精品解析：江西省上高二中2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

上高二中2026级高一期中考试数学试卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 函数满足，且，则这样的函数个数有（　　） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 10个 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则均为空集 C. 若，则 D. 集合与是同一个集合 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论正确的有（   ）   A. B. C. 方程有两个不相等的实数根 D. 方程的两根是， 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的值域为 B. 若，则 C. 若关于的方程有四个不同的实数根，则 D. 若关于的方程有三个不同的实数根，则 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设、，若集合，则______． 13. “”是“或”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充分必要”“既不充分又不必要”） 14. 我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求和； （2）求． 16. 已知函数， （1）在给出的坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调递减区间和值域； （2）若图象与直线恰有两个交点，写出的取值范围； （3）若在开区间上既有最大值，又有最小值，写出，的取值范围． 17. （1）已知，求证：； （2）已知实数，若，求的取值范围． 18. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若两个不相等的正数，满足，求的最小值； （3）求函数在区间上的最大值． 19. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，例如，，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为R，值域为Z； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分． （1）若，求关于x的方程的解； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上高二中2026级高一期中考试数学试卷 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合， 所以，所以A不正确； ，所以B不正确； ，所以C正确； ，所以D不正确. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得命题“，”的否定是，，故D正确. 3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 4. 已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由，得，则，故A错误； 对于B，由，得，则，故B错误； 对于C，由，得，，，则，即，故C错误； 对于D，由，得，，，则，即，故D正确. 5. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数写成分段函数，即可得到的单调区间，从而求出参数的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 即的单调递增区间为，故，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：A 6. 若不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为不等式的解集为，所以， 所以且，所以. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合抽象函数与复合函数的定义域求解. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为， 由，解得，从而函数的定义域为， 又有，得， 综上得到函数的定义域为. 8. 函数满足，且，则这样的函数个数有（　　） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 10个 【答案】C 【解析】 【分析】先分析出值域中包含元素，然后分别根据值域中包含个元素进行分类讨论，由此求得结果. 【详解】因为，所以值域中必有元素， 当值域中仅有一个元素，则值域为，此时，仅有个函数满足； 当值域中有两个元素，只能其中一个为，另一个为或， 若值域中的两个元素是时，则或， 若值域中的两个元素是时，则或， 此时有个函数满足； 当值域中有三个元素，即值域为， 只能，此时有个函数满足， 综上所述，共有个函数满足要求， 故选：C. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则均为空集 C. 若，则 D. 集合与是同一个集合 【答案】AC 【解析】 【详解】A：空集是任何集合的子集，故选项A正确； B：交集为空，两个集合不一定都是空集； 例如，满足，但是均不为空集，故选项B错误； C：因为，即中所有的元素都在中，所以，故选项C正确； D：，不是同一集合，故选项D错误． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论正确的有（   ）   A. B. C. 方程有两个不相等的实数根 D. 方程的两根是， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象，求出a，b，c的值，代入，可判断A、B的正误；代入方程，求出根，可判断C、D的正误. 【详解】由图象可得对称轴，则①， 最大值为4，所以②， 又与x轴交点为，所以③， 选项A：由①②③联立可得，所以，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：，解得，故C错误； 选项D：，解得，，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的值域为 B. 若，则 C. 若关于的方程有四个不同的实数根，则 D. 若关于的方程有三个不同的实数根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：作出函数的图象，即可得值域；对于B：根据题意可得，且，结合二次函数性质运算求解；对于CD：设，，结合的图象分析的零点分布，结合二次函数性质运算求解. 【详解】对于选项A：作出函数的图象，如图所示， 由图象可知：的值域为，故A正确； 对于选项B：因为，则，且， 可得， 因为，可知的图象开口向下，对称轴为， 可知在内的最大值为，最小值为， 所以，故B错误； 对于选项CD：设，， 当或时，方程有1个根； 当时有，方程有2个根； 若关于的方程有4个不同的实数根， 则方程有两个根，且两根均在内， 且的图象开口向上，对称轴为， 则，解得，故C正确； 若关于的方程有三个不同的实数根， 则方程有两个根，且一根在，另一根在或， 则，解得，故D正确； 故选：ACD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设、，若集合，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知， 因为，所以，，则，所以，， 故． 13. “”是“或”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充分必要”“既不充分又不必要”） 【答案】充分不必要 【解析】 【详解】若， 则当时，；当时，. 所以或； 若或，则不能同时成立， 取，则. 故“”是“或”的充分不必要条件. 14. 我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）． 【答案】> 【解析】 【分析】设、，类比题设的不等关系，判断两个分数的大小. 【详解】令，则， 令，则， 所以，， 根据题设知：. 故答案为：> 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求和； （2）求． 【答案】（1），或； （2） 【解析】 【分析】(1)先分别求解绝对值不等式得到集合、求解分式不等式得到集合，再根据交集、并集的定义直接计算与. (2)先分别在实数域内求集合、的补集，再根据交集定义计算两个补集的交集. 【小问1详解】 解绝对值不等式，等价于，两边同时加1得，即. 分式不等式等价于，解得或， 即. 因此 因此或； 【小问2详解】 是在实数集的补集： 是在实数集的补集： , 两者的交集需要同时满足（或）和， 所以. 16. 已知函数， （1）在给出的坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调递减区间和值域； （2）若图象与直线恰有两个交点，写出的取值范围； （3）若在开区间上既有最大值，又有最小值，写出，的取值范围． 【答案】（1） 单调递减区间为，值域为 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）探讨函数的性质，作出函数图象，求出递减区间及值域. （2）结合函数图象，求出的范围. （3）利用分段函数图象及最值，结合图象求出范围. 【小问1详解】 图像如图： 观察函数图像可得的单调递减区间为，值域为； 【小问2详解】 观察函数图象，图象与直线恰有两个交点， 则或， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 由，，得， 如图，在开区间上既有最大值，又有最小值，则，， 所以，的取值范围分别为，. 17. （1）已知，求证：； （2）已知实数，若，求的取值范围． 【答案】（1）证明：， 所以，等号成立当且仅当且. （2） ． 【解析】 【分析】（1）应用作差法计算证明即可； （2）应用待定系数法结合不等式性质计算求解. 【详解】（1）略 （2）设． 则，解得，； 所以， 由，得， 又，所以， 两式相加：， 所以的取值范围是 18. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若两个不相等的正数，满足，求的最小值； （3）求函数在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）且说明，关于对称轴对称,进而利用换元法，利用基本不等式1的代换可求的最小值； （3）分，和，结合二次函数的性质可求得函数在区间上的最大值． 【小问1详解】 设（）， 由，得． ， 又， ，解得，， ． 【小问2详解】 ， 图象关于直线对称， 且，，且，，，． ， 设，则，， 原式． ， 用“乘1法”： ] ， 当且仅当，即，时取等号， 此时，， 原式的最小值为． 【小问3详解】 ，其对称轴为，开口向下． ①当，即时，在上单调递减， ； ②当，即时，对称轴在区间内， ； ③当，即时，在上单调递增， ． 综上所述，. 19. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，例如，，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为R，值域为Z； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分． （1）若，求关于x的方程的解； （2）求关于x的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，求解方程即可； （2）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，求解不等式即可； （3）根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对x的取值范围分段讨论，采用分离参数法结合基本不等式、函数单调性求最值，确定参数范围. 【小问1详解】 已知，分两类讨论： ① 当时，，， 代入方程得，解得，符合题意； ② 当时，，， 代入方程得，解得，符合题意. 综上，方程的解为或. 【小问2详解】 分四类讨论： ① 当时，，结合， 得，不等式恒成立； ② 当时，，，代入不等式得，解得， 结合区间得； ③ 当时，，，代入不等式得，解得， 结合区间得； ④ 当时，，，故，不等式无解. 综上，不等式的解集为 . 【小问3详解】 分两类讨论： ①当时，，， 不等式整理为恒成立. 令，，则， 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， 故右端最小值为，得； ② 当时，，，不等式整理为恒成立. 令，，则， 由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，故，得. 结合，综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $