精品解析：江西抚州市崇仁县第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

崇仁县第一中学2026-2027学年上学期高二数学学科阶段性作业 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为 （ ） A. B. C. D. 3. 若直线与之间的距离为，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 若圆与抛物线的准线相切，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 直线的纵截距为 10. 已知圆方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若已知在圆内，则 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆方程为 11. 中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结有着复杂曼妙的曲线，我们可以将其简化成单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线，如图，曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的图象关于原点对称 B. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 三、填空题 12. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 13. 直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为______. 14. 已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则________． 四、解答题 15. 已知顶点、、. （1）求的外接圆的方程； （2）若直线过点，且的横截距是纵截距的2倍，求直线的方程. 16. 已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点． （1）求C的标准方程； （2）过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值． 17. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为4． （1）求的方程； （2）设的左顶点为，上两点，关于原点对称，且在第一象限，求直线与直线的斜率之积． 18. 已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 19. 在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”. （1）已知，，求； （2）已知直线. （i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值； （ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇仁县第一中学2026-2027学年上学期高二数学学科阶段性作业 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为， 由，得， 所以， 因为，所以即. 2. 若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 3. 若直线与之间的距离为，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线与之间的距离为， 所以，得的值为或 4. 若圆与抛物线的准线相切，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的圆心坐标及半径，抛物线的准线方程，再根据准线和圆相切即可得到答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 抛物线的准线方程为， 圆与抛物线的准线相切， 则有，解得，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 5. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 6. 已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得：， 则直线AB的方程为：，即. 又因为动点在线段AB上运动， 所以， 则，当且仅当，即，时等号成立， 所以.最大值为3. 故选：C. 7. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】整理可得，结合两点间距离公式可得，根据将军饮马问题求最值. 【详解】由题意可得：， 设，，，则， 设关于x轴对称的点为，则， 可得， 所以函数的最小值为. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件可得，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出即可得解. 【详解】由，得，而，的面积为， 则，， 令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为， ，而，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A 二、多选题 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 直线的纵截距为 【答案】BD 【解析】 【分析】本题给了两条含参的直线方程，通过不同条件判断直线的性质或已知直线性质求参数范围. 【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误； 对于B，，等价于，解得，故B正确； 对于C，若，则，故，故C错误； 对于D，，当时，，所以直线的纵截距为，故D正确． 故选BD． 10. 已知圆方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若已知在圆内，则 C. 若，则直线与圆相离 D. 若，圆关于直线对称的圆方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可. 【详解】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，时圆C方程为， 此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误； 对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2， 设圆D的方程为，由， 对称圆D方程为即，故D正确. 故选：BD. 11. 中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结有着复杂曼妙的曲线，我们可以将其简化成单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线，如图，曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的图象关于原点对称 B. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将代入曲线中证明关于原点对称判断A，先求出部分整点，再判断不存在其他整点求解B，结合给定条件并利用放缩法得到，再设出曲线上的点到原点的距离，解不等式得到判断C，先找到特殊交点，再转化为方程有解问题，建立不等式判断D即可. 【详解】对于A，把代入中， 得到 故，所以曲线的图象关于原点对称，故A正确. 对于B，令，得到， 解得或，即曲线经过，，， 由图可得，令，得到， 解得，而， 故，故， 令，得到， 解得，而， 故，得到， 而，故， 得到，故， 则曲线只能经过3个整点，故B错误， 对于C，由题意得，， 故，而，得到， 故，即， 设曲线上任意一点到坐标原点的距离为， 由两点间距离公式得， 而，解得，即， 则曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3，故C正确， 对于D，由题意得直线与曲线一定有公共点， 联立方程组，得到， 若直线与曲线只有一个交点，则方程除外无解， 而，，则即可， 解得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 【答案】 【解析】 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可. 【详解】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为， 所以． 故答案为：. 13. 直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】直线过定点,作出直线与双曲线的图象,通过图象即可求解. 【详解】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示， 又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为： 14. 已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及焦点弦的性质结合基本不等式计算即可. 【详解】 如图所示，分别过四点向准线作垂线，垂足分别为， 设的横坐标分别为， 由抛物线定义及梯形中位线可知则，， ， ， 易知，则， 即的最小值为， 设直线，，， 联立抛物线得，整理得， 所以，则， 由基本不等式可知，当且仅当等号成立， 故，解得. 故答案为： 四、解答题 15. 已知顶点、、. （1）求的外接圆的方程； （2）若直线过点，且的横截距是纵截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用直角三角形斜边中点求外接圆圆心和半径；（2）按直线是否经过原点分类求解． 【小问1详解】 由、、，得，即． 因此为外接圆的直径，其圆心是的中点，如图所示． 故，圆的半径， 所以外接圆的方程为． 【小问2详解】 当直线经过原点时，横、纵截距均为，满足题意． 又经过，所以的方程为，即． 当直线不经过原点时，设纵截距为，横截距为（），可设直线方程为． 将代入，得，解得，所以的方程为． 16. 已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点． （1）求C的标准方程； （2）过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程以及点的坐标得到关于的方程组，由此求解出即可知C的标准方程； （2）根据条件先求出的方程，然后联立与双曲线的方程得到对应坐标的韦达定理形式，再将表示为坐标形式即可求解出结果. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为，所以①， 又因为点在双曲线上，所以②， ①②联立解得，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知双曲线中， 所以右焦点坐标为，即直线的横截距为2， 又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为，即， 联立得， 设，则， 所以． 17. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为4． （1）求的方程； （2）设的左顶点为，上两点，关于原点对称，且在第一象限，求直线与直线的斜率之积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质：先根据长轴长求出长半轴，再由离心率公式算出半焦距，最后依靠椭圆中满足的平方关系求出，把、代入椭圆标准方程，就能写出椭圆方程； （2）先设出椭圆上点的坐标，利用原点对称写出点的坐标；借助斜率公式表示两条直线的斜率并相乘，再利用点在椭圆上这个条件，得到横纵坐标的关系式，将整体代入斜率乘积的式子，消去变量，化简后得到斜率之积的定值. 【小问1详解】 由题意得：，解得， ∵，∴， 由，得：， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 ∵椭圆的左顶点， 设，由、关于原点对称得， ∴， ， 在椭圆上，∴，即， 代入得：， 直线与直线的斜率之积为 . 18. 已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】（1）； （2）8 （3）证明如下： 由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； 【小问2详解】 直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. 【小问3详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”. （1）已知，，求； （2）已知直线. （i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值； （ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值. 【答案】（1）4 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题中给定定义直接求解; （2）（i）设直线上任意一点，，求出与坐标轴的交点，分类讨论在线段的延长线上时，线段的延长线上时，线段上时的情形即可； （ii）判断出轴时，的最小值为，过作直线的垂线，垂足为，则，当取最小值时，取得最小值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 （i）直线与轴的交点，与轴的交点，设直线上任意一点，. 当点在线段的延长线上时，； 当点在线段的延长线上时，； 当点在线段上时，，， 则. 因为，， 所以. 综上，当点与点重合时,坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为. （ii）由（i）可知，设是圆上任意一点，是直线上任意一点，当且仅当轴时，的最小值为，如图所示. 过作直线的垂线，垂足为，则， 所以. 当取最小值时，取得最小值. 过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为， 当且仅当与重合时，取到最小值. 易知， 所以的最小值为， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $