3.3幂函数的常见七种基础题型讲义2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

幂函数的常见七种基础题型

题型一：对幂函数概念的理解

解题技巧：判断一个函数是否为幂函数，关键看它是否形如 y＝xα（α为常数）：自变量 x 作底数、指数为常数、系数为 1，且不含其他项。结合指数 α 判断性质：α 为正整数时定义域为 R；奇偶性与 α 的奇偶有关；在 (0,＋∞) 上，α＞0 时单调递增，α＜0 时单调递减。判断指定区间上的单调性、奇偶性时，先明确幂函数的解析式，再逐项分析。

1．下列函数不是幂函数的是（    ）

A．   B．    C． D．

2．下列函数是幂函数的是（    ）

A．   B．    C． D．

3．已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （     ）

A．   B．    C． D．

5．以下函数在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

题型二：求幂函数的函数值、解析式

解题技巧：已知幂函数图象过某点求解析式，用待定系数法：设 f(x)＝xα，代入该点坐标解出 α，再由解析式求函数值。若题设还给出单调性、奇偶性或“图象关于 y 轴对称”等条件，需结合幂函数的性质排除多余取值，从而唯一确定 α。

1．已知幂函数，则（    ）

A．8 B．2 C．4 D．

2．若幂函数的图象经过点，则（    ）

A． B．

C．为偶函数 D．对任意，

3．已知幂函数的图象经过点，则_________．

 

4．已知幂函数的图像关于y轴对称．

(1)求的解析式；

(2)求函数在上的值域．

 

 

 

 

5．已知幂函数在上是减函数

(1)求的解析式

(2)若，求a的取值范围.

 

 

 

6．已知幂函数在上是减函数，.

(1)求的解析式；

(2)若，求实数的取值范围.

 

 

 

7．已知幂函数的图象过点，且函数.

(1)求幂函数的解析式；

(2)判断并证明函数在上的单调性；

(3)若，使得不等式有解，求实数取值范围.

 

 

题型三：根据幂函数性质、单调性等求值及参数值

解题技巧：若函数是幂函数，则系数必须为 1（即形如 f(x)＝xα，前面的系数常数等于 1）。再结合幂函数在给定区间（如“在 (0,＋∞) 上”或“在 R 上”）的单调性确定指数 α 的范围：α＞0 递增、α＜0 递减。若还给出“定义域为 R”“奇函数”“图象关于 y 轴对称”等性质，据此取舍 α 的取值，最终确定参数。

1．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．已知幂函数在上单调递减，则（    ）

A．4 B． C． D．

3．已知幂函数在上单调递减，则（    ）

A．4 B． C． D．

4．幂函数在单调递减，则（    ）

A． B． C．3 D．-3

5．下列说法正确的是（    ）

A．若命题：，，则：，

B．“”是“”的充分必要条件

C．若函数在上不单调，则实数的取值范围是

D．若函数是幂函数，且是奇函数，则

6．已知幂函数在上单调递减，则__________．

 

 

7．设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为

A． B． C． D．

8．已知函数，且该函数的图象经过点.

(1)确定m的值；

(2)求满足条件的实数a的取值范围.

 

 

题型四：幂函数的定义域与值域

解题技巧：由解析式求定义域，主要看指数 α：α 为正整数时定义域为 R；α 为负整数或分母为偶数的分数时，需排除使底数为 0 或偶次根号下为负的情形。求值域时先求定义域，再结合幂函数在定义域内的单调性确定取值范围。常先用待定系数法由图象过点求出解析式，再求定义域与值域。

1．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．