26.4 实际问题与二次函数（第2课时 抛物线型） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4　实际问题与二次函数（第 2 课时　抛物线型问题） 学科：数学（人教版·九年级上册） 第二十六章　二次函数（26.4 第 2 课时） 主讲人：____________　　学校：____________ 拱桥、喷泉、投篮、隧道——这些形状都是抛物线。解决这类题，第一步不是算，是“把坐标系建在哪儿”。 学习目标 1. 会把拱桥、投篮等实际问题抽象为抛物线模型。 2. 会选择合适的建系方式，用待定系数法求解析式。 3. 会用解析式回答能否通过、最高多少、跨度多少。 重点：建系与求式。难点：建系不同解析式不同，但结论一致。 一 情境引入 同一座桥，三种坐标系 拱桥的拱顶高 4 m，跨度 10 m。要研究它的形状，先要建坐标系。 建法一：以拱顶为原点 ⇒ y = ax²，只需一个参数。 建法二：以水面中央为原点 ⇒ y = ax² + 4。 建法三：以左端点为原点 ⇒ y = a(x − 5)² + 4。 问题：哪种最省事？顶点在原点时最省事。 同一座桥三种解析式，是本课最核心的“变与不变”。建议现场把三种式子都写出来对比。 二 探究 顶点放在原点，解析式最简单 以拱顶为原点、对称轴为 y 轴建系，设 y = ax²。 水面跨度 10 m、拱高 4 m ⇒ 点 (5,−4) 在图象上。 代入： − 4 = 25a ⇒ a = −0.16，即 y = −0.16x²。 用一用：x = 3 时 y = −1.44，即距中心 3 m 处高 1.44 m。 要点：建系让“已知点”变少，方程就变简单。 x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 O -5 5 水面 跨度 10 m 拱顶 O(0,0) 拱高 4 m y = −0.16x² “哪个点好代入”决定建系方式。顶点在原点时只需一个点，这是最经济的做法。 抛物线型问题的四步 ① 建系：把顶点、端点或已知点放到坐标轴上，写出各点坐标。 ② 设式：顶点在原点设 y = ax²；顶点在 y 轴设 y = ax² + k；一般设顶点式。 ③ 代入：用一个已知点求 a。 ④ 还原：把求得的 y 或 x 翻译回实际问题（高度、宽度、能否通过）。 提醒：第 ④ 步常被忽略，却是得分点。 四步与上一节的“建模四步”结构呼应：设、列、解、还原。 例1　拱桥：求解析式与某处高度 抛物线形拱桥，拱顶离水面 4 m，水面宽 10 m。 （1）以拱顶为原点建系，求解析式； （2）水面上升 1 m 后，水面宽多少？ 解（1）y = −0.16x²（见上页）。 解（2）令 y = −3： − 3 = −0.16x² ⇒ x² = 18.75 ⇒ x ≈ ±4.33。 　　∴ 水面宽约 8.7 m——水位越高，水面越窄。 第（2）问把“高度”当已知、把“宽度”当未知，是抛物线型问题的标准反用。 例2　隧道：能不能通过 隧道横断面是抛物线，宽 8 m，最高 4 m。一辆宽 3 m、高 3 m 的货车能通过吗？ 解：以拱顶为原点，y = ax²，过 (4,−4) ⇒ a = −1/4， 　　∴ y = −1/4x²。 　　货车靠中线行驶时，车顶两角在 x = ±1.5：y = −1/4 ×2.25 = −0.5625， 　　即该处净高 4 − 0.5625 = 3.4375 > 3 ⇒ 能通过。 关键：比的是该处的净高与车高，不是最高处。 1 4 1 4 1 4 学生最常见的错误是拿 4 m 和 3 m 直接比。要强调“车顶两角处的高度”才是瓶颈。 例3　喷泉：求水柱的落点 喷头在地面 O 处，水柱最高 2 m，最高点距喷头水平 1 m。 （1）求解析式；（2）水柱落点距喷头多远？ 解（1）设 y = a(x − 1)² + 2，过喷头 (0,0) ⇒ 0 = a + 2 ⇒ a = −2， 　　∴ y = −2(x − 1)² + 2。 解（2）令 y = 0： − 2(x − 1)² + 2 = 0 ⇒ (x − 1)² = 1 ⇒ x = 0 或 x = 2。 　　x = 0 是喷头，故落点距喷头 2 m。 “两个根”里有一个是喷头自己，要舍去——这是抛物线型问题特有的“取舍”步骤。 例4　铅球：出手高度是常数项 铅球出手高 1.8 m，最高 3 m，最高点距出手点的水平距离 2 m。 解：以出手点正下方地面为原点，设 y = a(x − 2)² + 3。 　　过出手点 (0,1.8)：1.8 = 4a + 3 ⇒ a = −0.3， 　　∴ y = −0.3(x − 2)² + 3。 　　落地时 y = 0：(x − 2)² = 10 ⇒ x = 2+√10 ≈ 5.16。 　　∴ 成绩约 5.2 m（取正根，舍去负根）。 与投篮题对照：投篮问“某处高度够不够”，铅球问“落地有多远”。一个代 x，一个令 y=0。 三 另一类 投篮：出手点、最高点、篮筐 球出手时高 1.6 m，运行中最高 3.4 m，距出手点水平 2.2 m。 以出手点正下方地面为原点建系，则顶点 (2.2,3.4)。 设 y = a(x − 2.2)² + 3.4，代入 (0,1.6) 得 a ≈ −0.372。 判断：篮筐在 x = 4.0、高 2.4 m 处，代入得 y ≈ 2.37 < 2.4。 结论：这一球差一点，投不进。 x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 O 出手点 篮筐 最高点 球的运动轨迹 投篮题的价值在于“算出来的结果要回到现实判断”。差 3 cm 也是不进，这正是数学的严谨。 四 方法梳理 三类抛物线型问题对照 类型 建系建议 求什么 注意 拱桥、隧道 顶点放原点或水面中央 某高度处的宽度 比净高，不比最高 喷泉、跳水 顶点放原点 最高点、落点 落点看 y = 0 投篮、铅球 出手点或顶点 能否命中 代横坐标求纵坐标 三类问题的骨架完全一样：建系—设式—代入—还原。差别只在“还原”时问什么。 五 巩固练习 巩固练习：拱桥、喷泉、铅球 1. 抛物线拱桥拱高 4 m、跨度 8 m，以拱顶为原点求解析式。 2. 上题中水面上升 2 m，水面宽多少？ 3. 喷泉水流最高 2 m，距喷口水平 1 m，以最高点为原点求解析式。 4. 铅球出手高 1.8 m，最高 3 m（水平 2 m），求解析式。 答案：1）y=−1/4x²；2）约 5.66 m；3）y=−2x²（过 (−1,−2)）；4）y=−0.3(x−2)²+3。 易错辨析：建系与还原的坑 错1　建系混乱：顶点既放在原点又代入别处的坐标。 错2　把“拱高 4 m”当成顶点纵坐标 4，却以水面为原点还设 y = ax²。 错3　只求了解析式，不回答“能否通过”“宽多少”。 正　建系时把每个已知点标在图上，算完回到问题。 错2 是最高频的：建系与设式必须配套。让学生养成“先画图、标点、再设式”的顺序。 课堂检测 1. 拱高 4 m、跨度 10 m，以拱顶为原点，解析式为＿＿。 2. 上题中 x = 4 处的高度是＿＿ m。 3. 抛物线形隧道最高 5 m、宽 10 m，宽 4 m 的车能通过吗？ 4. 若把拱顶建在 (0,4)，解析式为＿＿。 答案：1）y=−0.16x²；2）2.56 m；3）该处净高 4.2 m>4 m，能通过；4）y=−0.16x²+4。 六 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个模型：抛物线型问题的四步——建系、设式、代入、还原。 一条经验：顶点放在原点，解析式最简单。 一个提醒：判断能否通过，比的是该处净高。 一句话：建系建得好，题目就简单一半。 下一节数学活动：先用试验数据发现规律，再用二次函数把它“算准”。 课后作业 1. 基础题：教材习题 26.4 第 3、4 题。 2. 应用题：抛物线拱桥跨度 12 m、拱高 3 m，求水面上升 1 m 后的宽度。 3. 判断题：投篮题中，若球在篮筐处的计算高度恰好等于 2.4 m，说明什么？ 4. 思考题：为什么拱桥多做成抛物线形，而不是圆弧形？ 第2题答案 y=−(1/12)x²，rising 1 m 后宽约 9.8 m。第4题可从“受力均匀、施工方便”角度简单说明。 $