专题2.1.1 椭圆及其标准方程（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆及其标准方程核心知识点，系统梳理椭圆定义（含2a与2c关系辨析）、两种标准方程（焦点位置判断）、a,b,c几何关系、求方程方法（定义法、待定系数法）及点与椭圆位置关系，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过“即学即练”“典例+变式”分层设计，结合思维导图直观呈现知识脉络，培养数学思维（如定义辨析逻辑推理）和数学语言（方程推导规范表达）。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

专题2.1.1椭圆及其标准方程 教学目标 理解椭圆的定义，掌握定义中限制条件； 掌握椭圆的两种标准方程，分清焦点在x轴、y轴上方程形式；理解a,b,c三者关系； 会根据条件求椭圆标准方程（定义法、待定系数法）； 了解椭圆标准方程推导过程，会判断焦点位置。 教学重难点 1.重点 椭圆的定义； 椭圆的标准方程；a,b,c的关系； 求椭圆的标准方程。 2.难点 椭圆定义条件，辨析2a=2c、2a<2c对应的图形； 椭圆标准方程的化简推导； 焦点位置判断：看分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 知识点 1：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点P的轨迹叫做椭圆。 两个定点叫作椭圆的焦点； 两焦点间距离叫作焦距； 常数记为2a，即。 ⚠三种情况辨析（高频易错） ：点P轨迹为椭圆； ：点P轨迹为线段； ：没有轨迹（不存在图形）。 【即学即练】 已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的概念，求出椭圆标准方程即可. 【详解】由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，且，则， 所以椭圆标准方程为. 故选：A. 知识点 2 椭圆的标准方程 （a永远最大） 表格 焦点位置 标准方程 焦点坐标 说明 焦点在轴上 分母是（分母更大） 焦点在轴上 分母是（分母更大） 判断焦点位置口诀：看分母，大分母对应焦点所在坐标轴。 【即学即练】 已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 【答案】 【详解】设椭圆的一般方程为， 把点、的坐标分别代入椭圆方程， 得，解得，故椭圆标准方程为. 知识点 3：a,b,c的几何关系 a：长半轴长；b：短半轴长；c：半焦距； 已知任意两个量，就可以求出第三个量。 【即学即练】 离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 知识点 4：求椭圆标准方程两种方法 定义法：根据椭圆定义求出2a、2c，算出，再结合焦点位置写方程。 待定系数法 ①定焦点位置，设对应标准方程； ②代入已知条件，列方程求出参数； ③若焦点位置不确定，可设统一形式：。 【即学即练】 已知椭圆的右焦点，短轴长为2.求椭圆的方程. 【答案】 【详解】由题意得，椭圆的半短轴长，半焦距， 因， 故椭圆的标准方程为. 知识点 5：点与椭圆的位置关系 对于椭圆，点： ，点在椭圆内部； ，点在椭圆上； ，点在椭圆外部。 题型 01 椭圆定义辨析 【典例1】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 【变式1】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为 【变式2】已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. ． 【变式3】在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据曲线是椭圆的条件进行判断即可. 【详解】将方程化为标准形式为. 当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立， 若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立， 因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 题型 02 识别椭圆标准方程，求参数、焦点坐标 【典例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义将周长的最大值问题转化为求的最大值即可求出，再求出焦距即可. 【详解】由题意知，，且， 则， 由椭圆的定义可知，， 则的周长为， 因为，等号成立时三点共线， 所以周长的最大值为，得，则，得， 故C的焦距为. 【变式1】椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 【答案】 4 【详解】由题可知，又， 所以. 【变式2】过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 【答案】20 【详解】 如图的周长为 题型 3：椭圆定义的简单综合 【典例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】由垂直平分线性质得，，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 所以，根据对称性有：，， 所以的周长等于的周长， 所以，利用椭圆的定义，的周长为． 【变式1】如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，连接，，，由离心率可得，即可得到为等边三角形，然后结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】如图，连接，，，由题意可得． 因为椭圆的离心率为，所以，即．又， 所以，故为等边三角形． 由可得为线段的垂直平分线， 所以，， 所以的周长为 ． 故选：A 【变式2】  为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义将化为，再结合即可求出答案. 【详解】设为椭圆的下焦点， 由椭圆方程知，，，， 则， 由椭圆的定义得 所以，当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式3】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构特点求得范围，再结合基本不等式即可求解. 【详解】根据题意可得，解得. 令， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5. 题型 4：定义法求椭圆方程 【典例】已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 设椭圆方程为，则, 得，所以, 的轨迹方程为， 故选：A 【变式1】平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义进行求解. 【详解】由题知，， 由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆， 其中，则， 方程为：. 故选：D 【变式2】已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____. 【答案】 【详解】由题意可得，解得，又， 所以椭圆方程为. 题型 5：椭圆中的距离问题 【典例1】已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】根据椭圆定义可知，取得最大值时，即最大，根据三角不等式即可解出﹒ 【详解】根据椭圆的定义：， 取得最大值时，即最大. 由题意知， 如图所示：， 当，，共线，即为的延长线与椭圆的交点时取等号，所以的最大值为﹒ 故答案为： 【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的范围是______ 【答案】 【分析】由椭圆定义得，求出的范围即可得解. 【详解】椭圆中，，由椭圆定义得， 则，而， 因此，，即， 所以. 故答案为： 【变式2】  已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 【答案】/ 【分析】先根据椭圆的定义得到的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【详解】设是椭圆的右焦点，则，. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为， 所以，所以的最大值为， 故的最大值为. 故答案为：.    【变式3】已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先求解的最小值，结合圆的特点可得答案. 【详解】椭圆的左焦点，圆化为， 圆心为，半径为1，因为点在圆上，所以; 的最小值为； 因为,当且仅当三点共线时，取到等号，而， 所以的最小值为. 故答案为： 1．AB为过椭圆中心的弦，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是（    ） A．bc B．ac C．ab D． 【答案】A 【详解】设椭圆中心为原点，过中心，故, =， 所以当与x轴垂直时，取得最大值， 所以的最大值是. 2．已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用设动点坐标，表示距离，结合题意可得轨迹方程，再用坐标法来求距离的最大值即可. 【详解】设点，则根据题意可得：， 整理得：， 则， 因为，所以当时，， 故选：C 3．在中，，已知点，则的最大值为（    ）. A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据正弦定理化简得到，再根据点的轨迹即可得到面积最大值. 【详解】因为，所以， 所以点的轨迹是以点为焦点，长轴为8的椭圆. 所以当且仅当点是椭圆的上下顶点，最大，面积最大值为. 故选：A. 4．椭圆C：的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义计算周长后判断选项即可. 【详解】因为椭圆C：， 所以，， 所以， 故的周长为． 故选：C 5．已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 6．已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】注意到是椭圆的下焦点，则上焦点为，故，而的最大值为，由此求得的最大值. 【详解】由椭圆方程可知，， 故为椭圆的下焦点，则椭圆的上焦点为，如图，    根据椭圆的定义，有， 根据三角形两边的差小于第三边可知， 故的最大值为. 故选：D 7．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得. ，， 则 . 8．已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用三角形面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以，设点的纵坐标为， 因为以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1， 所以. 故选：B 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则的面积为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，，根据椭圆的方程可求得利用余弦定理可求出值，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，所以，， 设，，在中，由余弦定理得， 即，所以， 根据椭圆的定义可知，代入可求得， 故的面积为． 故选： 10．已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理结合椭圆的定义，将中点的圆上条件转化为右焦点到点的距离，再通过椭圆的定义求解. 【详解】由椭圆，得，， ，故左焦点，右焦点，. 设的中点为，由题设，在以原点为圆心、为半径的圆上，故. 在中，为的中点，为的中点， 故为的中位线，得. 由椭圆的定义，， 因此，. 故选：D 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆方程求出的值，再利用椭圆定义求出，最后在中运用余弦定理求出，进而得到的值. 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 12．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】D 【分析】结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形． 故选：D. 13．已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【答案】B 【分析】由圆、椭圆方程的结构特点判断即可. 【详解】对于，配方可得：， 当，即或时，表示圆， 所以当时，方程不能表示圆，故为真命题；为假命题， 对于，当时，方程不能表示圆或椭圆，故为假命题，为真命题， 故选：B 1．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 2．已知椭圆：，是右焦点．设为椭圆上任意一点，以为直径的圆记为，则恒与下列哪个圆相切（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标计算，求出以为直径的圆的圆心和半径，发现以为直径的圆的圆心到原点的距离与半径之和为定值2，从而可以判断其与圆内切. 【详解】设，显然，右焦点，记左焦点为， 则， 则圆的圆心 ，半径， 此时 ， 即，因此圆与以原点为圆心、半径为 的圆内切， 因此恒与圆相切(内切). 3．已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 4．已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围. 【详解】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 5．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 6．已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即. 7．已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】延长，交的延长线于点，确定为等腰三角形，进而得到，设，再由椭圆定义求得，进而可求解. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，    因为PH为的平分线，， 故为等腰三角形， 即为的中点， 因为为的中点，所以OH为的中位线， 故，设，由椭圆定义知， ，故，解得， 故在中，边上高为. 故面积为. 故选：C 8．若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 【答案】A 【分析】利用椭圆定义可判断C选项；利用余弦定理结合椭圆定义可判断B选项；利用三角形面积公式可判断D选项；利用三角形的面积公式可求出的值，结合椭圆方程可求出的值，可判断A选项. 【详解】在椭圆中，，，， 对于C选项，的周长为，C错； 对于B选项，由余弦定理可得 ， 解得，B错； 对于D选项，，D错； 对于A选项，因为，解得， 所以，解得，A对. 故选：A. 9．在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．存在点使得 C．满足的点有且只有4个 D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为 【答案】C 【分析】首先根据椭圆方程求，再根据椭圆的定义和性质，即可判断选项. 【详解】椭圆中，△F1PF2的周长，故A错误； 当∠F1PF2最大时此时P在椭圆短轴的端点，此时三角形为等腰三角形边长分别为2、2、此时，故B错误； 时，，由椭圆的对称性可知存在4个点，故C正确； 如果线段PF1的中点在y轴上时，设的中点为，此时是的中位线，轴，△F1PF2的面积，故D错误. 故选：C． 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【详解】由题可知，∴，， ∴，的周长为，A选项正确； ∵，∴，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； ， ∴， ∴斜率，D选项错误.      11．若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 12．已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于ABC，代入数据逐个判断即可，对于D，由求解即可判断. 【详解】当时，方程可化为，解得，表示直线，故A正确． 当时，方程可化为，表示以原点为圆心，半径的圆，故B正确． 当且时，方程可化为．当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故C错误． 若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 即实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 13．已知曲线C：，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C的焦点为和 D．若，则C的长半轴长为 【答案】ABD 【分析】根据圆、椭圆的标准方程，可得答案. 【详解】对于A，若，则C是焦点在x轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线C：，所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则C：，为焦点在轴上的椭圆，焦点为和，故C错误； 对于D，若，则C：，所以C的长半轴长为，故D正确. 故选：ABD. 14．已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】ABD 【分析】根据椭圆和圆的方程，逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则曲线， 所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 对于D，若，则， 所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确. 15．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点B在椭圆上，则_______． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程，椭圆的定义，及正弦定理即可求解． 【详解】由椭圆的标准方程， 则点和为椭圆的焦点坐标， 又点B在椭圆上， 则由椭圆的定义可得， 所以由正弦定理可得． 16．设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【答案】 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 17．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可求解 【详解】 已知椭圆，则，， 由椭圆的定义得，， 由于，所以， 则. 18．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为__________________ 【答案】 【分析】根据两圆相切的条件 ，利用椭圆的定义求轨迹方程． 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故答案为： 19．已知点P为椭圆上一个动点，点A的坐标为，则的最小值为__________. 【答案】2 【分析】方法一，设点P的坐标为，根据两点间距离公式及二次函数的最值求得结果；方法二，设点P的坐标为，根据两点间距离公式及二次函数的最值求得结果. 【详解】方法一，设点P的坐标为，则， 因为点P为椭圆上一点，所以，， 则， 因为，所以当时，. 故答案为：2. 20．已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，求三角形的周长. 【详解】由椭圆方程可知，，，所以， 的周长为. 21．已知点、是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为______． 【答案】12 【详解】根据椭圆方程可得，则， 由椭圆的定义得，，， 所以的周长为. 22．已知椭圆，且，，若点是上动点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】计算判断点为椭圆的上焦点，作下焦点为，利用椭圆的定义将待求式化成，结合图形可得当且仅当三点共线且点在之间时取得最大值. 【详解】如图，由可得其半焦距为，即点为椭圆的上焦点，取下焦点为， 因为，所以点在椭圆内， 连接，则，则， 由图知，当且仅当三点共线且点在之间时等号成立， 故， 即的最大值为. 故答案为：. 23．已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆的方程． 【答案】 【分析】解法一：（弦长公式）：由得，联立与椭圆，用韦达定理得、，代入弦长公式，结合化简得，联立解. 解法二：由，联立与椭圆，用韦达定理得，因过右焦点，弦长，由得，联立得 【详解】解法一：由于经过点，结合被截得弦长为，得.       ① 设代入的方程化简得： . 由韦达定理得. 从而， 则由弦长公式，得， 化简得.       ② 联立①②得.故椭圆的方程为. 解法二：同上得. 由过右焦点，及焦半径公式得弦长为：. 由题意得，化简得.以下同解法一． 24．已知椭圆E 经过点 且直线 过椭圆E的焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)斜率为 的直线l与椭圆E交于P，Q两点.已知O为坐标原点，若直线OP，OQ的斜率分别为 求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易得为椭圆的焦点，得到，再由椭圆经过点，代入椭圆方程求解； （2）设直线平行的方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为椭圆E 的焦点在x轴上，且直线 过椭圆E的焦点， 所以   ∴， ∴， ∵椭圆经过点      解得. 故椭圆的标准方程为. （2） ∴设直线的方程为，点，. 将直线的方程代入椭圆的方程得， ，解得， 由韦达定理得. ∴. 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1.1椭圆及其标准方程 教学目标 理解椭圆的定义，掌握定义中限制条件； 掌握椭圆的两种标准方程，分清焦点在x轴、y轴上方程形式；理解a,b,c三者关系； 会根据条件求椭圆标准方程（定义法、待定系数法）； 了解椭圆标准方程推导过程，会判断焦点位置。 教学重难点 1.重点 椭圆的定义； 椭圆的标准方程；a,b,c的关系； 求椭圆的标准方程。 2.难点 椭圆定义条件，辨析2a=2c、2a<2c对应的图形； 椭圆标准方程的化简推导； 焦点位置判断：看分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 知识点 1：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点P的轨迹叫做椭圆。 两个定点叫作椭圆的焦点； 两焦点间距离叫作焦距； 常数记为2a，即。 ⚠三种情况辨析（高频易错） ：点P轨迹为椭圆； ：点P轨迹为线段； ：没有轨迹（不存在图形）。 【即学即练】 已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 知识点 2 椭圆的标准方程 （a永远最大） 表格 焦点位置 标准方程 焦点坐标 说明 焦点在轴上 分母是（分母更大） 焦点在轴上 分母是（分母更大） 判断焦点位置口诀：看分母，大分母对应焦点所在坐标轴。 【即学即练】 已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 知识点 3：a,b,c的几何关系 a：长半轴长；b：短半轴长；c：半焦距； 已知任意两个量，就可以求出第三个量。 【即学即练】 离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 知识点 4：求椭圆标准方程两种方法 定义法：根据椭圆定义求出2a、2c，算出，再结合焦点位置写方程。 待定系数法 ①定焦点位置，设对应标准方程； ②代入已知条件，列方程求出参数； ③若焦点位置不确定，可设统一形式：。 【即学即练】 已知椭圆的右焦点，短轴长为2.求椭圆的方程. 知识点 5：点与椭圆的位置关系 对于椭圆，点： ，点在椭圆内部； ，点在椭圆上； ，点在椭圆外部。 题型 01 椭圆定义辨析 【典例1】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【变式1】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 02 识别椭圆标准方程，求参数、焦点坐标 【典例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 【变式1】椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 【变式2】过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 题型 3：椭圆定义的简单综合 【典例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． 【变式1】如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】  为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【变式3】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 题型 4：定义法求椭圆方程 【典例】已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____. 题型 5：椭圆中的距离问题 【典例1】已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的范围是______ 【变式2】  已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 【变式3】已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______. 1．AB为过椭圆中心的弦，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是（    ） A．bc B．ac C．ab D． 2．已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 3．在中，，已知点，则的最大值为（    ）. A． B． C．4 D．8 4．椭圆C：的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 7．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 8．已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，则的面积为（  ） A． B． C．2 D． 10．已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 13．已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 1．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 2．已知椭圆：，是右焦点．设为椭圆上任意一点，以为直径的圆记为，则恒与下列哪个圆相切（    ） A． B． C． D． 3．已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 4．已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 8．若点在椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则（   ） A． B． C．的周长为 D．面积为 9．在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．存在点使得 C．满足的点有且只有4个 D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 11．若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 12．已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 13．已知曲线C：，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C的焦点为和 D．若，则C的长半轴长为 14．已知曲线，则下列结论正确的有（   ） A．若，则C是焦点在轴上的椭圆 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 15．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点B在椭圆上，则_______． 16．设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 17．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 18．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为__________________ 19．已知点P为椭圆上一个动点，点A的坐标为，则的最小值为__________. 20．已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 21．已知点、是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为______． 22．已知椭圆，且，，若点是上动点，则的最大值为______． 24．已知椭圆E 经过点 且直线 过椭圆E的焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)斜率为 的直线l与椭圆E交于P，Q两点.已知O为坐标原点，若直线OP，OQ的斜率分别为 求 的值. 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $