22.3.4相似三角形的应用(1). 课件-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第22章　22.3　相似三角形 22.3.4　相似三角形的 　　　　应用(1) 学习目标 1.能利用相似三角形的性质解决实际问题，如测量物体高度、两地距离等.(重点) 2.掌握利用相似三角形解决问题的一般方法和步骤.(难点) 课堂引入 1.相似三角形的判定方法 2.相似三角形的性质 思考：在生活中，我们经常会遇到一些不能直接测量的物体高度(如金字塔的高度)或两地距离(如河的宽度)，如何利用我们所学的三角形的相似知识来解决这些问题呢？ 一、 利用相似三角形测量物体高度 例1　(课本P85例6)古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O'B'，比较木棒的影长A'B'与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O'B'＝1 m，A'B'＝2 m，AB＝274 m，求金字塔的高度OB. 解　∵太阳光线是平行光线，∴∠OAB＝∠O'A'B'. ∵∠ABO＝∠A'B'O'＝90°， ∴△OAB∽△O'A'B'(两角分别相等的两个三角形相似). ∴. ∴OB＝＝137(m). 故金字塔的高度OB为137 m. 反思感悟 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“同时同地物高与影长成比例”的原理解决.表达式：物高1∶物高2＝影长1∶影长2. 跟踪训练1　(1)如图是小明设计的用手电筒测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出，经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，那么该古城墙的高度是  A.6 m B.8 m C.18 m D.24 m √ 解析　由题意知∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°， ∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴， ∴CD＝＝8(m). (2)为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示，标杆高度CD＝2.8 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝8 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，E，C，A三点共线，EM⊥AB于M，交CD于N.求旗杆AB的高度. 解　∵CD⊥FB，AB⊥FB， 则四边形EFDN和四边形BMND是矩形， ∴CD∥AB，EF＝ND＝MB，EN＝FD，EM＝FB， ∴△CNE∽△AME， ∴， 即， (2)为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示，标杆高度CD＝2.8 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝8 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，E，C，A三点共线，EM⊥AB于M，交CD于N.求旗杆AB的高度. 解　∴， ∴AM＝6 m， ∴AB＝AM＋MB＝AM＋EF＝6＋1.6＝7.6(m). 故旗杆AB的高度为7.6 m. 二、 利用相似三角形测量两地距离 例2　(课本P86例7)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD＝118 m，DC＝61 m，EC＝50 m，求河的宽度AB.(精确到0.1 m) 解　∵∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD＝90°， ∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴，解得AB＝≈96.7(m). 故河的宽度AB约为96.7 m. 反思感悟 测量不能直接到达的两点间的距离时，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解.常见的测量方式有：(1)构造“A”型相似；(2)构造“X”型相似. 跟踪训练2　(1)铁路道口的栏杆如图所示，O为栏杆的支点，AO＝2米，CO＝10米.若栏杆左端下降的垂直距离AB为0.8米，则栏杆右端上升的垂直距离CD为　　　　米.  4 解析　∵∠ABO＝∠CDO，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD，∴， 又∵AO＝2米，CO＝10米，AB＝0.8米，∴CD＝4米. (2)如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中AB∥CD，纸筒的长度FH为12 cm，他准备了一支长为30 cm的蜡烛AB，想要得到高度为5 cm的像CD，求此时蜡烛与纸筒的距离EF的长度. 解　由题意得AB∥CD， ∴∠FAB＝∠FDC，∠FBA＝∠FCD， ∴△ABF∽△DCF， ∴， ∴， 解得EF＝72 cm，∴此时蜡烛与纸筒的距离EF的长度为72 cm. 课堂小结 1.如图，小明用两根长度相同的小木棍AD，BC自制了一个“X形”测量工具，AD与BC交于点O，OA＝OB＝OD.现将其放进一个锥形瓶内，测得CD＝4 cm，则该锥形瓶底部点A，B之间的距离为  A.36 cm B.30 cm C.24 cm D.18 cm 随堂演练 √ 随堂演练 解析　∵小明用两根长度相同的小木棍AD，BC自制了一个“X形”测量工具，OA＝OB＝OD， ∴OC＝OD，∴， ∵∠DOC＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴， 又∵CD＝4 cm，∴，∴AB＝18 cm. 2.如图，小明探究“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为  A.4.36 mm B.27.26 mm C.43.62 mm D.12.17 mm 随堂演练 √ 随堂演练 解析　由题意可得BC∥DF，BC＝72.7 mm，AB＝5 m，AD＝3 m， ∴△ADF∽△ABC，∴， 当测试距离为3 m时，设最大的“E”字高度为x mm， ∵5 m＝5 000 mm，3 m＝3 000 mm， ∴，解得x＝43.62， ∴当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为43.62 mm. 3.如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B.若测得影长AB＝16米，DA＝3米，影长CA＝4米，则楼高EB为　　　　米.  随堂演练 12 解析　∵DA⊥CB，EB⊥CB，∴∠DAC＝∠EBA＝90°， ∵DC∥EA，∴∠DCA＝∠EAB，∴△DCA∽△EAB，∴，∴， 解得EB＝12米，∴楼高EB为12米. 4.如图，树AB在路灯O的照射下形成投影BC.若树高AB＝4 m，路灯高度OP＝10 m，树与路灯的水平距离BP＝9 m.求树影BC的长. 随堂演练 解　根据题意得AB⊥CP，OP⊥CP， ∴AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， ∵AB＝4 m，OP＝10 m，BP＝9 m， ∴，∴BC＝6 m. 5.滹沱河是石家庄的“母亲河”，滋养着冀中平原.嘉嘉为测量滹沱河某段的宽度，采用如下方法：如图，该段河道两岸平行，他在对岸选定目标点A，在靠近自己的河岸取点B和C，并在AB，AC的延长线上分别取点D，E，使DE∥BC，经测量BC＝200米，DE＝300米，点E到BC的距离为350米，AF⊥BC于点F.  (1)求的值； 随堂演练 解　∵DE∥BC，BC＝200米，DE＝300米， ∴△ACB∽△AED， ∴， ∴＝2. 5.滹沱河是石家庄的“母亲河”，滋养着冀中平原.嘉嘉为测量滹沱河某段的宽度，采用如下方法：如图，该段河道两岸平行，他在对岸选定目标点A，在靠近自己的河岸取点B和C，并在AB，AC的延长线上分别取点D，E，使DE∥BC，经测量BC＝200米，DE＝300米，点E到BC的距离为350米，AF⊥BC于点F.  (2)求滹沱河该段的宽度AF. 随堂演练 解　如图，过点E作EG⊥BF垂足为G，  ∵BC＝200米，DE＝300米，EG＝350米， AF⊥BF，EG⊥BF，∠ACF＝∠ECG， ∴△AFC∽△EGC， ∴＝2，∴AF＝2EG＝2×350＝700(米). 谢谢观看 $