26.3 二次函数与一元二次方程（第2课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第26章　二次函数 26.3 二次函数与一元二次方程（第2课时） 函数图象与根的近似值 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 图象也能帮助求根 观察与分析 方程的根对应函数与横轴公共点的横坐标。 结论与应用 画图后可先估计根落在哪些区间，再通过数值计算逐步逼近。图象结果通常是近似值，不能当作精确根。 情境引入 先找顶点便于作图 观察与分析 ，顶点，轴。以此选择对称点进行列表描点。 结论与应用 图象与横轴两次相交，左根略小于零，右根介于二与三之间。先确定大致位置，避免读错交点。 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y O 新知讲授 图上近似读数 观察与分析 由图象看，两根约为。横轴刻度越密、作图越准确，读数通常越精细。 结论与应用 画图与观察存在误差，所以近似结果应使用。不能把写成方程的精确等式根。 新知讲授 用精确公式核对近似 观察与分析 该方程的准确根为，约为，保留一位小数后是。 结论与应用 公式核对可判断图象读数是否合理。本课重点是图象与区间估计，精确根提供一个可比较的参照。 新知讲授 从函数值异号定位根 观察与分析 ，，抛物线连续，因此在与之间经过横轴，区间内存在一个根。 结论与应用 端点函数值一正一负表示曲线从轴一侧到另一侧。若同号，不能据此断定区间里一定没有根。 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y O A B 新知讲授 第一次取中点 观察与分析 区间的中点为，，与异号，所以正根在与之间。 结论与应用 用中点替换与它同号的端点，保持新区间两端函数值异号，根仍留在区间内。 新知讲授 第二次取中点 观察与分析 中点为，，所以根在与之间。 结论与应用 这次中点在正侧，保留原负侧端点。每次先看符号再决定区间，不能固定丢掉左半或右半。 新知讲授 继续缩小区间 观察与分析 再取中点，函数值为负，区间变成；再取，函数值仍为负。 结论与应用 于是得到。每次区间长度减半，所知道的根的位置越来越精确。 新知讲授 绝对误差与区间长度 观察与分析 若根位于长度小于的区间内，取任一端点，所得值与根的绝对差就小于。 结论与应用 例如区间长，可以用作为误差小于的近似值。它不必等于保留一位小数的四舍五入结果。 新知讲授 四舍五入与误差要求不同 观察与分析 “保留一位小数”要求按十分位取舍；“误差小于”允许许多不同小数满足条件。 结论与应用 先读清题目要求。仅知道区间长度小于，未必能立即确定正确的一位小数舍入值，还需看区间是否跨舍入分界。 新知讲授 负根也可同样估计 观察与分析 ，，所以负根在内。中点处函数值为。 结论与应用 负根在，继续取中点即可。负数平均值仍按两数和除以二，比较大小时注意数轴方向。 新知讲授 函数值接近零不是误差本身 观察与分析 很小说明点接近横轴，但不直接等于与真正根的距离。图象陡缓不同，相同纵向误差对应横向误差不同。 结论与应用 需要严格控制横坐标误差时，可用包含根的区间长度作保证，不能只看代入值的小数很小。 新知讲授 区间端点要记录符号 观察与分析 表格可记下左端、右端、中点与中点函数值。每轮更新后，再确认新端点异号。 结论与应用 记录符号比反复凭记忆选择区间更可靠。若中点函数值恰为零，就已经找到准确根，可以停止。 新知讲授 图象看不到不代表没有根 观察与分析 坐标范围若选得太窄，横轴交点可能落在画面外。判断无实根应结合判别式或函数最值，而不是只看局部图。 结论与应用 作图前先估计顶点与可能的根范围，必要时扩大横轴范围，再进行读数与验证。 新知讲授 相等根不产生异号端点 观察与分析 在横轴上只有一个公共点，但点两侧函数值都非负。单纯寻找异号区间不能捕捉这种相接情况。 结论与应用 本课的中点缩区间法从已知异号端点出发。若图象只与轴相接，应利用顶点或方程结构直接判断。 新知讲授 开口向下也可读根 观察与分析 对，横轴公共点仍是对应方程的根。开口方向改变不会改变“令函数为零”的求根条件。 结论与应用 区间更新也只看函数值符号，不需要先假定函数从负到正。正到负或负到正都可形成异号夹根。 新知讲授 列表精度与最终精度 观察与分析 计算中间函数值时保留较多有效数字，最终再按要求取一位小数。过早把中点或函数值截断，可能选错新区间。 结论与应用 若使用计算器，输入平方与负号时加括号，特别是负横坐标和负二次项系数相乘的情况。 新知讲授 用对称性作检查 观察与分析 的轴为，两根准确值的平均数为。近似值的平均数也为。 结论与应用 这一对称检查能发现明显读数错误，但不是所有分别取近似值的根都会恰好平均等于轴坐标，应允许舍入误差。 例题讲解 例 2 利用函数图象求方程根的近似值（保留小数点后一位）。 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 答：。 画出，观察横轴公共点的横坐标。 用交点附近的函数值或计算器进一步核对，再按要求取近似值。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 例题讲解 例 2 对方程的正根，已知根位于与之间。给出一个绝对误差小于的近似值。 答：例如。 区间长度。 根在区间内，任一端点到根的距离均小于区间长度。 取中点后替换同号端点，保持异号；用区间长度保证横坐标误差。 课堂练习 练习 利用函数图象求下列方程根的近似值（保留小数点后一位）。 （1） （2） -1 1 2 3 4 -2 -1 1 2 3 4 x y O A B （1） 答：。 画出，读图得到横轴交点的横坐标约。 用准确根核对后，按要求保留一位小数。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 课堂练习 练习 利用函数图象求下列方程根的近似值（保留小数点后一位）。 （1） （2） -3 -2 -1 1 2 -3 -2 -1 1 2 x y O A B （2） 答：。 画出，读横轴交点约为。 准确根为，核对取舍精度。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 例题讲解 示例 利用函数图象求方程根的近似值（保留小数点后一位）。 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 答：。 画出，观察横轴公共点的横坐标。 用交点附近的函数值或计算器进一步核对，再按要求取近似值。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 例题讲解 示例 利用函数图象求方程根的近似值（保留小数点后一位）。 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 答：。 画出，观察横轴公共点的横坐标。 用交点附近的函数值或计算器进一步核对，再按要求取近似值。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 例题讲解 示例 利用函数图象求方程根的近似值（保留小数点后一位）。 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 答：。 画出，观察横轴公共点的横坐标。 用交点附近的函数值或计算器进一步核对，再按要求取近似值。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 例题讲解 示例 已知，且为连续的二次函数。能说明什么？ 答：与之间至少有一个根。 图象从横轴下方连续到上方，途中必经过横轴。 取中点后替换同号端点，保持异号；用区间长度保证横坐标误差。 例题讲解 示例 根在内，两端函数值分别负、正，中点处函数值为负，应保留哪个区间？ 答：。 用中点替换同号的左端，保持异号。 取中点后替换同号端点，保持异号；用区间长度保证横坐标误差。 例题讲解 示例 ，已知，如何给出误差小于的近似值？ 答：可取或。 区间长。 取中点后替换同号端点，保持异号；用区间长度保证横坐标误差。 例题讲解 示例 两侧函数值同为正，是否说明没有根？ 答：不能；根为二。 图象在顶点与横轴相接，不经过异号变化。 相等根处两侧可同号，应结合顶点判断，不能只找异号区间。 课堂总结 函数图象与根的近似值 对应 读横轴公共点横坐标 初始 图象定位与异号端点 更新 取中点，保留异号区间 精度 区间长度控制横坐标误差 限制 相等根与局部显示需另查 针对训练 训练 方程的根保留一位小数为（ ）。A.；B.；C.；D.无实根。 答：选A。 图象在横轴的两交点分别略小于与略大于。 ，取一位小数核对。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 针对训练 训练 方程的两根保留小数点后一位：。 答：。 图象横轴交点横坐标为。 约为，按一位小数四舍五入。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 图上估计得到的近似根应使用等号。 错误 估计值通常不准确，应使用近似号。 （2） 连续二次函数两端值异号，区间内有根。 正确 曲线从横轴一侧连续到另一侧必经过横轴。 （3） 两端值同号，区间内一定没有根。 错误 可能在区间内与横轴相接，或穿过两次。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 针对训练 训练 利用函数图象求方程根的近似值（保留小数点后一位）。 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y O 答：。 画出，观察横轴公共点的横坐标。 用交点附近的函数值或计算器进一步核对，再按要求取近似值。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 针对训练 训练 ，且，新区间是什么？ 答：。 中点二点五与右端三的函数值均为正，需替换同号右端。 新端点，保留区间。 取中点后替换同号端点，保持异号；用区间长度保证横坐标误差。 针对训练 训练 根在内，取时能保证误差小于吗？ 答：能，区间长度。 区间长度为。 根到的距离不超过，因此小于。 取中点后替换同号端点，保持异号；用区间长度保证横坐标误差。 针对训练 训练 根的准确值为，保留一位小数应怎样写？ 答：。 。 保留一位小数看百分位一，小于五，十分位四不变，并用近似号。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 针对训练 训练 某抛物线在的局部图象没有碰到横轴，能断定对应方程无实数根吗？ 答：不能。 局部图只显示零到一之间的函数情况，其他横坐标仍可能取零值。 需扩大显示范围或用判别式、最值作全局判断。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 针对训练 训练 拱门模型，单位为米。用图象求拱门与地面的交点横坐标，保留一位小数。 -2 -1 1 2 3 4 -2 -1 1 2 3 4 x y O A B 答：约为。 令，根为。 左右边缘是两个横轴交点，图象读数可用数值核对。 读横轴交点的横坐标；近似值按题意取舍并使用近似号。 针对训练 训练 小车路程模型，单位为米、秒。行驶需多久？用图象估计，保留一位小数。 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5 10 15 t/s s/m O P 答：约。 ，正根。 时间取非负根，最后保留一位小数。 在路程图上作水平线，读交点的横坐标；时间取非负值。 方法归纳 解题方法总结 用图象确定根的位置 ① 先标顶点与对称轴，再读横轴交点。 ② 根的近似值使用近似号并按要求取舍。 用区间提高精度 ① 每轮用中点替换同号端点。 ② 区间长度给出误差保证，区分舍入要求。 $