1.2 集合间的基本关系 讲义-2026-2027学年高一上学期人教A版数学必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了集合间的基本关系知识体系。承接1.1集合的基本概念，从两个集合的关系入手，明确子集、真子集、相等、不包含的定义，空集的特殊规定，子集个数计算方法及含参集合问题的处理，搭建从概念到应用的学习支架。 知识链路采用五阶递进结构，逻辑清晰，通过全课地图、随堂一试、易错现场等模块，结合符号语言与Venn图转化，运用双向包含法和分类讨论思维，帮助学生构建完整知识网络，培养抽象能力和推理意识，习题注重陷阱分析与实战应用，助力理解记忆。

1.2 集合间的基本关系 · 知识点梳理 2026—2027学年 高一上学期 · 人教A版数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 版式：五阶递进 · 谱系辨亲版式 1.1 讲的是一个集合自己长什么样——怎么看它里面的元素、怎么把它写出来。从本节起，研究对象变成两个集合：谁包含谁？会不会一模一样？本节新知识只有四条：两个定义、一个方法、一条规定，但埋着高一第一个高频陷阱——空集。往后凡是两个集合放在一起考，用的都是这一节定下的规矩。 全课地图 · 两个集合之间可能的关系 任意给出两个集合，它们的关系只可能是下面四种中的一种。先把这张表看熟，再逐阶往下读。 可能的关系 符号 读法 一句话判定 A 的每个元素都在 B 里（允许两边一样） A ⊆ B（或 B ⊇ A） A 包含于 B 把 A 的元素逐个往 B 里对，一个不落 A 是 B 的子集，且两边不一样 A ⫋ B（或 B ⫌ A） A 真包含于 B 第一步合格，且 B 里至少多出一个 A 没有的元素 A 与 B 的元素完全相同 A = B A 等于 B 两个方向都包含：A ⊆ B 且 B ⊆ A A 中至少有一个元素不在 B 里 A ⊄ B A 不包含于 B 举出一个「在 A 不在 B」的元素即可下结论 任何集合与空集 ∅ ⊆ A；A ≠ ∅ 时 ∅ ⫋ A 空集是任何集合的子集 空集是全场最「小」的集合，见阶三 ★ 本节四件事：两个定义（子集、真子集）、一个方法（双向包含法）、一条规定（空集是任何集合的子集）、一个陷阱（含参集合可能为空）。作业与考试里的失分，八成集中在「陷阱」和「子集个数」两处。 阶一 · 什么叫做「一个集合包含另一个集合」 定义（课本原话）：如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A ⊆ B（或 B ⊇ A），读作「A 包含于 B」（或「B 包含 A」）。 例如：A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5}。A 里的 1、2、3 都在 B 里，所以 A ⊆ B。 1. 定义里三个不能看漏的词 关键词 是什么意思 看漏了会怎样 任意一个 A 里的每一个元素都要在 B 里，一个都不能少 只抽查了几个元素就下结论，判定不成立 都是 只要求 A 的元素都在 B 里，不要求 B 的元素都在 A 里 误以为要「互相都装得下」才算子集 子集 它描述的是两个集合之间的关系，不是某个元素 把 A ⊆ B 与 a ∈ A 混为一谈 2. 三种数学语言对译（文字 ↔ 符号 ↔ Venn 图） 课本用平面上封闭曲线的内部来表示集合，这种图叫 Venn 图。把下面三列对着看，就能把一句中文翻译成符号、再把符号读成图形。 文字语言 符号语言 图形语言（Venn 图怎么读） A 中任意一个元素都在 B 中 A ⊆ B 表示 A 的封闭曲线整个落在表示 B 的曲线内部；两条曲线允许重合 A 中至少有一个元素不在 B 中 A ⊄ B A 的曲线有一部分伸到 B 的外面，或两条曲线交叉 A 与 B 的元素完全相同 A = B 两条曲线完全重合 A 整个在 B 内部，且 B 里还有多余的 A ⫋ B A 的曲线落在 B 内部，但比 B 的范围小 书写三条规矩：① 开口方向——符号的开口朝着「大的」那一边，所以 A ⊆ B 的开口朝 B；② 前后不能随手换——A ⊆ B 与 B ⊆ A 是两句不同的话；③ ⊆ 只能用在两个集合之间，∈ 只能用在元素与集合之间。但两者可以出现在同一句推理里：a ∈ A，A ⊆ B，于是 a ∈ B。 3. 判定子集有两条路，方向正好相反 要得出的结论 怎么做 写出来是什么样 证明 A ⊆ B 成立 任取一个元素，证明它一定在 B 里 「任取 x ∈ A，则 x = 2k（k ∈ Z），所以 x 是偶数，即 x ∈ B，故 A ⊆ B」 证明 A ⊄ B 成立 只要找出一个「漏网」元素 「取 3 ∈ A，但 3 ∉ B，故 A ⊄ B」 ★ 这是本节的答题分水岭：证明「是子集」要管住全部元素，举反例「不是子集」只要一个元素。答题时先想清楚自己走哪条路，别两种写法混着写。 随堂一试 1｜判断下列两个集合的关系：（1）A = {x | x 是正方形}，B = {x | x 是矩形}；（2）M = {1, 2, 3}，N = {1, 2, 3, 4}。（答案见文末） 阶二 · 「相等」与「真子集」：⊆ 里藏着两种情形 ⊆ 这个符号把两件事合成了一句：A 的元素全在 B 里，可能是「正好一样」，也可能是「B 里还多出一些」。把这两种情形拆开，就得到集合相等与真子集。 1. 集合相等：得从两个方向都看一遍 如果 A ⊆ B，且 B ⊆ A，那么 A 与 B 的元素完全相同，称 A 与 B 相等，记作 A = B。反过来也成立，所以这是一个「充要条件」：A = B ⟺ A ⊆ B 且 B ⊆ A。 这个「双向包含法」是证明两个集合相等的标准套路：要证相等，就分别证两次包含。很多题目里两个集合写法完全不同（一个用描述法、一个用列举法），用这个方法最稳。 2. 三档关系对照：别把 ⊆ 和 ⫋ 当一回事 关系 符号 两边允许元素完全相同吗 举例 子集 A ⊆ B 允许。相等也叫做「A 是 B 的子集」 {1, 2} ⊆ {1, 2}；{1, 2} ⊆ {1, 2, 3} 真子集 A ⫋ B 不允许。B 里至少有一个元素不在 A 里 {1, 2} ⫋ {1, 2, 3}；不能写 {1, 2} ⫋ {1, 2} 相等 A = B 必须完全相同，一个元素都不能差 {1, 2, 3} = {3, 2, 1} 符号说明：真子集课本记作 ⫋，读「A 真包含于 B」；有的资料写成 ⊊ 或 ⊂，含义一样，见到不必慌，本讲义统一用 ⫋。若 A 不是 B 的子集，记作 A ⊄ B（有的资料写作 A ⊈ B）。 3. 两道例题：比关系靠「改写」，不等靠「反例」 【例 1】已知 A = {x | x = 2k，k ∈ Z}，B = {x | x = 4k，k ∈ Z}，判断 A 与 B 的关系。 解：先看 B 的元素是不是都在 A 里。任取 x ∈ B，则 x = 4k（k ∈ Z），写成 x = 2·(2k)，而 2k ∈ Z，所以 x 是偶数，即 x ∈ A，故 B ⊆ A。 再看 A 的元素是不是都在 B 里。取 x = 2，因为 2 = 2 × 1，所以 2 ∈ A；但 2 不是 4 的倍数，所以 2 ∉ B，故 A ⊄ B。 所以 B ⫋ A——B 是 A 的真子集，即 4 的倍数都是偶数，但偶数不都是 4 的倍数。 【例 2】已知 A = {x | x = 2k + 1，k ∈ Z}，B = {x | x = 2k − 1，k ∈ Z}，判断 A 与 B 的关系。 解：任取 x ∈ A，则 x = 2k + 1 = 2(k + 1) − 1，而 k + 1 ∈ Z，说明 x 也是「2 乘以某个整数再减 1」的样子，即 x ∈ B，故 A ⊆ B。 任取 x ∈ B，则 x = 2k − 1 = 2(k − 1) + 1，而 k − 1 ∈ Z，所以 x ∈ A，故 B ⊆ A。 两个方向都成立，所以 A = B。（其实两个集合都是全体奇数。） ★ 方法提炼：两个描述法集合比关系，先看代表元素长得像不像，再想办法把一种「长相」改写成另一种。改写不出来时，就去举反例——反例往往就是最小的那个特殊数，比如 2、0、1。 随堂一试 2｜已知 A = {x | x = 3k，k ∈ Z}，B = {x | x = 3k + 3，k ∈ Z}，判断 A 与 B 的关系。（答案见文末） 阶三 · 空集：全场最特殊的那个「小集合」 定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作 ∅。例如方程 + 1 = 0 在实数范围内的解集，就是一个空集——它在实数里根本找不到解。 关于空集有两条必须背下来的规定： 规定 符号表达 适用条件 怎么理解 空集是任何集合的子集 ∅ ⊆ A A 为任意集合（包括 A = ∅） ∅ 是全场最「小」的集合，见谁都装得下 空集是任何非空集合的真子集 ∅ ⫋ A 必须 A ≠ ∅ A 里既然有元素，就比 ∅ 多，所以是真包含 1. 为什么「∅ ⊆ A」是规定出来的 要说明 ∅ 不是 A 的子集，按定义就得找出一个「在 ∅ 中却不在 A 中」的元素。可 ∅ 里什么元素都没有，这样的元素根本不存在——所以 ∅ 只能是 A 的子集。这条规定不是硬塞给我们的，而是定义本身推出来的结论。 2. 三个最容易混的记法 记法 它到底是什么 元素个数 跟其他集合的关系 ∅ 空集，什么元素也没有 0 ∅ ⊆ A（A 任意）；A ≠ ∅ 时 ∅ ⫋ A；0 ∉ ∅ {0} 含有一个元素 0 的集合 1 ∅ ⫋ {0}；0 ∈ {0}；可写成 {x ∈ N | x = 0} {∅} 含有一个元素「空集」的集合 1 ∅ ∈ {∅}，同时 ∅ ⊆ {∅}，且 ∅ ⫋ {∅} ★ 判断 ∅ 与某个集合之间该用 ∈ 还是 ⊆，只问一件事：此刻 ∅ 扮演的是「元素」还是「集合」。在 {∅} 里，∅ 正好就是那个元素，所以 ∅ ∈ {∅} 正确；而空集又是任何集合的子集，所以 ∅ ⊆ {∅} 也正确。两句话不矛盾。 3. 顺手算一下 {∅} 的子集 集合 {∅} 只有一个元素（这个元素是 ∅），所以它的子集有两个：∅ 与 {∅}。注意 {∅} 的真子集只有 ∅ 一个——它自己不算真子集。这一步是阶四计数公式的最小例子。 随堂一试 3｜用合适的符号填空：(1) 0 ______ ∅（填 ∈ 或 ∉）；(2) ∅ ______ {0}（填 ⊆ 或 ⫋）；(3) {∅} 的所有子集是 ____________。（答案见文末） 阶四 · 三条性质与子集个数的算法 1. 包含关系的三条常用性质 性质 符号表达 怎么理解 用在哪里 自反性 A ⊆ A 任何集合都是它本身的子集 列子集清单时别把自己漏掉 传递性 A ⊆ B，B ⊆ C ⟹ A ⊆ C 小圈套在大圈里，大圈又套在更大的圈里 连续比较三个集合的关系 双向包含 A = B ⟺ A ⊆ B 且 B ⊆ A 两个圈一样大 ⟺ 互相都装得下 证明两个集合相等 常用数集包含链 N* ⫋ N ⫋ Z ⫋ Q ⫋ R 从正整数一路上到全体实数 判断数集之间的包含题 2. 一个集合有多少个子集 设有限集 A 中有 n 个元素。每个元素在造子集时都只有两种命运：被选进来，或不被选进来。n 个元素各作一次选择，一共 种选法，也就是 个子集。 元素个数 n 子集个数 真子集个数 非空子集个数 非空真子集个数 0 1 0 0 0 1 2 1 1 0 2 4 3 3 2 3 8 7 7 6 n − 1 − 1 − 2 计数口诀：全部子集共 个；去掉它自己，得真子集 − 1 个；去掉空集，得非空子集 − 1 个；两头都去掉，得非空真子集 − 2 个。 注意「去掉它自己」和「去掉空集」各自都只是减 1，所以两个数总是相等——真子集个数与非空子集个数一定相同，这条可以用来验算。 3. 怎么把子集写全（按元素个数分层列） 以 A = {a, b, c} 为例，按元素个数从少到多逐层写，绝不重复也不遗漏： 0 个元素：∅； 1 个元素：{a}、{b}、{c}； 2 个元素：{a, b}、{a, c}、{b, c}； 3 个元素：{a, b, c}。 一共 1 + 3 + 3 + 1 = 8 个，与 = 8 吻合。其中真子集 7 个（划掉 {a, b, c}），非空真子集 6 个（再划掉 ∅）。 随堂一试 4｜集合 M = {x ∈ N | x < 4} 有几个子集？几个真子集？几个非空真子集？（答案见文末） 阶五 · 实战：判关系与「含参求范围」 本节题目分两大类。第一类是判断或证明两个集合的关系，用阶一给的两条路即可；第二类是已知包含关系求参数的取值范围，这是高频题，也是空集陷阱的藏身之处。 1. 含参问题的三步法 步骤 具体做什么 为什么必须做 第一步：先问空集 像 B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m − 1} 这种「两端都带参数」的集合，参数取某些值时它会变成空集，必须单独讨论 漏掉 B = ∅ 是本节最高频的失分点，答案会少一整段 第二步：画到数轴上 把已知集合的范围画出来，再看 B 要落在哪个位置 端点谁在左谁在右一目了然，不容易写错不等号方向 第三步：验端点等号 列出不等式后，逐一检查取等号时是否仍然成立 端点处常常「多一个元素就翻车」，必须代回去验 2. 例题：B ⊆ A 求参数（空集必须先谈） 【例】已知集合 A = {x | −2 ≤ x ≤ 5}，B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m − 1}，若 B ⊆ A，求实数 m 的取值范围。 解：B 中含有参数 m，所以要分 B 是否为空集两种情况。 ① 若 B = ∅，则 m + 1 > 2m − 1，解得 m < 2。此时 B 里没有元素，「B 的元素都在 A 里」自然成立，所以 B ⊆ A。 ② 若 B ≠ ∅，则 m + 1 ≤ 2m − 1，即 m ≥ 2。要使 B ⊆ A，需要 B 的左端点不小于 −2，且右端点不大于 5，即 m + 1 ≥ −2 且 2m − 1 ≤ 5，解得 m ≥ −3 且 m ≤ 3。与 m ≥ 2 取公共部分，得 2 ≤ m ≤ 3。 综上所述，m 的取值范围是 m ≤ 3。 ★ 提醒：答案必须是两种情形合起来的结果。只写 2 ≤ m ≤ 3，就是把 B = ∅ 那一段丢了；只写 m ≤ 3 而不交代来路，过程分照样会扣。答题时「若 B = ∅」这五个字是第一采分点。 3. 端点到底能不能取等号 把上面例题里出现等号的位置逐一验一遍，就能明白为什么不能凭感觉写： 取到等号的情形 检验什么 结论 m + 1 = 2m − 1，即 m = 2 此时 B 变成单元素集 {3}，3 在不在 A 里？ 3 ∈ A，成立，可以取 m + 1 = −2，即 m = −3 B 的左端点与 A 的左端点重合，−2 在不在 A 里？ −2 ∈ A，成立，可以取 2m − 1 = 5，即 m = 3 B 的右端点与 A 的右端点重合，5 在不在 A 里？ 5 ∈ A，成立，可以取 4. 例题：由包含关系求值（别忘互异性） 【例】已知集合 A = {1, 3, }，B = {1, a + 2}，若 B ⊆ A，求实数 a 的值。 解：B 中有两个元素，所以 a + 2 ≠ 1，即 a ≠ −1。 由 B ⊆ A 知，a + 2 必须是 A 中的元素，因此 a + 2 = 3，或 a + 2 = 。 ① 若 a + 2 = 3，则 a = 1。此时 = 1，集合 A 中的元素为 1、3、1，出现重复，与元素的互异性矛盾，舍去； ② 若 a + 2 = ，即 − a − 2 = 0，解得 a = 2 或 a = −1。其中 a = −1 使 a + 2 = 1，集合 B 中的两个元素都成了 1，舍去。 当 a = 2 时，a + 2 = 4，A = {1, 3, 4}，B = {1, 4}，此时 B ⫋ A，符合要求。 所以 a = 2。 ★ 由包含关系求值，收尾必须检验两件事：集合内部有没有重复（互异性）、以及两边到底相等还是真包含。这两句话写出来，就是完整答案。 随堂一试 5｜（1）已知 A = {x | −1 ≤ x ≤ 3}，B = {x | m − 1 ≤ x ≤ 2m + 1}，若 B ⊆ A，求 m 的取值范围；（2）已知 A = {1, a}，B = {1, }，若 A = B，求 a 的值。（答案见文末） 易错现场 · 八种常见的栽跟头方式 下面每一条都来自真实作业与考试。看的时候重点对一对：自己有没有踩过。 现场（典型错误） 诊断 处方 看见 B ⊆ A 就直接列不等式 m + 1 ≥ −2 且 2m − 1 ≤ 5 忘了含参集合可能是空集 第一句先写「若 B = ∅，则 m + 1 > 2m − 1」 认为 A ⊆ B 与 A ⫋ B 是一回事 ⊆ 允许两边相等，⫋ 不允许 写关系之前先问一句：两边会不会正好相等 把元素与集合的关系写成集合与集合的关系：{1} ∈ {x | x ≤ 3} ∈ 管元素与集合，⊆ 管集合与集合 元素用 ∈：1 ∈ {x | x ≤ 3}；集合用 ⊆：{1} ⊆ {x | x ≤ 3} 认为 0 ∈ ∅ 空集里一个元素也没有 0 ∉ ∅；0 属于 N，也属于 {0} 认为 {0} = ∅ {0} 里有一个元素，就是 0 ∅ 的元素个数是 0，{0} 的元素个数是 1，两者不相等 不确定 ∅ ∈ {∅} 到底对不对 没分清此处 ∅ 是元素还是集合 两句话都成立：∅ ∈ {∅}，且 ∅ ⊆ {∅} 数子集时把 ∅ 漏掉，或把集合本身算进真子集 计数没有分层 按元素个数 0、1、2… 逐层列举，再核对 1 + 3 + 3 + 1 是否等于 由 A = B 求出参数就直接交卷 忘了把值代回原集合检验互异性 补一句「当 a = … 时，A = …，B = …，元素互不相同」，这是采分点 来龙去脉 · 这套符号是怎么长出来的 本节的符号看着简单，其实是一百多年前才被人「造」出来的。 把逻辑推理写成代数式子的是英国数学家布尔（George Boole，1815—1864）。他想做一件事：让人脑的推理也能像解方程一样按规则演算。于是「一个类包含于另一个类」这样的说法，第一次有了写成式子的可能。 真正把这些关系变成符号的，是意大利数学家皮亚诺（Giuseppe Peano，1858—1932）。他在整理数学推理的语言时，用字母 C 造出了表示包含的记号（一般认为 C 取自拉丁文中「包含」一词的首字母），又用希腊字母 ε 造出了表示「属于」的记号——这就是今天的 ⊂ 与 ∈ 的源头。 空集符号 ∅ 的历史更短，通常追溯到 1939 年法国布尔巴基学派的工作：在字母 O 上斜划一道，表示「这个圈里什么都没有」。也有说法认为它受了北欧字母 Ø 的影响。所以看到 ∅ 时可以这样记：它是一个圈，圈里空空的——但它是集合，不是数字 0，0 是「一个数量」，∅ 是「一个容器」。 一图收束 · 知识网络与记忆口诀 主干 分支 要点 两个集合的关系 子集 A ⊆ B A 的元素全在 B 里；开口朝着大的那边 ↳ 真子集 A ⫋ B B 里至少多一个元素；∅ ⫋ A（要求 A ≠ ∅） ↳ 集合相等 A = B A ⊆ B 且 B ⊆ A，双向包含法 ↳ 不包含 A ⊄ B 举出一个「在 A 不在 B」的元素即可 空集 两条规定 ∅ ⊆ A；A ≠ ∅ 时 ∅ ⫋ A ↳ 三个易混记法 ∅、{0}、{∅} 互不相同，元素个数分别是 0、1、1 性质 自反、传递、双向包含 A ⊆ A；A ⊆ B 且 B ⊆ C ⟹ A ⊆ C 计数 公式 子集 ；真子集与非空子集各 − 1；非空真子集 − 2 口诀：开口朝着大的边，A ⊆ B 读包含；⊆ 含相等，⫋ 不含，双向包含才算等。空集最小肚量大，见谁都是谁子集；碰上含参先问它——这个集合空不空？子集 个记心间，去掉自己真子集，再去空集非空集，两头都去 − 2。 随堂一试 · 答案与思路 先在草稿纸上做完五题，再对照这里。做错的，回到对应那一阶重看一遍。 随堂一试 1 （1）每一个正方形都是矩形，所以 A ⊆ B；但矩形不一定是正方形，例如长为 2、宽为 1 的矩形就不是正方形，所以 A ≠ B，即 B ⊄ A。故 A ⫋ B。 （2）M 中的 1、2、3 都在 N 中，所以 M ⊆ N；而 4 ∈ N 但 4 ∉ M，所以 M ≠ N，故 M ⫋ N。 随堂一试 2 任取 x ∈ A，则 x = 3k（k ∈ Z），写成 x = 3(k − 1) + 3，而 k − 1 ∈ Z，所以 x ∈ B，故 A ⊆ B。 任取 x ∈ B，则 x = 3k + 3 = 3(k + 1)，而 k + 1 ∈ Z，所以 x ∈ A，故 B ⊆ A。 两个方向都成立，所以 A = B。（两个集合都是全体 3 的倍数。） 随堂一试 3 （1）0 ∉ ∅。空集里没有任何元素，任何对象都不属于它。 （2）∅ ⫋ {0}。空集是任何集合的子集，所以 ∅ ⊆ {0} 成立；而 {0} 含有元素 0，不是空集，由「空集是任何非空集合的真子集」可知 ∅ ⫋ {0} 也成立。两条都成立时，⫋ 表示的关系更强，所以这里填 ⫋。 （3）0 ∉ {∅}。{∅} 里只有一个元素，这个元素是 ∅，不是 0，所以 0 不属于它。 （4）∅ 与 {∅}。{∅} 只有一个元素，所以它的子集是空集与它本身这两个。 随堂一试 4 先化简：M = {x ∈ N | x < 4} = {0, 1, 2, 3}，共 4 个元素，即 n = 4。 子集个数为 = 16；真子集个数为 16 − 1 = 15；非空真子集个数为 16 − 2 = 14。 随堂一试 5 （1）分两种情况。① 若 B = ∅，则 m − 1 > 2m + 1，解得 m < −2，此时 B ⊆ A 成立； ② 若 B ≠ ∅，则 m − 1 ≤ 2m + 1，即 m ≥ −2。要使 B ⊆ A，需 m − 1 ≥ −1 且 2m + 1 ≤ 3，解得 m ≥ 0 且 m ≤ 1。与 m ≥ −2 取公共部分，得 0 ≤ m ≤ 1。 所以 m 的取值范围是 m < −2 或 0 ≤ m ≤ 1。 （2）由 A = B 知两个集合的元素完全相同。因为 a 是 A 的元素，所以 a 也必须是 B 的元素，即 a = 1 或 a = 。 先注意 B = {1, } 中有两个元素，所以 ≠ 1，即 a ≠ 1 且 a ≠ −1，故只能是 a = ，解得 a = 0 或 a = 1。其中 a = 1 已排除，故 a = 0。检验：A = {1, 0}，B = {1, 0}，两个集合元素完全相同，且各自内部没有重复，符合要求。所以 a = 0。 过关自测 独立完成后对照文末答案。凡是做错的，回到对应那一阶重看一遍。 一、选择题 1. 下列关系中正确的是（ ） A. 0 ∈ ∅ B. ∅ ⫋ {0} C. {0} ⊆ ∅ D. ∅ ∈ {0} 2. 已知集合 A = {x | x = 2k，k ∈ Z}，B = {x | x = 4k，k ∈ Z}，则 A 与 B 的关系是（ ） A. A ⫋ B B. B ⫋ A C. A = B D. A ⊄ B 3. 若集合 M = {x ∈ N | x < 3}，则 M 的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 4. 已知集合 A = {−1, 1}，B = {x | = 1，x ∈ R}，则 A 与 B 的关系是（ ） A. A ⫋ B B. B ⫋ A C. A = B D. A ⊄ B 二、填空题 5. 用符号 ∈ 或 ∉ 填空：0 ______ ∅；0 ______ {0}；∅ ______ {∅}。 6. 用符号 ⊆ 或 ⫋ 填空，要求填出成立的最强关系（⫋ 比 ⊆ 表示的关系更强）：{1, 2} ______ {1, 2}；∅ ______ {a}；{1, 2} ______ {1, 2, 3}。 7. 集合 A = {x ∈ Z | −1 ≤ x ≤ 2} 用列举法表示为 ____________，它的非空真子集有 ______ 个。 8. 已知 A = {x | −1 < x < 2}，B = {x | x ≤ a}，若 A ⊆ B，则 a 的取值范围是 ____________。 三、解答题 9. 判断下列两个集合的关系，并说明理由： （1）A = {x | x = 3k + 1，k ∈ Z}，B = {x | x = 3k − 2，k ∈ Z}； （2）M = {2, 4, 6}，N = {x | x 是 6 的正约数}。 10. 已知集合 A = {x | −3 ≤ x ≤ 4}，B = {x | m − 1 ≤ x ≤ 2m + 3}，若 B ⊆ A，求实数 m 的取值范围。 11. 写出所有满足 {1, 2} ⫋ A ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} 的集合 A。 过关自测 · 答案与解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 答案 B B C C 1. B。空集里没有任何元素，所以 0 ∉ ∅，A 错；空集是任何非空集合的真子集，{0} 含有元素 0，不是空集，所以 ∅ ⫋ {0}，B 对；{0} 中有元素 0，而 ∅ 中没有元素，所以 0 ∉ ∅，{0} ⊆ ∅ 不成立，C 错；{0} 的元素是 0，不是 ∅，所以 ∅ ∉ {0}，D 错。 2. B。4 的倍数一定是偶数，所以 B ⊆ A；但 2 是偶数而不是 4 的倍数，所以 2 ∈ A 且 2 ∉ B，A ⊄ B。故 B ⫋ A。 3. C。M = {0, 1, 2}，共 3 个元素，子集个数为 = 8，真子集是去掉集合本身，共 8 − 1 = 7 个。 4. C。解方程 = 1 得 x = 1 或 x = −1，所以 B = {−1, 1}，与 A 的元素完全相同，故 A = B。 二、填空题 5. 0 ∉ ∅；0 ∈ {0}；∅ ∈ {∅}。（最后一空要注意：{∅} 的元素就是 ∅ 本身。） 6. {1, 2} ⊆ {1, 2}；∅ ⫋ {a}；{1, 2} ⫋ {1, 2, 3}。第一空两边元素完全相同，只能是 ⊆；第二空 {a} 不是空集，由「空集是任何非空集合的真子集」得 ⫋；第三空 {1, 2, 3} 中多出元素 3，故 ⫋。 7. A = {−1, 0, 1, 2}；非空真子集有 14 个。A 中共 4 个元素，子集个数为 = 16，非空真子集去掉 ∅ 与 A 本身，共 16 − 2 = 14 个。 8. a ≥ 2。要使 A ⊆ B，A 中的每个元素都要不大于 a。A 中元素可以任意接近 2 但取不到 2，所以 a 必须不小于 2；当 a = 2 时，A 中任何元素 x 都满足 x < 2 ≤ a，仍成立。故 a ≥ 2。 三、解答题 9. （1）A = B。理由：任取 x ∈ A，则 x = 3k + 1 = 3(k + 1) − 2，而 k + 1 ∈ Z，所以 x ∈ B，故 A ⊆ B；任取 x ∈ B，则 x = 3k − 2 = 3(k − 1) + 1，而 k − 1 ∈ Z，所以 x ∈ A，故 B ⊆ A。两个方向都成立，所以 A = B。 （2）M 与 N 互不包含。理由：6 的正约数是 1、2、3、6，所以 N = {1, 2, 3, 6}。取 4 ∈ M，但 4 ∉ N，故 M ⊄ N；取 1 ∈ N，但 1 ∉ M，故 N ⊄ M。两个方向都不成立，所以 M 与 N 互不包含。 10. 分两种情况。① 若 B = ∅，则 m − 1 > 2m + 3，解得 m < −4，此时 B ⊆ A 成立； ② 若 B ≠ ∅，则 m − 1 ≤ 2m + 3，即 m ≥ −4。要使 B ⊆ A，需 m − 1 ≥ −3 且 2m + 3 ≤ 4，解得 m ≥ −2 且 m ≤ 。与 m ≥ −4 取公共部分，得 −2 ≤ m ≤ 。 检验端点：当 m = −2 时，B = {x | −3 ≤ x ≤ −1}，端点 −3 与 −1 都在 A 中，成立；当 m = 时，B = {x | − ≤ x ≤ 4}，右端点 4 在 A 中，成立。 所以 m 的取值范围是 m < −4 或 −2 ≤ m ≤ 。 11. 因为 A ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} 且 {1, 2} ⫋ A，所以 A 中一定含有 1 和 2，并且还含有 {3, 4, 5} 中至少一个元素。 依次写出：{1, 2, 3}、{1, 2, 4}、{1, 2, 5}、{1, 2, 3, 4}、{1, 2, 3, 5}、{1, 2, 4, 5}、{1, 2, 3, 4, 5}，共 7 个。 （算理：从 {3, 4, 5} 中任取非空的一部分添进 {1, 2}，共有 − 1 = 7 种取法。） 学科网（北京）股份有限公司 $