22.3.4 相似三角形的应用 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第二十二章 图形的相似 22.3.4 相似三角形的应用 01 教学目标 从直角三角形、三角形中线图形中抽象出射影模型、重心模型，识别相似三角形基本图形。 01 能够将线段等积式转化为比例式，利用相似三角形判定完成证明；推导三角形重心的性质，规范书写证明步骤。 02 建立 “证等积式→证比例式→证三角形相似” 的几何证明模型，会运用射影模型、重心模型解决问题。 03 02 新知导入 【想一想】怎样判定两个三角形相似？ ①两角分别相等的两个三角形相似. ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ③三边成比例的两个三角形相似. 02 新知导入 【想一想】相似三角形有哪些性质？ 1.相似三角形对应角相等. 2.相似三角形对应边成比例，且相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 3.相似三角形的周长之比等于相似比. 4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 02 新知导入 【例8】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高. 求证：CD2=AD · BD. 思考：图中有哪些相等的角？ ∵∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°, ∴∠BCD=∠A. 同理∠B=∠ACD. 02 新知导入 【例8】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高. 求证：CD2=AD · BD. 思考：怎样将CD2=AD · BD转化为比例式？ 观察四条线段在哪两个三角形中? 02 新知导入 【例8】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高. 求证：CD2=AD · BD. 证明：∵∠ACD=90°-∠CAD=∠B，∠CDA=∠BDC=90°， ∴△ACD∽△CBD. 即CD2=AD · BD. 02 新知导入 【例8】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高. 求证：CD2=AD · BD. 还有其他类似结论吗？怎样证明？ 同理可证：△ACD∽△ABC， △BCD∽△ABC， 即CA2=AD · AB，CB2=BD · BA. 02 新知导入 【例9】如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE 相交于点G. 求证： 证明：如图，连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点， ∴DE∥AC， ( 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半). ∴△DEG∽△ACG. 02 新知导入 【例9】如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE 相交于点G. 求证： 02 新知导入 【拓展】如果在如图所示的△ABC中取边AC的中点F，假设BF与AD相交于点G’，那么我们同理可得 即两图中的点G与点G'是重合的. 总结归纳 于是，我们有以下结论： 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一 边中点的连线的长是对应中线长的 . 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是(　　). A．点D B．点E C．点F D．点G A 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，G为△ABC的重心，若△ABC的面积为6，则△BDG的面积为________． 1 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.已知点D是△ABC的重心，过顶点A作一条直线l平行于BC，连结CD并延长，交AB于点E，交直线l于点F，连结BD并延长交AC于点G，则△AEF的面积与四边形AGDE的面积之比为(　　) A．1∶2 B．3∶2 C．2∶1 D．4∶3 B 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 4.如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BDC＋∠ACB＝180°. 求证：AC2＝AB·AD. 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，给出下列等积式①AD2=BD·CD；②AB·CD=AC·AD； ③AC2 = BC·CD；④AB2 = AC·BD . 其中能证明∠BAC=90°的有( ）. A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④ C 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 6.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点P从点B运动到点C，且∠APD=∠C. 求证：AB · CD=CP · BP 证明：∵∠B=∠C，∠APD=∠C，∴∠B=∠APD. ∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=∠APD+∠DPC, ∴∠BAP= ∠DPC，∴△ABP∽△PCD， ∴AB · CD=CP · BP. 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1.直角三角形射影模型. 2.三角形的重心. 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG，CG交边AC, AB于点E，D，若BE=15，则BG的长是( ）. A. 5 B. 7.5 C. 9 D. 10 D 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，△ABC的重心为G，△ABC和△GBC在BC边上的高之比为 ( ) A. 1:2 B. 1:3 C. 2:1 D. 3:1 D 06 作业布置 【综合拓展类作业】 3.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC； 06 作业布置 【综合拓展类作业】 3.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE. (2)求证：DF·BF＝EF·CF. 证明：∵∠BDC＋∠ADC＝180°， ∠BDC＋∠ACB＝180°， ∴∠ADC＝∠ACB. ∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD， ∴＝，即AC2＝AB·AD. 证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE， ∴AB＝3AD，AC＝3AE， ∴＝＝. 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. 证明：∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC， ∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF， ∴＝，即DF·BF＝EF·CF. $