定理即可判断①正确；连接，证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可判断③错误；先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式即可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 又∵点在的内部， ∴点在的平分线上，则结论①正确； 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上，结论②正确； 如图，延长至点，使得，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在的平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则结论③错误； 由上已证：， ∴， ∴的周长为 ，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：B． 26．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】过点作于，延长交于，先求出，证明，得出，，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于， ∵在中，，，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 27．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，，与交于点O，．点M从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点N从点D出发，沿方向以的速度运动，当点M回到点A时，M，N两点同时停止运动． （1）______； （2）连接，当线段经过点O时，点M的运动时间为______s． 【答案】 16 或 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，分情况讨论． （1）证，可得答案； （2）设运动时间为，当线段经过点O时，证明，推出，分点M沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为： 16 ． （2）设运动时间为， 当线段经过点O时，如下图所示： 在和中， ， ∴， ∴， 当点M沿方向运动时， ∵，， ∴， ∴， 解得； 当点M沿方向运动时， ∵，， ∴， ∴， 解得； 综上可知，t的值为或． 故答案为： 或． 28．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当___________秒时，与全等． 【答案】6或或 【难度】0.4 【知识点】列代数式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题通过证明得到，，则可推出只存在这种情况，则由，再分，，和，四种情况分别用含t的式子表示出的长，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴； ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， ①当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； ③当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； ④当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 综上所述，t的值为6或或， 故答案为：6或或． 29．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在和中，，，． (1)如图，当点、、在同一条直线上时，求证：； (2)如图，当点，、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：； (3)如图，在（）的条件下，连接并延长交于点，是一个固定的值吗？，若是，求出的度数；若不是，请说明理由， 【答案】(1) 证明：在和中， ， ， ； (2) 证明：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； (3)是一个固定的值， 【难度】0.4 【知识点】垂线的定义理解、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】（1）证，即可得证； （2）证，得，再利用三角形的外角性质得，从而得，即可得证； （3）过点作于，于．由（）得：，进而得，利用角平分线的判定可得平分，再根据垂线定义即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作于，于． 由（）得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， 又，， 平分， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了垂线定义，全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及角平分线的判定是解题的关键． 30．（23-24八年级上·广东东莞·期中）在中，，点E、点D分别是上一点，连接，且．    (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，取的中点F，连接，若．求证． 【答案】(1) (2) 证明：延长到使，连接，如图所示： ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ∴， 即， 在和中， ， ， ，    【难度】0.4 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）设，则，由得，再由 得，然后根据三角形的内角和定理求出，则，进而根据可求出的度数； （2）延长到使，连接，先证和全等得，再证，进而可得出结论． 【详解】（1）解：设， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）略 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等，等腰三角形的两个底角相等；难点是正确的作出辅助线构造全等三角形． 31．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图1，是等边三角形，、分别是、上的点，、相交于点，． (1)求的度数； (2)如图2，当时，延长至，使得，连接、， ①求证：平分； ②若，，求的长度． 【答案】(1) (2) ①证明：如图所示，过点C作于M，过点C作交延长线于N， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； ② 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，进而证明，得到，则 由三角形外角的性质可得； （2）①如图所示，过点C作于M，过点C作交延长线于N，利用四边形内角和定理求出，由等边三角形的性质得到，证明，得到，则由角平分线的判定定理即可证明平分；②设，则，求出，则由含30度角的直角三角形的性质得到，则，由全等三角形的性质得到；证明，得到，进一步证明，得到，则，解得，由此可得． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①略 ②设，则， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，四边形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 32．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． (1)试说明：； (2)试求的度数； (3)若点是的中点，则，试求的值． 【答案】(1) 证明：∵，分别是边，边上的高， ∴； 又∵， ∴，． ∴； (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据即可证明； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，可知是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数； （3）过点作于点，证明，则，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 在和中， ∴（） ∴，． ． 是等腰直角三角形． ． ； （3）解：如图，过点作于点， 点是的中点 在和中， ， （）． ． ． 由（2）得，． 又， ． ． ． ． 33．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）在中，为边上一点，为边上一点，连接，将沿折叠得到，直线与直线相交于点． (1)当为边的中点，且时， ①如图1，探究的形状，并说明理由； ②如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图3，，，，当时，求的度数． 【答案】(1) ①是直角三角形，理由如下： 如图1，因为，， 所以，．所以． 在中， 因为， 所以， 即． 所以． 所以是直角三角形． ②，理由： 如图2，因为，所以． 所以， 即． 在和中， 因为，，， 所以 ． 所以． (2)或 【难度】0.4 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】（1）①根据等边对等角得出，，进而根据三角形内角和定理得出，即可求解； ②根据已知得出，进而证明 ，根据全等三角形的性质，即可得出结论； （2）设，则，，根据建立方程，得出．所以，．进而可得，进而分两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）①略 ②略 （2）如图3，因为，所以． 设，所以． 因为，所以． 因为，所以． 所以．所以，． 所以． ①当点在下方时，如图3， 因为，所以． 因为， 在中，． 所以． ②当点在上方时，如图4， 因为，所以． 因为， 在中，． 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【考点4】全等三角形与旋转折叠、模型探究（第34-45题） · 旋转、折叠前后图形全等，找对应边、对应角列等量关系 · 倍长中线构造全等，把分散的线段集中转移 · 截长补短解决线段和差问题，注意构造全等的方向 34．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别以的边，为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接，，，交于点，连接．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等腰三角形的定义 【分析】首先利用证明，可得，；利用三角形外角性质以及全等三角形的性质可证；利用全等三角形面积相等及底边相等可得对应高相等，进而根据角平分线的判定定理证得平分；对于，现有条件无法证明． 【详解】解：由题意得， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故D成立，不符合题意； ∵， ∴， 设与交于点，， ∵ ∴， ∴，故B成立，不符合题意； 过点作于点，过点作于点， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ， ∴平分，故C成立，不符合题意； 现有条件不足以证明，故A不一定成立，符合题意． 35．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）如图，点P是的平分线上一点，于点D，点E是线段上一点，已知，点F为上一点且满足，则的长度为（    ） A．7 B．9 C．9或12 D．5或13 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作于，然后证明，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时两种情况讨论可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点在线段上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的长为或， 故选：D． 36．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点C作，使得，连接，，交于点M，证明，得，当三点共线时的值最小，再证明，得，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作，使得，连接，，交于点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，且此时点F与点M重合， ∵, ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即此时， ∵ ∴， ∴此时． 故选：A． 37．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）如图，，于点，点、分别为、上的动点，且，．当取得最小值时，的度数是_____． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】两点之间线段最短、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】将绕着点顺时针方向旋转，得，连接，可得，，证（）可得，当、、三点共线时，有最小值，此时，是等腰直角三角形，可求，进一步即可求出答案 【详解】解：将绕着点顺时针方向旋转，得，连接， 则，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， （）， ∴， ∴， 当、、三点共线时，有最小值， 此时，是等腰直角三角形， ∴， ∵．， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查面积等积式，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握面积等积式，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，关键是当、、三点共线时，有最小值． 38．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为_______ 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键；延长交于，延长交于，先证明，，，结合即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵，， ∴，， 在与中， ∵， ∴ ∴， ， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 39．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 【答案】[初步思考] 解：在和中 ， ， 即平分； [变式判断] 解：张明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴, ∵，， ∴平分， ∴张明的观点正确； [拓展探究]5或7 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． [初步思考]根据证明即可； [变式判断] 过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； [拓展探究] 当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【详解】[初步思考]略 [变式判断]略 [拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为5或7． 40．（24-25七年级下·广东深圳·期末）几何探究： 已知：利都是等边三角形，连接，交于点． (1)如图1，①判断与的数量关系：_______________．______________： ②连接与的数量关系是：______________； (2)如图2，H，G分别是，的中点， ①当时，______________； ②当发生变化时，请探究的度数是否发生变化，并说明理由： (3)连接，求的值． 【答案】(1)①；60；② (2)①60； ②当发生变化时，的度数不变；理由如下： 连接，如图所示： 当发生改变时，同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； (3) 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①证明，得出，，，根据，得出； ②过点A作于点M，于点N，根据，，得出，证明，即可得出答案； （2）①连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出； ②连接，当发生变化时，同理可证明，得出，，证明为等边三角形，得出； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，得出，求出，，根据，即可得出． 【详解】（1）解：①∵利都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴； ②过点A作于点M，于点N，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴点A在的角平分线上， ∴； （2）解：①连接，如图所示： ∵H，G分别是，的中点， ∴，， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②略 （3）解：过点A作于点M，作于点N，如图所示： 根据解析（1）可知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 41．（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）如图1，，，以点为直角顶点，为腰在第三象限作等腰．求点的坐标； （2）如图2，，为轴负半轴上的一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，在轴下方，以为直角顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； （3）如图3，已知点坐标为，点在轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与轴负轴交于点，与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，求的值． 【答案】（1）；（2）2；（3） 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，得到，得到答案； （3）过点作轴于点，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于点，轴于点， 点坐标为， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ． 42．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）线段，，之间的数量关系为． 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质可证三角形全等，可得对应边相等，对应角相等，结合已知，可得等腰直角三角形，等量代换，即可证得结论； （2）在上截取，综合全等三角形的判定和性质，可得，结合已知和三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可证得结论； （3）在射线上截取，结合角平分线，可证三角形全等，对应边相等，对应角相等，由已知结合三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 证明：如图，在射线截取，连接， ∵是的外角的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 43．（25-26八年级上·全国·课后作业）在等腰直角三角形ABC中，，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转得线段ED，连接BE，过点E作于点M，且． (1)【尝试发现】①如图①，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为______； ②的度数为_______． (2)【类比探究】①当点D在线段BC的延长线上时，先在图②中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明； ②的度数为_______． 【答案】(1)①  ② (2) ①补全图形如图： ，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ② 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）①利用一线三等角全等模型证明，再证明即可；②根据得到，最后根据平角的概念和角的和差关系即可求出的度数； （2）①同（1）中方法证明，再证明即可；②通过角的和差即可求出的度数． 【详解】（1）解：①，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①略 ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握一线三等角全等模型是解题的关键． 44．（22-23八年级上·浙江台州·阶段检测）已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； (2) 解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； (3)3 【难度】0.15 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． （1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 45．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知：在中，是的中点． 【问题解决】 （1）如图1，若，，求的取值范围． 小明的做法是：延长至点，使，连接，证明，小明判定全等的依据为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在的延长线上存在点，，，求证：． 【变式迁移】 （3）如图3，，，，试探究线段与的关系，并证明． 【答案】（1）； （2）解：延长到E，使，连接， ∵是的中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：， 证明如下： 如图，在的延长线上截取，连接， 则， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，三角形的三边关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键． （1）利用证明； （2）延长到，使，连接，根据证，推出，根据，推出，根据全等三角形的判定与性质求出即可． （3）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明、和，再证明得到和，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴，其中判定全等的依据为， 故答案为：； （2）略 （3）略 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 熟记全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，是证线段、角相等的桥梁 · 五种判定方法要灵活选用：一般三角形SSS/SAS/ASA/AAS，直角三角形再加HL · 注意SAS中的角必须是两边的夹角，SSA不能判定全等 · 角平分线问题常作垂线，利用「距离相等」实现转化 · 压轴题遇线段和差想截长补短，遇中线想倍长中线，遇旋转折叠找对应关系 【作业1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）题目：“在和中，两个三角形的高线分别为和，，，，，且．已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】三角形内角和定理的应用、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题要分两种情况求出，一种情况是，此时可得：；另一种情况是当在内部，在外部时，此时可得：， 【详解】解：如下图所示， 当时，； 如下图所示， 当在内部，在外部时， ，， ， ， ， 要把甲和丙的答案合在一起才完整． 故选：B． 【作业2】（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 【作业3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的平分线与的平分线相交于点，作于点．若，则与之间的距离为______cm． 【答案】3.6 【难度】0.4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】过点作交于，交于，根据角平分线的性质得到,,计算即可. 【详解】解：过点作交于，交于， ， ， 是的平分线，， , 是的平分线，， , . 故答案为：3.6. 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解决问题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【作业4】（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若，则 ______ ． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形 【分析】过点作于点，设，则，求出，利用直角三角形的性质得，则，同理得，则，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，则，由此解出即可得的长． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 设， ， ， ， 在中，，则， ， ， ， ， 在中，，则， ， ， ，， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 【作业5】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，分别是上的点，作，，垂足分别是．若，，下列结论：①；②；③；④时，，其中正确的是______ 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，四边形的内角和，证明，可得，即可判定①；由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得，得到，即可判定②；在和中，仅知，无法判定，即可判定③；证明，可得，进而得到，再根据四边形的内角和可得，即可判定④，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在和中，仅知， ∴无法判定，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 【作业6】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD与中，，，．下列条件中：①，；②，；③，；④，．添加上述条件中的其中一个，可使四边形四边形，上述条件中，符合要求的有________个． 【答案】3 【难度】0.4 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】此题主要考查了全等形，全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法． 连接、，通过证明，，即可得到结论． 【详解】解：连接、， 在和中， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴四边形和四边形中，，，，，，，，， ∴四边形四边形． 同理根据③④的条件证得四边形四边形． 综上所述，符合要求的条件是①③④， 故答案为：． 【作业7】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的边上分别取点M、N，连接，平分，平分.若的长为2，的面积为2，的面积为6，则的长为______． 【答案】8 【难度】0.4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质定理，面积关系的运用，掌握定理内容是关键；过点P分别作的垂线，垂足分别，连接；由角平分线的性质定理易得，再由的面积为2可求得，根据的面积为6可得四边形的面积，再由面积关系即可求解． 【详解】解：如图，过点P分别作的垂线，垂足分别为，连接； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵的面积为2，， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：8． 【作业8】（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则    （1）的长为______； （2）的最小值为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． 过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，再根据列方程求出的长； 过点作交于点，作交于点，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作，    平分交于点， ， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，    平分交于点， 点与点关于对称， ， 在中，， ， ， 解得：， 故答案为：． 【作业9】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D，E分别为边AC，BC上一点，连接BD，DE．已知，． (1)试说明：BD平分． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴平分． (2) 【难度】0.4 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用SSS证明三角形全等（SSS）、角平分线的性质定理 【分析】（1）通过证明和 全等，利用全等三角形对应角相等得出； （2）先根据全等三角形的性质得到角的关系，再结合三角形外角性质、直角三角形的角的关系求解的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了判定三角形全等、全等三角形的性质、三角形外角性质及直角三角形的角的关系，解题关键是通过全等三角形建立角的等量关系，结合三角形相关性质逐步推导角度． 【作业10】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【答案】 如图：即为所作． 【难度】0.4 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作出的余角，再作，在上截取，以B为顶点，为一边作，则即为所作． 【详解】略 【作业11】（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知：在四边形ABCD中，BD平分，，求AD与DC的数量关系． 【特例分析】（1）如图①，当时，AD与DC的数量关系是________________． 【问题解决】（2）如图②，当时，AD与CD存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）； （2）．理由如下： 如图，过点分别作于点E，交BA的延长线于点， ． 平分， ． 在和中， ， ． ，， ． 在和中， ， ． 【难度】0.4 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据、可得，根据平分得到，再根据证明，即可得到结论； （2）过点分别作于点E，交BA的延长线于点，先通过证明，根据全等三角形的性质得到，再通过等角的补角相等证明，通过证明，即可求解． 【详解】解：（1） 【提示】、， ． 平分， ． 在和中， ∴， ∴． （2） 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 【作业12】（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，已知，，点是上一点，且．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若把沿直线向左移动，使的顶点与点重合，与交于点． 判断与的位置关系，并说明理由； 若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 解：， 理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ； (2) 解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在中，， ； . 【难度】0.4 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质、利用平移的性质求解 【分析】根据垂直定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，因为，可知，等量代换可得：，根据三角形内角和定理可得：，从而可知； 仿照可得，从而可知； 根据平移的性质可知，根据，，可知． 【详解】（1）略 （2）略 解： ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用、平移的性质的运用、垂直的判定及性质的运用，解决本题的关键是利用全等三角形的性质找边和角之间的关系． 【作业13】（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． 【答案】(1)， 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (2) (3)16或 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， 的周长为：， 故答案为：或 ． 【作业14】（2025八年级上·全国·专题练习）如图①，在中，是线段上一点，．以为边，向外作，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图②，若点在延长线上时， ①，求的度数； ②，求的周长． 【答案】(1) 证明：， ． ， ， 在和中， ， ． 又， ； (2) 证明：由（1）得，在中，， ； (3) ； 【难度】0.4 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题主要考查了等边对等角，等角对等边，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质． （1）利用等边对等角得出，证明，得出，然后利用等量代换即可求解； （2）利用（1）中的结论，，再利用等边对等角即可； （3）①同（1）证明，得出，然后利用等腰三角形的性质求出角的度数，再利用角的和差进行求解即可； ②借助①得出，得到，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①同（1），若点D在延长线上时， 同样有， ． ， ， ． ， ； ②由①得，， ， ， 的周长为． 【作业15】（24-25七年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，，，，垂足分别为，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点运动到某处时有与全等，求出相应的的值． (3)在（）成立的条件下且两点的运动速度相同时，_____（直接写出结果） 【答案】(1)，， 理由如下： ∵，， ∴， ∵点的运动速度与点的运动速度相等，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； (2)当时，，；当时，， (3) 【难度】0.4 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（）由题意可得，，进而得，即可证，由全等三角形的性质得，即可由得，即可求证； （）分和两种情况，根据全等三角形的性质列出方程解答即可求解； （）由得，即得，进而可得，得到，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：①若时，则，， ∴，， 解得，； ②若，则，， ∴，， 解，； 综上，当时，，；当时，，； （3）解：∵两点的运动速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章·全等三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握全等三角形的概念与性质，会识别对应边、对应角 · 熟练运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法证明三角形全等 · 掌握角平分线的性质与判定定理，并会解决实际问题 · 会用全等三角形的性质证明线段相等、角相等 · 掌握倍长中线、截长补短等辅助线模型，解决综合与压轴问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.全等三角形的概念与性质 全等形：能够完全重合的两个图形；全等三角形：能够完全重合的两个三角形 对应元素：互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角 全等用符号「≌」表示，如△ABC≌△DEF，读作「△ABC全等于△DEF」，书写时对应顶点写在对应位置 性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，周长相等、面积相等 概念辨析例题：如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，则∠F的度数为____。 答案：60° 解析：全等三角形对应角相等，∠F=∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-70°=60° ✅️ 2.全等三角形的判定 SSS：三边分别相等的两个三角形全等 SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；AAS：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等 HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 概念辨析例题：如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，则判定△ABD≌△ACE的依据是（ ） 答案：SAS 解析：AB=AC、AD=AE两边分别相等，且∠BAD与∠CAE是这两边的夹角，由SAS可得△ABD≌△ACE ✅️ 3.角平分线的性质与判定 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 「距离」指点到角两边的垂线段长度，作辅助线时常过角平分线上的点向两边作垂线 尺规作角平分线：以顶点为圆心画弧交两边于两点，再分别以这两点为圆心等半径画弧交于一点，连接顶点与该交点 概念辨析例题：如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC=4，则PD=____。 答案：4 解析：由角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，故PD=PC=4 ✅️ 4.全等三角形的综合应用 证线段相等、角相等：常转化为证明两个三角形全等，用对应元素相等得结论 倍长中线：倍长中线后构造全等三角形，转移线段和角 截长补短：在长线段上截取一段或延长短线段，构造全等三角形解决线段和差问题 旋转、折叠、平移：图形变换前后两个三角形全等，注意找对应边、对应角 概念辨析例题：如图，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，则△BDE≌△CDA的依据是____。 答案：SAS 解析：BD=CD（中线性质）、DE=AD（倍长）、∠BDE=∠CDA（对顶角相等），两边及夹角分别相等，由SAS得△BDE≌△CDA 🧀 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 全等性质 对应边相等、对应角相等 周长、面积也相等，书写注意对应顶点 SSS / SAS 三边相等；两边及夹角相等 SAS中的角必须是两边的夹角 ASA / AAS 两角夹边相等；两角及对边相等 注意边角的对应位置，勿混淆 角平分线 到角两边距离相等；判定反之 距离指垂线段长，常作垂线辅助 📩 核心考点 【考点1】全等三角形的判定与性质（第1-11题） · 根据已知条件选择判定方法：边多选SSS，两边一角选SAS（角为夹角），两角一边选ASA/AAS，直角三角形选HL · 注意SAS中角必须是两边的夹角，SSA不能判定全等 · 用全等性质求角：对应角相等，结合三角形内角和定理 1．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至，使，连接，则线段长度的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，C、D、E三点在同一直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，垂直的平分线于点M，D为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 6．（25-26八年级上·河北·课后作业）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，和都是等边三角形，，连结，，为直线，的交点，连结，当线段最长时，的值是______． 8．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，中，，角平分线，交于点F，若，则______度． 9．（25-26八年级上·四川广元·阶段检测）有下列命题：①有一边相等的两个等边三角形全等；②腰长相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等；③各有两边长分别是5，4的两个等腰三角形全等；④判定三角形全等的条件中，至少要有一对边对应相等．其中，正确的命题是________（填序号）． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则______（用，表示） 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ACBD中，点P在对角线AB上，连接PC，PD，，．试说明： (1)． (2)． 【考点2】角平分线的性质与判定（第12-20题） · 性质：角平分线上的点到角两边距离相等，求距离常用 · 判定：到角两边距离相等的点在角平分线上，证角平分常用 · 过角平分线上的点向两边作垂线，构造相等的距离 12．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）如图，某同学要用直尺和圆规找平分线上的一点，首先用圆规以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，下面的操作步骤不能找到平分线上的点的是（    ） A．连接，作的垂直平分线，与的交点即为所求 B．分别过点，，作和的垂线，两垂线的交点即为所求 C．过点作的垂线，与垂直平分线的交点即为所求 D．分别在和上各取一点和，使，连接和，交点即为所求 13．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，中，，点D，E分别在，上，．分别以D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 14．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 15．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列结论中，一定正确的是（   ） ①；②； ③； ④． A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 16．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 __________ ，的面积的最大值为 ___________________ ． 17．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积________． 18．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么的周长是________． 19．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是______． 20．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，，，三条角平分线，，交于点O，于点H．下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论序号有_______________． 【考点3】全等三角形的性质与判定综合（第21-33题） · 由全等证线段相等、角相等，再结合等腰、等边、直角三角形的性质 · 多步全等：先证一组全等得中间结论，再证第二组全等 · 注意图形中的公共边、公共角、对顶角等隐含条件 21．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（25-26八年级上·海南·期中）如图，是的角平分线，，垂足为F，交于点E．有下列结论：①；②；③；④的面积的面积，其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 23．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 24．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别是和的平分线，于点，交于点，于点，交于点，，，，，结论①；②；③．其中不正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 25．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 26．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 27．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，，与交于点O，．点M从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点N从点D出发，沿方向以的速度运动，当点M回到点A时，M，N两点同时停止运动． （1）______； （2）连接，当线段经过点O时，点M的运动时间为______s． 28．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当___________秒时，与全等． 29．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在和中，，，． (1)如图，当点、、在同一条直线上时，求证：； (2)如图，当点，、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：； (3)如图，在（）的条件下，连接并延长交于点，是一个固定的值吗？，若是，求出的度数；若不是，请说明理由， 30．（23-24八年级上·广东东莞·期中）在中，，点E、点D分别是上一点，连接，且．    (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，取的中点F，连接，若．求证． 31．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图1，是等边三角形，、分别是、上的点，、相交于点，． (1)求的度数； (2)如图2，当时，延长至，使得，连接、， ①求证：平分； ②若，，求的长度． 32．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． (1)试说明：； (2)试求的度数； (3)若点是的中点，则，试求的值． 33．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）在中，为边上一点，为边上一点，连接，将沿折叠得到，直线与直线相交于点． (1)当为边的中点，且时， ①如图1，探究的形状，并说明理由； ②如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图3，，，，当时，求的度数． 【考点4】全等三角形与旋转折叠、模型探究（第34-45题） · 旋转、折叠前后图形全等，找对应边、对应角列等量关系 · 倍长中线构造全等，把分散的线段集中转移 · 截长补短解决线段和差问题，注意构造全等的方向 34．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别以的边，为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接，，，交于点，连接．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C．平分 D． 35．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）如图，点P是的平分线上一点，于点D，点E是线段上一点，已知，点F为上一点且满足，则的长度为（    ） A．7 B．9 C．9或12 D．5或13 36．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）如图，，于点，点、分别为、上的动点，且，．当取得最小值时，的度数是_____． 38．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为_______ 39．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 40．（24-25七年级下·广东深圳·期末）几何探究： 已知：利都是等边三角形，连接，交于点． (1)如图1，①判断与的数量关系：_______________．______________： ②连接与的数量关系是：______________； (2)如图2，H，G分别是，的中点， ①当时，______________； ②当发生变化时，请探究的度数是否发生变化，并说明理由： (3)连接，求的值． 41．（24-25八年级上·江西上饶·期末）（1）如图1，，，以点为直角顶点，为腰在第三象限作等腰．求点的坐标； （2）如图2，，为轴负半轴上的一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，在轴下方，以为直角顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； （3）如图3，已知点坐标为，点在轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与轴负轴交于点，与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，求的值． 42．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 43．（25-26八年级上·全国·课后作业）在等腰直角三角形ABC中，，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转得线段ED，连接BE，过点E作于点M，且． (1)【尝试发现】①如图①，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为______； ②的度数为_______． (2)【类比探究】①当点D在线段BC的延长线上时，先在图②中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明； ②的度数为_______． 44．（22-23八年级上·浙江台州·阶段检测）已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 45．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知：在中，是的中点． 【问题解决】 （1）如图1，若，，求的取值范围． 小明的做法是：延长至点，使，连接，证明，小明判定全等的依据为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在的延长线上存在点，，，求证：． 【变式迁移】 （3）如图3，，，，试探究线段与的关系，并证明． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 熟记全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，是证线段、角相等的桥梁 · 五种判定方法要灵活选用：一般三角形SSS/SAS/ASA/AAS，直角三角形再加HL · 注意SAS中的角必须是两边的夹角，SSA不能判定全等 · 角平分线问题常作垂线，利用「距离相等」实现转化 · 压轴题遇线段和差想截长补短，遇中线想倍长中线，遇旋转折叠找对应关系 【作业1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）题目：“在和中，两个三角形的高线分别为和，，，，，且．已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【作业2】（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【作业3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的平分线与的平分线相交于点，作于点．若，则与之间的距离为______cm． 【作业4】（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若，则 ______ ． 【作业5】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，分别是上的点，作，，垂足分别是．若，，下列结论：①；②；③；④时，，其中正确的是______ 【作业6】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD与中，，，．下列条件中：①，；②，；③，；④，．添加上述条件中的其中一个，可使四边形四边形，上述条件中，符合要求的有________个． 【作业7】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的边上分别取点M、N，连接，平分，平分.若的长为2，的面积为2，的面积为6，则的长为______． 【作业8】（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则    （1）的长为______； （2）的最小值为______． 【作业9】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D，E分别为边AC，BC上一点，连接BD，DE．已知，． (1)试说明：BD平分． (2)若，求的度数． 【作业10】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【作业11】（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知：在四边形ABCD中，BD平分，，求AD与DC的数量关系． 【特例分析】（1）如图①，当时，AD与DC的数量关系是________________． 【问题解决】（2）如图②，当时，AD与CD存在怎样的数量关系？请说明理由． 【作业12】（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，已知，，点是上一点，且．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若把沿直线向左移动，使的顶点与点重合，与交于点． 判断与的位置关系，并说明理由； 若，，求四边形的面积． 【作业13】（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【作业14】（2025八年级上·全国·专题练习）如图①，在中，是线段上一点，．以为边，向外作，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图②，若点在延长线上时， ①，求的度数； ②，求的周长． 【作业15】（24-25七年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，，，，垂足分别为，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点运动到某处时有与全等，求出相应的的值． (3)在（）成立的条件下且两点的运动速度相同时，_____（直接写出结果） 学科网（北京）股份有限公司 $