3.3 幂函数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

强化训练 A 组 夯实基础 1.(湖北期末) 下列函数是幂函数且是奇函数的是( ) A. B. C. D. 1. C 解析: A 项,在 中,当 时, 是幂函数, 但 不是幂函数,故 A 项错误; B 项, 是幂函数,但它是偶函数,不是奇函数, 故 B 项错误; C 项, 是幂函数,记 , 则 ,所以 为奇函数, 故 C 项正确; D 项,在 中,当 时, 是幂函数, 但它是偶函数, 不是奇函数, 故 D 项错误. 2.(全国模拟) 已知 ，则使函数 的值域为 ，且为奇函数的所有 的值为_____. 2. 1,3 解析: 当 时， ，值域为 ，不合题意； 当 时， 值域为 ，且为奇函数，满足题意； 当 时， 值域为 ，且为偶函数，不合题意； 当 时， 值域为 ，且为奇函数，满足题意； 综上所述,满足题意的 的所有值为 1,3 . 3.(四川南充二模) 已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是( ) A. B. C. D. 3. D 解析: A 项, ,其定义域为 ,所以该函数在 轴左侧没有图象,与所给图象不符,故 A 项错误; 项, ,其定义域为 ,所以该函数在 轴左侧没有图象,与所给图象不符,故 B 项错误; C 项, 的大致图象如图,它在第一象限增长趋于陡峭、第三象限增长趋于平缓,都与所给图象相反,故 C 项错误,故选 D. 4.(河北张家口开学考试)(多选) 已知幂函数 的图象过 ，则( ) A. 的定义域为 B. 的值域是 C. 是奇函数 D. 是定义域上的减函数 4. 解析: 由题意,可设 ,则 , 所以 ,故 , 项, 的定义域是 ,故 项正确; B 项,当 时, ,所以 ,从而 的值域是 ,故 B 项正确; 项, , 所以 是偶函数,故 项错误; 项, 在 上 ,在 上 , 所以 在其定义域上不单调,故 项错误. B 组 强化能力 5.(天津模拟) 若 ,则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 5. A 解析:显然 ,故选 A,我们也可以通过构造幂函数来严格证明,观察发现 和 的次数都是 也可看成 , 故可构造函数 ,用单调性比较 的大小, 设 ,则 在 上 , 由题意, , 所以 . 6.(福建模拟) 若幂函数 的图象过点 ,则 的定义域为( ) A. B. C. D. 6. B 解析: 由题意,可设 ,则 , 所以 ,故 的定义域是 , 所以在 中, ,解得: , 所以 的定义域是 . 7.(湖北模拟) 已知幂函数 是偶函数,则不等式 的解集为_____. 7. 解析: 因为 为幂函数,所以 , 故 ,解得: 或 2, 当 时, 是奇函数,不合题意; 当 时, 是偶函数,满足题意, 所以 即为 , 化简得: ,解得: , 所以不等式 的解集为 . 8.(江苏南京期末) 已知幂函数 的图象过点 ，则函数 的单调递增区间为( ) A. B. C. D. 8. A 解析: 由题意,可设 ,则 ,所以 ,故 , 在 中, ,解得: 或 , 可看成由 和 复合而成，故用同增异减准则分析单调性， 当 时， 也 ， 内外层单调性相同,所以 在 上 , 当 时, , 内外层单调性不同,所以 在 上 , 所以 的单调递增区间是 . 9.(海南模拟) 幂函数 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线 ( ) A. B. C. D. 9. D 解析: 由图可知, 在第一象限 ,它们对应 中 的情形,且 的增长趋于陡峭,对应 , 的增长趋于平缓,对应 的情形,所以 , 怎样区分 ? 不妨取 ,看看谁的函数值更大, 设 ,则 , ,所以 ,这就说明在 处,上方的是 ,下面的是 , 结合图象可知 ,故选 D. 10.(辽宁模拟) 已知幂函数 的图象与坐标轴无交点. (1)求 的解析式； (2)解不等式: . 10. 解: (1) 因为 是幂函数,所以 , 故 ,解得: 或 3, 当 时, ,其图象过原点,与坐标轴有交点,不合题意; 当 时, ,其定义域是 , 图象与坐标轴没有交点,满足题意; 所以 . (2)由(1)可知 ，所以 为偶函数， 且 在 上 ,故 由 得 ,解得: , 由 可得 ,由 得 , 所以不等式 的解集为 . C 组 拓展提升 11.(山东烟台模拟) 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 :_____. ① ； ② 当 时， 为增函数； ③ 为 上的偶函数. 11. (答案不唯一) 解析: 我们知道, ,所以幂函数 满足性质①,故在此基础上继续考虑性质②③, 设 ,要使 在 上 ,应有 ; 要使 为偶函数,可取 为偶数, 所以满足要求的 可以为 . 12.(重庆北碚期末)(多选) 函数 与 在同一直角坐标系中的图象不可能为( ) A B C D 12. 解析: 是幂函数,容易根据其图象分析 要满足的条件,故先判断哪条是 ,并得到 的信息,再看 的图象与这些信息是否吻合, 项,图中第一、三象限那两支是幂函数 的图象,该图象在第一象限 ,所以 , 故二次函数 开口向下,对称轴 在 轴左侧, ,图象与 轴有 2 个交点, , 这些都与图象吻合, 所以 A 项的图象是有可能出现的; 项, 的情况与 项相同,所以 ,而 却开口向上,矛盾,所以不可能出现 项的图象; 项,过原点的那条曲线是 的图象,该图形在第一象限呈增长趋于平缓的趋势,所以 , 故二次函数 开口向上,对称轴 , ,图象与 轴有 2 个交点, , 这些都与图象吻合,所以 项的图象是有可能出现的; 项,过原点的那条曲线是 的图象,该图象在第一象限呈增长趋于陡峭的趋势,所以 , 故二次函数 开口向上,对称轴 ,与所给图象不符,所以不可能出现 项的图象. 13.(河北石家庄开学考试) 已知幂函数 在 上单调递减. (1)求函数 的解析式； (2)若 ，求 的取值范围； (3)若对 ，都 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 13. 解: (1) 因为 为幂函数,所以 , 故 ,解得: 或 3, 当 时, , 此时 在 上单调递增,不合题意; 当 时, , 满足 在 上单调递减,所以 . (2)解法 1: 由(1)可得 ，所以 为偶函数， 且 在 上单调递减，在 上单调递增， (函数 在定义域上不单调，不能直接用单调性求解目标不等式，但注意到 为偶函数，故可将括号内加绝对值，化到 这个单调区间上来) 所以 ,两端平方得: , 化简得: ,解得: , 所以 的取值范围是 . 解法 2: (本题由于 的解析式非常简单,故也可直接代解析式求解目标不等式) 由(1)可得 ,所以 即为 ,也即 , 化简得: ,解得: , 所以 的取值范围是 . (3)(涉及双量词不等式，且变量 和 已经位于不等号两侧，可分别考虑. 由于左边 不含参，故先考虑 ) 由题意，对 ， 所以 ①， 因为 在 上单调递增，所以 ， 代入①得 ，即 ②， (再考虑变量 ,观察发现 都是一次的,故可将含 的项拿到一起,提公因式 ,化为关于 的一次函数来分析) 不等式②等价于 , 记 , 则 ,使 ,所以 ③, 因为 ,所以 在 上单调递增, 故 , 代入③得 ，解得: 或 ， 所以实数 的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数 知识梳理 知识点 1：幂函数的概念 1. 幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数. 1. 幂函数的特征 ① 的系数为 1； ② 的底数是单个自变量； ③ 的指数为常数. 注意：同时满足上述三个条件的函数才是幂函数，像 ，， 这些都不是幂函数. 知识点 2：五个常见幂函数的图象与性质 1. 五个常见幂函数的图象 在同一坐标系中画出函数 ，，， 和 的图象如下： 1. 五个常见幂函数的性质 函数 ​ ​ ​ ​ ​ 定义域 ​ ​ ​ ​ ​ 值域 ​ ​ ​ ​ ​ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 ​ 在 上 ，在 上 ​ ​ 在 和 上 定点 经过定点 知识点 1 【例 1】（多选）下列函数中，是幂函数的是（ ） A．　　B． C．　　D． 解析：A 项， 是幂函数，但 不是，故 A 项错误； B 项， 即 中 的情形，它是幂函数，故 B 项正确； C 项，，即 中 的情形，它是幂函数，故 C 项正确； D 项， 是幂函数，但 不是，故 D 项错误. 答案：BC 【反思】一定要严格满足 这一形式的函数才是幂函数，差一点都不是. 知识点 2 【例 2】下列函数中，既是奇函数，又在 单调递减的是（ ） A．　　B． C．　　D． 解析：当 为奇数时， 为奇函数，当 为偶数时， 为偶函数，故可通过判断 的奇偶来判断函数 的奇偶性， A 项， 是偶函数，不合题意，故 A 项错误； B 项， 是奇函数，且在 上 ，满足题意，故 B 项正确； C 项， 是偶函数，且在 上 ，不合题意，故 C 项错误； D 项， 是奇函数，但在 上 ，不合题意，故 D 项错误. 答案：B 除了上述五个常见幂函数外，有时也会遇到稍微复杂一点的幂函数，例如，. 一般地，，化为根号更容易分析性质. 像这种指数为分数的情况，下一章会详细讲解. 知识点 3：一般幂函数在第一象限的图象与性质 解析式 ​ ​ ​ ​ 图象 单调性 在第一象限内 在第一象限内 在第一象限内 图象特征 不过原点 过原点，增长趋于平缓 过原点，增长趋于陡峭 注：当 在上述表格中的同一范围内时，可通过取相等自变量的值来判断图象的位置关系. 例如，要区别下图中谁是 的图象，谁是 的图象，可取 ，此时 ，，于是 ，据此可判断出 是 的图象， 是 的图象. 知识点 3 【例 3】如图，若函数 ，， 在 上的图象分别是下降、急速上升、缓慢上升，则下列结论正确的是（ ） A．　　B． C．　　D． 解析：由图可以看出单调性，进而得到 ，， 与 0 的大小， 由图可知， 在 上 ，所以 ， 而 和 在 上都 ，所以 ，， 观察发现 ， 的增长快慢不同，可由此得到 ， 与 1 的大小， 又 的增长趋于陡峭，所以 ， 的增长趋于平缓，所以 ， 从而 ，故选 D. 答案：D 本节核心题型 对于幂函数 ，我们重点是掌握当 取一些特殊值时的定义域、值域、图象特征这些基础知识，为此我们设计了类型 I 和类型 II 来强化对这些知识的理解. 另外，单调性是函数的重要性质，幂函数也不例外，我们通过类型 III 这组题来分析幂函数型复合函数的单调性判断方法，以及用幂函数的单调性来解决一些常见的函数问题. 类型 I：幂函数的定义域和值域 【例 4】（1）函数 的定义域是__________，值域是__________. （2）函数 的定义域是__________，值域是__________. （3）函数 的定义域是__________，值域是__________. （4）函数 的定义域是__________，值域是__________. 解析：（1），其定义域是 ，这里 ，所以 ，故该函数的值域是 . （2），定义域是 ，因为 ，所以 ，故该函数的值域是 . （3），定义域是 ，此时 ，所以 ，故该函数的值域是 . （4），由 可得 ，所以该函数的定义域是 ，当 时，，，所以该函数的值域是 . 答案：（1），；（2），；（3），；（4）， 【反思】分析幂函数 的定义域，若 为分数，常把 写成根式的形式，再看怎样能使其有意义. 【变式 1】函数 的定义域为__________. 解析：为了便于分析定义域，可先把解析式化为根式的形式，由题意，，要使该解析式有意义，应有 ，所以 ，故 的定义域是 . 答案： 【变式 2】幂函数 的图象过点 ，则 的定义域为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 解析：已经说了是幂函数，可设其解析式，将已知的点代入，求出解析式， 设 ，由题意，，所以 ，故 ， 所以 ，此式要有意义，应有 ，所以 ， 从而 ，故 的定义域是 . 答案：A 类型 II：幂函数的图象 【例 5】如图，四条曲线均是幂函数 在第一象限的图象. 已知 取 ， 四个值，则相应于曲线 ，，， 的 依次为（ ） A．，，，　　B．，，， C．，，，　　D．，，， 解析：由 上的单调性可判断幂函数 中 的正负，故先据此分析， 由图可知，， 在 上 ，所以它们的 是 ，， 谁的 是 ，谁的又是 ？可以取 来看，记 ，，则 ，，所以 的图象是 ，对应的 为 ， 的图象是 ，对应的 为 ， 到此结合选项已可得出选 A，我们把 和 也做个分析，它们一个增长趋于平缓，一个增长趋于陡峭，可由此直接分析它们的 与 1 的大小， 由图可知， 在 上增长趋于平缓，所以它对应 中 的情形，结合题设条件可知 ，而 在 上增长趋于陡峭，所以它对应 的情形，结合题设条件可知 ， 综上所述，，，， 的 依次为 ，，，. 答案：A 【反思】①由几个幂函数图象分析它们 的大小，先看 上的单调性，由此可判断 的正负；若为正，则再看增长趋于陡峭还是平缓，由此判断 与 1 的大小；若 都在 ， 或 上，则通过取相同的自变量，比较函数值的大小来分析；②这类问题的结论：在直线 右侧，从下到上 依次增大，如右图. 【例 6】已知幂函数 的图象是轴对称图形，则实数 的值为__________. 解析： 为幂函数意味着 的系数为 1，由此可求出 ， 由题意，，所以 ，解得： 或 ， 若 ，则 ， 是反比例函数，其图象是第一、三象限的双曲线，关于直线 对称，是轴对称图形，满足题意； 若 ，则 ，所以 是偶函数，其图象关于 轴对称，是轴对称图形，满足题意； 综上所述，满足题意的实数 的值为 2. 答案：2 或 【变式】函数 与 在同一平面直角坐标系的图象不可能是（ ） 解析： 是幂函数，容易根据其图象分析 要满足的条件，故先判断哪条是 ，并得到 的信息，再看 的图象与这些信息是否吻合， A 项，图象中第一、三象限的那两支是幂函数 的图象，它在第一象限 ，所以 ，故 开口向下，对称轴 ，，图象与 轴有 2 个交点，以及 ，这些都与所给图象吻合，所以 A 项的图象是有可能的； B 项， 的图象与 A 项相同，所以 ，此时 开口应向下，与所给图象不符，故图象不可能为 B 项； C 项， 的图象是过原点的那条曲线，由图可知 ，所以 开口向上，对称轴 ，，图象与 轴有 2 个交点，，这些都与所给图象吻合，所以 C 项的图象是有可能的； D 项， 的图象是过原点的那条曲线，由图可知 ，所以 开口向上，对称轴 ，，图象与 轴没有交点，，这些都与所给图象吻合，所以 D 项的图象是有可能的. 答案：B 类型 III：幂函数的单调性及其应用 【例 7】函数 的单调递减区间为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 解析：求单调区间前，先求定义域，由题意，， 所以 ，故 ，解得：，所以 的定义域是 ， 再分析单调性，观察发现 是由 与 复合而成，故用同增异减法则分析单调性， 外层的 在 的取值范围内 ，内层的 在 上 ，在 上 ，与外层单调性相同，所以由同增异减法则， 的单调递减区间是 . 答案：C 【反思】分析跟幂函数相关的复合函数的单调性，一般先求定义域，接着在定义域内分析内外两层各自的单调性，再由同增异减法则判断整体的单调性. 【例 8】比较下列各组数的大小：（1） 与 ；（2） 与 . 解：观察发现两组数据中，两个数的指数部分各自相同，故都可以构建幂函数，用单调性来比较大小， （1）设 ，因为 ，所以 在 上单调递减， 又 ，所以 ，故 . （2）设 ，（比较的两个数分别为 ，，自变量都在 上，故考虑分析 上的单调性，怎样分析？注意到容易得出 在 上的单调性，借助奇偶性可推知 上的单调性） 因为 ，所以 在 上单调递减，又因为 ， 所以 ，从而 为奇函数，故 在 上也单调递减， 因为 ，所以 ，即 . 【反思】如果观察发现两个数的指数部分相同，则可考虑构造幂函数，运用单调性来比较它们的大小. 【例 9】已知幂函数 为偶函数，且在 上单调递减. （1）求 和 的值； （2）求满足 的实数 的取值范围. 解：（1）因为 为幂函数，所以 ，故 ，解得： 或 1，此时 ， （怎样求 ？已知 在 上的单调性，可以得出 的正负，从而得到 的范围） 又因为 在 上单调递减，所以 ，解得：，结合 可得 或 2， 若 ，则 ，满足 为偶函数；若 ，则 ，所以 为奇函数，不合题意； 综上所述，， 或 1. （2）（观察发现要解的不等式指数都是 ，故可考虑构造幂函数 ，用单调性来解该不等式） 由（1）可知 ，设 ，，则 为偶函数，且 在 上单调递减， ， 所以 ，由 可得 ，解得： ①， 由 和 可得 和 ，结合①得实数 的取值范围是 . 强化训练 A 组 夯实基础 1.（湖北期末） 下列函数是幂函数且是奇函数的是（ ） A．　　B． C．　　D． 2.（全国模拟） 已知 ，则使函数 的值域为 ，且为奇函数的所有 的值为__________. 3.（四川南充二模） 已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ） A．　　B． C．　　D． 4.（河北张家口开学考试）（多选） 已知幂函数 的图象过 ，则（ ） A． 的定义域为 B． 的值域是 C． 是奇函数 D． 是定义域上的减函数 B 组 强化能力 5.（天津模拟） 若 ，，，则 ，， 的大小关系为（ ） A．　　B． C．　　D． 6.（福建模拟） 若幂函数 的图象过点 ，则 的定义域为（ ） A．　　B． C．　　D． 7.（湖北模拟） 已知幂函数 是偶函数，则不等式 的解集为__________. 8.（江苏南京期末） 已知幂函数 的图象过点 ，则函数 的单调递增区间为（ ） A．　　B． C．　　D． 9.（海南模拟） 幂函数 ，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 10.（辽宁模拟） 已知幂函数 的图象与坐标轴无交点. （1）求 的解析式； （2）解不等式：. C 组 拓展提升 11.（山东烟台模拟） 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ：__________. ① ； ② 当 时， 为增函数； ③ 为 上的偶函数. 12.（重庆北碚期末）（多选） 函数 与 在同一直角坐标系中的图象不可能为（ ） 13.（河北石家庄开学考试） 已知幂函数 在 上单调递减. （1）求函数 的解析式； （2）若 ，求 的取值范围； （3）若对 ，都 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $