26.5.1 数学活动：哪个积最大同步教学课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.5.1 数学活动-哪个积最大 学习目标 重点难点 理解并掌握"和定积最大"的规律；能运用二次函数的性质解决两数乘积的最值问题；了解数学探究的基本过程：观察—猜想—验证—证明. 经历计算、观察、猜想、证明的探究过程，培养合情推理能力；能建立二次函数模型解决实际最值问题； 培养观察、比较、归纳和概括的能力. 教学重点：探究"和定积最大"的规律；运用二次函数性质证明猜想； 建立二次函数模型解决最值问题。 教学难点：将实际问题转化为二次函数的最值问题；理解"两数和一定，相等时乘积最大"的原理； 数学探究方法的体会与运用。 情境导入 观察下列两个两位数的积，猜一猜其中哪个积最大. 91×99，92×98，…，98×92，99×91. 这节课我们运用二次函数的知识探究和说明两数的积的最大值. 新知探究 （1）观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数字都是9，个位上的数字的和等于10），猜想其中哪个积最大： 91×99，92×98，…，98×92，99×91. 解：91×99=99×91=9009， 92×98=98×92=9016， 93×97=97×93=9021. ∴91×99<92×98<93×97. 猜想：95×95最大. 你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？ 新知探究 91×99，92×98，…，98×92，99×91. 你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？ 解：设第一个两位数的个位上的数为x，则第二个两位数的个位上的数为(10-x). 两个两位数的乘积 y=(90+x)[90+(10-x)]， =-x2+10x+9000 =-(x-5)2+9025 ∴当x=5时，y最大值=9025 即95×95的积最大. 新知探究 （2）观察下列两个三位数的积 （两个乘数的百位上的数字都是9， 十位上的数字与个位上的数字组成的数的和等于100）， 猜想其中哪个积最大. 901×999，902×998，…，998×902，999×901. 你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？ 解：设第一个数是900+x，则第二个数是(1000-x). 两个三位数的乘积y=(900+x)(1000-x) =-x2+100x+900000 =-(x-50)2+902500 ∴当x=50时，y最大，即950×950最大． 新知探究 91×99，92×98，…，95×95， …， 98×92，99×91 901×999，902×998，…，950×950， …， 998×902，999×901 你能总结一下以上规律吗？ 两数相加和不变，越接近相乘得数越大. 即： 两数和一定 差越小 → 积越大 差越大 → 积越小 两数相等时，乘积最大 应用： 周长相同的长方形 ， 正方形的面积最大. 数学运用 1.根据以下10个乘积，回答问题： 1×399，2×398，3×397，4×396，…，398×2，399×1． （1）猜一猜：所有的积中，哪两个数的积最大？ （2）运用二次函数的知识说明你的猜想是正确的. 解：（1）猜想：200×200的积最大. （2）设第一个乘数为x，第二个乘数为(400-x). 两个数的乘积y=x(400-x)=-x2+400x=-(x-200)2+40000. 由此可知，当x=200时，y有最大值. 即在所列两个数的乘积中，200×200最大. 数学运用 2.分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？ x L-x L=2πr S1=x( L-x)=-(x - )2+ S2=πr2=π( )2= 当x= 时，S1最大，此时S1= . ∵4π<16，∴ < . ∴S1<S2，∴圆的面积大. 【实验观察】 （1）观察下列两个数的积（两个乘数的和为10） 1×9,2×8,3×7，···,8×2,9×1,猜想其中哪个积最大（只写出结论） （2）观察下列两个数的积（两个乘数的和为100） 45×55，46×54，47×53，…，54×46，55×45，猜想其中哪个积最大（只写出结论） 练习 【猜想验证】 （3）根据上面活动给你的启示.猜想：如果两个正乘数的和为m（m>0）.你认为这两个正乘数分别为多少时，它们的积最大？用二次函数的知识说明你的猜想的正确性. 练习 【拓展应用】 （4）如图是一个四边形的风筝，它的骨架AB与CD是用总长度为1.8m的竹签制成的.上AB⊥CD）.为了使风筝在空中能获得更大的浮力.要把风筝的表面积（四边形ADBC的面积）制作到最大.根据上面的结论，当管架AB= m时.CD= m,风筝的表面积能达到最大. 练习 归纳总结 1.活动1是运用二次函数的性质解决最值问题； 2.经历了计算、作图、观察、猜想、证明的数学研究过程，运用了数形结合思想； 课外作业 必做题： 1. 不计算，比较大小：56×54 ， 57×53…63×67 ， 60×70； 2. 两个数的和是30，这两个数的乘积最大是多少？ 选做题： 1. 用长为20m的篱笆围成矩形菜园，怎样围面积最大？最大面积是多少？ 2. 已知两个正数的和为12，求这两个数乘积的最大值。 大美数学 通过自主探究、列式验证、对比总结，揭开了“和定积最大”的数学规律，依托二次函数最值知识，验证了两数和固定时，两数相等、乘积最大的结论。简单的数字变化背后，是严谨的函数逻辑，彰显了数学数形结合的独特魅力。这一规律也暗含生活哲理：凡事有度，平衡最优。人生亦是如此，资源与条件如同固定的“和”，唯有合理分配、均衡取舍，不偏执、不极端，才能最大化收获价值，在有限的条件里活出最优的人生答卷。 $