3.1.2函数的表示方法 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

强化训练 A 组 夯实基础 1.(重庆模拟) 已知函数 的对应关系如下表所示,函数 的图象如下图所示,则 的值为() 1 2 3 4 3 -1 A. -1 B. 0 C. 3 D. 4 1. D 解析: 由图中点 可知 ,所以 , 由表可知 ,所以 . 2.(四川内江模拟) 根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第 72 条规定:驾驶自行车、三轮车必须年满 12 周岁，驾驶电动自行车和残疾人机动轮椅车必须年满 16 周岁. 高一学生小明骑自行车上学, 开始时匀速行驶, 途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是() A B C D 2. B 解析:由题意，小明开始时匀速行驶，所以起初的一段时间内，小明距学校的距离呈直线减少； 途中因交通堵塞停留了一段时间，所以中间有一段小明距学校的距离不变； 后为了赶时间，加快速度行驶，所以小明距学校的距离加速减少，反映到图象上，即呈现出趋于陡峭的下降趋势；满足上述特征的图象是选项 B. 3.(全国模拟) 设 ，则 3. 解析: 由题意, , 所以 . 4.(陕西咸阳期末) 已知函数 ，若 ，则实数 4. 3 解析: 由题意, , 所以 , 又 ,所以 ,故 . 5.(北京模拟) 要得到函数 的图象,只需将函数 的图象( ) A. 向右平移 1 个单位长度, 再向上平移 1 个单位长度 B. 向右平移 1 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度 C. 向左平移 1 个单位长度, 再向上平移 1 个单位长度 D. 向左平移 1 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度 5. A 解析: 由题意, , 将 向右平移 1 个单位,得到 , 再向上平移 1 个单位,得到 ,故选 A. B 组 强化能力 6. 设函数 ,则 ( ) A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 6. B 解析: 因为 ,所以 ①, 又 ,所以 , 代入①得 ②， 因为 ,所以 , 代入②得 . 7.(云南昭通模拟) 已知函数 ，则 ( ) A. B. C. D. 7. C 解析: 令 ,则 ,所以 即为 ,因为 ,所以 , 故 . 8.(2023・江苏苏州模拟(改)) 设函数 ，则 的表达式为_____. 8. 解析: 令 ,则 ,所以 , 从而 ,故 即为 , 再来看 的范围,因为 ,所以应先分析 的范围,可从题干的 来看, 在 中,左边要求 ,所以 , 右边要求 ,所以 应满足 且 , 而 , 一方面,当 时, ,所以 , 另一方面,由 及 可知 ,所以 , 所以 ,故 . 【反思】根据 求 时,令 后,求 的范围需要 的范围. 需注意,此时 不仅要考虑 的影响, 还要受到右边 的限制,两者结合才是 的准确范围. 例如本题的 ,我们不仅考虑了 要求 ,也结合了 中 . 9.(河南信阳模拟) 设函数 ,若 ,则 ( ) A. 2 或 4 B. 1 或 9 C. 1 D. 9 9. C 解析: 注意到 的定义域是 ,不是 ,所以在 中, 和 不能取任意值,故先分析 的取值范围,以便于找到 和 位于 的哪一段, 由题意, ,所以 ,故 , 有了 ,翻译 还差 与 的分段点 的大小不确定,故需讨论, 当 时, ,所以 , 故 即为 , 解得: 或 4,结合 可得 ; 当 时, ,所以 ,故 即为 , 上述方程无解; 综上所述, ,所以 . 10.(湖南郴州模拟) 已知 ，则 _____， 的值域为_____. 10. 解法 1: 观察发现所给式子右侧容易凑成左边 的结构,故可通过凑形来求 , 由题意, 所以 ,在 中,括号内的整体满足 ,所以在 中,应有 , 故 , 因为 , 取等条件是 ,所以 的值域是 . 解法 2: 若没想到凑形,也可用换元法求 的解析式, 令 ,则 , 所以 即为 ,因为 ,所以 , 故 ,求值域的过程同解法 1 . 11.(江苏盐城模拟) 函数 满足 ，则函数 ( ) A. B. C. D. 11. B 解析: 所给方程中有 和 ,求 还差一个方程,怎么办呢? 注意到若将 换成 ,则 ,所以 和 刚好交换,故可由此再构造一个方程, 因为 ,所以将 替换成 可得 ,故 , 代入 得 ， 解得: . 12.(广东广州模拟) 函数 在 上的值域是_____. 12. 解析:涉及 “一次函数” 的值域问题，可考虑画图来看， ①由 可得 ，所以垂直渐近线为 ， ② 分子分母的 系数之比为 ，所以水平渐近线为 ， ③ 又 ，所以函数 的图象过点 ， 由以上三点可画出 的草图如图， 因为 ， 所以结合图象可知 在 上的值域为 . 13.(北京朝阳模拟) 已知函数 的值域是 ，则它的定义域可能是_____. 13. (答案不唯一) 解析:涉及二次函数的区间值域，考虑画图分析. 给了值域是 ，于是先求出函数值为 1 和 5 的自变量， 令 可得 ，解得: ， 令 可得 ，解得: ， 所以 的大致图象如图，由图可知，要使 的值域为 ，其定义域(假设为连续的一段区间)应满足三点: ①定义域不超出 ，否则值域中必有大于 5 的数； ② 0 必在定义域中，否则值域中没有 1 ； ③ -2 和 2 至少有 1 个在定义域中，否则值域中没有 5 ； 满足以上三点的区间都可以作为 的定义域, 例如 等. 14.(山西朔州模拟) 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是_____. 14. 解析: 与-1,1的大小不确定,可考虑通过讨论将 代解析式,再求解, 当 时, 即为 , 从而 或 ,故 或 , 结合 可得 ; 当 时, 即为 , 故 ,因为 ,所以 ,故 无解; 当 时, 即为 ,解得: , 结合 可得 ; 综上所述, 的取值范围是 . 15.(河南郑州模拟) 设函数 ，若 ，则实数 15. 4 或 解法 1: 看到条件中的 ,想到将内层的 换元,化整为零考虑, 设 ,则 即为 ①, 接下来代解析式解方程①，不确定 与 0 的大小，故讨论， 当 时，式①即为 ，解得: ，满足 ； 当 时，式①即为 ，解得: ，满足 ； 所以方程①有且仅有 和 -2 两个解， 又 ,所以 或 , 要解上述两个方程,要将 代解析式,故又讨论 与 0 的大小, 当 时, ,所以 或 , 解得: 或 -2 (不满足 ,舍去); 当 时, ,所以 或 , 解得: 或 ,其中 不满足 ,舍去; 综上所述,满足 的实数 或 . 解法 2: 换元的过程同解法 1,而求解方程 ,可考虑画图来看, 函数 的大致图象如图 1,由图可知 有两个解,分别令 和 可得 或 1, 所以 或 , 于是又画 的图象来求解这两个方程, 的图象与 相同,只是横轴改为 即可, 如图 2,方程 和 各自都只有 1 个解, 令 可得方程 的解为 , 令 可得方程 的解为 , 综上所述,满足 的实数 或 . 图1 图2 16.(河南郑州模拟) 如图, 为直角梯形, ,记梯形 位于直线 左侧的图形的面积为 ，则函数 的图象大致为( ) A B C D 16. C 解析:观察图形可发现当 在点 左侧、右侧时，阴影部分面积的计算方法不同，所以 为分段函数，要选图象，先分段求其解析式, 当 时，如图 1，由 得 ， 所以 ， 故 ; 当 时,如图 , ,所以 所以 ,其图象与 项吻合. 图1 图2 17.(广西开学考试) 已知 是定义在 上的函数， ，且对 任意的 ，都有 ， 则 17. 解法 1: 所给关系式中有 两个变量,而要求的解析式中只能含 ,故考虑对 赋值, 令 可得 ①, 只要求出 ,就能求得 ,于是再对 赋值, 令 可得 ,解得: 或 -1, 又由题意, ,所以 , 代入①得 ，所以 . 解法 2: 观察发现若令 ,则可得到含 和 的方程,只要再求出 ,也能得到 . 在题干的等式中令 可得 ②, 在题干的等式中再令 得 , 结合 恒成立可得 , 代入②得 ，所以 . 【反思】在抽象函数求解析式的问题中，有时赋值的方法不是唯一的，可以多方尝试. 18.(云南昭通模拟) (1)已知 是一次函数，且 ,求 的解析式； (2)若二次函数 满足 ，且图象过原点，求 的解析式； 18. 解:(1)(已经说了是一次函数，考虑待定系数法) 设 ，因为 ， 所以 , 化简得: ,所以 , 解得: ,故 . (2)(已经说了是二次函数，考虑待定系数法) 设 ，则 ①， ②， 又因为 的图象过原点,所以 , 结合①②可得 ,所以 . 19.(贵州六盘水模拟) 已知函数 . (1)画出函数 的图象; (2)求函数 的值域. 19. 解: (1) 函数 的大致图象如图. (2)由图可知 的值域为 . 20.(江苏无锡模拟) 已知函数 满足 ，函数 满足 . (1)求函数 和 的解析式； (2)求函数 的值域. 20. 解: (1) 令 ,则 , 所以 即为 ,故 ; 因为 ,所以 , 两式联立解得: . (2)由(1)可得 ①, (上式中 与 可看成平方关系,故考虑将 换元,化为二次函数分析) 令 ,则 且 , 所以式①即为 , 如图, 在 时取得最大值 , 所以 的值域为 . 21.(江西吉安期末) 狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名 “狗牯脑”，所产之茶即从名之. 某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本 3 万元,每生产 吨另需投入流动成本 万元,已知在年产量不足 12 吨时, ,在年产量不少于 12 吨时, ,每千克狗牯脑茶售价 140 元,通过市场分析, 该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完. (1)写出年利润 (单位:万元)关于年产量 (单位:吨)的函数解析式(年利润=年销售收入一年固定成本一流动成本); (2)年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 21. 解:(1)(流动成本 是分段函数，又 与 有 关，所以 也是分段函数，故分段求解析式) 由题意， 当 时， ， 所以 ； 当 时, , 所以 ; 故 . (2)(问题即为求 的最大值，可分两段分别求最大值，再取两者中较大的，即为 的最大值) 当 时， ,当且仅当 时取等号， 所以 在 时的最大值为 50 ; 当 时,观察发现此时 的解析式中 与 有现成的 “积定”,可直接使用基本不等式求最值, 当且仅当 ,即 时取等号, 所以 在 时的最大值为 54 ; 因为 ,所以当年产量为 18 吨时,该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中获得最大年利润 54 万元. C 组 拓展提升 22.(江苏连云港期中) 定义 为 中最大值，设 ，则函数 的最小值为_____. 22. 5 解析:要分析 的取值情况，需要判断 ， 的大小,逐个比较偏麻烦,可考虑画图来看, 在同一坐标系下画出函数 的大致图象如图 1, 由于 总是取 中的最大值, 所以图象也应该取最上方的,故 的图象如图 2, 可以看到, 的最小值在点 处取得,怎样求 的坐标? 由于 是 与 的一个交点,故可通过联立二者的解析式求 的坐标, 联立 解得: ,或 , 结合图 1 可知点 的坐标为 ,所以 . 图1 图2 23.(浙江湖州模拟) 已知函数 ,用 表示 与 中的较小者,记为 , . 当 时,函数 的值域为 ( ) A. B. C. D. 23. D 解析: 和 的图象都容易画出,故画出它们的图象,再观察 取的是哪部分, 在同一坐标系下画出 和 的大致图象如图 1, 为了找到 在 上取的是哪部分图象,我们需要把图 1 中 两点的坐标求出来, 令 得 ,解得: 或 1,所以 两点的横坐标分别为-2,1, 如图 2,当 时, , ,所以 在 上的值域为 . 图1 图2 24.(四川绵阳模拟) 若函数 满足 ,则 24. 解析:所给关系式中既有 ，又有 ，考虑赋值，怎么赋? 观察发现若令 ，则可构造关于 和 的方程，进而按前面例 6 的方法来处理， 在所给等式中令 可得 ①, 在此式中令 可得 , 所以 ,代入①得 ②, 在②中将 换成 可得 ， 所以 , 代入②得 ，解得: ， 将 换成 可得 . 25.(上海期末) 存在函数 满足: 都有 ( ) A. B. C. D. 25. D 解析: 刚读完题,可能不太容易理解题意,怎么办呢? 注意到选项都给出了 这种解析式,于是我们考虑将 换元, 看能否求出 , A 项,令 ,则 , 所以 即为 , 这样可以吗? 不行,它不满足函数的定义,因为函数的概念规定一个自变量只能对应一个函数值,但这里显然是一个自变量 对应了两个函数值, 我们举个具体的例子, 取 ,结合 可得 或 -2, 所以将 代入 得 , 将 代入 得 ,不满足函数定义, 所以不存在函数 满足 ,故 A 项错误; B 项，令 ，则 ，且 ， 所以 即为 ， 与 项类似，上式也不满足函数的定义，我们仍然举个反例，不妨取 ，相应的 ，把它们代回原式看看， 将 代入 得 ， 将 代入 得 ，不满足函数定义， 所以不存在函数 满足 ，故 B 项错误； C 项，令 ，则 ，且 ， 所以 即为 ， 与 A、B 项同理,上式不满足函数的定义,我们举个反例,不妨取 ,相应的 ,把它们代回原式看看, 将 代入 可得 , 将 代入 可得 , 不满足函数定义,所以不存在函数 满足 ,故 C 项错误; D 项,令 ,则 , 所以 ,且 , 表面上看,好像 也有两个值,跟上面几个选项是一样的,实际上是这样吗? 我们代回原式看看, 所以 即为 ,我们发现代入化简后, 的解析式是唯一的,所以满足函数的定义, 从而存在函数 ,使 恒成立, 故 D 项正确. 26.(山西模拟) 已知 ，若函数 的值域为 ，则 的取值范围是_____. 26. 解析: 当 时, ,所以 在 上的值域是 ,要使 在整个定义域上的值域是 ，则在 时, 的值域要包含 , 注意到当 时, 是二次函数,但 时除外,故据此讨论, 当 时,在 上, ,所以 ,故 在 时的值域为 ,不合题意; 当 时,此时 的值域与二次函数 的开口方向有关,故又讨论 的正负, 若 ,如图 1,可以想象,无论 在对称轴的左边还是右边, 在 时的值域都取不到 ,所以不可能包含 ,不合题意; 若 ,如图 2,对称轴 ,所以在 上, 故 的值域为 , 此时要使 ,如图 3, 应有 ，所以 ， 两端乘以 可得 ，所以 ， 结合 可得 ； 综上所述,实数 的取值范围是 . 图2 图3 图1 27.(浙江宁波二模)(多选) 指示函数是一个重要的数学函数,通常用来表示某个条件的成立情况. 已知 为全集且元素个数有限,对于 的任意一个子集 ,定义集合 的指示函数 ,若 ,则( ) 注: 表示 中所有元素 所对应的函数值 之和(其中 是 定义域的子集). A. B. C. D. 27. 解析: A 项, 题干和结论的符号表述较为抽象, 可尝试通过举例来理解这些符号的含义, 再判断结论, 取全集 ，集合 ，则 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 故 ， 可发现 表示的是集合 中元素的个数， 再看 ,由于 的取值与 是否在 中有关,于是我们也把 中的元素拆成 中的和 中的两部分考虑 一般情况下,由于当 不在 中时, , 所以 , 以这里的 和 为例,有 所以 它表示的其实也是集合 中元素的个数, 从而 ,故 A 项错误; B 项，注意到 的值由 是否在对应的下标表示的集合中决定，故不妨按此分情况讨论， 若 ,则 ,所以 , ,满足 , 若 且 ,则 , 所以 , 满足 , 若 且 ,则 , 所以 , 满足 , 若 且 ,则 , 所以 , 满足 , 综上所述,总有 ,故 B 项正确; C 项, 观察发现此项涉及求和符号, A 项中我们已弄清求和式的含义, 故可考虑用它来分析此项的结论, 由 项的分析可知 表示 的元素个数, 其中 分别表示 的元素个数, 对于 ,注意到当且仅当 且 , 即 时,才有 , 其它情况都有 , 所以 表示 的元素个数,故此项结论即为容斥原理 , 其中 表示集合 的元素个数,故 C 项正确; 项,怎样理解 ? 注意到 的取值只可能是 1 或 0,且只有当它们都为 1 时,三者之积才为 1 (其它情况三者之积都是 0 ), 此时 ,而 中能满足 的元素个数即为既不在 中,又不在 中,也不在 中的元素个数,那当然就是 的元素个数了, 由 项的分析可知, 表示 的元素个数, 而 表示全集 中的元素个数减去 中的元素个数, 所以 成立,故 D 项正确. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 函数的表示法 知识梳理 知识点 1：函数的表示法 表示法 含义 优点 缺点 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 简洁、全面地概括了两个变量的关系，求函数值比较方便 不够形象、直观，且有的函数没有解析式 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 无需计算，查表就能得到函数值 只能表示自变量取值个数较少的函数 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 可以直观地表示函数值的变化趋势，有利于研究函数的性质 不够精确，只能近似地求出诸多函数值；有的函数也无法画出图象 【例 1】购买某种饮料 听，所需钱数为 元．若每听 2 元，试分别用解析法、列表法、图象法将 表示成 的函数，其中 ． 解：由题意，该函数可用解析法表示为 ，， 该函数用列表法表示如下： 听 1 2 3 4 元 2 4 6 8 该函数用图象法表示如图， 知识点 2：分段函数 如果在定义域内，对于自变量 的不同取值，函数有着不同的对应关系，那么这样的函数叫做分段函数． 注意： 1. 分段函数是一个函数，而不是几个函数； 1. 分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，值域是各段函数值取值范围的并集； 1. 书写时，用一个大括号把各段合并，写成一个函数的形式，并指出各段函数自变量的取值范围； 1. 处理分段函数问题时，应先明确自变量在哪一段，再选择相应的对应关系来分析； 1. 画分段函数图象时，先在同一个坐标系下根据每一段上的解析式画出各段的图象，再组合到一起． 要特别注意各段端点是否包括在内，若是，则用实心圆点表示，否则，用空心圆圈表示． 【例 2】函数 的图象如图所示，求 的解析式． 解：观察发现函数的图象分了三段，所以我们也分三段来求解式． 当 时，由图象可知函数为正比例函数，设 ，函数的图象过点 ，所以 ，故 ； 当 时，； 当 时，； 综上所述，． 知识点 3：函数的图象及其变换 1. 描点法作函数图象的一般步骤 ①选一些有代表性的自变量（如端点、最值点、图象与坐标轴的交点等处），计算相应的函数值，列出表格； ②把上述表格中的点 在平面直角坐标系中描出来； ③用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． 1. 函数图象的变换 ①函数图象的平移变换：左加右减，上加下减 的变换 操作 结果 向左平移 个单位 将 替换成 ​ 向右平移 个单位 将 替换成 ​ 向上平移 个单位 解析式整体加 ​ 向下平移 个单位 解析式整体减 ​ ②函数图象的对称变换 的变换 操作 结果 沿 轴对称 解析式整体乘以 ​ 沿 轴对称 将 替换成 ​ 关于原点对称 先将解析式整体乘以 ，再将 替换成 ​ ③函数图象的翻折变换 的变换 操作 结果 留上翻下 轴上方的图象不变，将 轴下方的图象沿 轴对称翻折到 轴上方 ​ 去左翻右 先去将 轴左侧的图象，再把 轴右侧的图象沿 轴对称翻折到 轴左侧 ​ 注：有了函数图象的变换规则，我们在画一些函数图象的时候，就不一定用描点法了，也可以通过分析该函数是由哪些图象已知的函数（反比例函数、二次函数等）经过怎样的变换得来，从而画出图象． 【例 3】定义在 上的函数 的图象如图所示． 请分别画出下列函数的图象： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）． 解：（1）将 的图象向左平移 1 个单位即得 的图象，如图 1． （2）将 的图象向上平移 1 个单位即得 的图象，如图 2． （3）将 的图象沿 轴对称即得 的图象，如图 3． （4）将 的图象沿 轴对称即得 的图象，如图 4． （5）将 在 轴下方的图象对称翻折到 轴上方即得 的图象，如图 5． （6）去掉 在 轴左侧的图象，再把 在 轴右侧的图象对称翻折到 轴左侧，得到 的图象，如图 6． 本节核心题型 函数的三种表示法中，解析法和图象法尤为重要，有关的考题很多．针对解析法，我们设计了类型 I 这组题来全面讲解求解析式的几种题型，包括待定系数法、换元法、方程法、赋值法；针对图象法，我们设计了类型 II 和类型 III 两组题，前者初步给大家分析函数图象在求值域问题中的应用，后者主要用于强化对函数图象变换规则的理解．除此之外，分段函数作为一种特殊的函数，常拿来出题，且有关考题难易均有，我们设计了类型 IV 来讲授分段函数常规题型的处理方法，至于进阶题型，下个模块会涉及． 类型 I 求函数的解析式 【例 4】已知一次函数 满足 ，则 __________． 解析：已经说了 是一次函数，可用待定系数法处理，故直接设其解析式． 由题意，可设 ，则 ， 又由题意，，所以 ，故 ， 解得：， 或 ，，所以 或 ， 若 ，则 ；若 ，则 ；综上所述，． 答案：1 【变式】二次函数 满足 ，且 ．则 __________． 解析：已知函数类型，用待定系数法处理，设 ，则 ，所以 ， 又由题意，，所以 ，故 且 ，解得：，， 又因为 ，所以 ． 答案： 【反思】当题干已经指明所求函数的类型时，常直接设出函数的解析式，用待定系数法处理． 【例 5】已知 ，则 __________． 解析：观察发现 右边的 容易通过配方化为关于 的结构，故可直接凑形式． 由题意，，将 整体代换成 可得 ． 答案： 【变式 1】已知 ，则 __________． 解析：这里的 中，右边的 不易直接凑成 这种结构，怎么办呢？注意到我们的目的是要把 括号内的部分化简，于是考虑直接将其换元， 设 ，则 ，所以 即为 ， 显然 不能取任意实数，故需给出定义域．怎样求定义域？由 可将 看成关于 的函数，求其值域即可， 因为 ，且 ，所以 ，从而 ，，故 ，． 答案：， 【反思】已知 求 ，若能直接凑形式，则可按此快速求解；若不能，就将 整体换元处理；有的题两种解法都能用，比如例 5，把 换成 ，也能求出答案． 【变式 2】已知 ，则 __________． 解法 1： 与 的联系比较明显，可尝试直接将右侧配凑成左侧括号内的形式，再整体代换． 由题意，， 将 整体换成 可得 ，因为 ，所以在 中，括号整体的范围是 ， 故在 中，． 解法 2：若没有想到上述凑形的方法，也可考虑将 换成 ，令 ，则 ，且 ， 所以 即为 ，，故 ，． 答案：， 【变式 3】已知 ，则 __________， __________． 解析：先求 ，观察发现令 ，可以得到 ，任选其一回代原式即可得到 ， 在原式中令 可得 ，再求 ．用换元法吗？这里若令 ，则会发现解出的 有两个，且结构复杂，代入原式右侧比较难算，故不用这种方法．其实这道条件的形式有特殊之处，细心观察不难发现有 ，所以原式的右边容易凑出 这种结构，故直接按此凑形处理， 由题意，，所以 ， 在 中，括号内的整体 可以取任意实数，所以在 中， 也能取任意实数． 答案：2， 【反思】已知 求 ，若将 换成 后，不容易由此将 用 表示，则原式左右两边的形式一般都有联系，可考虑直接凑形处理．例如本题左边的 和右边的 就可以通过平方建立联系． 【例 6】已知定义域为 的函数 满足 ，则 __________． 解析：给的含 和 的方程，怎样求 ？这类题有个通用套路，若我们把 和 看成两个未知数，可尝试像解方程组一样把它们解出来．题中等式可看作一个方程，想解出两个未知数还得一个方程，去哪找？注意到若在题干所给关系式中将 换成 ，则 与 刚好交换，由此就能得到一个新的方程． 因为 ，所以将 换成 可得 ，故 ， 代入 可得 ，解得：． 答案： 【反思】遇到 和 混在一个关系式中，让求 的情况，常将 换成 ，再构造一个新的方程，与原方程联立求解．类似的关联结构还有 与 ， 与 ， 与 等，下面我们看一个变式，再巩固一次． 【变式】若函数 满足 ，则 __________． 解析：观察发现若在题干所给关系式中将 换成 ，则 与 刚好交换，由此能得到一个新的方程， 因为 ，所以将 换成 可得 ，所以 ， 代入 可得 ，解得：，． 答案：， 【例 7】若函数 满足 ，，则 __________． 解法 1：所给方程中没有同时出现诸如 与 这类关联结构，无法通过构造新方程求 ，怎么办呢？注意到所给关系式中有 ， 两个变量，而 的解析式中显然只能有 ，于是考虑对 赋值． 在题干所给的等式中令 可得 ①， 只要求出 ，就能得到 ．观察发现可通过取 来构建关于 的方程， 在题干所给的等式中令 可得 ，所以 ，代入①得 ． 解法 2：观察发现若在所给等式中令 ，则可化为只含 的方程，于是能求出 ，得到 ， 在题干所给的等式中令 可得 ，化简得：，所以 ． 答案： 【反思】遇到含 ， 等这类双变量的关系式，常通过赋值法来求 的解析式，最常见的赋值有 ，， 等，根据具体题目的形式进行尝试，往往就可以找到思路． 【变式】若函数 满足 ，，则 __________． 解析：所给关系式中既有 ，又有 ，考虑赋值，怎么赋？经验试，若令 或 ，结果都不理想，怎么办呢？观察发现若令 ，则可构造关于 和 的方程，而 容易求出，就能求得 ， 在原式中令 得 ，所以 ①， 在原式中令 得 ，所以 ，代入①得 ，所以 ． 答案： 类型 II 画图求一类分式函数的值域 【例 8】已知函数 ，在下列定义域下，求函数的值域： （1）；（2）． 解：（1）（反比例函数的图象容易画出，可考虑画图来看函数在所给定义域上的取值情况） 由题意，，所以如图 1，当 时，，故 的值域是 ． （2）由题意，，，所以如图 2，当 时，；当 时，； 故当 时， 的值域为 ． 【反思】本题直接考查初中的反比例函数，求它在某一段上的值域，此时常画出图象，在图上截取对应的那一段，观察该段图象上的点的纵坐标的取值范围．除开直接考查，还可将图象平移后再考查，我们来看变式． 【变式 1】函数 的值域为 __________． 解析：分子分母都有 ，但注意到它们都是一次式，故可通过拆项将分子化为常数，使其更好分析， 由题意，， 所以 可看成由反比例函数 先左移 1 个单位，得到 ，再上移 2 个单位得来， 由此可画出其大致函数图象，由图可知，当 时，， 又 ，所以 的值域为 ． 答案： 【反思】形如”“的函数，往往是由反比例函数平移而来，在精度要求不高的情况下，我们可以抓住这类函数的特征，快速画出草图，而无需分析平移过程．以本题的 为例，首先考虑定义域，，所以其垂直渐近线是 ；其次当 时（符号”“表示”趋近于”），，所以其水平渐近线为 ；由这两点可以想象，函数的图象不外乎有下面的图 1、图 2 两种可能，最后，要确定是哪一种，取一个点即可，常取图象与 轴的交点，这里就是 ，所以本题的图象是图 1．下面我们通过变式 2 来巩固这种作图方法． 【变式 2】函数 的值域为 __________． 解析：涉及”“的值域，我们先画出 的草图， 首先，由 可得 ，所以垂直渐近线为 ， 其次，分子分母的 系数之比为 ，所以水平渐近线为 ， 最后，，所以函数 的图象过点 ， 由以上三点可知 的草图如图， 因为 ，所以 的值域为 ． 答案： 类型 III 函数图象及其应用 【例 9】函数 的部分图象大致是（　　） 解法 1：解析式中有绝对值，可考虑去绝对值，化为分段函数，再分段作图． 当 时，，所以 ， 当 时，，所以 ，故 ． 在两段上都是一次函数，其图象如下图 1 中的蓝色实线部分，故选 A． 解法 2：观察发现 的解析式与 有关联，也可考虑分析怎样由 的图象变换得到 的图象．函数 的图象如图 2，“留上翻下”后得到函数 的图象，如图 3，再将该图象右移 1 个单位，并上移 1 个单位，得到 的图象，如图 4． 答案：A 【变式 1】设函数 ． （1）在平面直角坐标系中画出它的图象； （2）解不等式 ． 解：（1）（ 的图象是由二次函数 的图象”留上翻下”而来，故先画 的图象） 函数 的大致图象如图 1，“留上翻下”后，得到 的图象如图 2 的蓝色实线． （2）（要解 ，我们可以先找到 的位置，再结合图象来取解集） 令 可得 ，所以 ，故 或 ， 解得：，2，，所以图 2 中 ，，， 四点的横坐标分别为 ，0，2，， 结合图象可知 的解集是 ． 【变式 2】将函数 向左、向下分别平移 2 个、3 个单位长度，所得图象为（　　） 解析：有解析式，有平移方法，不妨先把平移后的解析式求出来，再选图象， 将 左移 2 个单位，得到 ，再下移 3 个单位，得到 ， 直接画图较麻烦，因为是选图象，所以可抓住函数的一些特征，直接选答案，不用一步一步画图， 注意到 ，当 或 时取等号，所以该函数有最小值 ，只有 C 项的图象满足这一特征，故选 C． 答案：C 【反思】当解析式中含有绝对值时，可以通过讨论去掉绝对值，再画图象，也可以采用”留下翻下”的方法画函数图象．在根据解析式选图象的题目中，也可以抓住函数的特征直接选答案，不用真正去画图象． 【变式 3】若函数 的图象如下图所示，则函数 的图象为（　　） 解法 1：要由 变到 ，可以分两步，先把 换成 ，得到 ，再把 换成 ，得到 ，这样变换的方法就清楚了． 将 的图象沿 轴对称翻折，得到 的图象，如图 1， 再将 的图象向右平移 2 个单位，得到 的图象，如图 2，故选 C． 解法 2：解法 1 采用的是先翻折，再平移的方法，其实也可以先平移，再翻折，过程为 ， 将 的图象向左平移 2 个单位，得到 的图象，如图 3， 再将 的图象沿 轴翻折，得到 的图象，即 的图象，如图 2． 答案：C 类型 IV 分段函数常规题型 【例 10】设函数 ，则 的值为__________． 解析：涉及双层函数值的计算，先求内层的函数值 ，由于自变量 ，所以代 这段解析式， 由题意，，所以 ，注意到 ，故算 应代 那段解析式， 又 ，所以 ． 答案：0 【反思】计算双层的函数值，遵循由内而外的规则．而对于分段函数，代值计算时，一定要注意自变量在哪一段，就代那一段的解析式． 【变式 1】已知函数 ，若 ，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．，　　D．，， 解析：已知 ，可考虑代入解析式构建方程求 ，但不知道 与 0 的大小，不确定该代哪段，故讨论， 当 时， 即为 ，解得： 或 （不满足 ，舍去）； 当 时， 即为 ，解得：，满足 ； 综上所述， 的值为 或 ． 答案：C 【反思】在分段函数中，已知函数值求自变量，常通过讨论自变量位于哪一段，代入解析式并求解． 【变式 2】已知函数 ，则满足 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解法 1：由题意，，所以 即为 ， 接下来的处理方法与变式 1 类似，要代解析式，需讨论 与 0 的大小， 当 时， 即为 ，所以 ，解得： 或 ，结合 可得 或 ； 当 时， 即为 ，解得：，结合 可得 ； 综上所述，满足 的 的取值范围是 ． 解法 2： 两段上的图象都容易画出，故也可考虑画图分析不等式 ， 由题意，，令 得 ，解得： 或 ，令 得 ，所以函数 的大致图象如图， 满足 的 有三个，分别为 ，1，3， 由图可知，不等式 的解集是 ． 答案：A 【反思】不管是变式 1 给的等式条件，还是变式 2 给的不等式条件，可以发现我们的处理思路都是”分段函数分段看”，只要通过分类讨论确定了函数解析式，就可以变为单纯的解方程（或不等式）问题了．另外，画出函数图象往往可以使得分段函数问题变得更加直观，变式 2 较为简单，体会还不够深刻？别急，我们将通过后面拓展模块的例 13 及其变式来让大家进一步体悟数形结合的优势． 【例 11】函数 的值域为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 解析： 为分段函数，可先求每一段的值域，再取并集， 当 时，，如图，，， 所以这段上 的值域为 ； 当 时，，此时因为 ， 所以这段上 的值域为 ； 综上所述，函数 的值域为 ． 答案：D 【反思】求分段函数的值域，一般分段考虑，求出各段的值域，再取并集． 【变式 1】已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解析：观察发现第一段上不含参，故先分析 在这段上的值域， 当 时，，当且仅当 时取等号，所以 在 上的值域是 ， 要使 在 上的值域为 ，只需 在 上的值域包含于 ， 即 在 时恒成立，此不等式中参数 只出现一次，容易分离出来，故先分离， 当 时，　①， 因为 ，取等条件是 ，所以 的最大值是 ， 又由①可知 恒成立，所以 ． 答案：C 【反思】已知分段函数的值域求参，如果某一段或几段不含参，一般先分析那一段或几段的值域，再与已知的值域对比，看还缺不缺．如果不缺，则剩下的含参段的值域按不等式恒成立问题处理（如本题）；如果缺，就需要用分段函数剩下的含参段的值域来补齐缺的这些函数值了，我们通过下一题来分析这种情况． 【变式 2】已知 ，若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是__________． 解析：当 时，，所以 在 时的值域是 ， 要使 在整个定义域上的值域是 ，则在 时， 的值域要包含 ， 注意到当 时， 是二次函数，但 时除外，故此处讨论， 当 时，在 上，，所以 ，故 在 时的值域为 ，不合题意； 当 时，此时 的值域与二次函数 的开口方向有关，故又讨论 的正负， 若 ，如图 1，可以想象，无论 在对称轴的左边还是右边， 在 时的值域都取不到 ，所以不可能包含 ，不合题意； 若 ，如图 2，对称轴 ，所以在 上，， 故 的值域为 ，此时要使 ，如图 3，应有 ， 两端乘以 可得 ，所以 ，结合 可得 ； 综上所述，实数 的取值范围是 ． 答案： 【例 12】某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电量不超过 180 千瓦时的部分，每千瓦时电费是 0.6 元；每户每月用电量超过 180 千瓦时，但不超过 350 千瓦时的部分，每千瓦时电费是 0.65 元；每户每月用电量超过 350 千瓦时的部分，每千瓦时电费是 0.9 元．某月某户居民交电费 元，已知该户居民该月用电量为 千瓦时． （1）求 关于 的函数关系式； （2）若该户居民该月交电费 199 元，求该户居民该月的用电量． 解：（1）由题意，当 时，； 当 时，； 当 时，； 综上所述， 关于 的函数关系式为 ． （2）（已知该月交的电费，意味着已知 ，要求 ，可考虑代解析式，由于不知道 在哪一段，所以讨论） 当 时，令 可得 ，所以 ，不满足 ，舍去； 当 时，令 可得 ，所以 ，满足 ； 当 时，令 可得 ，所以 ，不满足 ，舍去； 综上所述，当该户居民该月交电费 199 元时，该户居民该月的用电量 千瓦时． 【反思】分段函数与实际问题结合考查时，关键是理解题意，根据题干的信息建立分段函数关系，一旦函数关系建立好了，解决问题时，该讨论就讨论，该画图就画图，都是前面已经涉及过的方法． 补充、拓展 上个模块类型 IV 中我们已经解决了分段函数有关的常规题型，这里我们又设计了类型 V 这组题来覆盖进阶题型，包括双层的给值求自变量和给双层的不等式求自变量范围两类问题．另外，我们还设计了类型 VI 的值域逆向问题来初步渗透数形结合解决问题的思想． 类型 V 复合型分段函数问题 【例 13】已知函数 ，满足 的 的值为__________． 解法 1：要先求出 的解析式，再解 吗？这样做太麻烦了，由前面例 10 的变式 1 我们知道，对于单层的情况，可通过讨论来解决已知函数值求自变量的问题．为方便书写，我们可将内层的 换元，化整为零， 令 ，则 即为 ，这是一个单层的结构，可通过讨论 代解析式，先求出 ， 当 时， 即为 ，也即 ，无解； 当 时， 即为 ，解得： 或 （不满足 ，舍去）； 于是 只能为 1，而前面我们换元时令了 ，所以又把 代进来求解 ， 将 代入 可得 ， 当 时， 即为 ，解得： 或 ，均满足 ； 当 时， 即为 ，无解； 综上所述，满足 的 的值为 0 或 ． 解法 2：换元的过程同解法 1，注意到函数 两段上的图象都容易画出，故也可考虑画出函数图象，结合图象来求解方程 ，这样可以避免讨论， 函数 的大致图象如图 1，由图可知满足 的自变量 只有 1 个，且在 上， 这样就不用管 那段了，直接在 上来解 即可， 当 时， 即为 ，解得： 或 （舍去），代回 可得 ， 要求解 这个方程，又画 的图象来看，这一图象与图 1 相同，只是横轴的名称要改为 ， 如图 2，满足 的自变量 有两个，都在 上，分别是 ，0， 故满足 的 的值为 或 0． 答案： 或 0 【反思】像 这种双层的函数方程，常将内层的 换元成 ，把一个双层的复合方程化为 和 这两个单层的简单方程．若 为分段函数，则可以通过讨论代入解析式来解上述两个方程，也可以画图，结合图象来解．其实除了双层的函数方程外，双层的不等式也是这样处理，我们来看下面的变式． 【变式】设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解法 1：看到 这一双层复合结构，想到将内层的 换元，化整为零， 令 ，则 即为 ，可通过代解析式求解此不等式，但 与 0 的大小不定，故讨论， 当 时， 即为 ，所以 ，故 或 ，结合 得 ； 当 时， 即为 ，所以 ， 因为 ，所以 无解； 综上所述，，又因为 ，所以 ，要代解析式求解此不等式，仍需讨论 与 0 的大小， 当 时， 即为 ，所以 ，解得： 或 ，结合 得 ； 当 时， 即为 ，也即 ，解得：，不满足 ； 综上所述，实数 的取值范围是 ． 解法 2：换元的过程同解法 1，注意到 在两段上的图象都容易画出，故也可考虑通过画图求解 ， 函数 的大致图象如图 1（图中蓝线），所以 的图象如图 2， 要求解 ，只需找 的图象在 上方的部分，核心是求出图 2 中的 ，观察发现 ，故可直接代解析式求解，令 可得 ，解得： 或 1，所以图 2 中 ， 由图 2 可知，要使 ，应有 ，又因为 ，所以 ， 要解此不等式，又结合 的图象来看，做法与前面解 类似， 如图 3，令 可得 ，所以 或 ，故图 3 中 ， 由图 3 可知要使 ，应有 ，所以满足 的 的取值范围是 ． 答案：A 类型 VI 值域逆向问题 【例 14】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 解析：涉及二次函数的区间值域，考虑画图分析．因为值域是 ，所以先找到函数值为 和 8 的位置， 令 可得 ，化简得：，解得：，所以 ， 令 可得 ，化简得：，解得： 或 7，所以 ， 这样我们就找到了函数值在 的那段图象，如图，怎样分析 的范围？不妨想象 从 1 开始往右移动的过程，看看何时能满足值域的要求， 要使 在 上的值域为 ，应满足两点： ①，否则值域中没有 ；②，否则值域中必有大于 8 的数； 所以实数 的取值范围是 ． 答案：D 【反思】已知值域求定义域，常画出函数图象，观察所给值域对应哪段图象，再看定义域的端点可以在哪些范围运动．本题定义域的两个端点中，只有一个可变，有时也会出现两个都可变的情况，我们来看下面的变式 1． 【变式 1】（多选）已知定义域为 的函数 的值域为 ，则 可能是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 解析：逐个检验选项当然可行，但较繁琐，涉及二次函数的区间值域，画图分析比较方便．由于值域是 ，所以我们先找到函数值为 和 3 的位置， 令 可得 ，化简得：，解得：， 令 可得 ，化简得：，解得： 或 4， 如图，要使 在区间 上的值域为 ，则 应满足： ①（否则值域中有大于 3 的数）；②（否则值域中没有 ）； ③0 和 4 至少有一个在 中（否则值域中没有 3）；例如图中 ， 之间的那段， 选项中满足上述三点的只有 A、D 两项，故选 AD． 答案：AD 【变式 2】定义 ，函数 ，则 的最小值为__________； 若 在区间 上的值域为 ，则 的最大值为__________． 解析：要分析 的取值情况，需要判断 ， 的大小，可考虑画图来看， 在同一坐标系下画出函数 ， 的大致图象如图 1， 由于 ， 总是取 和 中的最大值，所以图象也应该取最上方的， 故 图象如图 2，由图 2 可知 的最小值为 ； 再看第二空，给出了 在 上的值域为 ，所以需要找到函数值为 2 和 3 的地方．在图 1 中，点 显然是一个转折关键点，我们先来分析 处的情况， 当 时，，令 可得 ，化简得：，解得： 或 3， 所以图 1 中的点 的横坐标 ，纵坐标为 ，所以 ， 我们发现 处的函数值恰好为 2，那么在图 2 中，与 关于抛物线的对称轴对称的点 就可以直接给出来了， 注意到二次函数 的对称轴是 ，所以在图 2 中，点 的坐标是 ， 令 得 ，所以 或 5，从而图 2 中 的坐标为 ，故 ， 令 得 ，所以 或 6，从而图 2 中 ， 的坐标分别为 ，，故 ， 怎样能使 在 上的值域为 ？有两类情况，要么 对应图象上 那段，要么对应 那段（可以只取一部分，例如只取 这段也行，但此时 不最大），于是只需比较 与 哪段横向跨度更大， 若 对应 那段，则 ，所以 ； 若 对应 那段，则 ，所以 ；故 的最大值为 2． 答案：0；2 【反思】本题整体难度较高，究其原因，是函数变得更复杂了，所以只要正确地画出了函数的图象，剩下的根据值域分析定义域这部分的处理方法，与前面两道题是一样的． 强化训练 A 组 夯实基础 1.（重庆模拟） 已知函数 的对应关系如下表所示，函数 的图象如下图所示，则 的值为（　　） ​ 1 2 3 ​ 4 3 ​ A．　　B．　　C．　　D． 2.（四川内江模拟） 根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第 72 条规定：驾驶自行车、三轮车必须年满 12 周岁，驾驶电动自行车和残疾人机动轮椅车必须年满 16 周岁．高一学生小明骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（　） 3.（全国模拟） 设 ，则 __________． 4.（陕西咸阳期末） 已知函数 ，若 ，则实数 __________． 5.（北京模拟） 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（　） A．向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C．向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D．向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B 组 强化能力 6.（福建莆田期末） 设函数 ，则 （　） A．　　B． C．　　D． 7.（云南昭通模拟） 已知函数 ，则 （　） A． B． C． D． 8.（2023·江苏苏州模拟（改）） 设函数 ，则 的表达式为 __________． 9.（河南信阳模拟） 设函数 ，若 ，则 （　） A． 或 　　B． 或 C．　　D． 10.（湖南郴州模拟） 已知 ，则 __________， 的值域为 __________． 11.（江苏盐城模拟） 函数 满足 ，则函数 （　） A．　　B． C．　　D． 12.（广东广州模拟） 函数 在 上的值域是 __________． 13.（北京朝阳模拟） 已知函数 的值域是 ，则它的定义域可能是 __________． 14.（山西朔州模拟） 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是 __________． 15.（河南郑州模拟） 设函数 ，若 ，则实数 __________． 16.（河南郑州模拟） 如图， 为直角梯形，，，，，记梯形 位于直线 左侧的图形的面积为 ，则函数 的图象大致为（　） 17.（广西开学考试） 已知 是定义在 上的函数，，且对任意的 ，都有 ，则 __________． 18.（云南昭通模拟） （1）已知 是一次函数，且 ，求 的解析式； （2）若二次函数 满足 ，，且图象过原点，求 的解析式； 19.（贵州六盘水模拟） 已知函数 ． （1）画出函数 的图象； （2）求函数 的值域． 20.（江苏无锡模拟） 已知函数 满足 ，函数 满足 ． （1）求函数 和 的解析式； （2）求函数 的值域． 21.（江西吉安期末） 狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名”狗牯脑”，所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本 3 万元，每生产 吨另需投入流动成本 万元，已知在年产量不足 12 吨时，，在年产量不少于 12 吨时，，每千克狗牯脑茶售价 140 元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完． （1）写出年利润 （单位：万元）关于年产量 （单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）； （2）年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ C 组 拓展提升 22.（江苏连云港期中） 定义 为 ，， 中最大值，设 ，则函数 的最小值为 __________． 23.（浙江湖州模拟） 已知函数 ，，用 表示 与 中的较小者，记为 ．当 时，函数 的值域为（　） A．　　B． C．　　D． 24.（四川绵阳模拟） 若函数 满足 ，，则 __________． 25.（上海期末） 存在函数 满足： 都有（　） A． B． C． D． 26.（山西模拟） 已知 ，若函数 的值域为 ，则 的取值范围是 __________． 27.（浙江宁波二模）（多选） 指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知 为全集且元素个数有限，对于 的任意一个子集 ，定义集合 的指示函数 ，，若 ，，，则（　） 注： 表示 中所有元素 所对应的函数值 之和（其中 是 定义域的子集）． A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $