微专题 椭圆中点弦问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

微专题：椭圆中点弦问题 教师解析版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微专题 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题安排在“椭圆的简单几何性质”与离心率微专题之后，属课后微专题。学生在离心率一讲的最后一组题里已接触过“关于原点对称的两点”，当时的做法是两点坐标各代方程、相减消去平方项。本讲把这一动作独立成法，处理范围由对称点扩到任意弦的中点，所补的环节是中点条件如何化为斜率关系，以及这条关系为何只覆盖一半条件。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，中点弦以两种形式出现：选填题给中点求弦的斜率或方程，多与离心率、弦长同题；解答题第（2）问以“ 的中点为 ”作条件，用于把两个待定参数压成一个。以中点为动点的轨迹型设问见于新高考多选题，考的是取值范围的边界。四组题型按“正用—反求—检验—成集”排列。 第二部分　记·模型与结论 一、点差法的由来 设 、 为椭圆上两点， 为线段 的中点。两点坐标各满足椭圆方程，两式相减，平方项化为一次式的乘积；代入 、，并以 代替差商，得中点弦的基本关系： 这一推导只用到两条：、 在椭圆上，且 是 的中点。它没有用到 、 是否真的存在，这一点决定了后文第三部分的判据。 右端只出现 与 的商，不出现 、 的绝对值，故这条关系确定的是比值，不是大小。符号由中点所在象限决定：、 同号时斜率为负，异号时为正，与椭圆本身的形状无关。 二、两处边界 其一， 时公式右端无意义。此时中点落在 轴上，弦为竖直线 ，斜率不存在，须单独说明，不能由公式取极限代替。 时公式给出 ，中点在短轴上，弦为水平弦，与该点处的切线平行。 其二，斜率不存在与斜率为零是两类不同情形：前者对应中点横坐标固定、纵坐标可动，后者对应中点纵坐标固定。命题中把两者混称“斜率为 ”的写法不严谨，答题时须按题设实际情形表述。 三、中点弦存在的判据 点差法给出的斜率只是必要条件，中点弦是否真的存在，取决于中点相对于椭圆的位置： 严格不等号不可换为不等号。等号时 在椭圆上，过 且斜率为 的直线恰为该点的切线，与椭圆只有一个公共点，弦退化为一点；大于号时该直线与椭圆无公共点，代入后判别式必为负数。判位置、写方程、验判别式，三步做完才算完整。 四、与联立法的分工 点差法由中点求斜率，运算量约为联立法的三分之一；但它不能求中点。已知直线方程求中点，仍须联立、用韦达定理求 ，再用点差法核验所求斜率是否与直线一致，两条路径互为校验。 求弦长同样不能省去联立：点差法给不出 ，须由联立后的方程取 ，或对中点弦改用弦长公式。把点差法当作求弦长的捷径，是本讲最常见的路径错误。 五、三处常见误用 一是 与 的位置对调。公式中 配 、 配 ，与椭圆方程中 配 恰好相反，凭记忆书写容易出错。用 退化为圆检验：圆中任一弦的中点与圆心连线垂直于该弦， 即 ，与公式在 时的取值一致。 二是符号漏负。 在第一象限时斜率为负，算出正值即为符号错误。 三是把“中点弦”与“弦中点”混同：前者指以某定点为中点的弦，答案是一条直线；后者指某条已知弦的中点，答案是一个点，须先联立。 第三部分　破·典型题型 题型一　点差法求弦的方程 【解题技巧】本组只做一件事：把中点换成斜率。两式相减消去平方项，代入中点坐标与差商，即得 。求出斜率后尚须回验：中点须落在椭圆内部，否则所求直线只是过中点的直线，并非弦所在直线。第三题反过来给直线求中点，此时点差法只能作校验，中点仍由联立与韦达定理得到。 【教学提醒】板演两列并置：左列联立法，从设直线到解出斜率；右列点差法，只写四行。两列耗时当场可比，学生自行判断何时该用哪一列。变式1-2 由学生用联立法独立完成，讲评只对答案与判别式，不再重写过程。 【典例1-1】（2025 年 10 月·浙江省杭州市西湖区高二上学期期中质量检测第 12 题改编） 已知椭圆 上的两点 、 满足线段 的中点为 ，求直线 的方程。 解析：设 、，则 ，。 两式相减，得 。 代入 、，并以 表示斜率，得 ，即 。 所求直线为 ，即 。 回验： 处 ，点在椭圆内部；把 代入椭圆方程得 ，两解 、，对应点 、，中点为 ，与题设一致。 参考答案： 【变式1-1】 已知椭圆 的弦 的中点为 ，求直线 的方程。 解析：两式相减并代入 、，得 ，即 。 直线方程为 ，即 。 回验： 处 ，点在椭圆内部。把 代入椭圆方程，得 ，判别式 ，两交点存在，中点确为 。 参考答案： 【变式1-2】 直线 的方程为 ， 与椭圆 交于 、 两点。求线段 的中点 的坐标与 。 解析：由 得 ，代入椭圆方程并整理，得 ，判别式 ，两交点存在。 由韦达定理 ，故 ，，中点为 。 ，由 知 ，故 。 用点差法校验：，与 的斜率一致，中点计算无误。 参考答案：， 题型二　由中点弦反求椭圆参数 【解题技巧】点差法给出的是一条比值关系，式中只含 与 的商，故单独一条中点弦条件只能定出比值，不能定出椭圆的大小，离心率因而唯一确定。要定 、 的绝对值，须再补一个几何条件：椭圆过某点、焦距已知、某点坐标满足方程。反求离心率时把比值写成 即可，无须解出 、。 【典例2-1】（2024 年 11 月·福建省厦门市思明区高二上学期期中考试第 15 题改编） 已知椭圆 的一条弦的中点为 ，且该弦所在直线的斜率为 ，求 的值与该椭圆的离心率。 解析：由点差法，；与 比较，得 ，即 。 ，故 。 回验： 处 ；直线 与椭圆交于 、，中点为 ，条件自洽。 参考答案：， 【变式2-1】 已知椭圆 的弦 的中点为 ，且 的斜率为 ，求该椭圆的离心率。 解析：由点差法，，故 。 ，。 题设只给中点与斜率两条条件， 的大小不能确定：比值同为 的一族椭圆都满足题意，故所求为离心率而非方程。 参考答案： 【变式2-2】 已知椭圆 经过点 ，且以 为中点的弦所在直线的斜率为 ，求该椭圆的方程与离心率。 解析：由点差法，，故 。 把点 代入椭圆方程，得 ；以 代入，得 ，故 ，。 椭圆方程为 ，，。 回验： 处 ；把 代入椭圆方程得 ，判别式 ，弦真实存在。 参考答案：， 题型三　中点弦的存在性检验 【解题技巧】点差法的推导只用到中点这一代数关系，未用到两交点是否落在椭圆上，故由它求出的斜率只是必要条件。判据是 ，取严格不等号：等号时过中点且斜率取该值的直线为切线，弦退化为一点；大于号时直线与椭圆无公共点，判别式为负。答题时先判位置、再写方程、后验判别式，三步不可省。 【典例3-1】（2025 年 3 月·湖北省武汉市武昌区高二下学期三月月考第 10 题改编） 已知椭圆 。问是否存在以 为中点的弦？若存在，求出该弦所在直线的方程；若不存在，说明理由。 解析：设弦所在直线的斜率为 ，由点差法 。 若弦存在，其所在直线为 ，即 。 把 代入椭圆方程，整理得 ，判别式 ，直线与椭圆无公共点。 故以 为中点的弦不存在。成因在位置： 处 ，点在椭圆外部；点差法只保证斜率与中点的代数关系成立，不保证交点存在。 参考答案：不存在（ 在椭圆外，判别式为负） 【变式3-1】 条件同典例3-1，另取点 。分别判断能否以 、 为中点作椭圆的弦；能作的，求出弦所在直线的方程。 