2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（一）(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦椭圆的简单几何性质，通过“天宫一号”椭圆轨道实例导入，引导学生思考近地点、远地点与椭圆几何量的关系，搭建生活情境与数学知识的联系，系统梳理焦点位置、标准方程、范围等核心知识点。 以问题驱动学习，设置“想一想”引导学生探究离心率与a、b的关系，题型分类清晰且总结通性通法，注重数形结合思想，助力学生提升直观想象和数学运算核心素养，自我诊断与随堂检测设计便于自主学习和教学评估。

1.2　椭圆的简单几何性质 课标 要求 1.掌握椭圆的简单几何性质（直观想象）. 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想（数学运算）. 第一课时　椭圆的简单几何性质（一） 　　“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现.椭圆有许多几何性质，比如边界（范围）、对称性、特殊点等等. 【问题】　卫星的椭圆轨道中，近地点和远地点与椭圆的哪些几何量有关？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 　　　　　 　　　　　 范围 　　　　　 　　　　　 顶点 　　　　　 　　　　　 轴长 长轴长＝　　　　，短轴长＝　　　　 焦点 　　　　　 　　　　　 焦距 ｜F1F2｜＝　　　 对称性 对称轴　　　　　　，对称中心　　　　 离心率 e＝　　　　　 提醒：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上；（2）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点；（3）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 【想一想】 1.能用a，b表示椭圆离心率e吗？ 2.椭圆的离心率e越小，椭圆越圆吗？ 3.椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的长轴长等于a.（　　） （2）椭圆＋＝1的离心率e＝.（　　） （3）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个顶点是（－10，0），则焦点坐标为（0，±）.（　　） 2.已知椭圆C：＋＝1，则长轴长为　 　　；焦距为　　　　 . 3.若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为　　　　. 题型一　由标准方程研究几何性质 求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 尝试解答 通性通法 用标准方程研究几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准形式； （2）确定焦点位置； （3）求出a，b，c； （4）写出椭圆的几何性质. 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍. 　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上. （1）求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； （2）写出椭圆C2的方程，并研究其性质. 题型二　利用几何性质求标准方程 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8. （2）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到椭圆两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，该垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的标准方程. 尝试解答 通性通法 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 　　利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： （1）确定焦点位置； （2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程）； （3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.列方程（组）时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等. 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长是10，离心率是； （2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 题型三　与椭圆有关的轨迹问题 已知圆M：（x＋1）2＋y2＝1，圆N：（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程. 尝试解答 通性通法 求椭圆轨迹方程的常用方法 （1）直接法：由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法； （3）代入法（相关点法）；若所求轨迹上的动点P（x，y）与另一个已知曲线C：F（x，y）＝0上的动点Q（x1，y1）存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F（x，y）＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法（相关点法）. 　已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为　　　　. 1.对于椭圆＋＝1，下面说法正确的是（　　） A.长轴长为2 B.短轴长为3 C.离心率为 D.焦距为1 2.已知P是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△PF1F2的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（　　） A.＋y2＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3.若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（　　） A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1或＋＝1 D.以上答案都不对 4.过椭圆＋＝1的焦点的最长弦的长为　　　　，最短弦的长为　　　　. 完成课后作业　第二章　§1　1.2　第一课时 答案 第一课时　椭圆的简单几何性质（一） 【基础落实】 新知初探 知识点 ＋＝1（a＞b＞0）　＋＝1（a＞b＞0）　－a≤x≤a且－b≤y≤b　－b≤x≤b且－a≤y≤a　A1（－a，0），A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b）　A1（0，－a），A2（0，a），B1（－b，0），B2（b，0）　2a　2b　F1（－c，0），F2（c，0）　F1（0，－c），F2（0，c）　2c　x轴和y轴　（0，0）　（0＜e＜1） 想一想 1.提示：能.e＝. 2.提示：越圆. 3.提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.6　2　解析：由椭圆方程知a＝3，c＝，故长轴为6，焦距为2 . 3. 【典例研析】 【例1】　解：将已知椭圆方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝＝4. 因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6， 离心率e＝＝. 焦点坐标分别是F1（－4，0）和F2（4，0）， 顶点坐标分别是A1（－5，0），A2（5，0），B1（0，－3），B2（0，3）. 跟踪训练 解：（1）由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标（6，0），（－6，0），离心率e＝. （2）椭圆C2：＋＝1， 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点（0，10），（0，－10），短轴端点（－8，0），（8，0）； ④焦点：（0，6），（0，－6）； ⑤离心率：e＝. 【例2】　解：（1）由题意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝＝＝， ∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是＋＝1. （2）若焦点在x轴上，则设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），依题意，有解得故b2＝a2－c2＝5－＝，则椭圆的标准方程为＋＝1；若焦点在y轴上，则设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），同理可得a2＝5，b2＝，则椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 跟踪训练 解：（1）设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0）.由已知得2a＝10，a＝5.又∵e＝＝，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. （2）依题意可设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）. 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且｜OF｜＝c，｜A1A2｜＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 【例3】　解：由已知得圆M的圆心为M（－1，0），半径r1＝1；圆N的圆心为N（1，0），半径r2＝3. 设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以｜PM｜＋｜PN｜＝（R＋r1）＋（r2－R）＝r1＋r2＝4＞｜MN｜＝2， 由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，a＝2，b＝的椭圆（除去点（－2，0）），其方程为＋＝1（x≠－2）. 跟踪训练 x2＋＝1　解析：设P（x0，y0），Q（x，y），由中点坐标公式得∴又∵点P在椭圆＋＝1上，∴＋＝1，即x2＋＝1. 随堂检测 1.C　根据题意，椭圆的方程为＋＝1，其中a＝＝2，b＝，则c＝＝1，则其长轴长2a＝4，短轴长2b＝2，焦距2c＝2，其离心率e＝＝.故选C. 2.C　设椭圆的半焦距为c＞0，由题意可得解得所以椭圆方程为＋＝1.故选C. 3.C　直线与坐标轴的交点为（0，1），（－2，0），由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 4.4　3　解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得y＝±，所以最短弦的长为2×＝3. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $