2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（一）(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

1.2　椭圆的简单几何性质

 

第一课时　椭圆的简单几何性质（一）

　　“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现.椭圆有许多几何性质，比如边界（范围）、对称性、特殊点等等.

【问题】　卫星的椭圆轨道中，近地点和远地点与椭圆的哪些几何量有关？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                                　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　椭圆的简单几何性质

提醒：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上；（2）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点；（3）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.

【想一想】

1.能用a，b表示椭圆离心率e吗？

2.椭圆的离心率e越小，椭圆越圆吗？

3.椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？

 

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的长轴长等于a.（　　）

（2）椭圆＋＝1的离心率e＝.（　　）

（3）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个顶点是（－10，0），则焦点坐标为（0，±）.（　　）

2.已知椭圆C：＋＝1，则长轴长为　 　　；焦距为　　　　 .

3.若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为　　　　.

题型一　由标准方程研究几何性质

求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.

尝试解答

通性通法

用标准方程研究几何性质的步骤

（1）将椭圆方程化为标准形式；

（2）确定焦点位置；

（3）求出a，b，c；

（4）写出椭圆的几何性质.

提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍.

　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.

（1）求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；

（2）写出椭圆C2的方程，并研究其性质.

题型二　利用几何性质求标准方程

分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8.

（2）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到椭圆两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，该垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的标准方程.

尝试解答

通性通法

利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

　　利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：

（1）确定焦点位置；

（2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程）；

（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.列方程（组）时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等.

　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）长轴长是10，离心率是；

（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

题型三　与椭圆有关的轨迹问题

已知圆M：（x＋1）2＋y2＝1，圆N：（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程.

尝试解答

通性通法

求椭圆轨迹方程的常用方法