28.3 圆心角和圆周角 讲义 2026-2027学年冀教版九年级数学上册

冀教版（新教材）九年级上册28.3圆心角和圆周角

【知识点1】圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．

1.（2023•道外区二模）如图，AB是⊙O的直径，==，若∠COD=35°，则∠AOE的度数是（　　）

A．35°

B．55°

C．75°

D．95°

2.（2024秋•宁乡市校级期中）如图所示，∠ACB表示圆心角的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3.（2021秋•城厢区校级期中）如图，在⊙O中，，∠1=45°，则的度数为 ______．

4.（2023秋•陆河县期中）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，BD=AC．求证：AB=CD．

5.（2023秋•厦门校级期中）如图，在⊙O中，若=，且AD=3，求CB的长度．

【知识点2】圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理

成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

1.（2025•前郭县模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠D=62°，则∠BAC=（　　）

A．24°

B．28°

C．31°

D．32°

2.（2025•云南模拟）如图，AB是半圆O的直径，分别以O，A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，直线CD交半圆O于点E，连接BE，则∠ABE的大小是（　　）

A．20°

B．25°

C．30°

D．35°

3.（2024秋•义乌市期末）如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点P是圆上任意一点，且∠APB是锐角，则sin∠APB的值为 ______．

4.（2025•深圳模拟）如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为110°，连接CD．那么∠BCD=______．