26.4实际问题与二次函数课时2最大利润问题课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“最大利润问题”，核心是利用二次函数解决实际利润最值问题。课堂从商场定价情境导入，衔接二次函数图象与性质，通过表格梳理售价、销量、利润关系，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生建立函数模型。 其亮点在于以商品涨价降价、文创店促销等生活实例，引导学生用数学眼光观察数量关系，通过分类讨论和自变量取值范围确定培养推理能力，用函数关系式表达问题体现模型意识。步骤清晰，例题典型，助力学生提升应用能力，教师可高效开展教学。

26.4 课时2 最大利润问题 22051 学习目标 1.能利用二次函数解决与最大利润有关的实际问题.(重点、难点) 2.在利用二次函数解决实际问题的过程中，体会利用二次函数刻画现实生活的意义，加深对二次函数的图象和性质的理解，提高建立数学模型的能力与数学的应用意识. 22051 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 22051 推进新课 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 探究 进价/元 售价/元 数量/件 利润 现价 涨价 降价 40 60 300 60+n 300-10n 60-m 300+20m 40 40 分析： 22051 4 进价/元 售价/元 销量/件 利润 现价 涨价 降价 40 60 300 60+n 300-10n 60-m 300+20m 40 40 解:(1)设每件涨价n元，利润为y1. 则y1=(60+n – 40 )(300 – 10n) 即y1=-10n2+100n+6000 其中，0≤n≤30. 利润 = 售价×销量-进价×销量 = (售价-进价)×销量 怎样确定n的取值范围？ 可得：0≤n≤30. 22051 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 (20+x) (300-10x) (20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000. 6000 22051 6 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 时，y=-10×52+100×5+6000=6250. 即涨价5元时，最大利润是6250元. 22051 7 例　某文创店售卖的泥人摆件，平均每天可销售30件，每件盈利60元.为迎接吸引更多顾客，该店决定降价促销.经调研发现，每件泥人摆件每降价2元，平均每天可多售出3件.设每件泥人摆件降价x元(0≤x≤60，且x为偶数). (1)降价促销后，该店每件泥人摆件盈利　　　元，平均每天的日销售量增加　　　件(用含x的代数式表示)；  解　每件泥人摆件原盈利60元，降价x元后，每件盈利为(60-x)元.每件降价2元时，日销售量增加3件，因此降价x元时，日销售量增加×3=(件). 22051 (2)该店想要实现泥人摆件日盈利额达到2 250元，且让顾客获得实惠，则每件泥人摆件应降价多少元？ 解　根据题意，列方程得=2 250. 方程两边同乘2消去分母得 (60-x)(60+3x)=4 500. 整理得 x2-40x+300=0. 解得x1=10，x2=30. ∵要让顾客获得实惠， ∴x=30，且30为偶数，符合0≤x≤60的条件. ∴每件泥人摆件应降价30元. 22051 进价/元 售价/元 销量/件 利润 降价 40 60-m 300+20m 解: (2)设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m – 40 )(300 +20m) 即y2=-20m2+100m+6000 其中，0≤m≤20. 怎样确定m的取值范围？ 可得：0≤m≤20. 降价情况下的最大利润又是多少呢? 22051 y2=-20m2+100m+6000 (0≤m≤20) 抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价下降 元时，利润最大，为 元. (2.5,6125) 2.5 6125 m取何值时，y有最大值？最大值是多少？ 即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元. 降价： =-20(m2-5m)+6000 =-20(m-2.5)2+6125 22051 降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 (20-x) (300+20x) (20-x)(300+20x) 建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)， 即：y=-20x2+100x+6000. 6000 22051 综上可知，定价57.5元时，最大利润是6125元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. ③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 当 时, 即降价2.5元时，最大利润是6125元. 即：y=-20x2+100x+6000， 由以上探索过程，说说如何定价能使利润最大? 在解决这类需要分类讨论的利润问题时，我们需要分别求出每种情况下的最大利润，然后进行比较，最终得出最优方案。 22051 求解最大利润问题的一般步骤： （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 22051 解　设日盈利额为y元. 根据题意得 y=(60-x)=-x2+60x+1 800(0≤x≤60，且x为偶数). ∵每天制作的泥人摆件不超过57个， ∴30+≤57. 解得x≤18. ∵0≤x≤60且x为偶数， ∴0≤x≤18，且x为偶数. ∵二次函数y=-x2+60x+1 800中，-<0， 22051 解　∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-=-=20. ∵在0≤x≤18范围内，y随x的增大而增大， ∴当x=18时，y取得最大值. 将x=18代入，得y=(60-18)=42×57=2 394. ∴泥人摆件日盈利额的最大值是2 394元. 22051 y1=-10n2+100n+6000 （0≤n≤30） 抛物线y1 =-10n2+100n+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价上涨 元时，利润最大，为 元. (5,6250) 5 6250 n取何值时，y有最大值？最大值是多少？ =-10(n2-10n)+6000 =-10(n-5)2+6250 即涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. 涨价： 22051 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件． (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式； (2)每件小电器销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？ 解：(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000. ∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元． (2)w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800， ∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件， ∴75≤x≤90. 根据题意，确定自变量的取值范围 需根据函数的增减性确定自变量的函数最值，而非在顶点处取最值 22051 跟踪训练　某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从1月至12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x(月)之间存在如图1(一条线段)所示的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x(月)之间存在如图2(一段抛物线)所示的变化趋势. (1)分别求函数y1和y2的解析式； 22051 解　由题意设y1=kx+b(k≠0)， 将(6，10)，(9，9)代入y1=kx+b，得 解得 ∴y1=-x+12； 设y2=a(x-5)2+8(a≠0)， 将(11，14)代入y2=a(x-5)2+8，得14=a(11-5)2+8， 解得a=， ∴y2=(x-5)2+8， 函数y1和y2的解析式分别为y1=-x+12，y2=(x-5)2+8. 22051 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 22051 随堂演练 基础巩固 1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些点的坐标(用公式)： (1)y=-4x2+3x; (2)y=3x2+x+6. 22051 2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？ 解：设所得利润为y元, 由题意得y=x(200-x)-30(200-x) =-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大. 22051 4.某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人平均增加2人.当每日销售收入最大时，票价下调　　　元.  随堂演练 6 22051 课堂小结 利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题. 22051 课堂小结 22051 $