26.3 二次函数与一元二次方程 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

26.3　二次函数与一元二次方程 学科：数学（人教版·九年级上册） 第二十六章　二次函数（26.3） 主讲人：____________　　学校：____________ 函数与方程，是同一件事的两种说法。这一节我们把“方程的根”翻译成“图象的交点”，很多难题就变得看得见了。 学习目标 1. 理解抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。 2. 会用 b² − 4ac 判断交点个数，并会由图象确定根的近似值。 3. 能用“函数观点”解决何时达到某个高度这类实际问题。 重点：交点与根的对应。难点：把“能否达到”翻译成“方程有没有根”。 一 情境引入 小球什么时候落地 以 40 m/s 竖直上抛，小球高度 h = 40t − 5t²（m）。 问1：何时落地？即 h = 0，解 40t − 5t² = 0 得 t = 0 或 t = 8。 问2：最高多少？配方得 h = −5(t − 4)² + 80，最高 80 m。 发现：解方程得到的 t，正好是图象与 t 轴交点的横坐标。 猜想：方程的根 ↔ 图象与 x 轴交点的横坐标。 一个情境同时用到“解方程”和“求顶点”，很自然地把两者接起来。 二 探究 交点个数，就是根的个数 左：y = x² − 3 与 x 轴两个交点 ⇒ 方程有两个不相等的根。 中：y = x² 与 x 轴一个交点（顶点落在轴上）⇒ 两个相等的根。 右：y = x² + 1.6 与 x 轴没有交点 ⇒ 方程没有实数根。 x -2 -1 1 2 O Δ > 0：两个交点 x -2 -1 1 2 O Δ = 0：一个交点 x -2 -1 1 2 O Δ < 0：没有交点 三个图并排，一眼看出“交点个数—根的情况”的对应。中间的图要特别指出“顶点恰在 x 轴上”。 三个二次，一个判别式 抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交点的横坐标，就是方程 ax² + bx + c = 0 的根。 两个交点 ⇔ b² − 4ac > 0 ⇔ 两个不相等的实数根。 一个交点 ⇔ b² − 4ac = 0 ⇔ 两个相等的实数根。 没有交点 ⇔ b² − 4ac < 0 ⇔ 没有实数根。 一句话：判别式既是方程的“判官”，也是图象的“判官”。 这里第一次把“代数判别式”和“几何交点”正式对应起来。要让学生用自己的话说一遍。 三 对照 图象语言与方程语言对照表 图象情况 交点个数 b² − 4ac 方程根的情况 与 x 轴相交 2 个 >0 两个不相等实根 与 x 轴相切 1 个 =0 两个相等实根 与 x 轴相离 0 个 ＜0 没有实根 一个对应：方程的根 ⇔ 图象与 x 轴交点的横坐标。 一句话：数的结果，能在图上看见；图的交点，能用数算出。 这张表两个方向都要会用：给方程说图象，给图象说方程。 四 例题示范 例1　不解方程，判断交点个数 判断下列抛物线与 x 轴的交点个数： （1）y = x² − 2x − 3；（2）y = x² − 2x + 1；（3）y = x² − 2x + 3。 解（1）Δ = 4 + 12 = 16 > 0 ⇒ 两个交点。 解（2）Δ = 4 − 4 = 0 ⇒ 一个交点。 解（3）Δ = 4 − 12 = −8 < 0 ⇒ 没有交点。 三小题的差别只在常数项，正好对应三种情况。让学生看到“Δ 一变，图象就变”。 例2　由交点求根，由根求式 已知抛物线 y = x² + bx + c 与 x 轴交于 (−1,0)、(4,0)。 （1）求 b、c；（2）求方程 x² + bx + c = 0 的根。 解（1）把两点代入（或用交点式）：y = (x + 1)(x − 4) = x² − 3x − 4， 　　∴ b = −3，c = −4。 解（2）由图象即得 x = −1 或 x = 4。 体会：方程与函数，是同一件事的两种说法。 （1）用交点式最快。第（2）问几乎是“送分”，但要让学生说出“为什么根就是横坐标”。 例3　由交点个数求参数范围 若抛物线 y = x² − 2x + m 与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围。 解：Δ = (−2)² − 4m = 4 − 4m。 　　两个交点 ⇒ 4 − 4m > 0 ⇒ m < 1。 变式：只有一个交点 ⇒ m = 1；没有交点 ⇒ m > 1。 提醒：题目若说“与坐标轴”，要分别讨论与 x 轴、与 y 轴。 “与坐标轴”和“与 x 轴”是两回事——与 y 轴一定有一个交点，这是常考的陷阱。 例4　用图象读近似解 方程 x² − 2x − 3 = 0 的根是 x = −1 与 x = 3（精确）。 若方程为 x² − 2x − 2 = 0，根不是整数，怎么办？ 方法：画出 y = x² − 2x − 2，看它与 x 轴交点在哪儿。 　　一根在 − 1 与 0 之间，另一根在 2 与 3 之间。 精确化：通过加密取值可逼近到 x ≈ −0.7 与 x ≈ 2.7。 思想：数缺形时少直观，形缺数时难入微。 这一页是“数形结合”的点睛之笔。近似解只要求“夹在相邻两个整数之间”，不必追求多位小数。 例5　何时达到某个高度 竖直上抛 h = 40t − 5t²（m），何时达到 60 m？ 解：令 40t − 5t² = 60 ⇒ 5t² − 40t + 60 = 0 ⇒ t² − 8t + 12 = 0， 　　(t − 2)(t − 6) = 0 ⇒ t = 2 或 t = 6。 图象上看：水平线 h = 60 与抛物线交于两点，对应两个时刻。 追问：若问 h = 90 呢？方程无实根 ⇒ 最高只有 80 m，达不到。 “两个时刻”是学生最常漏的：上升时经过一次，下降时再经过一次。h=90 无解，正好呼应 Δ<0。 五 巩固练习 巩固练习：交点、参数、实际 题目 参考答案 1. 判断 y = x² + 3x − 4 与 x 轴的交点个数。 2. 抛物线 y = x² − 4x + k 与 x 轴只有一个交点，求 k。 3. 小球高度 h = 20t − 5t²，何时落地？最高多少？ 4. 若 y = −x² + 2x + m 的图象与 x 轴没有交点，求 m 的范围。 1. Δ = 9 + 16 = 25 > 0 ⇒ 2 个交点，为 (−4,0)、(1,0)。 2. 只有一个交点 ⇒ Δ = 16 − 4k = 0 ⇒ k = 4（此时 y = (x − 2)²）。 3. 落地 h = 0： − 5t(t − 4) = 0 ⇒ t = 0（出发）或 t = 4；配方 h = −5(t − 2)² + 20 ⇒ 最高 20 m。 4. 没有交点 ⇒ Δ = 4 + 4m < 0 ⇒ m < −1。 第1题先算 Δ 再验证交点；第2题“只有一个交点”就是 Δ=0，别与“顶点在 x 轴上”割裂开；第3题要说明 t=0 是出发时刻，真正落地是 t=4；第4题注意开口向下，Δ<0 才是“没有交点”。先独立做 6 分钟再对答案。 易错辨析：三个混淆 错1　把“与 x 轴没有交点”说成“方程无解”——应为无实数根。 错2　认为“与坐标轴”就是“与 x 轴”。 错3　忘记 a ≠ 0 的前提，导致 Δ 讨论不完整。 正　先看二次项系数，再算 Δ，最后回到图象上核对。 错1 是表述问题，考试写“无解”会扣分。错2 要指出与 y 轴必有交点。 课堂检测 题目 参考答案 1. y = x² − 6x + 9 与 x 轴有＿＿个交点。 2. 方程 x² − 3x + 1 = 0 的根的情况是＿＿。 3. 抛物线 y = x² + 2x + m 与 x 轴有两个交点，则 m＿＿。 4. 若抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交于 (−2,0)、(1,0)，则对称轴是＿＿。 1. Δ = 36 − 36 = 0 ⇒ 1 个交点，即 (3,0)。 2. Δ = 9 − 4 = 5 > 0 ⇒ 有两个不相等的实数根。 3. 两个交点 ⇒ Δ = 4 − 4m > 0 ⇒ m < 1。 4. 对称轴取两根中点：x = −2+1/2 ⇒ x = −0.5。 −2 + 1 2 这四题分别考 Δ>0、Δ>0 表述、Δ>0 反求参数、由交点反求对称轴。第2题要学生用文字作答，训练规范表述；第4题是“两根中点即对称轴”的应用。 六 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个对应：方程的根 ⇔ 图象与 x 轴交点的横坐标。 一个判官：b² − 4ac 定交点个数。 一种思想：数形结合——用图象看方程，用方程算图象。 一句提醒：说“无实根”，别说“无解”。 下一节：把二次函数用到“最大面积、最大利润”上去。 课后作业 参考答案 1. 基础题：教材习题 26.3 第 1、2 题。 2. 判断题：抛物线 y = 2x² − 3x + 5 与 x 轴有几个交点？说明理由。 3. 参数题：若 y = x² − 2x + m 的图象与 x 轴交于两点，且都在 y 轴右侧，求 m 的范围。 4. 思考题：方程 x² − 2x − 3 = 0 的根，与不等式 x² − 2x − 3 > 0 的解集有什么关系？ 1. 令 y = 0 解方程；个数由 Δ = b² − 4ac 的符号决定。 2. Δ = 9 − 40 = −31 < 0 ⇒ 没有交点，图象全在 x 轴上方。 3. 需三个条件同时成立：Δ = 4 − 4m > 0、x₁ + x₂ = 2 > 0、x₁x₂ = m > 0 ⇒ 0 < m < 1。 4. 根 x = −1、x = 3 是分界点；x² − 2x − 3 > 0 的解集为 x < −1 或 x > 3，即图象在 x 轴上方的部分对应的 x 范围。 第3题是本节最难的组合条件，要讲清“都在 y 轴右侧”= Δ>0 且和>0 且积>0 三条同时满足，得 0<m<1。第4题把“方程的根”与“不等式的解集”接上，为高中做铺垫，只要求看出“根是不等式解集的分界点”。 $