第9期 双曲线（二）-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）２０２４年９月 第９～１２期参考答案 第９期２版 专项小练一 １．Ａ；　２．ＡＢＣＤ；　３．Ｃ．　４．槡２２；　５． ｙ２ ９ － ｘ２ １６＝１（ｙ≤－３）． ６．解：设双曲线方程为ｙ ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 由已知椭圆的两个焦点Ｆ１（０，－３），Ｆ２（０，３）， 又双曲线与椭圆交点Ａ的纵坐标为４， 所以Ａ（槡１５，４）， ４２ ａ２ －（槡１５） ２ ｂ２ ＝１， ａ２＋ｂ２ ＝９ { ， 解得 ａ２ ＝４， ｂ２ ＝５{ ， 故双曲线方程为 ｙ２ ４ － ｘ２ ５ ＝１． 专项小练二 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｃ．　４．ｙ＝± ｘ２；　５．槡２． ６．解：由题意可设要求的双曲线方程为ｘ ２ ４ － ｙ２ ６ ＝λ≠０， 把点Ｐ（２，３）代入可得 ４４ － ９ ６ ＝λ，解得λ＝－ １ ２． 所以双曲线方程为 ｙ２ ３ － ｘ２ ２ ＝１． 第９期３，４版 双曲线同步核心素养测评（二） 一、单项选择题　１～４　ＣＡＣＤ　５～８　ＡＣＢＡ 提示： ２．由双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ９ ＝１，则其渐近线方程为ｙ＝± ３ ａｘ， 由题意整理方程ｘ±２ｙ＝０可得ｙ＝±１２ｘ，则 ３ ａ ＝ １ ２， 解得ａ＝６．故选：（Ａ）． ３．ｅ＝ ｃａ ＝ ｜Ｆ１Ｆ２｜ ｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜ ＝ ８１０－６＝２． ４．由双曲线的方程可得ａ２ ＝４，ｂ２ ＝１２， 所以ａ＝２，ｃ２ ＝４＋１２＝１６，可得ｃ＝４． 设右焦点为Ｆ，左焦点为Ｆ′， 当点Ｐ在左支上时，则｜ＰＦ｜≥ａ＋ｃ＝６， 所以｜ＰＦ′｜＝｜ＰＦ｜－２ａ＝８－２×２＝４； 当点Ｐ在右支上时，｜ＰＦ′｜＝｜ＰＦ｜＋２ａ＝８＋２×２＝１２． 故选：（Ｄ）． ５．由题得ｅ２ ＝ａ＋２ａ ＝９，解得ａ＝ １ ４，则ｚ＝ １ ４ ＋ｉ， (｜ｚ｜＝ )１４ ２ ＋槡 １＝ 槡１７ ４ ，故选：（Ａ）． ６．由题意知｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ２｜＝｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ１｜－２ａ， 要求｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ２｜的最小值， 只需求｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ１｜的最小值， 当Ａ，Ｐ，Ｆ１三点共线时取得最小值， 则｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ１｜＝｜ＰＦ１｜＝槡３７， 所以｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ２｜＝｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ１｜－２ａ≥ 槡３７－ 槡２５． ７．设双曲线的标准方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０），因为 半焦距ｃ＝槡５，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２，所以ｂ２＝５－ａ２，所以 ｘ２ ａ２ － ｙ ２ ５－ａ２ ＝１．因为线段ＰＦ１的中点的坐标为（０，２），所以点 Ｐ的坐标为 （槡５，４）．将Ｐ（槡５，４）代入双曲线方程，得 ５ ａ２ － １６ ５－ａ２ ＝１，解得 ａ２ ＝１或ａ２ ＝２５（舍去），所以双曲线的标准方程为ｘ２－ｙ ２ ４ ＝ １．故选（Ｂ）． ８．依题意可知 (Ｍ 槡５３３， )４ ， (Ｎ 槡３９３ ，－ )２ ， 将Ｍ，Ｎ的坐标分别代入ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１， 得 ２５ ３ａ２ －１６ ｂ２ ＝１， １３ ３ａ２ －４ ｂ２ ＝１{ ，解得ａ２ ＝３，ｂ２ ＝９， 所以双曲线Ｃ的方程为：ｘ ２ ３ － ｙ２ ９ ＝１，其渐近线为ｙ＝±槡３ｘ， 依次分析计算选项可知，只有（Ａ）选项，其渐近线为 ｙ＝ ±槡３ｘ，符合题意．故选：（Ａ）． 二、多项选择题　９．ＡＣＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＤ． 提示： ９．设｜ＡＦ２｜＝ｔ，则｜ＡＦ１｜＝２ｔ，｜Ｆ１Ｆ２｜＝槡３ｔ， 离心率ｅ＝ ｜Ｆ１Ｆ２｜ ｜ＡＦ１｜－｜ＡＦ２｜ ＝槡３，（Ｃ）正确； 因此 １＋ ｂ槡 １ ＝槡３，ｂ＝２，（Ａ）正确； ｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ １槡 ＋ｂ＝ 槡２３，（Ｂ）错误； 设Ａ（ｘＡ，ｙＡ），将ｘＡ ＝槡３代入得ｙＡ ＝２，则Ａ（槡３，２）， 则△ＡＢＦ１的面积为 １ ２｜Ｆ１Ｆ２｜·２ｙＡ ＝ 槡４３，（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．由题意可得 ２ａ＝６，２ｃ＝１０，所以 ａ＝３，ｃ＝５，ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２ ＝４，则双曲线Ｃ： ｘ２ ９ － ｙ２ １６＝１． Ｃ的渐近线上的点到Ｆ距离的最小值为Ｆ到渐近线的距离ｄ ＝ｂｃｃ ＝ｂ＝４，所以（Ａ）正确； 离心率ｅ＝ ｃａ ＝ ５ ３，所以（Ｂ）不正确； 双曲线上，右顶点到Ｆ的距离最小，５－３＝２，所以（Ｃ）正确； Ｃ的通径长为２ｂ ２ ａ ＝ ３２ ３，故（Ｄ）正确． 故选：（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １１．因双曲线Ｃ的标准方程为ｘ２－ｙ ２ ４ ＝１，则ａ＝１，ｂ＝２， ｃ＝槡５，双曲线Ｃ的离心率ｅ＝ ｃ ａ ＝槡５，即（Ａ）正确； 双曲线Ｃ的渐近线方程为ｙ＝±２ｘ，而双曲线ｙ２－ｘ ２ ４ ＝１的 渐近线方程为ｙ＝±１２ｘ，它们不同，（Ｂ）不正确； 因双曲线Ｃ的渐近线和圆（ｘ－１）２＋ｙ２＝１都关于ｘ轴对称， 不妨选渐近线２ｘ＋ｙ＝０，圆心（１，０）到直线２ｘ＋ｙ＝０的距离ｄ ＝ ２ ２２＋１槡 ２ ＝ 槡２５５，所以渐近线２ｘ＋ｙ＝０被该圆所截弦长为 ２ １２－ｄ槡 ２ ＝ 槡 ２５ ５，（Ｃ）不正确； 由 ｙ＝ｋｘ＋ｂ， ４ｘ２－ｙ２ ＝{ ４得（４－ｋ２）ｘ２－２ｋｂｘ－（ｂ２＋４）＝０， ｋ＝±２，ｂ＝０时，方程组无解，直线与双曲线交点个数为０， ｋ＝±２，ｂ≠０时，方程组有一解，直线与双曲线交点个数为１， ｋ２≠４时，Δ＝１６（ｂ２－ｋ２＋４）， 若Δ＜０，则方程组无解，直线与双曲线交点个数为０， 若Δ＝０，则方程组有一解，直线与双曲线交点个数为１， 若Δ＞０，则方程组有两解，直线与双曲线交点个数为２， 综上得直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与双曲线Ｃ的公共点个数只可能为０， １，２，即（Ｄ）正确．故选（Ａ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．槡８２，４；　１３．槡 ５－１ ２ ；　１４．－２． 提示： １２．双曲线方程ｘ２－８ｙ２＝３２化为标准方程为ｘ ２ ３２－ ｙ２ ４ ＝１， 可得ａ＝ 槡４２，ｂ＝２，所以双曲线的实轴长为 槡８２，虚轴长为４． １３．由题意ｅ＝ ａ＋１槡ａ ＝ ２ 槡５－１ ，则１＋１ａ ＝ ３＋槡５ ２ ， 所以ａ＝ ２ １＋槡５ ＝槡５－１２ ． １４．设Ｐ（ｘ，ｙ），根据双曲线方程知左顶点为Ａ１（－１，０），右 焦点为Ｆ２（２，０），所以 →ＰＡ１·→ＰＦ２＝（－１－ｘ，－ｙ）·（２－ｘ，－ｙ） ＝ｘ２－ｘ－２＋ｙ２ ＝４ｘ２－ｘ－５＝４ ｘ－( )１８ ２ －８１１６，因为ｘ≥ １，所以当ｘ＝１时，→ＰＡ１·→ＰＦ２取得最小值，最小值为 －２． 四、解答题 １５．解：设爆炸点为Ｐ，由已知，得｜ＰＡ｜－｜ＰＢ｜＝３４０×４＝ １３６０（ｍ）， 因为｜ＡＢ｜＝２ｋｍ＝２０００ｍ＞１３６０ｍ，｜ＰＡ｜＞｜ＰＢ｜， 所以点Ｐ在以点Ａ，Ｂ为焦点的双曲线并靠近点Ｂ的那一支上． 以直线ＡＢ为ｘ轴，线段ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，建立平面直 角坐标系． 由２ａ＝１３６０，２ｃ＝２０００，得 ａ＝６８０，ｃ＝１０００，ｂ２ ＝ｃ２－ａ２ ＝５３７６００． 因此，点Ｐ所在曲线是双曲线的右支， 它的方程是 ｘ２ ４６２４００－ ｙ２ ５３７６００＝１（ｘ＞０）． １６．解：（１）由双曲线方程知：其渐近线方程为ｙ＝±２３ｘ． （２）由双曲线定义｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ＝６， 又｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝｜ＰＦ２｜２＋６｜ＰＦ２｜＝１６， 所以｜ＰＦ２｜２＋６｜ＰＦ２｜－１６＝（｜ＰＦ２｜＋８）（｜ＰＦ２｜－２） ＝０，可得｜ＰＦ２｜＝２（负值舍）， 所以ＰＦ２的大小为２． １７．解：方案一：选择条件①． 因为ｍ＞０，所以ａ２ ＝ｍ，ｂ２ ＝２ｍ，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝３ｍ， 所以 槡ａ＝ ｍ，ｃ＝ ３槡ｍ． 因为Ｃ的左支上的点到右焦点的距离的最小值为ａ＋ｃ， 所以槡ｍ＋ ３槡ｍ ＝（１＋槡３）槡ｍ ＝３＋槡３， 解得ｍ＝３，故Ｃ的方程为ｘ ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１． 方案二：选择条件②． 因为Ｃ的焦距为６，所以ｃ＝３． 若ｍ＞０，则ａ２ ＝ｍ，ｂ２ ＝２ｍ，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝３ｍ， 所以ｃ＝ ３槡ｍ ＝３，解得ｍ＝３，则Ｃ的方程为 ｘ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１； 若ｍ＜０，则ａ２ ＝－２ｍ，ｂ２ ＝－ｍ，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝－３ｍ， 所以ｃ＝ －３槡 ｍ ＝３，解得ｍ＝－３， 则Ｃ的方程为ｙ ２ ６ － ｘ２ ３ ＝１． 综上，Ｃ的方程为ｘ ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１或 ｙ２ ６ － ｘ２ ３ ＝１． 方案三：选择条件③． 因为Ｃ上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为４， 所以２ａ＝４，即ａ＝２． 若ｍ＞０，则ａ２ ＝ｍ，所以 槡ａ＝ ｍ ＝２，解得ｍ＝４， 则Ｃ的方程为ｘ ２ ４ － ｙ２ ８ ＝１； 若ｍ＜０，则ａ２ ＝－２ｍ，所以ａ＝ －２槡 ｍ ＝２， 解得ｍ＝－２，则Ｃ的方程为ｙ ２ ４ － ｘ２ ２ ＝１； 综上，Ｃ的方程为ｘ ２ ４ － ｙ２ ８ ＝１或 ｙ２ ４ － ｘ２ ２ ＝１． １８．解：（１）因为｜ （ｘ－槡１０）２＋ｙ槡 ２－ （ｘ＋槡１０）２＋ｙ槡 ２｜＝ ２＜ 槡２ １０，所以Ｃ是以（槡１０，０），（－槡１０，０）为焦点，实轴长为 ２的双曲线． 设Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０），则ｃ＝槡１０，ａ＝１，ｂ＝３， 所以Ｃ的方程为ｘ２－ｙ ２ ９ ＝１． （２）由（１）可得Ｃ的渐近线方程为ｙ＝±３ｘ， 由 ｙ＝－３ｘ， ｙ＝ｘ－４{ ，得 ｘ＝１， ｙ＝－３{ ，即Ｄ（１，－３）． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｙ＝ｘ－４， ｘ２－ｙ ２ ９ ＝１ { ，得８ｘ２＋８ｘ－２５＝０， 由韦达定理得ｘ１＋ｘ２ ＝－１， 则→ＯＡ·→ →  ＯＤ＋ＯＢ·→ＯＤ＝ｘ１＋ｘ２－３（ｙ１＋ｙ２）＝ｘ１＋ｘ２－３（ｘ１ －４＋ｘ２－４）＝２６． １９．（１）解：由题可得 ｘ２０ ２ －ｙ ２ ０ ＝１，即ｙ２０ ＝ ｘ２０ ２ －１， 联立 ｘ２ ２ －ｙ ２ ＝１与 ｘ０ｘ ２ －ｙ０ｙ＝１， 消去ｙ得 (： ｙ２０２ －ｘ ２ ０ )４ ｘ２＋ｘ０ｘ－（１＋ｙ２０）＝０， 则ｘ２－２ｘ０ｘ＋ｘ２０ ＝０，显然Δ＝４ｘ２０－４ｘ２０ ＝０， 所以该直线与双曲线有且只有１个公共点． （２）解：由（１）知，直线 ｘ０ｘ ２－ｙ０ｙ＝１与双曲线 ｘ２ ２－ｙ ２＝１相 切于点（ｘ０，ｙ０）， 所以过双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上一点（ｘ０，ｙ０）的 切线方程为 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１． 书 ２（ｃｏｓα＋１） ｓｉｎ２α ，即｜ＡＦ｜＝２（ｃｏｓα＋１） ｓｉｎ２α ． １９．解：（１）以Ｏ为原点，ＯＭ为ｘ轴正 向建立平面直角坐标系， 由题意，抛物线Ｃ１的通径为２ａ，所以 抛物线Ｃ１的标准方程为ｙ２ ＝２ａｘ． （２）设抛物线Ｃ２：ｘ２＝ｍｙ（ｍ＞０）， 又由题意，ＯＭ３ ＝ｘ３Ｐ ＝２ａ３，所以ｘＰ ＝３槡２ａ，代入ｙ２ ＝２ａｘ． 得：ｙ２Ｐ ＝２ ３ 槡２ａ２，解得：ｙＰ ＝ ３ 槡４ａ， 所以点Ｐ（３槡２ａ， ３ 槡４ａ），代入ｘ２ ＝ｍｙ， 得：（ ３ 槡２ａ）２ ＝ｍ ３ 槡４ａ，解得：ｍ＝ａ， 所以抛物线Ｃ２的标准方程为ｘ２ ＝ａｙ． 第１２期３，４版 直线与圆锥曲线的位置关系同步核心素养测评 一、单项选择题　１～４　ＢＤＤＡ　５～８　ＣＣＡＤ 提示： １．因点（２，４）在抛物线ｙ２ ＝８ｘ上，所以过该点与抛物线相切 的直线和过该点与ｘ轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点． 故选（Ｂ）． ２．由双曲线的几何性质可知，当直线ｌ的斜率不存在或斜率 的绝对值不小于１（渐近线斜率的绝对值）时，ｌ与双曲线没有公 共点．所以直线ｌ [倾斜角的取值范围是 π４，３π]４ ． ３．联立方程 ｘ２ １６＋ ｙ２ ４ ＝１， ｘ＋２ｙ－４＝０ { ， 得ｙ２－２ｙ＝０，所以ｙ１＋ｙ２＝ ２，ｘ１＋ｘ２ ＝４，所以中点Ｍ的坐标为（２，１）．故选：（Ｄ）． ４．由题意，联立 ｋｘ－ｙ＋１＝０， ｙ＝ｘ２{ ， 可得：ｘ２－ｋｘ－１＝０， 则Δ＝ｋ２＋４＞０恒成立，则直线ｋｘ－ｙ＋１＝０与抛物线ｙ ＝ｘ２必定有两个交点， 则ｐｑ显然成立，ｑｐ不成立，故选：（Ａ）． ５．设该椭圆焦点在ｘ轴上， 以中心为原点，建立直角坐标 系，如图１所示，设椭圆的方程 为： ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１，ａ＞ｂ＞０，由 题意可得２ａ＝２１２，２ｂ＝１４４， 即ａ＝１０６，ｂ＝７２，则椭圆 Ｃ的方程为 ｘ ２ １０６２ ＋ｙ ２ ７２２ ＝１， 因为直线ｌ平行于长轴且Ｃ的中心到ｌ的距离是２４ｍ， 令ｙ＝２４，得｜２ｘ｜＝ 槡４２４２３ ≈２００（ｍ），故选：（Ｃ）． ６．抛物线ｘ２ ＝１６ｙ的焦点Ｆ的坐标为（０，４），准线方程为 ｙ ＝－４，由题意知，△ＰＡＢ为“阿基米德三角形”，可得Ｐ点必在抛 物线的准线上， 所以点Ｐ（２，－４），直线ＰＦ的斜率为４－（－４）０－２ ＝－４， 又因为ＰＦ⊥ＡＢ，所以直线ＡＢ的斜率为 １４， 所以直线ＡＢ的方程为ｙ＝ １４ｘ＋４，即ｘ－４ｙ＋１６＝０， 故选：（Ｃ）． ７．设椭圆的方程为ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， 设椭圆的右焦点为Ｆ１， 所以Ｆ１（ｃ，０），所以直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ－ｃ， 所以原点Ｏ到直线ｌ的距离等于Ｅ的短轴长，即 ｃ 槡２ ＝２ｂ，得 ｃ２ ＝８ｂ２，又ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２，所以ｃ２ ＝８（ａ２－ｃ２）８ａ２ ＝９ｃ２， 所以ｅ＝ ｃａ ＝ 槡２２ ３，故选：（Ａ）． ８．因为该双曲线的一条渐近线方程是ｙ＝槡２ｘ，则 ｂ ａ ＝槡２， 又由ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２，可得 ｂｃ ＝槡 ２ ３， 由过点Ｆ２且垂直于ｘ轴的垂线在ｘ轴上方交双曲线Ｃ于点 Ｍ，可知Ｍ的横坐标为ｃ， 代入双曲线方程可得： ｃ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１，ｃ ２ ａ２ －１＝ｃ ２－ａ２ ａ２ ＝ｂ ２ ａ２ ＝ｙ ２ ｂ２ ，又有ｙ＞０，可知 (Ｍ ｃ，ｂ２ )ａ ，所以ｔａｎ∠ＭＦ１Ｆ２ ＝ｂ２２ａｃ＝ １ ２· ｂ ａ· ｂ ｃ ＝ １ ２ ×槡２×槡 ２ ３ ＝ 槡３ ３．故选：（Ｄ）． 二、多项选择题　９．ＡＣＤ；　１０．ＢＤ；　１１．ＢＣ． 提示： ９．在ｘ ２ ４ －ｙ ２ ＝１中，令ｘ＝ｔ，得ｙ２ ＝ｔ ２－４ ４ ． 当ｔ＝－２或ｔ＝２时，均只有一个交点； 当ｔ＜－２或ｔ＞２时，有两个交点； 当 －２＜ｔ＜２时，无交点．故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．对于选项（Ａ），由已知得ａ２ ＝２，ｂ２ ＝１，则ｃ２ ＝ａ２－ｂ２ ＝１，即ｅ＝ ｃａ ＝ 槡２ ２，故（Ａ）错； 对于选项（Ｂ），由已知得，要使△ＰＦ１Ｆ２的面积最大，需底边 Ｆ１Ｆ２上的高最大，高的最大值为１，则△ＰＦ１Ｆ２面积的最大值为 １ ２ ×２×１＝１，故（Ｂ）正确； 对于选项（Ｃ），以线段Ｆ１Ｆ２为直径的圆的方程为ｘ２＋ｙ２＝１，则 该圆的圆心到直线的距离为ｄ＝｜０＋０－１｜ 槡２ ＝槡２２ ＜１，即以线段 Ｆ１Ｆ２为直径的圆与直线ｘ＋ｙ－１＝０相交，故（Ｃ）不正确； 对于选项（Ｄ），设点 Ｐ（ｘ０，ｙ０），则 ｋＰＡ·ｋＰＢ ＝ ｙ０ ｘ０＋槡２ · ｙ０ ｘ０－槡２ ＝ ｙ２０ ｘ２０－２ ＝ １－ ｘ２０ ２ ｘ２０－２ ＝－１２，故（Ｄ）正确． 故选：（Ｂ）（Ｄ）． １１．抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｘ的焦点为 (Ｆ １２， )０ ，设过焦点Ｆ的直线 方程为：ｘ＝ｍｙ＋１２，与抛物线方程联立可得：ｙ ２－２ｍｙ－１＝０， 设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２）， 若Ｍ的坐标为（１，２），则ｘ１＋ｘ２ ＝２，ｙ１＋ｙ２ ＝４， 而 ｙ１＋ｙ２ ＝２ｍ， ｙ１ｙ２ ＝－１， ｘ１＋ｘ２ ＝２ｍ２＋１ { ， 即 ２ｍ＝４， ２ｍ２＋１＝２{ ，方程组无解，所以 （Ａ）错误； 又→  ＯＰ·→ＯＱ ＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２ (＝ ｍｙ１＋ ) (１２ ｍｙ２＋ )１２ ＋ｙ１ｙ２ ＝（ｍ２＋１）ｙ１ｙ２＋ １ ２ｍ（ｙ１＋ｙ２）＋ １ ４ ＝－（ｍ２＋１）＋ｍ２＋１４ ＝－ ３ ４ ＜０， 即→ＯＰ·→ＯＱ＜０，所以坐标原点在以ＰＱ为直径的圆内，所以 （Ｂ）正确； ｋＯＰ·ｋＯＱ ＝ ｙ１ｙ２ ｘ１ｘ２ ＝ ｙ１ｙ ( ２ ｍｙ１＋ ) (１２ ｍｙ２＋ )１２ ＝ ｙ１ｙ２ ｍ２ｙ１ｙ２＋ １ ２ｍ（ｙ１＋ｙ２）＋ １ ４ ＝ －１ －ｍ２＋１２ｍ×２ｍ＋ １ ４ ＝－４，故（Ｃ）正确； 抛物线的通径为２ｐ＝２，所以线段ＰＱ的长度的最小值为２， 故（Ｄ）错误．故选（Ｂ）（Ｃ）． 三、填空题 １２．有唯一公共点且相切；　１３．槡３５２ ；　１４． ５ ４． 提示： １２．因为直线过点（－１，０）且倾斜角为４５°， 所以直线方程为ｙ＝ｘ＋１， 将ｙ＝ｘ＋１与ｙ２ ＝４ｘ联立可得（ｘ＋１）２ ＝４ｘ， 即ｘ２－２ｘ＋１＝０， 所以Δ＝４－４＝０且有重根ｘ＝１， 所以该直线与抛物线ｙ２ ＝４ｘ有唯一公共点且相切． １３．联立ｘ－２ｙ＋１＝０与ｘ ２ ４ ＋ｙ ２＝１，得２ｘ２＋２ｘ－３＝０， 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 则ｘ１＋ｘ２ ＝－１，ｘ１ｘ２ ＝ －３ ２， 故｜ＡＢ｜＝ １ (＋ )１２槡 ２ （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝ 槡５ ２ × １＋４×槡 ３ ２ ＝ 槡３５ ２ ． １４．双曲线ｘ ２ １６－ ｙ２ ９ ＝１中， ａ２ ＝１６，ｂ２ ＝９， 所以ａ＝４，ｂ＝３， 则ｃ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ＝５， 连接Ｆ１Ｑ，Ｆ２Ｑ， 则 Ｆ１Ｑ，Ｆ２Ｑ分别为 ∠ＰＦ１Ｍ， ∠ＰＦ２Ｍ的平分线，由角平分线性质 知： ｜ＭＱ｜ ｜ＰＱ｜＝ ｜ＭＦ２｜ ｜ＰＦ２｜ ＝ ｜ＭＦ１｜ ｜ＰＦ１｜ ＝ ｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜ ｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜ ＝２ｃ２ａ＝ｅ， 而ｅ＝ ｃａ ＝ ５ ４， 故 ｜ＭＱ｜ ｜ＰＱ｜＝ ５ ４． 四、解答题 １５．解：（１）由题可得动点Ｇ的轨迹是以Ｆ（２，０）为焦点的抛 物线，其方程为ｙ２ ＝８ｘ． （２）设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋２， 联立 ｘ＝ｍｙ＋２， ｙ２ ＝８ｘ{ ， 得ｙ２－８ｍｙ－１６＝０， Δ＝６４ｍ２＋６４＞０，ｙ１ｙ２ ＝－１６． １６．解：（１）由题意得 ２ｃ＝４， ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２， ３ ａ２ ＋１ ｂ２ ＝１{ ，得 ａ ２ ＝６， ｂ２ ＝２， ｃ＝２ { ， 所以椭圆Ｍ的标准方程为ｙ ２ ６ ＋ ｘ２ ２ ＝１． （２）设与ｌ平行的ｌ１：ｙ＝ｘ＋ｂ， 由 ｙ２ ６ ＋ ｘ２ ２ ＝１， ｙ＝ｘ＋ｂ { ， 得４ｘ２＋２ｂｘ＋ｂ２－６＝０， 由Δ＝４ｂ２－４×４（ｂ２－６）＝０，得ｂ＝± 槡２２， 则ｌ１的斜截式方程为ｙ＝ｘ± 槡２２． １７．解：（１）由已知２ａ＝２，ａ＝１， 又ｃ＝槡５，则ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２ ＝２， 所以双曲线Ｃ的方程为ｘ２－ｙ ２ ４ ＝１． （２）由 ｙ＝ｘ＋２， ｘ２－ｙ ２ ４ ＝１ { ，得３ｘ２－４ｘ－８＝０， 则Δ＝（－４）２－４×３×（－８）＝１１２＞０， 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２ ＝ ４ ３，ｘ１ｘ２ ＝－ ８ ３， 所以｜ＡＢ｜＝ １＋１槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜＝槡２×槡 １１２ ３ ＝ 槡４ １４ ３ ． １８．解：（１）设Ａ（ｘＡ，ｙＡ）． 由题意，Ｆ２（ｃ，０），ｃ＝ １＋ｂ槡 ２， ｙ２Ａ ＝ｂ２（ｃ２－１）＝ｂ４， 因为△Ｆ１ＡＢ是等边三角形，所以２ｃ＝槡３｜ｙＡ｜， 即４（１＋ｂ２）＝３ｂ４，解得ｂ２ ＝２． 故双曲线的渐近线方程为ｙ＝±槡２ｘ． （２）由已知，Ｆ２（２，０）． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线ｌ：ｙ＝ｋ（ｘ－２）， 由 ｘ２－ｙ ２ ３ ＝１， ｙ＝ｋ（ｘ－２ { ）， 得（ｋ２－３）ｘ２－４ｋ２ｘ＋４ｋ２＋３＝０． 因为ｌ与双曲线交于两点， 所以ｋ２－３≠０，且Δ＝３６（１＋ｋ２）＞０． 由ｘ１＋ｘ２ ＝ ４ｋ２ ｋ２－３ ，ｘ１ｘ２ ＝ ４ｋ２＋３ ｋ２－３ ， 得（ｘ１－ｘ２）２ ＝ ３６（ｋ２＋１） （ｋ２－３）２ ， 故｜ＡＢ｜＝ （ｘ１－ｘ２）２＋（ｙ１－ｙ２）槡 ２ ＝ １＋ｋ槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜ ＝６（ｋ ２＋１） ｜ｋ２－３｜ ＝４， 解得ｋ２ ＝ ３５，故ｌ的斜率为 ± 槡１５ ５ ． １９．（１）解：设双曲线的标准方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞ ０），由已知得 ｃａ ＝ 槡５ ２，２ｂ＝２，又ａ ２＋ｂ２＝ｃ２，解得ａ＝２，ｂ＝ １，所以双曲线的标准方程为ｘ ２ ４ －ｙ ２ ＝１． （２）证明：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），联立 ｙ＝ｋｘ＋ｍ， ｘ２ ４ －ｙ ２ ＝１{ ， 得（１－４ｋ２）ｘ２－８ｍｋｘ－４（ｍ２＋１）＝０， 则有 Δ＝６４ｍ２ｋ２＋１６（１－４ｋ２）（ｍ２＋１）＞０， ｘ１＋ｘ２ ＝ ８ｍｋ １－４ｋ２ ， ｘ１ｘ２ ＝ －４（ｍ２＋１） １－４ｋ２ { ， ｙ１ｙ２ ＝（ｋｘ１＋ｍ）（ｋｘ２＋ｍ） ＝ｋ２ｘ１ｘ２＋ｍｋ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２ ＝ ｍ２－４ｋ２ １－４ｋ２ ， 因为以ＡＢ为直径的圆过双曲线Ｃ的左顶点Ｄ（－２，０）， 所以ｋＡＤ·ｋＢＤ ＝－１，即 ｙ１ ｘ１＋２ · ｙ２ ｘ２＋２ ＝－１， 所以ｙ１ｙ２＋ｘ１ｘ２＋２（ｘ１＋ｘ２）＋４＝０， 所以 ｍ２－４ｋ２ １－４ｋ２ ＋－４（ｍ ２＋１） １－４ｋ２ ＋ １６ｍｋ １－４ｋ２ ＋４＝０， 所以３ｍ２－１６ｍｋ＋２０ｋ２ ＝０，解得ｍ＝２ｋ或ｍ＝１０ｋ３． 当ｍ＝２ｋ时，直线 ｌ的方程为 ｙ＝ｋ（ｘ＋２），直线过定点 （－２，０），与已知矛盾； 当 ｍ＝１０ｋ３时，直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ １０( )３ ，直线过定点 －１０３，( )０，经检验符合已知条件， 所以直线ｌ过定点，定点坐标为 －１０３，( )０． ! ! " !"#$%&'()*+,-./012!3+ "#$% 4 ! 5"6$3&'(7*+,-.8012&3+ "#$% 4 !"#$ !"#$ ! " ! ! # ! $ % ! & ! '" % %#!$ ! " ! ! ( ) * ! + " * " % ! ! ! ! ! , ! , " ( + " ! ! 书 故与直线ＯＡ垂直的直线的斜率为 －１． 因此，所求直线的方程是ｙ＝－ ｘ－( )１２ ， 即２ｘ＋２ｙ－１＝０． 专项小练二 １．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ａ．　４ (． １２， )１ ；　５．４． ６．（１）解：若点Ａ，Ｃ在Ｃ１上，则２２ ＝２ｐ，４２ ＝８ｐ， 解得ｐ＝２， 此时Ｃ１：ｙ２ ＝４ｘ，点Ｂ不在Ｃ１上； 若点Ａ，Ｂ在Ｃ１上，则２２ ＝２ｐ，３２ ＝４ｐ，无解； 若点Ｂ，Ｃ在Ｃ１上，则３２ ＝４ｐ，４２ ＝８ｐ，无解； 综上，Ｃ１的方程为ｙ２ ＝４ｘ． （２）证明：由题知，将ｙ＝ｋｘ＋ｍ代入ｙ２ ＝４ｘ得： ｋ２ｘ２＋２（ｋｍ－２）ｘ＋ｍ２ ＝０， 所以Δ＝４（ｋｍ－２）２－４ｋ２ｍ２＝４［（ｋｍ－２）２－（ｋｍ）２］＝ １６（１－ｋｍ）＝０，即ｋｍ＝１，所以ｋ２＋ｍ２≥２ｋｍ＝２． 第１１期３，４版 抛物线同步核心素养测评（二） 一、单项选择题　１～４　ＢＣＡＡ　５～８　ＢＤＤＤ 提示： ２．抛物线ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０） (的焦点为 ｐ２， )０ ， (则点 ｐ２， )０ 到直线ｙ＝ｘ＋１的距离ｄ＝ ｐ ２ ＋１ １＋槡 １ ＝槡２，解得ｐ＝２． ３．由题意抛物线Ｃ的焦点坐标为（０，１）， 所以抛物线Ｃ的标准方程为ｘ２ ＝４ｙ，其准线为ｙ＝－１， 而ｙＮ ＝ｋ＝ ｘ２Ｎ ４ ＝１，所以Ｃ上点Ｎ（－２，ｋ）到ｌ的距离为ｄ ＝ｙＮ ＋２＝３．故选：（Ａ）． ４．如图１，建立平面直角坐标系． 设该抛物线的方程为ｘ２ ＝－２ｐｙ（ｐ ＞０），易知抛物线经过点（５，－６）， 所以５２ ＝－２ｐ×（－６），解得ｐ＝ ２５ １２，故该抛物线的顶点到焦点的距离为 ｐ ２ ＝ ２５ ２４，故竖直悬挂的闪光灯距离水 面的距离为：ｄ＝６－２５２４≈４９６米． ５．抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点为Ｆ（１，０），准线方程为ｌ：ｘ＝－１， 点Ｍ（４，４），由抛物线的定义可知｜ＭＦ｜＝｜ＭＨ｜，所以∠ＦＭＨ的 角平分线所在的直线就是线段 ＨＦ的垂直平分线．因为过点 Ｍ（４，４）作直线ｌ：ｘ＝－１的垂线，垂足为Ｈ，所以点Ｈ的坐标为 （－１，４），所以ＦＨ的斜率ｋＨＦ ＝ ４－０ －１－１＝－２，所以∠ＦＭＨ的角 平分线的斜率为ｋ＝ １２． ６．设从点Ａ（５，２）沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线 与抛物线交于点Ｐ，易知 ｙＰ ＝２，将（ｘＰ，ｙＰ）代入抛物线方程得 ｘＰ ＝４，即Ｐ（４，２）， 设焦点为Ｆ，则 (Ｆ １４，)０ ，设Ｑ（ｙ２Ｑ，ｙＱ），由Ｐ，Ｆ，Ｑ三点共线， 有 ２－０ ４－１４ ＝ ｙＱ －０ ｙ２Ｑ － １ ４ ，化简得８ｙ２Ｑ －１５ｙＱ －２＝０， 解得ｙＱ ＝－ １ ８或ｙＱ ＝２（舍），即 (Ｑ １６４，－ )１８ ． 故选：（Ｄ）． ７．作出抛物线的准线ｌ：ｘ＝－１，设Ａ，Ｂ在ｌ上的射影分别是 Ｃ，Ｄ，连接ＡＣ，ＢＤ，过Ｂ作ＢＥ⊥ＡＣ于Ｅ．因为→ＡＦ＝３→ＦＢ，所以设 ｜ＡＦ｜＝３ｍ，｜ＢＦ｜＝ｍ，由点Ａ，Ｂ分别在抛物线上，结合抛物线 的定义，得 ｜ＡＣ｜＝３ｍ，｜ＢＤ｜＝ｍ．因此，在 Ｒｔ△ＡＢＥ中， ｃｏｓ∠ＢＡＥ＝｜ＡＥ｜｜ＡＢ｜＝ １ ２，得∠ＢＡＥ＝６０°，所以直线ＡＢ的斜率 ｋ＝ｔａｎ６０°＝槡３，则直线ｌ的方程为ｙ＝槡３（ｘ－１），即槡３ｘ－ｙ－ 槡３＝０． ８．依题意， (设圆与抛物线的交点 ｙ２０２ｐ，ｙ )０ ，ｙ０ ＞０，显然直 线ｌ２的斜率存在且不为０，设ｌ２方程为：ｙ－ｙ０ (＝ｋ ｘ－ｙ２０２ )ｐ ， 由 ｙ－ｙ０ (＝ｋ ｘ－ｙ２０２ )ｐ ｙ２ ＝２ { ｐｘ ，整理得 ｋ ２ｐｙ ２－ｙ＋ｙ０－ ｋｙ２０ ２ｐ＝０， 而ｋ≠０，则Δ＝１－４· ｋ２ (ｐ ｙ０－ｋｙ ２ ０ ２ )ｐ ＝０，解得ｋ＝ ｐｙ０， 由ｌ１⊥ ｌ２及圆的性质知，直线 ｌ２ (过圆心 ｐ２， )ｂ ( 及点 ｙ２０ ２ｐ，ｙ )０ ，于是得：ｙ０－ｂｙ２０ ２ｐ－ ｐ ２ ＝ ｐｙ０ ，整理得２ｂｙ０ ＝ｙ２０＋ｐ２， (又 ｙ２０２ｐ－ ｐ )２ ２ ＋（ｙ０－ｂ）２＝ｂ２，即 ｙ４０ ４ｐ２ － ｙ２０ ２＋ ｐ２ ４＋ｙ ２ ０－ ２ｂｙ０ ＝０，因此有 ｙ４０ ４ｐ２ － ｙ２０ ２ ＋ ｐ２ ４ －ｐ ２ ＝０， 解得ｙ２０ ＝３ｐ２，而ｙ０＞０，即ｙ０＝槡３ｐ，于是有满足ｌ１⊥ｌ２的 (两曲线交点只有点 ３ｐ２，槡３ )ｐ ，选项（Ａ），（Ｃ）不正确； 显然ｂ＝ 槡２３３ｐ，即正数ｐ值确定，ｂ值也随之确定，并且唯一， 选项（Ｂ）不正确，（Ｄ）正确．故选（Ｄ）． 二、多项选择题　９．ＡＣ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＢ． 提示： ９．由题意可知Ｃ１的焦点为（１，０），Ｃ２的焦点为（０，１），过Ｃ１与Ｃ２ 焦点的直线方程为 ｘ １ ＋ ｙ １ ＝１，即ｘ＋ｙ＝１，（Ａ）正确； 由 ｙ２ ＝４ｘ， ｘ２ ＝４ｙ{ ，解得 ｘ＝０，ｙ＝{ ０或 ｘ＝４，ｙ＝４{ ， 所以Ｃ１与Ｃ２有２个公共点，（Ｂ）错误； 由抛物线Ｃ１：ｙ２ ＝４ｘ知，开口向右，对称轴为ｘ轴， 所以与ｘ轴平行的直线与Ｃ１有１个交点， 由抛物线Ｃ２：ｘ２ ＝４ｙ知，开口向上，对称轴为ｙ轴， 所以与ｘ轴平行的直线与Ｃ２最多有２个交点，综上，与ｘ轴平 行的直线与Ｃ１及Ｃ２最多有３个交点，（Ｃ）正确； Ｃ１与Ｃ２关于直线ｙ＝ｘ对称，若存在直线与Ｃ１和Ｃ２都相 切，则该切线也关于直线ｙ＝ｘ对称，不妨设为ｙ＝－ｘ＋ｔ，与ｘ２＝ ４ｙ联立得ｘ２＋４ｘ－４ｔ＝０，由Δ＝０得ｔ＝－１， 所以直线ｙ＝－ｘ－１与Ｃ１和Ｃ２都相切，（Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｃ）． １０．ｙ２ ＝４ｘ，ｐ＝２，ｌ：ｘ＝－１． 又圆Ａ半径为１，圆心为Ａ（０，４），所以点Ａ到直线ｌ的距离为 １，所以圆Ａ与ｌ相切，（Ａ）正确； 当Ｐ，Ａ，Ｂ三点共线时，ｙＰ ＝ｙＡ ＝４， 代入ｙ２ ＝４ｘ中，ｘＰ ＝４，所以ＰＡ＝４， 所以ＰＱ＝ ＰＡ２－ｒ槡 ２ ＝槡１５，（Ｂ）正确； 当｜ＰＢ｜＝２时，ｘＰ ＝１，ｙＰ ＝２（假设Ｐ在ｘ轴上方）．此时， Ｂ（－１，２），Ｐ（１，２），Ａ（０，４），ＡＰ２ ＝ＡＢ２ ＝５，ＢＰ２ ＝４． 因为ＡＰ２＋ＡＢ２≠ＢＰ２，所以ＰＡ与ＡＢ不垂直，（Ｃ）错误； 因为ＰＢ＝ＰＦ（Ｆ为抛物线Ｃ的焦点）， 所以ＰＡ＝ＰＢ时，ＰＡ＝ＰＦ． 所以，点Ｐ在ＡＦ中垂线上． 又Ａ（０，４），Ｆ（１，０），所以ＡＦ中垂线的方程为ｘ＝４ｙ－１５２． 联立 ｘ＝４ｙ－１５２， ｙ２ ＝４ｘ { ， 得ｙ２－１６ｙ＋３０＝０，Δ＞０． 所以ＡＦ的中垂线与抛物线Ｃ有两个交点，故点Ｐ有且仅有 两个，（Ｄ）正确．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． １１．因为马鞍面的标准方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝２ｚ（ａ＞０，ｂ＞０）， 对于（Ａ），平行于ｘＯｙ平面的面中 ｚ为常数，不妨设为 ｚ０（ｚ０ ≠０），得ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝２ｚ０，故所得轨迹是双曲线，故（Ａ）正确； 对于（Ｂ），法向量为（１，０，０）的平面中 ｘ为常数，不妨设为 ｘ０，则ｙ２ ＝－２ｂ２ｚ＋ ｂ２ｘ２０ ａ２ ，为抛物线方程，故（Ｂ）正确； 对于（Ｃ），垂直于ｙ轴的平面中ｙ为常数，不妨设为ｙ０， 则ｘ２ ＝２ａ２ｚ＋ ａ２ｙ２０ ｂ２ ，为抛物线方程，故（Ｃ）错误； 对于（Ｄ），不妨设平面上的点坐标为Ａ（ｘ，ｙ，ｚ）， 因为平面过原点且法向量为ｎ＝（１，１，０），由→ＯＡ·ｎ＝０，得 ｘ＋ｙ＝０， 故ｙ＝－ｘ，代入马鞍面标准方程， (得 １ａ２ －１ｂ )２ ｘ２ ＝２ｚ， 当ａ＝ｂ时，方程为ｚ＝０，不是抛物线，故（Ｄ）错误． 故选：（Ａ）（Ｂ）． 三、填空题　１２．３；　１３．４；　１４． 槡１０６＋槡１２３． 提示： １２．因为Ａ ７ｐ ２，( )０，所以｜ＡＦ｜＝３ｐ，则｜ＭＦ｜＝ ３ ２ｐ， 所以Ｍ点横坐标为ｐ，代入得ｙ＝±槡２ｐ， Ｓ△ＡＭＦ ＝ １ ２ ×３ｐ×槡２ｐ＝ 槡２７２ ２ ，所以ｐ＝３． １３．由抛物线的性质可知 １ｍ ＋ １ ｎ ＝ ２ ｐ ＝１，则ｍ＋ｎ＝（ｍ ＋ｎ (） １ｍ ＋１ )ｎ ＝１＋ｍｎ＋ｎｍ ＋１≥２＋２＝４，当且仅当ｍ ＝ｎ时取到最小值４． １４．设Ｐ（ｘ，ｙ），由阿氏圆的定义可得｜ＰＡ｜｜ＰＢ｜＝ 槡６ ３， 即 （ｘ＋３）２＋（ｙ－１）２ （ｘ＋３）２＋（ｙ－６）２ ＝２３，化简得ｘ ２＋ｙ２＋６ｘ＋１８ｙ－６０ ＝０．所以（ｘ＋３）２＋（ｙ＋９）２ ＝１５０，所以点Ｐ在圆心为（－３， －９），半径为 槡５６的圆上， 因为抛物线Ｃ：ｙ＝ １６ｘ ２的焦点为Ｆ，所以 (Ｆ ０， )３２ ， 因为（０＋３）２ (＋ ３２ ＋ )９ ２ ＝４７７４ ＜１５０， 所以点Ｆ在圆（ｘ＋３）２＋（ｙ＋９）２ ＝１５０内， 因为点Ｆ到与圆心的距离为 ４７７槡４ ＝ 槡４７７ ２ ， 所以过点Ｆ的最短弦长为２ １５０－４７７槡 ４ ＝槡１２３， 过点Ｆ的最长弦长为 槡２ １５０＝ 槡１０６， 所以过点Ｆ的最长弦与最短弦的和为 槡１０６＋槡１２３． 四、解答题 １５．解：（１）因为Ｍ（ｐ，ｐ－１）是Ｃ上的点， 所以ｐ２ ＝２ｐ（ｐ－１）， 因为ｐ＞０，解得ｐ＝２，所以抛物线Ｃ的方程为ｘ２ ＝４ｙ． （２）设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｙ＝ｋｘ＋２， ｘ２ ＝４ｙ{ ， 得ｘ２－４ｋｘ－８＝０，Δ＝１６ｋ２＋３２＞０， 则ｘ１＋ｘ２ ＝４ｋ，ｘ１ｘ２ ＝－８， 由抛物线的定义知，｜ＡＦ｜＝ｙ１＋１，｜ＢＦ｜＝ｙ２＋１， 则 ｜ＡＦ｜·｜ＢＦ｜＝（ｙ１＋１）（ｙ２＋１）＝（ｋｘ１＋３）（ｋｘ２＋３） ＝ｋ２ｘ１ｘ２＋３ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋９＝４ｋ２＋９＝１３， 解得ｋ＝±１． １６．解：（１）依题意Ｆ（１，０），设直线ＡＢ方程为ｘ＝ｍｙ＋１． 与ｙ２ ＝４ｘ联立得ｙ２－４ｍｙ－４＝０． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 所以ｙ１＋ｙ２ ＝４ｍ，ｙ１ｙ２ ＝－４． ① 因为→ＡＦ＝２→ＦＢ，所以ｙ１ ＝－２ｙ２． ② 联立①和②，消去ｙ１，ｙ２，得ｍ＝±槡 ２ ４． 所以直线ＡＢ的斜率是 ± 槡２２． （２）由点Ｃ与原点Ｏ关于点Ｍ对称，得Ｍ是线段ＯＣ的中点， 从而点Ｏ与点Ｃ到直线ＡＢ的距离相等， 所以四边形ＯＡＣＢ的面积等于２Ｓ△ＡＯＢ． 因为 ２Ｓ△ＡＯＢ ＝ ２ × １ ２ × ｜ＯＦ｜ ×｜ｙ１ － ｙ２ ｜＝ （ｙ１＋ｙ２）２－４ｙ１ｙ槡 ２ ＝４ １＋ｍ槡 ２≥４， 所以ｍ＝０时，四边形ＯＡＣＢ的面积最小，最小值是４． １７．（１）解：由题意得 (Ｆ ｐ２， )０ ， 当点Ａ与Ｆ重合且直线ｌ垂直于ｘ轴时，ｌ方程为ｘ＝ ｐ２， 代入ｙ２＝２ｐｘ得ｙ＝±ｐ，所以｜ＰＱ｜＝２ｐ＝４，解得ｐ＝２， 所以Ｃ的方程为ｙ２ ＝４ｘ． （２）证明：可设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｘＡ， 设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２）， 将ｘ＝ｍｙ＋ｘＡ代入ｙ２ ＝４ｘ中得ｙ２－４ｍｙ－４ｘＡ ＝０， 则Δ＝１６ｍ２＋１６ｘＡ ＞０，ｙ１＋ｙ２ ＝４ｍ，ｙ１ｙ２ ＝－４ｘＡ， 由∠ＰＢＡ＝∠ＱＢＡ得ｋＰＢ＋ｋＱＢ ＝０， 即 ｙ１ ｘ１－ｘＢ ＋ ｙ２ ｘ２－ｘＢ ＝０， 即ｙ１（ｘ２－ｘＢ）＋ｙ２（ｘ１－ｘＢ）＝０， 所以ｙ１（ｘ２－ｘＢ）＋ｙ２（ｘ１－ｘＢ） ＝ｙ１（ｍｙ２＋ｘＡ－ｘＢ）＋ｙ２（ｍｙ１＋ｘＡ－ｘＢ） ＝２ｍｙ１ｙ２＋（ｘＡ－ｘＢ）（ｙ１＋ｙ２） ＝２ｍ·（－４ｘＡ）＋（ｘＡ－ｘＢ）·４ｍ ＝－４ｍ（ｘＡ＋ｘＢ）＝０， 又直线ｌ不垂直于坐标轴，所以ｍ≠０，所以ｘＡ＋ｘＢ ＝０． 所以ｘＡ＋ｘＢ为定值０． １８．（１）解：设抛物线Γ的方程为ｘ２ ＝２ｐｙ（ｐ＞０）， 由题可得 ｐ ２ ＝１，解得ｐ＝２， 因此，抛物线Γ的方程为ｘ２ ＝４ｙ． （２）证明：过点Ａ作ＡＫ⊥ｙ轴于点Ｋ，设｜ＡＦ｜＝ｍ， 则Ｒｔ△ＡＦＫ中，∠ＫＦＡ＝α， 可得ｓｉｎα＝｜ＡＫ｜｜ＡＦ｜，ｃｏｓα＝ ｜ＦＫ｜ ｜ＡＦ｜， 可得｜ＡＫ｜＝｜ＡＦ｜ｓｉｎα＝ｍｓｉｎα，｜ＦＫ｜＝｜ＡＦ｜ｃｏｓα＝ ｍｃｏｓα，由此可得点Ａ的坐标为（－ｍｓｉｎα，１＋ｍｃｏｓα）， 因为点Ａ为抛物线ｘ２ ＝４ｙ上的点， 所以（－ｍｓｉｎα）２ ＝４（１＋ｍｃｏｓα）， 整理得ｍ２ｓｉｎ２α－４ｍｃｏｓα－４＝０， 解得ｍ＝４ｃｏｓα± １６ｃｏｓ ２α＋１６ｓｉｎ２槡 α ２ｓｉｎ２α ＝４ｃｏｓα±４ ２ｓｉｎ２α ＝２ｃｏｓα±２ ｓｉｎ２α ． 因为α为锐角，可得ｃｏｓα＜１，且ｍ＞０， 所以ｍ＝２ｃｏｓα－２ ｓｉｎ２α ＜０不符合题意，得ｍ＝２ｃｏｓα＋２ ｓｉｎ２α ＝ 书 证明如下：显然 ｘ２０ ａ２ － ｙ２０ ｂ２ ＝１，即ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０ ＝ａ２ｂ２， 由 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１， ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１{ ，消去ｙ得：ｂ２ａ２ｘ２－２ｂ２ａ２ｘ０ｘ＋ｂ２＋ｙ２０＝０， 于是Δ＝ ４ｂ４ｘ２０ ａ４ －４ｂ ２ ａ２ （ｂ２＋ｙ２０）＝ ４ｂ２（ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０－ａ２ｂ２） ａ４ ＝０， 因此直线 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１与双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０） 相切于点（ｘ０，ｙ０），所以过双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上 一点（ｘ０，ｙ０）的切线方程为 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１． （３）证明：当ｎ＝０时，直线ｌ的斜率不存在， 由对称性知，点Ｔ为线段ＰＱ的中点； 当ｎ≠０时，设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），线段ＰＱ的中点Ｎ（ｔ，ｓ）， 由 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝０， ｍｘ ａ２ －ｎｙ ｂ２ ＝１{ ，消去ｙ得 (： ｎ２ｂ２ －ｍ２ａ )２ ｘ２＋２ｍｘ－ａ２＝０， 由 ｍ２ ａ２ －ｎ ２ ｂ２ ＝１，得ｘ２－２ｍｘ＋ａ２＝０，则ｔ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ＝ｍ， 又 ｍｔ ａ２ －ｎｓ ｂ２ ＝１，于是ｓ＝ｂ ２ (ｎ ｍ２ａ２ － )１ ＝ｎ， 即点Ｔ与点Ｎ重合，所以点Ｔ为线段ＰＱ的中点． 第１０期２版 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ．　４．ｘ＝－３２；　５．１． ６．解：在方程ｘ－２ｙ－４＝０中，令ｘ＝０得ｙ＝－２； 令ｙ＝０得ｘ＝４，所以抛物线的焦点为（４，０）或（０，－２）． 当焦点为（４，０）时，ｐ２ ＝４，所以ｐ＝８， 此时抛物线方程为ｙ２ ＝１６ｘ，准线方程为ｘ＝－４； 当焦点为（０，－２）时，ｐ２ ＝２，所以ｐ＝４， 此时抛物线方程为ｘ２ ＝－８ｙ，准线方程为ｙ＝２． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｃ．　４．２；　５．ｙ２ ＝８ｘ． ６．解：设Ｐ（ｔ，４ｔ２），且点Ｐ到直线ｙ＝４ｘ－５的距离为ｄ， 则ｄ＝｜４ｔ－４ｔ ２－５｜ 槡１７ ＝４ｔ ２－４ｔ＋５ 槡１７ ＝ 槡４１７１７ ｔ－( )１２ ２ ＋[ ]１． 当ｔ＝ １２时，ｄ取得最小值．此时，Ｐ １ ２，( )１为所求的点． 第１０期３，４版 抛物线同步核心素养测评（一） 一、单项选择题　１～４　ＡＣＢＣ　　５～８　ＤＡＢＤ 提示： １．根据已知ｘ２ ＝ｙ，２ｐ＝１， (所以焦点坐标为 ０， )１４ ．故选：（Ａ）． ２．抛物线方程ｙ２ ＝ １２ｘ，２ｐ＝ １ ２， 所以准线方程是ｘ＝－１８．故选：（Ｃ）． ３．由抛物线定义得３＋ ｐ２ ＝４，解得ｐ＝２．故选：（Ｂ）． ４．抛物线ｙ＝ １８ｘ ２的标准方程为ｘ２ ＝８ｙ， 所以焦点的坐标为（０，２），准线方程为ｙ＝－２， 故选：（Ｃ）． ５．直线３ｘ＋２ｙ－６＝０与ｘ轴的交点为（２，０）， 所以抛物线Ｃ的焦点为（２，０），故 ｐ２ ＝２，解得ｐ＝４， 所以抛物线的标准方程为ｙ２ ＝８ｘ．故选：（Ｄ）． ６．如图１，ＡＢ为水面宽，ＢＣ为拱 顶离水面的高度， 故｜ＡＢ｜＝２４，｜ＢＣ｜＝１２， 故Ｂ（１２，－１２）． 设抛物线的方程为：ｘ２ ＝－２ｐｙ（ｐ ＞０），则１４４＝－２ｐ×（－１２），即ｐ＝ ６，故焦点坐标为（０，－３）．故选：（Ａ）． ７．由抛物线定义可知，｜ＡＦ｜等于点Ａ到抛物线准线的距离， ｜ＡＦ｜的最小值为抛物线顶点到准线的距离，即｜ＡＦ｜≥ ｐ２， 若｜ＡＦ｜＞１恒成立，则 ｐ２ ＞１，即ｐ＞２．故选：（Ｂ）． ８．依题意可得 (Ｆ ３２， )０ ． 设Ｐ（ｘ，ｙ）（ｘ≠０），Ｑ（ｔ，０），则→  ＯＰ＝（ｘ，ｙ）， →  ＰＱ＝（ｔ－ｘ，－ｙ），→ (ＰＦ＝ ３２ －ｘ， )－ｙ ， 因为ＯＰ⊥ＰＱ，所以→  ＯＰ·→  ＰＱ＝ｘ（ｔ－ｘ）－ｙ２＝ｔｘ－ｘ２－６ｘ ＝ｘ（ｔ－ｘ－６）＝０， 因为ｘ≠０，所以ｔ－ｘ－６＝０，即ｔ－ｘ＝６， 所以→ＰＦ·→  (ＰＱ＝ ３２ )－ｘ （ｔ－ｘ）＋ｙ２ (＝ ３２ )－ｘ （ｔ－ ｘ）＋６ｘ＝ (６ ３２ )－ｘ ＋６ｘ＝９．故选：（Ｄ）． 二、多项选择题　９．ＣＤ；　１０．ＢＣ；　１１．ＡＢＤ． 提示： ９． （ｘ－４）２＋ｙ槡 ２ ＝｜ｘ｜＋４，当ｘ≥０时，化简得ｙ２＝１６ｘ； 当ｘ＜０时，化简得ｙ＝０，故（Ａ）不正确． 显然点Ｐ始终在直线ｌ上，故（Ｂ）不正确． 等式的几何意义可理解为点Ｐ到定点（１，０）与到定直线ｘ＋ ｙ＝０的距离相等，符合抛物线的定义，故（Ｃ）正确． 对于（Ｄ）选项，可以转化为点 Ｐ到 Ｆ的距离与到定直线 ｘ ＝－４的距离相等，符合抛物线的定义，故（Ｄ）正确． １０．抛物线ｘ２ ＝４ｙ的准线方程为ｙ＝－１，故（Ａ）错误； 由｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝４，得ｙ１＋１＋ｙ２＋１＝４， 则ｙ１＋ｙ２ ＝２，所以点Ｐ的纵坐标ｙＰ ＝ ｙ１＋ｙ２ ２ ＝１， 即为点Ｐ到ｘ轴的距离为１，故（Ｂ）正确； 因为直线ｌ交抛物线于Ａ，Ｂ两点，显然ｌ的斜率存在， 设ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，与ｙ＝ １４ｘ ２联立消去ｙ， 整理得ｘ２－４ｋｘ－４ｍ＝０， 所以ｘ１ｘ２ ＝－４ｍ，所以ｙ１ｙ２ ＝ ｘ２１ ４ × ｘ２２ ４ ＝ （ｘ１ｘ２）２ １６ ＝ｍ ２． 若直线ＡＢ经过焦点Ｆ，则ｍ＝１，ｙ１ｙ２ ＝１，故（Ｃ）正确； 若ｙ１ｙ２ ＝１，则ｍ＝±１，当ｍ＝１时，直线ＡＢ过焦点Ｆ； 当ｍ＝－１时，直线ＡＢ过点（０，－１），故（Ｄ）错误． 故选：（Ｂ）（Ｃ）． １１．截圆锥的平面平行于母线ＰＡ且过母线ＰＢ的中点 Ｍ，故 Ｏ也在截面上，同时根据对称性可知抛物线的对称轴为ＯＭ，焦点 在ＯＭ上，故（Ａ），（Ｂ）正确． 由题可得圆锥的母线ＰＡ＝ＰＢ＝ ４２＋４槡 ２ ＝ 槡４２，ＡＢ＝８， 所以ＡＢ２ ＝ＰＡ２＋ＰＢ２，所以ＰＢ⊥ＰＡ． 如图２，连接ＯＭ，在△ＰＡＢ中，Ｏ为ＡＢ的中点，Ｍ是ＰＢ中点， 所以ＯＭ为中位线，所以ＰＡ∥ＯＭ，ＰＢ⊥ＯＭ， 所以ＯＭ＝ １２ＰＡ＝ 槡２２． 设平面α交底面圆于Ｃ，Ｄ，则ＣＤ＝ＡＢ＝８． 以Ｍ为原点，ＭＯ为ｘ轴建立坐标系如图３所示， 则Ｏ（槡２２，０），Ｄ（槡２２，４）．可设抛物线的方程为ｙ２ ＝２ｐｘ， 把Ｄ（槡２２，４）代入抛物线方程可得：槡４２＝２ｐ， 所以抛物线为：ｙ２ ＝ 槡４２ｘ，焦点Ｆ（槡２，０），故（Ｃ）错误， 所以焦点到准线的距离为 槡２２，（Ｄ）正确．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．８０；　１３．ｘ＝－１２；　１４．ｙ＝±（ｘ－１）． 提示： １２．以抛物线最高点为坐标原 点，平行于地面为 ｘ轴，建立平面直 角坐标系，如图４， 设抛物线方程为ｘ２ ＝－２ｐｙ， 由题意得Ａ（８０，－４０），将其代 入抛物线方程得６４００＝８０ｐ， 解得ｐ＝８０，故安全抛物线的焦 点到其准线的距离为８０米． １３．不妨设点Ｄ在第一象限，则点Ｅ在第四象限， 联立 ｘ＝２， ｙ２ ＝２{ ｐｘ可得 ｘ＝２， ｙ＝±２槡ｐ { ， 则点 Ｄ（２，２槡ｐ），Ｅ（２， －２槡ｐ），所以 →ＯＤ·→  ＯＥ＝４－４ｐ＝０，解得ｐ＝１， 因此Ｃ的准线方程为ｘ＝－ ｐ２ ＝－ １ ２． １４．由｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ ｐ ２ ＝８，结合定义知ＡＢ的中点的横 坐标为３，设直线ｌ：ｙ＝ｋ（ｘ－１），与ｙ２＝４ｘ，联立，得ｋ２ｘ２－（２ｋ２ ＋４）ｘ＋ｋ２＝０，所以ｘ１＋ｘ２＝ ２ｋ２＋４ ｋ２ ＝６，得ｋ＝±１，故直线ｌ 的方程为：ｙ＝±（ｘ－１）． 四、解答题 １５．解：由题意设抛物线的方程为ｘ２＝－２ｐｙ（ｐ＞０）， 则其准线方程为ｙ＝ ｐ２． 由题可得 ｐ ２ ＋４＝６，解得ｐ＝４． 所以抛物线的方程为ｘ２ ＝－８ｙ． 又因为点Ａ（ｍ，－４）在抛物线上， 所以ｍ２ ＝３２，即ｍ＝± 槡４２． 所以点Ａ的坐标为（± 槡４２，－４）． １６．解：由抛物线的方程可知其准线为ｘ＝１． 设Ｐ（ｘ，ｙ），因为点Ｐ为抛物线上的动点，Ｆ为焦点， 所以｜ＰＦ｜等于点Ｐ到准线的距离． 所以｜ＰＡ｜＋｜ＰＦ｜的最小值是点Ａ到准线ｘ＝１的距离． 此时点Ｐ的纵坐标为ｙ＝１， 代入抛物线ｙ２ ＝－４ｘ，解得ｘ＝－１４． 所以点Ｐ的坐标为 －１４，( )１． １７．解：（１）由题意知：抛物线Ｃ过点（２５０，１５６２５）， 设抛物线Ｃ：ｘ２ ＝２ｐｙ（ｐ＞０），２５０２ ＝２×１５６２５ｐ， 解得ｐ＝２００，所以抛物线Ｃ的方程为ｘ２ ＝４００ｙ． （２）由题意知：弦ＰＱ为抛物线Ｃ的焦点弦， 所以当ＰＱ为通径时，从入射点Ｐ到反射点Ｑ的路程最短， 所以｜ＰＱ｜ｍｉｎ＝２ｐ＝４００， 所以 (Ｐ ±ｐ，ｐ )２ ，即Ｐ（±２００，１００）． １８．解：（１）由点Ｐ（ｘ０，槡２ｐ）在抛物线Ｃ上， 得（槡２ｐ）２ ＝２ｐｘ０，解得ｘ０ ＝ｐ， 由抛物线定义得，｜ＰＦ｜＝ｘ０＋ ｐ ２ ＝ ３ｐ ２ ＝３，解得ｐ＝２， 故抛物线Ｃ的方程为ｙ２ ＝４ｘ． （２）设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋１， 联立 ｙ２ ＝４ｘ， ｘ＝ｍｙ＋１{ ，消去ｘ，得ｙ２－４ｍｙ－４＝０， 故ｙ１＋ｙ２ ＝４ｍ，ｙ１ｙ２ ＝－４， 所以ｘ１ｘ２ ＝ ｙ２１ ４ × ｙ２２ ４ ＝ ｙ２１ｙ２２ １６ ＝１，ｘ１＋ｘ２ ＝（ｍｙ１＋１）＋ （ｍｙ２＋１）＝ｍ（ｙ１＋ｙ２）＋２＝４ｍ２＋２， 则→ＯＡ·→  ＯＢ＝－（ｘ１＋ｘ２）＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２ ＝－３， 即４ｍ２＋２＝３，解得ｍ＝±１２， 所以所求直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－２或ｙ＝２－２ｘ． １９．解：（１）以抛物线的顶点为 坐标原点，对称轴为ｙ轴，建立如图５ 所示的平面直角坐标系， 依题意可得Ａ (的坐标为 ９２，)４ ， 设抛物线的方程为ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞ ０），则８１４ ＝８ｐ，解得ｐ＝ ８１ ３２， 故该抛物线的标准方程为ｘ２ ＝８１１６ｙ， 焦点到准线的距离为ｐ＝８１３２ｃｍ． （２）设小球大圆圆周的方程为ｘ２＋（ｙ－ｒ）２ ＝ｒ２（ｒ＞０）， 联立方程组 ｘ２＋（ｙ－ｒ）２ ＝ｒ２， ｘ２ ＝８１１６ｙ { ， 解得ｙ＝０或ｙ＝２ｒ－８１１６． 要使小球能触及杯盏的底部（顶点）， 则小球与杯子有且只有一个交点，即抛物线的顶点， 则ｙ＝２ｒ－８１１６＝０或ｙ＝２ｒ－ ８１ １６无解． 又因为抛物线不可能在ｘ轴下方，所以ｙ＝２ｒ－８１１６＜０， 综上２ｒ－８１１６≤０，解得ｒ≤ ８１ ３２， 所以ｒ的最大值为８１３２． 第１１期２版 专项小练一 １．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｂ．　４．ｙ２＝１６ｘ或ｘ２＝－１２ｙ；　５．ｘ２＝１６ｙ． ６．解：（１）设抛物线Ｃ的标准方程为ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）． 因为点Ａ（２，２）在抛物线Ｃ上，所以ｐ＝１． 因此，抛物线Ｃ的标准方程是ｙ２ ＝２ｘ． （２）由（１）可得焦点Ｆ的坐标是 １ ２，( )０， 又直线ＯＡ的斜率为 ２２ ＝１， ! ! ! " !"#$ !"#$ !"#$%&'()*+,-./012!3+ "#$% 45"6$3&'(7*+,-.8012&3+ "#$% 4 ! " # $ % & ! ! " % $ & ! ! !" # $ " & ! ! ! " % " $ & " ' ( $ ) % ! # " # * + & ! $ ( $ ! # 书 一、求轨迹方程 例１已知Ｍ（－２，０）和Ｎ（２，０）是平面上的两点，动 点Ｐ满足：｜｜ＰＭ｜－｜ＰＮ｜｜＝２．求点Ｐ的轨迹方程． 分析：根据题设动点Ｐ满足：｜｜ＰＭ｜－｜ＰＮ｜｜＝２， 联想到双曲线的定义，不难推出点Ｐ的轨迹为双曲线． 解：由双曲线的定义，点Ｐ的轨迹是以Ｍ，Ｎ为焦点， 实轴长２ａ＝２的双曲线． 设双曲线方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 因为半焦距ｃ＝２，实半轴ａ＝１，从而虚半轴ｂ＝槡３． 所以双曲线的方程为ｘ２－ｙ ２ ３ ＝１，即点Ｐ的轨迹方 程为ｘ２－ｙ ２ ３ ＝１． 点评：本题考查轨迹方程的求法，解题的关键是灵 活掌握双曲线的定义及其标准方程的求法． 二、求最值 例２设点Ｐ是双曲线ｘ ２ ５－ ｙ２ ４ ＝１右支上的任意一 点，Ｆ１，Ｆ２分别是其左、右焦点，若Ａ（５，２）是平面内一定 点，求｜ＰＦ２｜＋｜ＰＡ｜的最小值． 分析：由双曲线的定义，将 ｜ＰＦ２｜＋｜ＰＡ｜转化为 ｜ＰＦ１｜＋｜ＰＡ｜－２ａ是解题的关键． 解：如右图，由双曲线的定义可知 ｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ＝２槡５， 所以｜ＰＦ２｜＝｜ＰＦ１｜－２槡５， 故｜ＰＦ２｜＋｜ＰＡ｜＝｜ＰＦ１｜＋｜ＰＡ｜－２槡５． 因为｜ＰＦ１｜＋｜ＰＡ｜≥｜ＡＦ１｜＝２槡１７，所以当Ａ，Ｐ， Ｆ１三点共线时，｜ＰＦ２｜＋｜ＰＡ｜取得最小值２槡１７－２槡５． 点评：本题利用双曲线的定义，将问题转化为求双 曲线右支上一点Ｐ与Ｆ１，Ａ两点的距离之和最小的问题， 从而使问题简捷、巧妙地获解． 书 如果曲线中某些量不依赖于变量而存在，则称为定 值，探讨定值的问题可以为解答题，也可以为证明题．求 定值的基本方法是：先将变量用参数表示，然后计算出 所求结果与该参数无关；也可将变量置于特殊状态下， 探求出定值，然后再予以证明，解析几何中的定值问题， 讨论的立足点是解析几何的知识，工具是代数、三角等 知识．定值问题同证明题类似，在求定值之前已知道定 值结果（题中未告知，可采用特殊值处理），首先要大胆 设参，运算到最后，必定会消去参数，出现定值． 一、设参、消参 例１已知双曲线的中心在坐标原点，坐标轴为对称 轴，一条渐近线方程为ｙ＝ ４３ｘ，右焦点Ｆ（５，０），双曲线 的实轴为Ａ１Ａ２，Ｐ为双曲线上一点（不同于Ａ１，Ａ２两点）， 直线Ａ１Ｐ，Ａ２Ｐ分别与直线ｌ：ｘ＝ ９ ５交于Ｍ，Ｎ两点． （１）求双曲线的方程； （２）求证：→ＦＭ·→ＦＮ为定值． 解析：（１）依题意可设双曲线方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１， 则 ｂ ａ ＝ ４ ３， ａ２＋ｂ２ ＝２５ { ， 解得 ａ＝３， ｂ＝４{ ， 所以所求双曲线的方程为 ｘ２ ９－ ｙ２ １６＝１． （２）由题意，Ａ１（－３，０），Ａ２（３，０），Ｆ（５，０），设 Ｐ（ｘ， ｙ），Ｍ ９ ５，ｙ( )０ ， 则Ａ１ → Ｐ＝（ｘ＋３，ｙ），Ａ１→Ｍ ＝ ２４５，ｙ( )０ ， 因为Ａ１，Ｐ，Ｍ三点共线，所以（ｘ＋３）ｙ０－ ２４ ５ｙ＝０， 解得ｙ０ ＝ ２４ｙ ５（ｘ＋３），即Ｍ ９ ５， ２４ｙ ５（ｘ＋３( )）， 同理得Ｎ ９ ５，－ ６ｙ ５（ｘ－３( )）， 从而有 →ＦＭ ＝ －１６５， ２４ｙ ５（ｘ＋３( )）， →ＦＮ＝ －１６５，－ ６ｙ ５（ｘ－３( )）， 于是 →ＦＭ·→ＦＮ＝２５６２５－ １４４ ２５· ｙ２ ｘ２－９ ， 而 ｘ２ ９－ ｙ２ １６＝１，即 ｙ２ ｘ２－９ ＝１６９， 所以 →ＦＭ·→ＦＮ＝２５６２５－ １４４ ２５· １６ ９ ＝０， 即 →ＦＭ·→ＦＮ为定值． 点评：上述解法先设出点 Ｐ的坐标，再利用几何关 系求出Ｍ，Ｎ两点坐标，从而借助向量运算得到 →ＦＭ·→ＦＮ ＝０，整个过程体现了设参、消参的思想． 二、由“变”到“定” 例２如下图，从等轴双曲线 ｘ２－ｙ２＝ａ２上任一点Ｐ分别作两 条渐近线的平行线，得矩形 ＰＱＯＲ，求证：矩形面积为定值． 证明：由题意知两条渐近线 的方程为ｘ±ｙ＝０， 设Ｐ（ｘ１，ｙ１）是双曲线上任意一点，则ｘ ２ １－ｙ ２ １ ＝ａ ２， 又｜ＰＱ｜＝１ 槡２ ｜ｘ１－ｙ１｜，｜ＰＲ｜＝ １ 槡２ ｜ｘ１＋ｙ１｜， 故Ｓ矩形ＰＱＯＲ ＝｜ＰＱ｜·｜ＰＲ｜＝ １ ２｜ｘ ２ １－ｙ ２ １｜ ＝ １２ａ ２（定值）． 点评：证定值问题， (往往是先由特例找出定值 本例 若Ｐ为双曲线一顶点，易得定值 １２ａ )２ ，然后进行一般推 证．这里，利用曲线上的点的坐标适合方程是证明过程 中的重要环节，它是由“变”到“定”转化的关键． 书 １８．（１７分）（２０２４四川雅安阶段练习）已知曲线Ｃ 的方程为｜ （ｘ－槡１０） ２＋ｙ槡 ２ － （ｘ＋槡１０） ２＋ｙ槡 ２｜ ＝２． （１）说明Ｃ为何种圆锥曲线，并求Ｃ的标准方程； （２）已知直线ｙ＝ｘ－４与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，与Ｃ的 一条渐近线交于Ｄ点，且Ｄ在第四象限，Ｏ为坐标原点， 求 →ＯＡ·→ →ＯＤ＋ＯＢ·→ＯＤ． １９．（１７分）（２０２４广东汕头一模）已知点 Ｍ（ｘ０， ｙ０）为双曲线 ｘ２ ２－ｙ ２ ＝１上的动点． （１）判断直线 ｘ０ｘ ２ －ｙ０ｙ＝１与双曲线的公共点个 数，并说明理由； （２）如果把（１）的结论推广到一般双曲线，你能得 到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明； （３）将双曲线Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的两 条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝ ０，请利用该方程证明如下命题：若Ｔ（ｍ，ｎ）为双曲线Ｃ 上一点，直线ｌ：ｍｘ ａ２ －ｎｙ ｂ２ ＝１与Ｃ的两条渐近线分别交 于点Ｐ，Ｑ，则Ｔ为线段ＰＱ的中点． 书 方法一、直接算出ａ，ｃ，求解ｅ 已知标准方程或ａ，ｃ易求时，可利用离心率公式 ｅ ＝ ｃａ来求解． 例１已知点（２，３）在双曲线Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０， ｂ＞０）上，Ｃ的焦距为４，则它的离心率为 ． 分析：利用ｃ＝２，点（２，３）在双曲线上，求出 ａ，ｂ， 再求离心率． 解：由题知 ４ ａ２ －９ ｂ２ ＝１，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝４． 所以ａ＝１，ｂ＝槡３，所以ｅ＝２．故填２． 方法二、寻找ａ，ｃ的关系式，求解ｅ 例２已知Ａ，Ｂ为双曲线Ｅ的左、右顶点，点Ｍ在Ｅ 上，△ＡＢＭ为等腰三角形，且顶角为１２０°，则Ｅ的离心率 为 （　　） （Ａ）槡５　　　　　（Ｂ）２　　 （Ｃ）槡３　　 （Ｄ）槡２ 解：设双曲线的方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 如图１所示，｜ＡＢ｜＝｜ＢＭ｜，∠ＡＢＭ＝１２０°，过点Ｍ作 ＭＮ⊥ ｘ轴，垂足为 Ｎ．在 Ｒｔ△ＢＭＮ中，｜ＢＮ｜＝ａ，｜ＭＮ｜ ＝槡３ａ， 故点 Ｍ的坐标为 Ｍ（２ａ， 槡３ａ）， 代入双曲线方程得ａ２ ＝ｂ２ ＝ｃ２－ａ２， 即ｃ２ ＝２ａ２， 所以ｅ＝槡２，故选（Ｄ）． 方法三、构造ａ，ｃ的齐次式，求解ｅ 根据题设条件借助ａ，ｂ，ｃ之间的关系，找出 ａ，ｃ的 关系（特别是二次齐次式），进而得到关于 ｅ的方程，从 而解方程得出离心率ｅ． 例３如图 ２，Ａ，Ｆ分别是双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左顶 点、右焦点，过Ｆ的直线ｌ与Ｃ的一条 渐近线垂直且与另一条渐近线和ｙ轴 分别交于Ｐ，Ｑ两点．若ＡＰ⊥ＡＱ，则Ｃ 的离心率是 （　　） （Ａ）槡２　　　　　（Ｂ）槡３　 （Ｃ）１＋槡１３４ 　 （Ｄ） １＋槡１７ ４ 解：由题意，得Ａ（－ａ，０），Ｆ（ｃ，０），双曲线的渐近线 方程为ｙ＝±ｂａｘ．由条件设直线ｌ的方程为ｙ＝－ ａ ｂ（ｘ －ｃ），则Ｑ点坐标为 ０，ａｃ( )ｂ ． 联立 ｙ＝－ｂａｘ， ｙ＝－ａｂ（ｘ－ｃ { ） 得Ｐ (点坐标为 ａ２ｃａ２－ｂ２，－ ａｂｃａ２－ｂ )２ ． 因为ＡＰ⊥ＡＱ，所以ｋＡＰ·ｋＡＱ ＝ － ａｂｃ ａ２－ｂ２ ａ２ｃ ａ２－ｂ２ ＋ａ · ａｃ ｂ ａ ＝ －１，化简整理，得ｃ２＋ｂ２－ａｃ－ａ２ ＝０，即２ｃ２－２ａ２－ ａｃ＝０，即２ｅ２－ｅ－２＝０， 解得ｅ＝１＋槡１７４ 或 １－槡１７ ４ （舍），故选（Ｄ）． 方法四、变用公式，整体求出ｅ 例４设双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的渐近线 与曲线ｙ＝ｘ２＋１相切，则该双曲线的离心率等于 （　　） （Ａ）槡３　　（Ｂ）２　　（Ｃ）槡５　　（Ｄ）槡６ 分析：先设出双曲线的渐近线方程，由条件知渐近 线与曲线相切，由此可得渐近线的斜率，再转化为求离 心率． 解：由题意知渐近线斜率存在，设渐近线的斜率为ｋ， 则渐近线方程为ｙ＝ｋｘ， 代入曲线方程ｙ＝ｘ２＋１，消去ｙ得ｘ２－ｋｘ＋１＝０， 由于相切，则有Δ＝ｋ２－４＝０，即ｋ２ ＝４． 又双曲线的离心率 ｅ＝ ｃａ ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ａ ＝ １＋ｂ ２ ａ槡 ２ ＝ １＋ｋ槡 ２，则ｅ＝ ｃａ ＝ １＋槡 ４＝槡５． 书 一、双曲线定义———与椭圆相伴相离 双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它们之间 的和谐美与对立美闪耀在图形之上，渗透于方程之中． 从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三： １．双曲线要求动点到两定点距离之差的绝对值为 常数（小于两定点间的距离），而椭圆则要求动点到两定 点距离之和为常数（大于两定点间的距离）； ２．主要参数ａ，ｂ，ｃ之间的关系，双曲线要求ｃ２ ＝ａ２ ＋ｂ２，其中 ａ，ｂ，ｃ分别表示双曲线的实、虚半轴和半焦 距．而椭圆则要求ａ２＝ｂ２＋ｃ２，其中ａ，ｂ，ｃ分别表示椭圆 的长、短半轴和半焦距． 例１椭圆ｘ ２ ｍ ＋ ｙ２ ｎ ＝１（ｍ＞ｎ＞０）与双曲线 ｘ２ ａ－ ｙ２ ｂ ＝１（ａ＞ｂ＞０）有相同的焦点Ｆ１，Ｆ２．Ｐ是两条曲线 的一个交点，则｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜的值是 （　　） （Ａ）ｍ－ａ　　　　　　（Ｂ）１２（ｍ－ａ） （Ｃ）ｍ２－ａ２ （Ｄ）槡ｍ－槡ａ 解析：因为椭圆的长半轴为槡ｍ， 所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２槡ｍ， ① 因为双曲线的实半轴为槡ａ， 故｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝±２槡ａ， ② 由①２－②２得４｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝４（ｍ－ａ）， 即｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ｍ－ａ，故选（Ａ）． 二、渐近线———双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有．双曲线的 许多特性围绕着渐近线而展开． 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不与 其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线 的范围，而且由于处理直线问题比处理曲线问题容易得 多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中． 例２已知双曲线的一条渐近线方程为ｘ－２ｙ＝０，且 过点Ｐ（４，３），求双曲线的标准方程． 分析：已知渐近线方程，通过分类讨论，分别研究双 曲线的焦点所在的轴，根据所过点的条件加以确定相应 的双曲线方程． 解法一：当双曲线的焦点在ｘ轴上时，渐近线方程为 ｙ＝±ｂａｘ，依题意 ｂ ａ ＝ １ ２，得ａ＝２ｂ， 则对应的双曲线方程为 ｘ２ ４ｂ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１， 将点Ｐ（４，３）代入，得ｂ２ ＝－５，不合题意，舍去； 当双曲线的焦点在ｙ轴上时，渐近线方程为ｙ＝±ａｂｘ， 依题意 ａ ｂ ＝ １ ２，得ｂ＝２ａ， 则对应的双曲线方程为 ｙ２ ａ２ －ｘ ２ ４ａ２ ＝１， 将点Ｐ（４，３）代入，得ａ２ ＝５，即ｙ ２ ５－ ｘ２ ２０＝１． 所以所求的双曲线的标准方程为 ｙ２ ５－ ｘ２ ２０＝１． 分析：根据渐近线方程设出双曲线方程，再由点 Ｐ 在双曲线上，用待定系数法求出该双曲线的方程． 解法二：由于双曲线的一条渐近线方程为ｘ－２ｙ＝０， 即 ｘ ２－ｙ＝０， 设双曲线的方程为 ｘ２ ４－ｙ ２ ＝λ（λ≠０）， 由于点Ｐ（４，３）在双曲线上，则１６４－９＝λ， 解得λ＝－５， 所以所求的双曲线的标准方程为 ｘ２ ４－ｙ ２ ＝－５， 即 ｙ２ ５－ ｘ２ ２０＝１． 三、共轭双曲线———虚、实移位的孪生兄弟 将双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１的实、虚轴互换，所得双曲线 方程为 ｙ２ ｂ２ －ｘ ２ ａ２ ＝１．这两个双曲线就是互相共轭的双曲 线．它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们有共同 的渐近线，但渐近线所界定的范围不一样． 例３两共轭双曲线的离心率分别为ｅ１，ｅ２，证明： １ ｅ２１ ＋１ ｅ２２ ＝１． 证明：设双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１的离心率ｅ１ ＝ ｃ ａ， 所以ｅ２１ ＝ ｃ２ ａ２ ＝ａ ２＋ｂ２ ａ２ ． 设双曲线 ｙ２ ｂ２ －ｘ ２ ａ２ ＝１的离心率ｅ２ ＝ ｃ ｂ， 所以ｅ２２ ＝ ｃ２ ｂ２ ＝ａ ２＋ｂ２ ｂ２ ． 所以 １ ｅ２１ ＋１ ｅ２２ ＝ ａ ２ ａ２＋ｂ２ ＋ ｂ ２ ａ２＋ｂ２ ＝１． !"#$ %&' ()*+,-./ ! " ! #"$ %! !!"!" #"#$&%'#( ! !" # $% ! &' ( ) &$ &# ! " # $ % & #' #' $ $ ' # ! &# &' &$ ( ! ! ! " # $ ) % * & ! # *+, "-#./01 "2345#6"78 45$ !"#$$%& '( )*+,-./0 1/23456789 :;<=>?@AB ( :6'C9 !"#D; <EFGHIJKL M) N<EFGOPQ ;RST) !"#UVWX( YGZ[PQT) GZ \\;](^Q^6T9 _`abcde(^[Q NRT(1Qf;RT( `[ghiLjLkl 6T) mn9 !"#Uo pq$$&') rst =>uv6wx.y z9;{|}~€) ‚ƒ)e„…†) !" #‡;‡ˆ9 ‰ŠK‹ Œ6z9 Žv‘ %’|}~“”) =>?@6•–W ‹—˜™59 šD›œ CžlŸ[ ) !" #¡¢£¤ ¥¦§¨ a‚i;RT) ‹— ˜™5©ª[ « ¬­ W9 `®¯Kfq;{ °±9 `DHI[²³ %´œK;{|}~) !"#[µ¶§¨ k·la[¸9¹º9; RTO»¼½¾¿À 5ÁÂÁ Ä|}~» ¼ÅƁÀ5SÂÃ)‹ —˜™5e lŸÇÈ ÀɌmÊËÌ6Í ) *+ 9(: , ) *+ ;<= , % - .+ >?: , ) *+ @ A , ) *+ B C -./01+ > D 23/01+ >EF -4506+ G H -4578+ IJK <LM N O PQR S T UVW ;XY SZE [ J \]R ^_( N`a b`c ;(d eC/ fgO h i jkl <mn 91-.+ <LM 91:;+ jkl <=-.+ ;op >?-.+ qrs @ABC+ tuv !"wxyz{| !"wy}~€‚ƒ„ !"wy…†‡ˆ7‰Š‹{Œ Ž‘’“. ”•9(: –—˜™š›“.œ•*+!$,"-"-.ž/1 Ÿ ¡•#!,!01 !"#$%&'()*+,'-. ž¢£¤¥¦+§1 "¨©ª©. • ) "«b™“. 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"ÝÞ¯°±•"'2!$2#-!#22 "¨âã'ä偂æç7‰Š‹žèé·êë¹ìíîïðñò !! á1óæ-ô7æõö÷øù-Ç6¨·Á¯³Èúû ! ! !"#$% ¾/züýþÿ!"#™$ž%wy.&' ! § ž()' ' .& ! *+ ,-. ! & + , - $ ! !ä >/0 ' * ! * # $ " ( ( 书 专项小练一 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ． ４．（ 槡± ｎ－ｍ，０）；　５． ｘ２ ９ － ｙ２ １６＝１（ｘ≥３）． ６．解：由条件知椭圆的焦点为（０，±３）， 设双曲线的标准方程为 ｙ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）， 则ａ２＋ｂ２ ＝９． ① 将ｙ＝４代入椭圆方程，得ｘ２ ＝１５， 则 １６ ａ２ －１５ ｂ２ ＝１． ② 由①②解得 ａ２ ＝４， ｂ２ ＝５{ ，或 ａ２ ＝３６， ｂ２ ＝－{ ２７（舍去）． 故双曲线的标准方程为 ｙ２ ４ － ｘ２ ５ ＝１． 专项小练二 １．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ａ．　４．１２；　５．１＋槡２． ６．解：由于椭圆 ｙ ２ １６９＋ ｘ２ １４４＝１的焦点为（０，－５），（０，５）， 焦点在ｙ轴上， 故设双曲线的方程为 ｙ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 因为双曲线过点（０，２）， 所以将该点代入双曲线方程得ａ２ ＝４， 故ｃ＝５，ａ＝２．于是ｂ２ ＝ｃ２－ａ２ ＝２１． 所以双曲线的标准方程是 ｙ２ ４－ ｘ２ ２１＝１，双曲线的实轴长为 ４，焦距为１０，离心率ｅ＝ ｃａ ＝ ５ ２，渐近线方程为ｙ＝± 槡２２１ ２１ｘ． 一、单项选择题　１～４　ＤＢＢＣ　５～８　ＢＡＡＡ 二、多项选择题　９．ＢＣ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＤ． 三、填空题 １２．（－∞，０）；　１３．－２，ｙ＝±槡２ｘ；　１４．ｘ＝± 槡 ２３ ３． 四、解答题 １５．解：可设双曲线的方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 由椭圆方程知椭圆的半焦距是４，离心率为 ４５， 则可得双曲线的焦点坐标是（－４，０），（４，０），即ｃ＝４． 双曲线的离心率ｅ＝１４５ － ４ ５ ＝２． 由ｅ＝ ｃａ ＝２，得ａ＝２，从而ｂ ２ ＝４２－２２ ＝１２． 所以双曲线的方程为 ｘ２ ４ － ｙ２ １２＝１． １６．解：当双曲线的焦点在ｘ轴上时， 设双曲线的方程为ｍｘ２－ｎｙ２ ＝１（ｍ＞０，ｎ＞０）， 则 ｍ（－ 槡２７）２－ｎ（－３）２ ＝１， ｍ·７２－ｎ（槡６２）２ ＝１ { ， 即 ２８ｍ－９ｎ＝１， ４９ｍ－７２ｎ＝１{ ． 解得 ｍ＝ １２５， ｎ＝ １７５ { ．所以双曲线的方程为ｘ２２５－ｙ２７５＝１． 当双曲线的焦点在ｙ轴上时， 设双曲线的方程为ｐｙ２－ｑｘ２ ＝１（ｐ＞０，ｑ＞０）， 则 ｐ（－３）２－ｑ（－ 槡２７）２ ＝１， ｐ（槡６２）２－ｑ·７２ ＝１ { ， 即 ９ｐ－２８ｑ＝１， ７２ｐ－４９ｑ＝１{ ． 解得 ｐ＝－１７５， ｑ＝－１{ ２５（舍去）． 综上所述，所求双曲线的方程为 ｘ２ ２５－ ｙ２ ７５＝１． １７．解：（１）设点Ｃ（ｘ，ｙ），则｜｜ＣＡ｜－｜ＣＢ｜｜＝２， 所以Ｃ的轨迹是双曲线且焦点在ｘ轴上， 由２ａ＝２，２ｃ＝｜ＡＢ｜＝ 槡２３，得ａ２ ＝１，ｂ２ ＝２， 故点Ｃ的轨迹方程是ｘ２－ｙ ２ ２ ＝１． （２）由已知条件得直线方程为ｙ＝ｘ－２， 与ｘ２－ｙ ２ ２ ＝１联立，消去ｙ得ｘ ２＋４ｘ－６＝０， 因为Δ＞０，所以直线与双曲线有两个交点． 设Ｄ（ｘ１，ｙ１），Ｅ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２ ＝－４，ｘ１ｘ２ ＝－６， 所以｜ＤＥ｜＝ １＋ｋ槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜ ＝槡２ （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝ 槡４５． １８．（１）解：由条件知ｅ２ ＝１＋ｂ ２ ａ２ ＝２，所以 ｂａ ＝１． 可设双曲线的方程为ｘ２－ｙ２ ＝λ（λ∈Ｒ且λ≠０）， 因为点（４，－槡１０）在双曲线上，所以λ＝４２－１０＝６． 因此所求双曲线的方程为ｘ２－ｙ２ ＝６． （２）证明：ｋｘ－ｙ－３ｋ＋ｍ＝０即为ｋ（ｘ－３）＋（ｍ－ｙ）＝０， 其过定点Ｍ（３，ｍ）．又Ｍ在双曲线上， 所以３２－ｍ２ ＝６，解得ｍ＝±槡３，即Ｍ（３，±槡３）． 又双曲线的焦点为Ｆ１（－ 槡２３，０），Ｆ２（槡２３，０）， 当Ｍ的坐标为 （３，槡３）时， ｋＦ１Ｍ·ｋＦ２Ｍ ＝ 槡３ ３＋ 槡２３ × 槡３ ３－ 槡２３ ＝－１； 当Ｍ的坐标为（３，－槡３）时，ｋＦ１Ｍ·ｋＦ２Ｍ ＝－１． 所以Ｆ１Ｍ⊥Ｆ２Ｍ． １９．解：（１）方程ｍ（ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋１）＝（３ｘ＋４ｙ＋１）２， 即ｍ［（ｘ－１）２＋ｙ２］＝（３ｘ＋４ｙ＋１）２， 显然ｍ＞０，则槡ｍ （ｘ－１）２＋ｙ槡 ２ ＝｜３ｘ＋４ｙ＋１｜， 即 （ｘ－１）２＋ｙ槡 ２ ｜３ｘ＋４ｙ＋１｜ ３２＋４槡 ２ ＝ ３ ２＋４槡 ２ 槡ｍ ＝ ５ 槡ｍ ， 可得动点（ｘ，ｙ）到定点（１，０）和定直线３ｘ＋４ｙ＋１＝０的 距离的比为常数 ５ 槡ｍ ， 由双曲线的定义，可得 ５ 槡ｍ ＞１，解得０＜ｍ＜２５， 即ｍ的取值范围为（０，２５）． （２）由ｘ２＋ｙ２＋３ｘ－４ｙ＋２５４ ＝（３ｘ－４ｙ） ２ ( 得 ｘ＋ )３２ ２ ＋（ｙ－２）槡 ２ ＝｜３ｘ－４ｙ｜， (即 ｘ＋ )３２ ２ ＋（ｙ－２）槡 ２ ＝｜３ｘ－４ｙ｜ ３２＋４槡 ２ ×５， 表示动点（ｘ，ｙ） (到定点 －３２， )２ 的距离与到定直线３ｘ－ ４ｙ＝０的距离之比等于５， 所以该圆锥曲线的离心率为５，该曲线为双曲线． 书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２４江苏专题练习）等轴双曲线的渐近线方程 为 （　　） （Ａ）ｙ＝±槡２ｘ （Ｂ）ｙ＝±槡３ｘ （Ｃ）ｙ＝±ｘ （Ｄ）ｙ＝±槡５ｘ ２．（２０２４甘肃武威开学考试）设双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ９ ＝ １（ａ＞０）的渐近线方程为ｘ±２ｙ＝０，则实数ａ的值为 （　　） （Ａ）６ （Ｂ）４ （Ｃ）３ （Ｄ）２ ３．（２０２４全国甲卷理）已知双曲线的两个焦点分别 为（０，４），（０，－４），点（－６，４）在该双曲线上，则该双曲 线的离心率为 （　　） （Ａ）４ （Ｂ）３ （Ｃ）２ （Ｄ）槡２ ４．（２０２４辽宁沈阳期末）若双曲线ｘ ２ ４－ ｙ２ １２＝１上一 点Ｐ到其右焦点的距离是８，则点Ｐ到其左焦点的距离 是 （　　） （Ａ）４ （Ｂ）１０ （Ｃ）２或１０ （Ｄ）４或１２ ５．（２０２４江苏盐城模拟预测）双曲线ｙ ２ ａ－ ｘ２ ２ ＝１的 离心率为３，则复数ｚ＝ａ＋ｉ的模为 （　　） （Ａ）槡１７４ （Ｂ） 槡１７ １６ （Ｃ） 槡１５ ４ （Ｄ） 槡１５ １６ ６．（２０２４天津市静海县第一中学高二期末）已知 Ｆ１，Ｆ２为双曲线 ｘ２ ５－ ｙ２ ４ ＝１的左、右焦点，Ｐ（３，１）为双 曲线内一点，点Ａ在双曲线上，则｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ２｜的最小 值为 （　　） （Ａ）槡３７＋４ （Ｂ）槡３７－４ （Ｃ）槡３７－ 槡２５ （Ｄ）槡３７＋ 槡２５ ７．已知双曲线的一个焦点为Ｆ１（－槡５，０），点Ｐ在该 双曲线上，线段ＰＦ１的中点坐标为（０，２），则该双曲线的 标准方程是 （　　） （Ａ）ｘ ２ ４－ｙ ２ ＝１ （Ｂ）ｘ２－ｙ ２ ４ ＝１ （Ｃ）ｘ ２ ２－ ｙ２ ３ ＝１ （Ｄ） ｘ２ ３－ ｙ２ ２ ＝１ ８．（２０２４山西康杰中学专项练习）如图１为陕西博 物馆收藏的国宝 ——— 唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲 线内收，玲珑娇羡，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之 作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右支与直线ｘ＝０，ｙ＝４，ｙ＝－２ 围成的曲边四边形ＡＢＭＮ绕ｙ旋转一周得到的几何体， 若该金杯主体部分的上口外直径为 槡 １０３ ３ ，下底外直径为 槡２ ３９ ３ ，则下列曲线中与双曲线Ｃ共渐近线的是（　　） （Ａ）ｙ ２ ３－ｘ ２ ＝１ （Ｂ）ｘ ２ ９－ ｙ２ ３ ＝１ （Ｃ）ｙ ２ ４－ｘ ２ ＝１ （Ｄ）ｘ ２ ３－ ｙ２ ６ ＝１ 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８ 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．设Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线Ｃ：ｘ ２－ｙ ２ ｂ＝１的左、右焦 点，过Ｆ２作ｘ轴的垂线与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，若△ＡＢＦ１为 正三角形，则 （　　） （Ａ）ｂ＝２ （Ｂ）Ｃ的焦距为 槡２５ （Ｃ）Ｃ的离心率为槡３ （Ｄ）△ＡＢＦ１的面积为 槡４３ １０．（２０２４内蒙古赤峰期末）若双曲线Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的实轴长为６，焦距为１０，右焦点为Ｆ，则 下列结论正确的是 （　　） （Ａ）Ｃ的渐近线上的点到Ｆ距离的最小值为４ （Ｂ）Ｃ的离心率为 ５４ （Ｃ）Ｃ上的点到Ｆ距离的最小值为２ （Ｄ）Ｃ的通径长为３２３ １１．（２０２４江西景德镇一中期末）已知双曲线Ｃ的标 准方程为ｘ２－ｙ ２ ４ ＝１，则 （　　） （Ａ）双曲线Ｃ的离心率等于半焦距 （Ｂ）双曲线ｙ２－ｘ ２ ４ ＝１与双曲线Ｃ有相同的渐近线 （Ｃ）双曲线Ｃ的一条渐近线被圆（ｘ－１）２＋ｙ２ ＝１ 截得的弦长为 槡 ４５ ５ （Ｄ）直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与双曲线Ｃ的公共点个数只可 能为０，１，２ 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．已知双曲线方程为 ｘ２－８ｙ２ ＝３２，则实轴长为 ，虚轴长为 ． １３．（２０２４江苏期中）公元前６世纪，古希腊的毕达 哥拉斯学派研究发现了黄金分割数槡 ５－１(２ 槡５－１２ ≈ )０６１８ ，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲 线称为黄金双曲线．若双曲线ｘ ２ ａ－ｙ ２ ＝１是黄金双曲 线，则ａ＝ ． １４．已知双曲线ｘ２－ｙ ２ ３ ＝１的左顶点为Ａ１，右焦点 为Ｆ２，Ｐ为双曲线右支上一点，则 →ＰＡ１·→ＰＦ２的最小值为 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． １５．（１３分）相距２ｋｍ的两个哨所Ａ，Ｂ听到远处传 来的炮弹爆炸声，在Ａ哨所听到爆炸声的时间比在Ｂ哨 所迟４ｓ．已知当时的声速为３４０ｍ／ｓ，试判断爆炸点在什 么样的曲线上，并求出曲线的方程． １６．（１５分）（２０２４重庆沙坪坝期中）已知双曲线的 方程是 ｘ２ ９－ ｙ２ ４ ＝１． （１）求双曲线的渐近线方程； （２）设Ｆ１和Ｆ２是双曲线的左、右焦点，点Ｐ在双曲 线右支上，且｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝１６，求ＰＦ２的大小． １７．（１５分）（２０２４河北邢台阶段测试）在①ｍ＞０， 且Ｃ的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为３＋ 槡３，②Ｃ的焦距为６，③Ｃ上任意一点到两焦点的距离之 差的绝对值为４，这三个条件中任选一个，补充在下面的 横线上，并求解问题． 问题：已知双曲线Ｃ：ｘ ２ ｍ－ ｙ２ ２ｍ＝１， ，求Ｃ的 方程                                                                                                                                                             ． 书 １．（２０２４河北唐山一中月考）已知平面内两定点 Ｆ１（－２，０），Ｆ２（２，０），下列条件中满足动点 Ｐ的轨迹为 双曲线的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝±３ （Ｂ）｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝±４ （Ｃ）｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝±５ （Ｄ）｜ＰＦ１｜ ２－｜ＰＦ１｜ ２ ＝±４ ２．（多选）（２０２４广东广州期中）关于曲线 ｘ ２ ５－ｍ＋ ｙ２ ｍ－１＝１，下列叙述正确的是 （　　） （Ａ）当ｍ＝－２时，曲线表示的图形是双曲线 （Ｂ）当ｍ ＝２时，曲线表示的图形是一个焦点在 ｘ轴上的椭圆 （Ｃ）当ｍ＝３时，曲线表示的图形是一个圆 （Ｄ）当ｍ＝４时，曲线表示的图形是一个焦点在 ｙ 轴上的椭圆 ３．（２０２４福建莆田阶段测试）椭圆ｘ ２ ４＋ ｙ２ ａ２ ＝１与双 曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ２ ＝１有相同的焦点，则ａ＝ （　　） （Ａ）－１ （Ｂ）１ （Ｃ）±１ （Ｄ）２ ４．双曲线Ｃ：ｘ ２ ２ －ｙ ２ ＝１的左、右焦点分别为 Ｆ１， Ｆ２，Ｐ是双曲线右支上一点，则 ｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝ ． ５．动点Ｐ与点Ｆ１（０，５），Ｆ２（０，－５）满足｜ＰＦ１｜－ ｜ＰＦ２｜＝６，则点Ｐ的轨迹方程为 ． ６．设双曲线与椭圆ｘ ２ ２７＋ ｙ２ ３６＝１有共同的焦点，且与 椭圆相交，在第一象限的交点Ａ的纵坐标为４，求此双曲 线的方程． １．双曲线ｘ２－２ｙ２ ＝１的离心率是 （　　） （Ａ）３２ （Ｂ） 槡６ ２ （Ｃ）槡３ （Ｄ）３ ２．（２０２４四川绵阳开学考试）已知双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ － ｙ２ ６ ＝１（ａ＞０）的焦距为 槡４３，则Ｃ的渐近线方程是 （　　） （Ａ）ｙ＝±槡７７ｘ （Ｂ）ｙ＝± 槡３ ３ｘ （Ｃ）ｙ＝±ｘ （Ｄ）ｙ＝±槡３ｘ ３．（２０２４四川成都期末）若双曲线的渐近线方程为 ｙ＝±３ｘ，实轴长为２ａ＝２，且焦点在ｘ轴上，则该双曲线 的标准方程为 （　　） （Ａ）ｘ２－ｙ ２ ９ ＝１或 ｙ２ ９－ｘ ２ ＝１ （Ｂ）ｙ ２ ９－ｘ ２ ＝１ （Ｃ）ｘ２－ｙ ２ ９ ＝１ （Ｄ）ｘ ２ ９－ｙ ２ ＝１ ４．双曲线ｙ２－ｘ ２ ４ ＝１的渐近线方程为 ． ５．双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的两条渐近线 互相垂直，则该双曲线的离心率是 ． ６．（２０２４北京海淀校考阶段练习）求与双曲线ｘ ２ ４－ ｙ２ ６ ＝１有相同渐近线，且过点Ｐ（２，３）的双曲线的方程． !"#$%&'()*+,-!. ! /01234567 !"#$%&'()*+ "#$%&$!'%!() !",-%&'()*+ "#$%&$!'%%!$ ! ! 86/9:;<+=>?@ABCDEF.? ! 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