26.4.2 最大利润问题 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.4.2 最大利润问题 1 教学目标 1.能梳理销售问题中的数量关系，列出二次函数解析式；会对涨价、降价进行分类讨论；能根据实际意义确定自变量取值范围，在取值范围内求解最大利润；掌握二次函数解决实际最值的完整解题流程. 2. 完整经历 “实际问题→建立二次函数模型→利用函数性质求解→检验实际合理性” 建模全过程，体会分类讨论、数形结合思想，提升数学建模素养. 3. 感受二次函数在商业生活中的实用价值；在小组合作中锻炼表达交流能力，养成认真审题、检验结果的严谨学习习惯. 2 3 新知探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 18000 6000 【数量关系】 (1)销售额=售价×销售量； (2)利润=销售额－总成本=单件利润×销售量； (3)单件利润=售价－进价. 4 新知探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 探究 5 新知探究 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，先来看涨价的情况. (1) 设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化. 我们先来确定y随x变化的函数解析式. 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 20 300 6000 涨价销售 20+x 300－10x y =(20+x)(300－10x) 函数解析式： y =(20+x)(300－10x) 即： y =－10x2+100x+6000 6 新知探究 自变量x的取值范围如何确定? 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300－10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30，x为整数. 根据上面的函数，填空： y =－10x2+100x+6000(0≤x≤30) = －10(x2 －10x)+6000 = －10(x－5)2+6250 当x= 时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 元. 5 5 65 6250 7 新知探究 (2) 在降价的情况下，最大利润是多少? 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 20 300 6000 降价销售 20－x 300+20x y =(20－x)(300+20x) 函数解析式： y =(20－x)(300+20x) 即： y =－20x2+100x+6000 8 新知探究 自变量x的取值范围如何确定? 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20－x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤20. 根据上面的函数，填空： y =－20x2+100x+6000 = －20(x2 －5x)+6000 = －20(x－2.5)2+6125 当x= 时，y最大. 也就是说，在降价的情况下，降价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 元. 2.5 2.5 57.5 6125 9 新知探究 由(1) (2)的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗? 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 20 300 6000 涨价销售 25 250 6250 降价销售 17.5 350 6125 综上可知，该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元. 10 新知探究 求解最大利润问题的一般步骤 (1)建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=单件利润×总销量” 或“总利润=总售价－总成本”； (2)结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3)在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 11 随堂演练 1. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内每降价1元，每日销量就增加1个.为了获得最大利润，则应该降价( ) A.5元 B.10元 C.15元 D.20元 2. 某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关系为y= －5x2+10x，当0.5≤x≤2时，最大利润是 元. A 5 12 随堂演练 3.旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元，旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额?最大营业额是多少? 解：设旅行团人数比20人多x人，则总人数：20+x人. 营业额为y=(20+x)(2100－30x) =－30x2+1500x+42000 对称轴为x=－ = = 25. 13 随堂演练 3.旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元，旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额?最大营业额是多少? 总人数：20+25=45(人). y最大值=45×(2100－30×25)=60750 (元). 当旅行团的人数为45人时，营业额最大. 最大营业额为60750元. 14 随堂演练 4.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大?最大利润是多少? 解：设产量为x件，利润为y元. y=x(50－x) －(500+10x) =－x2+40x －500 a=－<0，开口向下，有最大值. 15 随堂演练 4.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大?最大利润是多少? 对称轴为x= －= －=160. 当x=160时，y最大值= －×1602+40×160－500=2700. 当产量为160件时，利润最大.最大利润为2700元. 16 随堂演练 5.某民族服饰店销售一款苗族服饰，成本为50元/件，在销售过程中发现销售量y(件)与售价x(元/件，售价不低于成本价)满足如图所示的一次函数关系.物价部门规定：该服饰每件售价不得超过90元. O y/件 40 20 60 x/(元/件) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 80 100 17 随堂演练 O y/件 40 20 60 x/(元/件) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 80 100 (1)求y与x之间的函数解析式. 解：设y与x之间的函数解析式 为y=kx+b， 把(50，100)，(70，80)分别代入 上式，得 18 随堂演练 O y/件 40 20 60 x/(元/件) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 80 100 解得 ∵该服饰成本为50元/件，售价不低于成本价且每件售价不得 超过90元， ∴ 50≤x≤90. ∴ y与x之间的函数解析式为 y= －x+150(50≤x≤90) 19 随堂演练 (2)该服饰每件售价为多少元时，民族服饰店获得的利润w(元)最大？此时的最大利润为多少元？ 由题意可得 w=(x－50)(－x+150) =－ (x2－200x+7500) =－(x-100)2+2500. ∵a=－1<0， O y/件 40 20 60 x/(元/件) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 80 100 20 随堂演练 ∴当0<x<100时，w随x的增大而增大. ∵50≤x≤90， ∴当x=90时，w最大=2400. ∴该服饰每件售价为90元时， 民族服饰店获得的利润w(元)最大，最大利润为2400元. O y/件 40 20 60 x/(元/件) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 80 100 21 随堂演练 6. 商场购进一批儿童智力玩具，调查发现该玩具的月销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间满足一次函数关系，销售单价x(元/个)与月销售量y(个)、月销售利润w(元)的对应值如下： 销售单价x/(元/个) 30 35 40 45 月销售量y/个 230 180 130 m 月销售利润w/元 2300 2700 2600 2000 22 随堂演练 (1)直接写出y与x的函数解析式. y=－10x + 530 【点拨】设y=kx+b(k≠0). 由题意，得解得 ∴ y与x的函数解析式为y=－10x+530. 销售单价x/(元/个) 30 35 40 45 月销售量y/个 230 180 130 m 月销售利润w/元 2300 2700 2600 2000 23 随堂演练 (2) ①m= ，该商场购进玩具的价格为 元/个. 销售单价x/(元/个) 30 35 40 45 月销售量y/个 230 180 130 m 月销售利润w/元 2300 2700 2600 2000 80 20 24 随堂演练 ②求w与x的函数解析式,并求出当销售单价定为多少时,月销售利润最大. 解：由题意得w=(x－20)·y=(x－20)(－10x+530) =－10(x－36.5)2 +2722.5. ∵－10<0， ∴当x=36.5时，w有最大值，为2722.5. ∴当销售单价定为36.5元/个时，月销售利润最大. 销售单价x/(元/个) 30 35 40 45 月销售量y/个 230 180 130 m 月销售利润w/元 2300 2700 2600 2000 25 课程小结 最大利润问题 确定最大利润 总利润=单件利润×销售量或 总利润=总售价－总成本 建立函数解析式 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出 确定自变量取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0 26 第二十六章 二次函数 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 26.4.2 最大利润问题 27 $