解析：判据为 。 处 ，点在内部，弦存在； 处 ，点在外部，弦不存在。 以 为中点时，，直线为 ，即 。 核验：代入得 ，两解 、，对应点 、，中点为 ，与题设一致。 参考答案： 可作，弦所在直线为 ； 不可作 【变式3-2】 条件同典例3-1，点 。若以 为中点的弦存在，求 的取值范围。 解析：由判据 ，解得 ，即 。 端点处 ， 在椭圆上，过 且斜率为 的直线为该点的切线，与椭圆只有一个公共点，弦退化为一点，故取开区间。 时 在短轴上，弦为水平弦 ，两端点为 ，此时斜率不存在的情形并不出现，与推导中 的设定相容。 参考答案： 题型四　弦中点的轨迹 【解题技巧】把中点坐标视为变量，点差法给出的关系即成轨迹方程。斜率给定时轨迹为过原点的一段线段，端点由 定出，端点对应切线，须剔除。弦过定点 时，中点还须满足 ，消去斜率后得到一条二次曲线，其中心为 的中点，离心率与原椭圆相同。 【典例4-1】（2025 年 9 月·广东省深圳市南山区高二上学期开学考试第 16 题改编） 已知椭圆 ，斜率为 的弦 的中点为 ，求 的轨迹方程，并指出其范围。 解析：由点差法，，故 ，中点位于直线 上。 中点须在椭圆内部：代入 得 ，即 。 故轨迹为直线 上的一段开线段，。 核验：设弦所在直线为 ，代入得 ，中点横坐标为 、纵坐标为 ，满足 ；判别式 即 时两交点存在，与所得范围一致。 参考答案：，其中 【变式4-1】 条件同典例4-1，斜率改为 ，求 的轨迹方程及其范围。 解析：由点差法，，故 ，中点位于直线 上。 内部条件为 ，即 。 轨迹为直线 上的一段开线段，。 参考答案：，其中 【变式4-2】 椭圆 内有一点 ，过 的弦 的中点为 。求 的轨迹方程，并求该轨迹的离心率。 解析：、、、 共线，故弦的斜率等于 ；由点差法，该斜率又等于 。 于是 ，去分母得 。 整理为 ，配方得 ，即轨迹为椭圆。 中心在 ，即 的中点；，，，与原椭圆相同。 该椭圆整体落在原椭圆内部：把参数式代入 ，最大值为 ，故无须删除端点，轨迹为完整椭圆。 参考答案：， 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知椭圆 的弦 的中点为 ，则直线 的斜率为（　　） A． B． C． D． 解析：由点差法，。 参考答案：A 2．（单选）已知椭圆 的弦 的中点为 ，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 解析：，直线为 ，即 。 参考答案：A 3．（单选）已知椭圆 ，则以 为中点的弦所在直线的斜率（　　） A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 解析： 处 ，点在椭圆上，不在内部。 过 且斜率为 的直线为 ，代入椭圆方程得 ，即 ，与椭圆只有一个公共点，为切线，弦退化为一点，故所求斜率不存在。 参考答案：D 4．（单选）已知椭圆 的斜率为 的一族平行弦的中点都在直线 上，则 的值为（　　） A． B． C． D． 解析：中点在该直线上即 ，代入 得 。 参考答案：A 5．（多选）关于椭圆 的弦，下列说法正确的是（　　） A．以 为中点的弦所在直线的斜率为 B．以 为中点的弦所在直线的方程为 C．以 为中点的弦存在 D．椭圆任意弦的中点都在椭圆内部 解析：A 由 得出，正确。 B 由 化为一般式即得，正确。 C 中 处 ，点在椭圆外，弦不存在，错误。 D 弦的两端点严格位于椭圆上，中点因而不可能落在椭圆上或椭圆外，正确。 参考答案：ABD 6．（填空）已知椭圆 的弦 的中点为 ，则直线 的斜率为______。 解析：；核验： 处 ，直线 与椭圆交于 、，中点确为 。 参考答案： 7．（解答）已知椭圆 的弦 的中点为 ， 为坐标原点。（1）求直线 的方程；（2）求 ；（3）求 的面积。 解析：（1）由点差法，，直线为 ，即 。 （2）把 代入椭圆方程，得 ，两解 、，对应点 、。 故 。 （3）原点 到直线 的距离为 ，故 。 参考答案：（1）；（2）；（3） 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）已知椭圆 的弦 的中点为 ，且 的斜率为 ，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 解析：由点差法，，故 。 ，。 参考答案：B 9．（单选）下列各点中，不能作为椭圆 某条弦的中点的是（　　） A． B． C． D． 解析：判据为 。逐项代入：A、B、D 三点对应的值为 、、，均小于 ，都在椭圆内部。 C 得 ，点在椭圆外部，故不能作为弦的中点。 参考答案：C 10．（填空）已知椭圆 与直线 交于 、 两点，若线段 的中点落在 轴上，则 ______。 解析：由点差法，中点 满足 ，即 ；又中点在该直线上，。 与 联立得 ，故 。 核验： 时直线过原点，弦为过中心的直径，中点为原点，落在 轴上；此时 ，两交点存在。 参考答案： 11．（多选）已知椭圆 ， 为椭圆内部一点，则以 为中点的弦记为 。下列说法正确的是（　　） A．这样的弦一定存在 B．当 时， 的斜率为 C．弦 的中点所构成的集合是椭圆内部 D．以原点为中点的弦只有一条 解析：A 由点差法求出的斜率必使直线与椭圆交于两点， 在内部即为充要条件，正确。 B 由基本关系直接得出，正确。 C 每个内部点都可作弦的中点，反之弦的中点必在内部，两者互为充要，正确。 D 过原点的任意一条弦都以原点为中点，这样的弦有无数条，错误。 参考答案：ABC 12．（解答）已知椭圆 内有一点 。（1）判断能否以 为中点作椭圆的弦，能作的求出该弦所在直线的方程；（2）求过 的弦的中点 的轨迹方程，并判断该轨迹与原椭圆的位置关系。 解析：（1） 处 ，点在椭圆内部，弦存在。斜率为 ，直线为 。 核验：把 代入椭圆方程得 ，判别式 ，两交点存在。 （2）设 ，则弦的斜率等于 ，又等于 ，故 。 整理并配方，得 ，轨迹为椭圆，中心在 的中点。 半轴为 与 ，离心率 与原椭圆相同；由参数式代入得最大值 ，故轨迹整体落在原椭圆内部。 参考答案：（1）能，；（2），整体位于原椭圆内部 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：椭圆中点弦问题 学生版 北师大版（2019）选择性必修第一册·第二章 圆锥曲线 ｜ 定位：课后微拓展 内容导航：明·模型定位｜记·模型与结论｜破·典型题型｜练·分层小训练 第一部分　明·模型定位 教材位置：本专题安排在“椭圆的简单几何性质”与离心率微专题之后，属课后课后微拓展。学生在离心率一讲的最后一组题里已接触过“关于原点对称的两点”，当时的做法是两点坐标各代方程、相减消去平方项。本讲把这一动作独立成法，处理范围由对称点扩到任意弦的中点，所补的环节是中点条件如何化为斜率关系，以及这条关系为何只覆盖一半条件。 考查形式：近五年全国卷与新高考卷中，中点弦以两种形式出现：选填题给中点求弦的斜率或方程，多与离心率、弦长同题；解答题第（2）问以“ 的中点为 ”作条件，用于把两个待定参数压成一个。以中点为动点的轨迹型设问见于新高考多选题，考的是取值范围的边界。四组题型按“正用—反求—检验—成集”排列。 第二部分　记·模型与结论 一、点差法的由来 设 、 为椭圆上两点， 为线段 的中点。两点坐标各满足椭圆方程，两式相减，平方项化为一次式的乘积；代入 、，并以 代替差商，得中点弦的基本关系： 这一推导只用到两条：、 在椭圆上，且 是 的中点。它没有用到 、 是否真的存在，这一点决定了后文第三部分的判据。 右端只出现 与 的商，不出现 、 的绝对值，故这条关系确定的是比值，不是大小。符号由中点所在象限决定：、 同号时斜率为负，异号时为正，与椭圆本身的形状无关。 二、两处边界 其一， 时公式右端无意义。此时中点落在 轴上，弦为竖直线 ，斜率不存在，须单独说明，不能由公式取极限代替。 时公式给出 ，中点在短轴上，弦为水平弦，与该点处的切线平行。 其二，斜率不存在与斜率为零是两类不同情形：前者对应中点横坐标固定、纵坐标可动，后者对应中点纵坐标固定。命题中把两者混称“斜率为 ”的写法不严谨，答题时须按题设实际情形表述。 三、中点弦存在的判据 点差法给出的斜率只是必要条件，中点弦是否真的存在，取决于中点相对于椭圆的位置： 严格不等号不可换为不等号。等号时 在椭圆上，过 且斜率为 的直线恰为该点的切线，与椭圆只有一个公共点，弦退化为一点；大于号时该直线与椭圆无公共点，代入后判别式必为负数。判位置、写方程、验判别式，三步做完才算完整。 四、与联立法的分工 点差法由中点求斜率，运算量约为联立法的三分之一；但它不能求中点。已知直线方程求中点，仍须联立、用韦达定理求 ，再用点差法核验所求斜率是否与直线一致，两条路径互为校验。 求弦长同样不能省去联立：点差法给不出 ，须由联立后的方程取 ，或对中点弦改用弦长公式。把点差法当作求弦长的捷径，是本讲最常见的路径错误。 五、三处常见误用 一是 与 的位置对调。公式中 配 、 配 ，与椭圆方程中 配 恰好相反，凭记忆书写容易出错。用 退化为圆检验：圆中任一弦的中点与圆心连线垂直于该弦， 即 ，与公式在 时的取值一致。 二是符号漏负。 在第一象限时斜率为负，算出正值即为符号错误。 三是把“中点弦”与“弦中点”混同：前者指以某定点为中点的弦，答案是一条直线；后者指某条已知弦的中点，答案是一个点，须先联立。 第三部分　破·典型题型 题型一　点差法求弦的方程 【解题技巧】本组只做一件事：把中点换成斜率。两式相减消去平方项，代入中点坐标与差商，即得 。求出斜率后尚须回验：中点须落在椭圆内部，否则所求直线只是过中点的直线，并非弦所在直线。第三题反过来给直线求中点，此时点差法只能作校验，中点仍由联立与韦达定理得到。 【典例1-1】（2025 年 10 月·浙江省杭州市西湖区高二上学期期中质量检测第 12 题改编） 已知椭圆 上的两点 、 满足线段 的中点为 ，求直线 的方程。 【变式1-1】 已知椭圆 的弦 的中点为 ，求直线 的方程。 【变式1-2】 直线 的方程为 ， 与椭圆 交于 、 两点。求线段 的中点 的坐标与 。 题型二　由中点弦反求椭圆参数 【解题技巧】点差法给出的是一条比值关系，式中只含 与 的商，故单独一条中点弦条件只能定出比值，不能定出椭圆的大小，离心率因而唯一确定。要定 、 的绝对值，须再补一个几何条件：椭圆过某点、焦距已知、某点坐标满足方程。反求离心率时把比值写成 即可，无须解出 、。 【典例2-1】（2024 年 11 月·福建省厦门市思明区高二上学期期中考试第 15 题改编） 已知椭圆 的一条弦的中点为 ，且该弦所在直线的斜率为 ，求 的值与该椭圆的离心率。 【变式2-1】 已知椭圆 的弦 的中点为 ，且 的斜率为 ，求该椭圆的离心率。 【变式2-2】 已知椭圆 经过点 ，且以 为中点的弦所在直线的斜率为 ，求该椭圆的方程与离心率。 题型三　中点弦的存在性检验 【解题技巧】点差法的推导只用到中点这一代数关系，未用到两交点是否落在椭圆上，故由它求出的斜率只是必要条件。判据是 ，取严格不等号：等号时过中点且斜率取该值的直线为切线，弦退化为一点；大于号时直线与椭圆无公共点，判别式为负。答题时先判位置、再写方程、后验判别式，三步不可省。 【典例3-1】（2025 年 3 月·湖北省武汉市武昌区高二下学期三月月考第 10 题改编） 已知椭圆 。问是否存在以 为中点的弦？若存在，求出该弦所在直线的方程；若不存在，说明理由。 【变式3-1】 条件同典例3-1，另取点 。分别判断能否以 、 为中点作椭圆的弦；能作的，求出弦所在直线的方程。 【变式3-2】 条件同典例3-1，点 。若以 为中点的弦存在，求 的取值范围。 题型四　弦中点的轨迹 【解题技巧】把中点坐标视为变量，点差法给出的关系即成轨迹方程。斜率给定时轨迹为过原点的一段线段，端点由 定出，端点对应切线，须剔除。弦过定点 时，中点还须满足 ，消去斜率后得到一条二次曲线，其中心为 的中点，离心率与原椭圆相同。 【典例4-1】（2025 年 9 月·广东省深圳市南山区高二上学期开学考试第 16 题改编） 已知椭圆 ，斜率为 的弦 的中点为 ，求 的轨迹方程，并指出其范围。 【变式4-1】 条件同典例4-1，斜率改为 ，求 的轨迹方程及其范围。 【变式4-2】 椭圆 内有一点 ，过 的弦 的中点为 。求 的轨迹方程，并求该轨迹的离心率。 第四部分　练·分层小训练 一、基础小练（20 分钟） 1．（单选）已知椭圆 的弦 的中点为 ，则直线 的斜率为（　　） A． B． C． D． 2．（单选）已知椭圆 的弦 的中点为 ，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 3．（单选）已知椭圆 ，则以 为中点的弦所在直线的斜率（　　） A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 4．（单选）已知椭圆 的斜率为 的一族平行弦的中点都在直线 上，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）关于椭圆 的弦，下列说法正确的是（　　） A．以 为中点的弦所在直线的斜率为 B．以 为中点的弦所在直线的方程为 C．以 为中点的弦存在 D．椭圆任意弦的中点都在椭圆内部 6．（填空）已知椭圆 的弦 的中点为 ，则直线 的斜率为______。 7．（解答）已知椭圆 的弦 的中点为 ， 为坐标原点。（1）求直线 的方程；（2）求 ；（3）求 的面积。 二、培优小练（15 分钟） 8．（单选）已知椭圆 的弦 的中点为 ，且 的斜率为 ，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 9．（单选）下列各点中，不能作为椭圆 某条弦的中点的是（　　） A． B． C． D． 10．（填空）已知椭圆 与直线 交于 、 两点，若线段 的中点落在 轴上，则 ______。 11．（多选）已知椭圆 ， 为椭圆内部一点，则以 为中点的弦记为 。下列说法正确的是（　　） A．这样的弦一定存在 B．当 时， 的斜率为 C．弦 的中点所构成的集合是椭圆内部 D．以原点为中点的弦只有一条 12．（解答）已知椭圆 内有一点 。（1）判断能否以 为中点作椭圆的弦，能作的求出该弦所在直线的方程；（2）求过 的弦的中点 的轨迹方程，并判断该轨迹与原椭圆的位置关系。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $