26.4 实际问题与二次函数（第1课时 面积与利润）课件2026-2027学年九年级上册数学人教版

26.4　实际问题与二次函数（第 1 课时　面积与利润） 学科：数学（人教版·九年级上册） 第二十六章　二次函数（26.4 第 1 课时） 主讲人：____________　　学校：____________ 二次函数最有用的地方，是求“最大”“最小”。这一节我们用它解决两类经典问题：面积最大、利润最大。 学习目标 1. 会把实际问题中的最大（小）值转化为二次函数的顶点问题。 2. 掌握“设元 → 列式 → 配方（或用公式）→ 检验”的四步建模。 3. 会判断顶点是否落在自变量的取值范围内。 重点：建模四步。难点：取值范围对最值的影响——顶点取不到时要在端点找。 一 情境引入 20 m 篱笆，怎样围出最大的面积 用 20 m 长的篱笆围一个矩形（四边都用篱笆），怎样围面积最大？ 设一边长 x，另一边 10 − x，面积 S = x(10 − x) = −x² + 10x。 直觉：长和宽越接近，面积越大？ 算一算：配方得 S = −(x − 5)² + 25，x = 5 时最大 25。 结论：围成正方形时面积最大。 先让学生猜（很多人会猜“越细长越大”），再用配方验证，反差最能激发兴趣。 面积随边长变化，是一条开口向下的抛物线 横轴是 x，纵轴是面积 S —— S = −x² + 10x 是一条开口向下的抛物线。 顶点 (5,25) 就是最高点，也就是最大面积。 联系：昨天学的“顶点是最值点”，今天用来解决真问题。 x S 2 4 6 8 10 5 10 15 20 25 O 顶点 (5,25) S = −x² + 10x（0 < x < 10） 把“几何最值”翻译成“抛物线顶点”，是本节的核心动作。图要配合 S=−(x−5)²+25 一起看。 建模四步　设元、列式、求最值、检验 ① 设元：设自变量 x，并写出它的取值范围。 ② 列式：用 x 表示目标量，得到二次函数。 ③ 求最值：配方或用 x = −b/2a，算出顶点。 ④ 检验：顶点是否在取值范围内？不在就要在端点处找。 提醒：第 ④ 步最容易被跳过，也最容易丢分。 b 2a 四步写成固定格式，每次解题都按这个格式写，评卷时步骤分就跑不掉。 二 例题示范 例1　靠墙围矩形：只有三边用篱笆 用 20 m 篱笆靠墙围一个矩形菜园（墙不用篱笆），怎样围面积最大？ 解：设与墙垂直的一边为 x，则另一边为 20 − 2x， 　　S = x(20 − 2x) = −2x² + 20x，0 < x < 10。 　　配方：S = −2(x − 5)² + 50。 　　x = 5 在范围内 ⇒ 最大面积 50 m²，此时另一边为 10 m。 与引入题对比：这里只有三边，所以是 20−2x 而不是 10−x。取值范围也随之改变。 例1 变式　墙不够长，最优点就挪到端点 仍是靠墙围矩形，有 24 m 篱笆，但墙只有 8 m 长，求最大面积。 解：S = x(24 − 2x) = −2x² + 24x，顶点 x = 6，S = 72。 　　但平行于墙的一边 24 − 2x ≤ 8 ⇒ x ≥ 8。 　　x = 6 不在范围内，而 8 ≤ x < 12 上 S 随 x 增大而减小， 　　∴ x = 8 时最大，S = 8 × 8 = 64 m²——比 72 小。 对比：顶点取不到，就必须在端点找。 与“降价”变式是同一个道理：范围限制让最优点挪位。让学生比较 72 与 64，体会“墙太短反而围得小”。 例2　涨价：利润＝单件利润 × 销量 某商品进价 40 元，售价 50 元时每月卖 500 件。每涨价 1 元，少卖 10 件。 设涨价 x 元，求月利润 w 的最大值。 解：单件利润 10 + x，销量 500 − 10x， 　　w = (10 + x)(500 − 10x) = −10x² + 400x + 5000，0 ≤ x < 50。 　　配方：w = −10(x − 20)² + 9000。 　　∴ 涨价 20 元（售价 70 元）时利润最大，为 9000 元。 “每涨 1 元少卖 10 件”，销量要写成 500−10x。这个“10 倍”关系是本题的关键，写错了后面全错。 例2 变式　降价：换一个方向再算一遍 若改为“每降价 1 元，多卖 20 件”，设降价 x 元： 单件利润 10 − x，销量 500 + 20x， w = (10 − x)(500 + 20x) = −20x² − 300x + 5000。 对称轴 x = −b/2a =−−300/−40 =−7.5， 在 x ≥ 0 内 递减，故 x = 0 时最大，不降价最赚。 启示：顶点不在范围内，最值就在端点。 b 2a −300 −40 这一页是全节的高阶点：顶点取不到时怎么办。很多学生只会“顶点即最值”，这里正好纠正。 三 方法梳理 三种围法，式子只差“哪条边不用篱笆” 围法 另一边 面积 S 顶点最值 四边都围 y = L/2 −x S = x(L/2 −x) S 最大 L²/16 三边靠墙 y = L − 2x S = x(L − 2x) S 最大 L²/8 三边靠墙、墙长有限 y = L − 2x S = x(L − 2x) 顶点可能取不到 L 2 L 2 L² 16 L² 8 同样 L 的篱笆，靠墙围出的最大面积是四边围的两倍（L²/8 对 L²/16）。第三行提醒：加了墙长限制，答案要回到端点。 三 方法梳理 利润问题里的三个量 量 怎么表示 注意 单件利润 售价 − 进价 涨价则加，降价则减 销量 原销量 ± 每元变化量 × x 符号别写反 总利润 单件利润 × 销量 先写乘积式，再展开配方 动笔前：先把这三行填好，再写乘积式，思路就不会乱。 提醒：销量按“每元变化量 × x”写，符号最容易写反。 三个量写成三行，做题时先填这三行再动笔，思路就不会乱。 四 巩固练习 巩固练习：一道面积、一道利润 题目 参考答案 1. 用 60 m 篱笆围矩形（四边），求最大面积。 2. 某店进价 30 元，售价 40 元时月销 200 件；每涨 1 元少卖 5 件。求最大月利润。 3. 用 24 m 篱笆靠墙围矩形，求最大面积。 4. 上题中若墙长只有 8 m，最大面积是多少？ 1. S = x(30 − x) = −(x − 15)² + 225 ⇒ x = 15 时最大 225 m²（正方形）。 2. w = (10 + x)(200 − 5x) = −5(x − 15)² + 3125 ⇒ 涨 15 元 时最大 3125 元。 3. S = x(24 − 2x) = −2(x − 6)² + 72 ⇒ x = 6 时最大 72 m²，另一边 12 m。 4. 墙长 8 m ⇒ 24 − 2x ≤ 8 ⇒ x ≥ 8；顶点 x = 6 取不到，S 在 x ≥ 8 上递减 ⇒ x = 8 时最大 64 m²。 第3、4 题是同一个式子的两种命运：范围够宽，顶点就是答案；范围一收紧，答案就挪到端点。让学生把第4题的 64 与第3题的 72 摆在一起看，落差最能说明“检验”这一步的价值。 易错辨析：四步里最容易塌的两步 错1　不写取值范围，直接拿顶点当答案。 错2　把“每涨 1 元少卖 10 件”写成 500 − x。 错3　算出利润后忘了写单位（元）与“答”。 正　设元就写范围；销量按“倍数×x”写；最后答一句。 错1 与例2 变式呼应：顶点不在范围内时必须比较端点值。 课堂检测 题目 参考答案 1. 用 40 m 篱笆围矩形，最大面积是＿＿。 2. 两数和为 20，则它们的积最大是＿＿。 3. 商品每件利润 10 元时卖 100 件，每涨 1 元少卖 2 件，最大利润＿＿。 4. 靠墙围矩形，篱笆 30 m，最大面积＿＿。 1. S = x(20 − x) = −(x − 10)² + 100 ⇒ 100 m²。 2. 设一数为 x，积 x(20 − x) = −(x − 10)² + 100 ⇒ 最大 100。 3. w = (10 + x)(100 − 2x) = −2(x − 20)² + 1800 ⇒ 涨 20 元 时最大 1800 元。 4. S = x(30 − 2x) = −2(x − 7.5)² + 112.5 ⇒ 112.5 m²。 第2题是把“和一定、积最大”翻译成二次函数，是本节最简洁的建模例子。第4题答案是 112.5，允许出现小数，提醒学生“最值不一定是整数”。 五 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个转化：最大（小）值问题 → 二次函数顶点问题。 四步建模：设元 → 列式 → 求最值 → 检验。 一条警戒：顶点不在范围内，最值在端点。 一句提醒：答完要写单位和“答”。 下一节：抛物线型实际问题——拱桥、投篮、喷泉，先建系再求式。 课后作业 参考答案 1. 基础题：教材习题 26.4 第 1、2 题。 2. 面积题：用 36 m 篱笆靠墙围矩形，墙长 15 m，求最大面积。 3. 利润题：进价 20 元，售价 30 元时卖 300 件，每降 1 元多卖 60 件，求最大利润。 4. 思考题：为什么“周长一定时正方形面积最大”？用二次函数说明。 1. 按四步建模写：设元并写范围 → 列二次函数 → 配方求顶点 → 检验顶点是否在范围内。 2. S = x(36 − 2x) = −2(x − 9)² + 162，但墙长 15 m ⇒ 36 − 2x ≤ 15 ⇒ x ≥ 10.5；顶点 x = 9 取不到，S 在 x ≥ 10.5 上递减 ⇒ x = 10.5 时最大 157.5 m²（此时另一边恰为 15 m）。 3. w = (10 − x)(300 + 60x) = −60(x − 2.5)² + 3375 ⇒ 降 2.5 元 时最大，为 3375 元。 4. 设周长为 L，一边 x，则 S = x(L/2 −x) = −(x − L/4)² + L²/16，x = L/4 即正方形时最大。 L 2 L 4 L² 16 L 4 第2题是本页的重点：顶点 x=9 算出来很漂亮，但墙长只有 15 m，平行边不得超过 15，于是 x 至少 10.5，最优点被推到端点，答案 157.5 m² 而不是 162 m²。第3题是“降价型”的完整范例，与例2 的涨价型对照。第4题要求用二次函数把“正方形最大”证一遍，是从特殊到一般的收束。 $