重难点05 轴对称的概念、性质、作图（单元复习、期中复习） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点05 轴对称的概念、性质、作图 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、轴对称、成轴对称的概念和性质 2 知识点二、图形的轴对称与中心对称（补充拓展） 3 知识点三、线段的垂直平分线 4 知识点四、轴对称变换的本质 5 知识点五、点关于直线对称的核心规律（作图底层逻辑） 5 知识点六、画轴对称图形的通用标准五步（大题作图必写步骤） 6 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 7 【题型1 轴对称图形、成轴对称识别；对称轴条数判断】 7 【题型2 轴对称图形性质：判断、求线段与角度】 7 【题型3 镜面对称（车牌、钟表、电子钟镜像）】 8 【题型4 生活模型：台球、光线反射、折叠问题】 9 【题型5 线段垂直平分线的性质与判定】 10 【题型6 逆命题、互逆命题、互逆定理辨析】 11 【题型7 尺规作图：画对称轴、作轴对称图形、作垂直平分线、过点作垂线】 12 【题型8 坐标系内点与图形的轴对称坐标变换】 13 【题型9 轴对称综合大题（线段、角度、面积综合）】 14 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 16 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 23 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・轴对称与轴对称图形的概念辨析，区分两个图形成轴对称和一个图形是轴对称图形 ・轴对称的性质：对称点连线被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等 ・对称轴的判定方法，找轴对称图形的全部对称轴 ・轴对称作图：作一个点、一条线段、一个多边形关于已知直线的对称图形 ・利用轴对称的性质求线段长度、角度大小 ・轴对称与折叠问题结合，依托轴对称实现边角等量转化 ・基础层面：以选择题、填空题考查概念识别、对称轴条数判断，属于基础送分题型 ・能力层面：规范尺规作图，要求保留作图痕迹；结合折叠，隐藏轴对称背景，求边角 ・综合层面：作为将军饮马、最短路径问题的理论基础，在几何最值大题中渗透考查 ・着重考查识图能力，要求学生发现图形中隐含的对称关系 考情解码： ・分值定位：选择填空 2–3 分，作图题 3–4 分，常作为几何综合题的底层工具，不单独压轴 ・高频失分点：混淆 “轴对称” 和 “轴对称图形” 概念；作图漏画痕迹、对称点找错；折叠题不会识别相等边角 ・备考提示：理清概念差异，熟记性质；反复练习标准轴对称作图；把折叠问题统一归为轴对称模型去拆解 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、轴对称、成轴对称的概念和性质 1. 轴对称图形（单个图形自身对称） 定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。 例：等腰三角形、长方形、圆、线段、角。 2. 成轴对称（两个图形对称） 定义：两个平面图形沿一条直线折叠后能够重合，称这两个图形成轴对称，直线是对称轴。 两者区别与联系 · 区别：轴对称图形是1 个图形；成轴对称是2 个图形。 · 联系：把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分开，得到两个成轴对称的图形。 3.轴对称核心性质（必考） · 成轴对称的两个图形全等（对应边、对应角相等）； · 任意一组对应点的连线，被对称轴垂直平分； · 对应线段、对应角分别相等；对应线段延长线的交点在对称轴上。 4.典型应用模型：将军饮马（最短路径） · 题型：直线同侧两点，求直线上动点P使PA+PB最小； · 作法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，和直线交点即为P； · 原理：轴对称转化折线，利用 “两点之间线段最短”。 5.三角形拓展 · 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的高（中线、顶角角平分线）； · 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三顶点距离相等； · 锐角△：外心在内部；直角△：外心在斜边中点；钝角△：外心在外部。 6.高频易错点 · 对称轴是直线，不是线段、射线； · 全等图形不一定轴对称，轴对称图形一定全等； · 作图不可省略垂线、圆弧痕迹，会扣分； · 混淆 x、y 轴对称坐标符号； · 判定垂直平分线，必须同时满足 “垂直 + 平分” 两个条件。 知识点二、图形的轴对称与中心对称（补充拓展） 一：轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 二：轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 知识点三、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 两层要求：①平分线段；②与线段垂直。 2.两大核心定理（必考） (1) 性质定理（线上点→到两端距离相等） 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： 若直线l垂直平分AB，点P在l上，则 PA=PB。 (2) 判定定理（到两端等距→在垂直平分线上） 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 3.集合意义 线段的垂直平分线，是所有到线段两端点距离相等的点的集合。 4.尺规作图：作已知线段的垂直平分线 5.三角形拓展考点 · 三角形三边垂直平分线交于同一点，这个点叫外心； · 外心到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）； · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边中点； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 6.常见题型 & 易错点 (1) 基础计算：利用PA=PB列线段等式求边长； (2) 作图题：补全轴对称图形、找对称轴、将军饮马作对称点； (3) 易错坑： ① 只平分线段不垂直，不是垂直平分线； ② 判定定理需两个端点距离同时相等，单一端相等不成立； ③ 作图半径不能小于二分之一线段长，否则无交点。 7.和轴对称的关联 两个成轴对称图形，对应点连线的垂直平分线，就是这两个图形的对称轴。 知识点四、轴对称变换的本质 定义：由一个平面图形得到它关于一条直线l对称的图形，这个过程叫轴对称变换；直线l称为对称轴。 三大不变性质（考试核心采分点） · 形状、大小完全不变（全等：原图与对称图形全等） · 对应线段长度相等，对应角相等 · 任意一组对应点的连线，被对称轴垂直平分 拓展：成轴对称的两个图形，可以看作一个图形经过轴对称变换得到；一个轴对称图形，自身左右两半互为轴对称变换。 知识点五、点关于直线对称的核心规律（作图底层逻辑） （1）点关于直线的对称点： 设点P，关于直线l的对称点P’，则有PP’垂直l，且PP’的中点在l上，即l是PP’的垂直平分线。 （2） 坐标系中的对称： 设坐标系中有点A（x, y），则点A关于x轴的对称点是（x, -y），关于y轴的对称点是（-x, y），关于原点的对称点是（-x, -y），如下图 知识点六、画轴对称图形的通用标准五步（大题作图必写步骤） (1) 所有多边形、不规则图形画对称图形通用，阅卷标准步骤 (2) 找点：找出原图形中所有关键顶点（线段端点、拐点、交点）； (3) 作垂线：过每个关键点，向对称轴作垂线段； (4) 截等距：延长垂线段至对称轴另一侧，截取与原点到对称轴距离相等的线段，得到对应对称点； (5) 描点：标记全部对称顶点； (6) 连线：按原图顶点顺序，顺次连接对称点，得到轴对称图形。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 轴对称图形、成轴对称识别；对称轴条数判断】 【例1】下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【变式1-2】已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点、点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 轴对称图形性质：判断、求线段与角度】 【例2】如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，直线交于点D，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【变式2-3】如图，某快递公司计划在主干路上设一个机器人配货总部，在主干路同侧有与两个机器人配送点，若使配货总部到两个配送点的距离和最小，则下列示意图中配货总部的位置符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 镜面对称（车牌、钟表、电子钟镜像）】 【例3】一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【变式3-1】李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【题型4 生活模型：台球、光线反射、折叠问题】 【例4】如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【变式4-2】如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，已知长方形纸片，点，分别在边和上，且，和分别是边和上的动点，现将点，沿向下折叠至点，处，将点，沿向上折叠至点，处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型5 线段垂直平分线的性质与判定】 【例5】已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在等腰直角中，，，D为边上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交于点E，有以下结论：①；②当时，；③当D为的中点时，垂直平分；④当时，，其中正确的结论为（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【变式5-3】如图，在中，，，是的角平分线，则下列结论不正确的是（   ） A． B．点在线段的垂直平分线上 C． D． 【题型6 逆命题、互逆命题、互逆定理辨析】 【例6】下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．成轴对称的两个图形全等 C．全等三角形的对应角相等 D．直角三角形的两锐角互余 【变式6-1】下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【变式6-2】下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（   ） A．成轴对称的两个图形全等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．全等三角形的面积相等 【变式6-3】下列说法不正确的是（    ） A．命题有真命题，也有假命题 B．要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可 C．一个定理的逆命题是原定理的逆定理 D．要说明一个命题是真命题，需要进行证明 【题型7 尺规作图：画对称轴、作轴对称图形、作垂直平分线、过点作垂线】 【例7】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； (2)写出，，三点的坐标：______，______，______； (3)平面内一点关于轴对称的点的坐标为______，点关于轴对称的点的坐标为______； 【变式7-1】按要求用无刻度直尺和圆规作图，（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图①，作的平分线； (2)如图②，作直线l，使得点A与点P关于直线l对称． 【变式7-3】尺规作图 (1)在边上找一点，使的周长等于 (2)在边上找一点，使得 【变式7-2】尺规作图：如图，已知．求作：边上的高．（提示：保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）． 【题型8 坐标系内点与图形的轴对称坐标变换】 【例8】若点关于轴的对称点为，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的平方根为（    ） A．1 B． C． D．0 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，依作点关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点，关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点……按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型9 轴对称综合大题（线段、角度、面积综合）】 【例9】如图，等腰三角形的周长是21cm，底边． (1)求的长； (2)若N是的中点，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动．同时点Q从点C出发向点A运动，当与全等时，求点Q的速度． (3)点分别是上的动点，当的周长取最小值时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式9-1】在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【变式9-2】在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 【变式9-3】如图，正方形网格中． (1)画出关于直线对称的图形；（点，，的对应点分别为点，，，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） (2)在直线上找一点，使周长最小． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，垂足为，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．下列各命题都成立，判断它们的逆命题为真命题的是（     ） A．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 B．全等三角形的对应角相等 C．成轴对称的两个三角形全等 D．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 4．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（即：，）．小球从点出发第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点为图中的（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，直线是经过点且平行于轴的直线，点与点关于直线轴对称，则的值为（     ） A．0 B．1 C． D． 7．蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如图，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C．1 D．0 8．已知点关于轴的对称点在第一象限，则的范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 9．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为 ，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点S的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（   ）    A． B． C．0 D．1 11．如图，直线表示铁路，，两点表示某工厂两个生产区，若要在铁路旁修建一个货仓，使货仓到两个生产区，的距离之和最短，则这样的点的位置有________处． 12．如图，已知，，则图中共有全等三角形________对 13．把沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则的度数为________． 14．如图，的顶点分别为，，，且与全等（点与点不重合），则点的坐标可以是__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，P为y轴上一动点，且A，B，P三点不在同一条直线上，连接．当的周长最小时，点P的坐标为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出向下平移4个单位长度的；（点，，的对应点分别为，，） (2)作出关于轴对称的（点，，的对称点为，，）并直接写出点的坐标； (3)如何平移才能使它与关于轴对称？ 17．在平面直角坐标系中，对点作如下变换：若，作点P关于y轴的对称点；若，作点P关于x轴的对称点，我们称这种变换为“变换”． (1)点作“变换”后的坐标为________；点作“YS变换”后的坐标为________； (2)已知点，，，其中，且点A，B作“变换”后对应的点分别为M，N两点，，求m的值． 18．一中在向你招手，加油！在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点，再将点关于y轴的对称点记作点则称点为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点关于x轴的对称点为点，点关于y轴的对称点为点，所以点关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 (1)点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是______； (2)点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是，求a和b的值； (3)点关于x轴和y轴的“一中对称点”满足点到y轴的距离等于点F到x轴距离，直接写出x的值； (4)若点关于x轴和y轴的“一中对称点”在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围； 19．如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴负半轴上，，且，满足． (1)直接写出点，，的坐标； (2)点关于轴的对称点为点，点是线段上一点，若直线平分三角形的面积，求点的横坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度向轴负半轴运动，动点从点出发以每秒个单位长度向轴正半轴运动，设直线、交于点，设动点、运动的时间为秒， ①如图2，当时，试探究与面积的数量关系，并说明理由； ②若的面积为，请写出一个满足条件的点坐标是__________． 20．如图，点，，若点关于y轴的对称点的坐标为 (1)求的面积． (2)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，试探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 54 页 第 1 页 共 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点05 轴对称的概念、性质、作图 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、轴对称、成轴对称的概念和性质 2 知识点二、图形的轴对称与中心对称（补充拓展） 3 知识点三、线段的垂直平分线 4 知识点四、轴对称变换的本质 5 知识点五、点关于直线对称的核心规律（作图底层逻辑） 5 知识点六、画轴对称图形的通用标准五步（大题作图必写步骤） 6 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 7 【题型1 轴对称图形、成轴对称识别；对称轴条数判断】 7 【题型2 轴对称图形性质：判断、求线段与角度】 8 【题型3 镜面对称（车牌、钟表、电子钟镜像）】 10 【题型4 生活模型：台球、光线反射、折叠问题】 12 【题型5 线段垂直平分线的性质与判定】 15 【题型6 逆命题、互逆命题、互逆定理辨析】 19 【题型7 尺规作图：画对称轴、作轴对称图形、作垂直平分线、过点作垂线】 21 【题型8 坐标系内点与图形的轴对称坐标变换】 24 【题型9 轴对称综合大题（线段、角度、面积综合）】 27 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 33 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 52 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・轴对称与轴对称图形的概念辨析，区分两个图形成轴对称和一个图形是轴对称图形 ・轴对称的性质：对称点连线被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等 ・对称轴的判定方法，找轴对称图形的全部对称轴 ・轴对称作图：作一个点、一条线段、一个多边形关于已知直线的对称图形 ・利用轴对称的性质求线段长度、角度大小 ・轴对称与折叠问题结合，依托轴对称实现边角等量转化 ・基础层面：以选择题、填空题考查概念识别、对称轴条数判断，属于基础送分题型 ・能力层面：规范尺规作图，要求保留作图痕迹；结合折叠，隐藏轴对称背景，求边角 ・综合层面：作为将军饮马、最短路径问题的理论基础，在几何最值大题中渗透考查 ・着重考查识图能力，要求学生发现图形中隐含的对称关系 考情解码： ・分值定位：选择填空 2–3 分，作图题 3–4 分，常作为几何综合题的底层工具，不单独压轴 ・高频失分点：混淆 “轴对称” 和 “轴对称图形” 概念；作图漏画痕迹、对称点找错；折叠题不会识别相等边角 ・备考提示：理清概念差异，熟记性质；反复练习标准轴对称作图；把折叠问题统一归为轴对称模型去拆解 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、轴对称、成轴对称的概念和性质 1. 轴对称图形（单个图形自身对称） 定义：一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。 例：等腰三角形、长方形、圆、线段、角。 2. 成轴对称（两个图形对称） 定义：两个平面图形沿一条直线折叠后能够重合，称这两个图形成轴对称，直线是对称轴。 两者区别与联系 · 区别：轴对称图形是1 个图形；成轴对称是2 个图形。 · 联系：把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分开，得到两个成轴对称的图形。 3.轴对称核心性质（必考） · 成轴对称的两个图形全等（对应边、对应角相等）； · 任意一组对应点的连线，被对称轴垂直平分； · 对应线段、对应角分别相等；对应线段延长线的交点在对称轴上。 4.典型应用模型：将军饮马（最短路径） · 题型：直线同侧两点，求直线上动点P使PA+PB最小； · 作法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，和直线交点即为P； · 原理：轴对称转化折线，利用 “两点之间线段最短”。 5.三角形拓展 · 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的高（中线、顶角角平分线）； · 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三顶点距离相等； · 锐角△：外心在内部；直角△：外心在斜边中点；钝角△：外心在外部。 6.高频易错点 · 对称轴是直线，不是线段、射线； · 全等图形不一定轴对称，轴对称图形一定全等； · 作图不可省略垂线、圆弧痕迹，会扣分； · 混淆 x、y 轴对称坐标符号； · 判定垂直平分线，必须同时满足 “垂直 + 平分” 两个条件。 知识点二、图形的轴对称与中心对称（补充拓展） 一：轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 二：轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 知识点三、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 两层要求：①平分线段；②与线段垂直。 2.两大核心定理（必考） (1) 性质定理（线上点→到两端距离相等） 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： 若直线l垂直平分AB，点P在l上，则 PA=PB。 (2) 判定定理（到两端等距→在垂直平分线上） 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 3.集合意义 线段的垂直平分线，是所有到线段两端点距离相等的点的集合。 4.尺规作图：作已知线段的垂直平分线 5.三角形拓展考点 · 三角形三边垂直平分线交于同一点，这个点叫外心； · 外心到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心）； · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边中点； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 6.常见题型 & 易错点 (1) 基础计算：利用PA=PB列线段等式求边长； (2) 作图题：补全轴对称图形、找对称轴、将军饮马作对称点； (3) 易错坑： ① 只平分线段不垂直，不是垂直平分线； ② 判定定理需两个端点距离同时相等，单一端相等不成立； ③ 作图半径不能小于二分之一线段长，否则无交点。 7.和轴对称的关联 两个成轴对称图形，对应点连线的垂直平分线，就是这两个图形的对称轴。 知识点四、轴对称变换的本质 定义：由一个平面图形得到它关于一条直线l对称的图形，这个过程叫轴对称变换；直线l称为对称轴。 三大不变性质（考试核心采分点） · 形状、大小完全不变（全等：原图与对称图形全等） · 对应线段长度相等，对应角相等 · 任意一组对应点的连线，被对称轴垂直平分 拓展：成轴对称的两个图形，可以看作一个图形经过轴对称变换得到；一个轴对称图形，自身左右两半互为轴对称变换。 知识点五、点关于直线对称的核心规律（作图底层逻辑） （1）点关于直线的对称点： 设点P，关于直线l的对称点P’，则有PP’垂直l，且PP’的中点在l上，即l是PP’的垂直平分线。 （2） 坐标系中的对称： 设坐标系中有点A（x, y），则点A关于x轴的对称点是（x, -y），关于y轴的对称点是（-x, y），关于原点的对称点是（-x, -y），如下图 知识点六、画轴对称图形的通用标准五步（大题作图必写步骤） (1) 所有多边形、不规则图形画对称图形通用，阅卷标准步骤 (2) 找点：找出原图形中所有关键顶点（线段端点、拐点、交点）； (3) 作垂线：过每个关键点，向对称轴作垂线段； (4) 截等距：延长垂线段至对称轴另一侧，截取与原点到对称轴距离相等的线段，得到对应对称点； (5) 描点：标记全部对称顶点； (6) 连线：按原图顶点顺序，顺次连接对称点，得到轴对称图形。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 轴对称图形、成轴对称识别；对称轴条数判断】 【例1】下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 【变式1-1】如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点、点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称点之间的连线被对称轴垂直平分即可求解． 【详解】解：点与点关于直线对称， 线段被直线垂直平分． 【变式1-3】下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的对称轴以及对称轴之间的位置关系．涉及到正多边形对称轴的数量和性质等知识点．解题关键在于准确掌握不同正多边形对称轴的特点，通过分析对称轴的位置来判断是否存在互相垂直的情况．依次分析每个正多边形对称轴的情况，判断是否存在互相垂直的对称轴．对于正多边形，其对称轴是通过正多边形的中心和顶点或者边的中点的直线．根据正多边形的性质，确定其对称轴的数量和位置关系，进而判断是否有互相垂直的对称轴． 【详解】解：①正三角形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ②正四边形（正方形）有条对称轴，其中两条对角线互相垂直，故存在互相垂直的对称轴，符合题意； ③正五边形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ④正六边形有条对称轴，方向间隔（如、、、等），其中（通过顶点）与（通过边中点）的对称轴夹角为，垂直，符合题意． 综上所述：满足条件的图形是②正四边形和④正六边形，共2个． 故选：B． 【题型2 轴对称图形性质：判断、求线段与角度】 【例2】如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的性质推出，再根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵与关于直线对称，且，， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 【变式2-1】如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 【变式2-2】如图，在中，直线交于点D，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质，三角形的周长，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴． 【变式2-3】如图，某快递公司计划在主干路上设一个机器人配货总部，在主干路同侧有与两个机器人配送点，若使配货总部到两个配送点的距离和最小，则下列示意图中配货总部的位置符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴对称的性质将折线转化为直线即可． 【详解】解：A．不符合要求； B．不符合要求； C．不符合要求； D．作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，根据两点之间线段最短，此时为最小值，符合要求； 【题型3 镜面对称（车牌、钟表、电子钟镜像）】 【例3】一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 【变式3-1】李明从镜子里看到自己身后的钟表上的时间是8点35分，请问钟表上显示的实际时间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称的知识，画出草图，根据镜面对称的性质，分析可得答案． 【详解】解：如图， 根据对称性可得：与时的指针指向成轴对称，故实际时间是， 故选：C． 【变式3-2】小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质，根据在平面镜中的像与现实中得事物刚好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，分析即可求解． 【详解】解：根据镜面对称得性质，分析可得此时的时间应是． 故选：A． 【变式3-3】时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了应用轴对称的性质来分析实际问题．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：在时钟在水中的倒影与现实中的时钟恰好上下对称．由图可知时钟在水中的倒影是，它与成轴对称， 所以它的实际时间是． 故选：A． 【题型4 生活模型：台球、光线反射、折叠问题】 【例4】如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反弹时反射角等于入射角作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后点回到出发点， ∵， ∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组第4次碰到矩形的边， ∴点P的坐标为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了点坐标的规律探索，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【变式4-1】如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 【变式4-2】如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反射角等于入射角，由题意得，，然后通过三角形内角和定理即可求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵，, ∴， ∴， 故选：． 【变式4-3】如图，已知长方形纸片，点，分别在边和上，且，和分别是边和上的动点，现将点，沿向下折叠至点，处，将点，沿向上折叠至点，处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，延长和分别交于，， ， ， ． 由折叠可知， ，， ． ， ． ， ． 又 ， ， ． 【题型5 线段垂直平分线的性质与判定】 【例5】已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质得出对应线段相等、对应点的连线被对称轴垂直平分，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，， 无法得到， 故选项不一定成立． 【变式5-1】如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可判断为的垂直平分线，可得，，通过周长公式进行等量代换求解． 【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线， 则，， ， ， 的周长为， ， ，即， ， 故的周长为． 【变式5-2】如图，在等腰直角中，，，D为边上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交于点E，有以下结论：①；②当时，；③当D为的中点时，垂直平分；④当时，，其中正确的结论为（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理，结合及平角的意义，可说明①； 先得出，再得出，然后利用等边对等角结合三角形内角和定理求出，即可说明②； 两次运用利用三线合一，可说明③； 证明，即可说明④． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故②错误； 当D为的中点时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∴，是边上的中线， ∴垂直平分， 故③正确； 当时， ， ， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者）， 线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和判定，等边对等角，三线合一等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式5-3】如图，在中，，，是的角平分线，则下列结论不正确的是（   ） A． B．点在线段的垂直平分线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定等，由直角三角形的性质可得，即得，即得到，，得到，进而可得，即可判定①；再根据线段垂直平分线的判定即可判定②；由直角三角形的性质可判定③；由可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴，故选项正确； ∵， ∴点在线段的垂直平分线上，故选项正确； ∵，， ∴，故选项正确； ∵， ∴，故选项不正确； 故选：． 【题型6 逆命题、互逆命题、互逆定理辨析】 【例6】下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．成轴对称的两个图形全等 C．全等三角形的对应角相等 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】D 【分析】先写出每个选项命题的逆命题，再结合初中数学知识判断真假，即可得到答案． 【详解】解：A、逆命题为“无限小数都是无理数”，因为无限循环小数是无限小数，但属于有理数，故逆命题是假命题，不符合题意； B、逆命题为“全等的两个图形成轴对称”，因为平移得到的全等图形不一定成轴对称，故逆命题是假命题，不符合题意； C、逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，因为对应角相等的三角形边长不一定相等，不一定是全等三角形，故逆命题是假命题，不符合题意； D、逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，故三角形内角和为，若两锐角互余，即两锐角和为，则第三个角为，故该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合题意． 【变式6-1】下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确． 【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题； C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题； D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单． 【变式6-2】下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（   ） A．成轴对称的两个图形全等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题、轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．先写出原命题的逆命题，再根据轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质、对顶角的性质判断原命题与逆命题的真假即可得． 【详解】解：A、原命题：成轴对称的两个图形全等，是真命题；逆命题：全等的两个图形是轴对称图形，是假命题；则此项不符合题意； B、原命题：直角三角形两锐角互余，是真命题；逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形（理由是三角形内角和，若两锐角互余，则第三个角为），是真命题；则此项符合题意； C、原命题：对顶角相等，是真命题；逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；则此项不符合题意； D、原命题：全等三角形的面积相等，是真命题；逆命题：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；则此项不符合题意； 故选：B． 【变式6-3】下列说法不正确的是（    ） A．命题有真命题，也有假命题 B．要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可 C．一个定理的逆命题是原定理的逆定理 D．要说明一个命题是真命题，需要进行证明 【答案】C 【分析】根据所学命题的相关知识判断选择即可． 【详解】命题有真命题，也有假命题，是正确的，故A不符合题意； 要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可，是正确的，故B不符合题意； 一个定理的逆命题是原定理的逆命题，逆命题不一定正确，即不一定是原定理的逆定理，原说法错误，故C符合题意； 要说明一个命题是真命题，需要进行证明，是正确的，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了命题的分类、命题的证明、命题与定理的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型7 尺规作图：画对称轴、作轴对称图形、作垂直平分线、过点作垂线】 【例7】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； (2)写出，，三点的坐标：______，______，______； (3)平面内一点关于轴对称的点的坐标为______，点关于轴对称的点的坐标为______； 【答案】(1)如图，即为所求； (2)，， (3)， 【分析】（1）根据轴对称图形的特征画出对应的点，连接成三角形即可； （2）结合坐标系直接写出点的坐标即可； （3）由关于坐标轴对称的点的坐标的特征写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，，，； （3）解：点关于轴对称的点的坐标为；点关于轴对称的点的坐标为． 【变式7-1】按要求用无刻度直尺和圆规作图，（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图①，作的平分线； (2)如图②，作直线l，使得点A与点P关于直线l对称． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据对称性，连接，作线段的垂直平分线即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； 【点睛】 【变式7-3】尺规作图 (1)在边上找一点，使的周长等于 (2)在边上找一点，使得 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)如图，点即为所求， 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接， 则点即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，连接，再作线段的垂直平分线交于点，连接， 则点即为所求． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线交于点，连接， 则点即为所求，图略． ∴， ∴的周长等于； （2）解：作线段的垂直平分线交于点，连接，再作线段的垂直平分线交于点，连接， 则点即为所求，图略． ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】尺规作图：如图，已知．求作：边上的高．（提示：保留作图痕迹，痕迹要清晰，不用写作法）． 【答案】 【详解】解：延长到点，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点D，则为边上的高． 【题型8 坐标系内点与图形的轴对称坐标变换】 【例8】若点关于轴的对称点为，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确点关于x轴对称的坐标变化规则，再将已知点的横坐标直接保留，纵坐标取相反数，即可得到对称点的坐标． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴的坐标为． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴， ∴，， ∵点A坐标为， ∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点C坐标为， 故选：A． 【变式8-2】剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的平方根为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化，二元一次方程组等知识，利用轴对称的性质构建方程组，求出a，b，再代入计算可得结论． 【详解】解：∵，关于y轴对称， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为， 故选：C． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，依作点关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点，关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点……按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化对称、点的坐标变化规律及关于坐标轴对称的点的坐标，根据题意，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环是解题的关键． 【详解】解：如图， 因为点的坐标为， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环，即6个一循环， 因为， 所以点的坐标为． 故选：B． 【题型9 轴对称综合大题（线段、角度、面积综合）】 【例9】如图，等腰三角形的周长是21cm，底边． (1)求的长； (2)若N是的中点，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动．同时点Q从点C出发向点A运动，当与全等时，求点Q的速度． (3)点分别是上的动点，当的周长取最小值时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)Q的速度为每秒或 (3) 【分析】（1）先证明 再结合三角形的周长公式即可得到答案； （2）如图，设Q的速度为每秒，运动时间为，再分两种情况：当时，则 当时，则 再建立方程求解即可； （3）如图，分别作关于的对称点 连接 交于 则此时的周长最小，且为线段的长，连接 由轴对称的性质可得： 结合 从而可得答案． 【详解】（1）解：∵等腰三角形的周长是21cm， ∴ ∵． ∴ （2）如图，设Q的速度为每秒，运动时间为， ∵N为的中点，则 ∴ ∵ ∴ 当时，则 ∴ 解得： 当时，则 ∴ ∴ 综上：Q的速度为每秒或 （3）如图，分别作关于的对称点 连接 交于 则此时的周长最小，且为线段的长，连接 由轴对称的性质可得： 而 ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，理解题意画出符合题意的图形，利用数形结合的方法解题是关键． 【变式9-1】在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【答案】(1) 由题意作图可得： (2)； (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系点的特征，梯形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据梯形面积公式运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得：到轴的距离为，点的坐标为， 故答案为：；； （3）解：根据题意连接可得： ∴． 【变式9-2】在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，根据平角的定义，即可求解； （2）由（1）可知：，根据折叠的性质设，，根据平角的定义可得，，解方程求出，，结合四边形的内角和是，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，由图形折叠的特征可得：，， ， ， ． （2）解：如图2： 由（1）可知：， 设，， 则，， ∵，， 故，， 解得，， 在四边形中，， 在四边形中，． 【变式9-3】如图，正方形网格中． (1)画出关于直线对称的图形；（点，，的对应点分别为点，，，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） (2)在直线上找一点，使周长最小． 【答案】(1)，即为所作 (2)，点即为所作 【分析】本题考查了轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质找点，，关于直线对称的对应点，，的位置，依次连接即可作答； （2）要使周长最小，即要使得最小，是定值，则只要最小，即可；连接交直线于点P，连接、，问题得解． 【详解】（1）解析见详解 （2）作图见详解 按照典型的“将军饮马”问题解决方法即可证明． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 2．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，垂足为，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质得到，通过线段等量代换，的周长可表示为，即可求解． 【详解】解：是边的垂直平分线， ， 的周长． 3．下列各命题都成立，判断它们的逆命题为真命题的是（     ） A．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 B．全等三角形的对应角相等 C．成轴对称的两个三角形全等 D．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】D 【分析】先写出各选项命题的逆命题，再根据知识判断逆命题的真假． 【详解】解：A.逆命题：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数， ∵两个负数的积也为正数（如）， ∴逆命题为假命题， B.逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形， ∵对应角相等的三角形不一定全等（如边长不同的等边三角形）， ∴逆命题为假命题， C.逆命题：两个全等三角形成轴对称， ∵两个全等三角形的位置不一定关于某条直线对称， ∴逆命题为假命题， D.逆命题：角平分线上的点到角的两边距离相等， ∵该命题是角平分线的性质，成立， ∴逆命题为真命题． 4．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（即：，）．小球从点出发第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点为图中的（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据反射角等于入射角，依次找出小球每次碰到长方形边上的点，得到碰撞点以次为一个周期循环，进而求出第次碰撞对应的点． 【详解】解：根据反射角等于入射角的规律，分析小球的运动路径，依次确定每次碰撞的点位：第次碰到长方形边：点； 第次碰到长方形边：点； 第次碰到长方形边：点； 第次碰到长方形边：点； 第次：从向右上反弹，沿对角线穿过网格，碰到长方形的上边（点右侧的顶边位置）； 第次：从上边的碰撞点向右下反弹，碰到长方形的右边点位置； 第次：从右边的碰撞点向左下反弹，最终落在底边点，和第次的碰撞点完全重合； 小球的碰撞位置以次为一个周期循环出现，计算周期余数： ， 余数为，说明第次碰撞的位置，与一个周期内第次碰撞的位置相同，对应点为． 5．如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠的性质得出，结合平行线的性质得出和，进而求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可； 【详解】解：由折叠的性质可得， , , ， ， 在 中，， , ， ， ， ． 6．在平面直角坐标系中，直线是经过点且平行于轴的直线，点与点关于直线轴对称，则的值为（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，解方程，再代入即可解答． 【详解】解：由题意得直线为， ∵点与点关于直线轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 7．蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如图，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，进而求出代数式的值即可. 【详解】解：由题意， 解得， ∴. 8．已知点关于轴的对称点在第一象限，则的范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对称轴得到点在第二象限，再根据第二象限的符号特征，列出不等式组，求解后，在数轴上表示出解集即可. 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第一象限， ∴点在第二象限， ∴，解得， 在数轴上表示为： 9．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为 ，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此建立方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵点的坐标为 ，其关于轴对称的点的坐标为， ∴， 解得， ∴． 10．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点S的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（   ）    A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了平面镜成像原理中坐标的轴对称．根据平面镜成像原理，点S与其像关于y轴对称，根据对称的性质可列方程求出x，y的数值，代入计算即可求解． 【详解】 解：∵点S与关于y轴对称， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 11．如图，直线表示铁路，，两点表示某工厂两个生产区，若要在铁路旁修建一个货仓，使货仓到两个生产区，的距离之和最短，则这样的点的位置有________处． 【答案】 【分析】将实际问题转化为数学问题，然后作点关于直线的对称点，连接，如图所示，由对称性及两点之间线段最短分析得出满足题意的点即可． 【详解】解：要在铁路旁修建一个货仓，使货仓到两个生产区，的距离之和最短，即在直线上找一点，使有最小值， 作点关于直线的对称点，连接，如图所示： 由对称性可知，则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段的长， 即连接，与直线的交点就是满足题意的点，如图所示： 综上所述，这样的点的位置有处． 12．如图，已知，，则图中共有全等三角形________对 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定方法可证、、，所以共有对全等三角形． 【详解】，， 是的垂直平分线， ，， 在和中，， ； 在和中，， ； 在和中，， ； 图中共有全等三角形对． 13．把沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则的度数为________． 【答案】/15度 【分析】设，，由折叠的性质可得，，由平角的定义求出，利用三角形内角和定理求出，再结合平角的定义计算即可得出结果． 【详解】解：设，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图，的顶点分别为，，，且与全等（点与点不重合），则点的坐标可以是__________． 【答案】 或或 【分析】根据题意可知，与有公共边，以公共边所在直线为对称轴，对点作对称变换得到对应边和对应角相等从而求解． 【详解】解：已知、，两个全等三角形和有公共边， 在轴上，长度为， ∴点关于轴对称点； ∴点关于的垂直平分线（直线）对称点； ∴点关于轴对称点， ∵三点均不与点重合， ∴的坐标可以是或或． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，P为y轴上一动点，且A，B，P三点不在同一条直线上，连接．当的周长最小时，点P的坐标为______． 【答案】 【分析】作点B关于y轴的对称点C，连接，连接交轴于点D，连接，则，可证明点P与点D重合时的周长有最小值；根据求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点B关于y轴的对称点C，连接，连接交轴于点D，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵，且为定值， ∴当P、A、C三点共线时，的周长有最小值，即点P与点D重合时的周长有最小值； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为，即． 16．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出向下平移4个单位长度的；（点，，的对应点分别为，，） (2)作出关于轴对称的（点，，的对称点为，，）并直接写出点的坐标； (3)如何平移才能使它与关于轴对称？ 【答案】(1) (2)；点的坐标为 (3)向上平移4个单位 【分析】（1）根据平移规则，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出，写出点的坐标即可； （3）根据轴对称的性质，作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵向下平移4个单位长度得到，和关于轴对称， ∴将向上平移4个单位，即可使与关于轴对称. 17．在平面直角坐标系中，对点作如下变换：若，作点P关于y轴的对称点；若，作点P关于x轴的对称点，我们称这种变换为“变换”． (1)点作“变换”后的坐标为________；点作“YS变换”后的坐标为________； (2)已知点，，，其中，且点A，B作“变换”后对应的点分别为M，N两点，，求m的值． 【答案】(1)；． (2)． 【分析】（1）比较每个点的横、纵坐标大小，按规则分别作关于 轴或 轴的对称变换． （2）先判断 、 两点对应的变换类型，求出 、 坐标，再用“底乘高的一半”求三角形面积，列方程解出 ． 【详解】（1）解：由题意，当 时，点 关于 轴对称，对应点为 ；当 时，点 关于 轴对称，对应点为 ． 点 中，，即 ，故变换后坐标为 ． 点 中，，即 ，故变换后坐标为 ． （2）解：已知 ，，，且 ． 对于点 ，横坐标 （纵坐标），即 ，故 关于 轴对称，得 ． 对于点 ，横坐标 （纵坐标），即 ，故 关于 轴对称，得 ． 观察 与 ，两点横坐标相同，所以线段 垂直于 轴，长度为 ． 点 到直线 的距离为 ． ． 由题意 ，解得 ． 经检验， 满足 ，符合题意． 【点睛】本题关键是读懂“YS变换”的分段规则——比较横、纵坐标决定作关于 轴还是 轴的对称变换；第（2）问中利用 、 横坐标相同这一特征，把三角形面积用“底乘高÷”转化为关于 的一次方程求解． 18．一中在向你招手，加油！在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点，再将点关于y轴的对称点记作点则称点为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点关于x轴的对称点为点，点关于y轴的对称点为点，所以点关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 (1)点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是______； (2)点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是，求a和b的值； (3)点关于x轴和y轴的“一中对称点”满足点到y轴的距离等于点F到x轴距离，直接写出x的值； (4)若点关于x轴和y轴的“一中对称点”在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据“一中对称点”的定义求解即可； （2）根据“一中对称点”的定义得到的坐标，进而根据要求列方程组求解即可； （3）根据“一中对称点”的定义得到的坐标，进而根据要求列方程求解即可； （4）根据“一中对称点”的定义得到的坐标，进而根据要求不等式组求解，最后根据“满足条件的x的整数解恰有两个”确定m的取值范围即可． 【详解】（1）解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； （2）解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是， 又∵的坐标是， ∴， ∴； （3）解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是， ∵点到y轴的距离等于点F到x轴距离， ∴， 解得：或； （4）解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是， ∵在第三象限， ∴， 解得：， ∴， ∵满足条件的x的整数解恰有两个， ∴， 解得：． 19．如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴负半轴上，，且，满足． (1)直接写出点，，的坐标； (2)点关于轴的对称点为点，点是线段上一点，若直线平分三角形的面积，求点的横坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度向轴负半轴运动，动点从点出发以每秒个单位长度向轴正半轴运动，设直线、交于点，设动点、运动的时间为秒， ①如图2，当时，试探究与面积的数量关系，并说明理由； ②若的面积为，请写出一个满足条件的点坐标是__________． 【答案】(1)，， (2)点的横坐标为 (3)①与面积相等，理由见解析；②坐标或 【分析】（1）利用被开方数为非负数求出的值，再代入求出，得到、坐标，最后根据和在轴负半轴的条件，求出点坐标； （2）先求关于轴的对称点，算出的面积，根据“平分面积”得的面积，再用三角形面积公式列方程，结合在线段上的取值范围，求出的横坐标； （3）①先表示出时和的长度，分别计算和，发现二者相等，再同时减去公共的四边形的面积，得到；②分、、和四种情况进行讨论，再根据的面积为，用割补法列出关于、分别列出方程，然后联立方程组求解，得到两个符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：点关于轴的对称点为点， 点的坐标为， ，， ，， ， 直线平分三角形的面积， ， 设点的坐标为， ，即， 解得， 点是线段上一点， ． （3）①解：当时，，， 则， ， 可得， 则， 故． ②解：设点的坐标为， 当，点与点重合，，故； 当，如图，点在第四象限， ， ，可得， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ，即， 由， 解得， 点为； 若，如图，，点不存在； 若，如图，点在第二象限， ， ，可得， 同上法可证，，， 可得， 解得， 点为， 综上，点为或． 20．如图，点，，若点关于y轴的对称点的坐标为 (1)求的面积． (2)如图，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，试探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)2 (2) 解：， 证明：作交的延长线于点F，则， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由关于y轴的对称点的坐标为，得，，则，，由，，求得 （2）作交的延长线于点F，则，由，，，可证明，得，，由，，得，而，可证明，得，所以，则． 【详解】（1）解：关于y轴的对称点的坐标为， ，， ，， ，， ，， ， 的面积为． （2）略 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 54 页 第 1 页 共 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $