26.4 实际问题与二次函数（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章　二次函数 26.4 实际问题与二次函数（第2课时） 定价、营业额与最大利润 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 营业额与利润 观察与分析 营业额等于售价乘销量；利润等于营业额减总成本。若只考虑每件固定进价，则利润是每件利润乘销量。 结论与应用 题目给了成本时，不能把销售收入直接当成利润。先确定所求目标，再建立相应函数。 情境引入 价格与销量同时变化 观察与分析 涨价会提高每件利润，但也可能减少销量；降价虽减小单位利润，却可能增加销量。这两个变化需要同时计入乘积。 结论与应用 最佳定价不是价格越高越好，也不是销量越大越好。二次函数描述两种相反变化的综合结果。 新知讲授 以调价金额为自变量 观察与分析 现售价元，进价元，若每件涨价元，则新售价，单位利润。 结论与应用 每涨一元少卖十件，销量为。一个同时表示价格的增加量和销量变化的触发量。 新知讲授 涨价利润模型 观察与分析 。 结论与应用 常数是原价时利润，二次项系数为负，表示存在最大值。展开后用可检查模型是否还原原状。 新知讲授 销量范围与整数价格 观察与分析 需，因此；题目规定单价是整数，原价为整数，所以也应为整数。 结论与应用 范围与整数要求是两种不同限制。顶点即使在范围内，也可能不满足整数条件，需要进一步比较邻近整数。 新知讲授 涨价情形的最大利润 观察与分析 ，顶点允许，售价应为元，销量件。 结论与应用 最大利润元。把售价、销量、单位利润相乘再核对：。 新知讲授 降价情形要重新建模 观察与分析 设每件降价元，则售价，单位利润；每降一元多售二十件，销量。 结论与应用 不能直接把涨价式中换成负数，因为涨价与降价时，销量对价格的响应系数不同。 新知讲授 降价利润模型 观察与分析 。 结论与应用 若连续取值，顶点，利润。但原题要求售价整数，因此还要检查相邻整数调价。 新知讲授 整数最优解 观察与分析 或离距离同为，得到利润均为元，对应售价元或元。 结论与应用 函数在顶点两侧对称，邻近整数的距离可用于比较。不能把连续最优值作为整数售价条件下可达到的利润。 新知讲授 分情况之后作总比较 观察与分析 原价利润，涨价最大，降价整数最大。比较全部可行情况后，最佳售价为元。 结论与应用 只求其中一种调整方案不够。题目允许涨价与降价时，最终答案应来自两个模型与原状的共同比较。 新知讲授 营业额模型的目标 观察与分析 旅行团每人收费随人数增加而降低，若问题只问营业额，不需要编造旅行成本；目标为人数乘人均收费。 结论与应用 利润题与营业额题虽然都可形成二次函数，但乘积中的第一个因子含义不同，不能混用答案名称。 新知讲授 以增加人数设元 观察与分析 旅行团人起组，每人元，每增加一人，每人收费少元。设超出人数，实际人数。 结论与应用 人均收费为，所有人都按新价格付费。不能只让新增成员享受降价而原二十人仍按旧价。 新知讲授 旅行团营业额 观察与分析 。 结论与应用 顶点，所以总人数是，不是。对自变量含义的解释，决定最终答案是否把增加量错当总量。 新知讲授 固定费用与逐件成本 观察与分析 生产件商品，每件花费元，另有固定花费元，总成本是。 结论与应用 固定成本不随成倍增加。不能写成，也不能在利润式中漏去固定成本。 新知讲授 售价随产量下调 观察与分析 预定单价元，下调幅度为产量的八分之一，即每件售价，销售收入。 结论与应用 利润应再减去，得到。 新知讲授 固定成本不改最优产量 观察与分析 。固定成本只改变常数项，所以不改变该模型的最优产量件。 结论与应用 它会降低最大利润，因此不能因不影响顶点横坐标就省略。最优时售价元，最大利润元。 新知讲授 连续最优与可行最优 观察与分析 若顶点横坐标为非整数而产量、人数需为整数，应在允许范围内比较相邻整数。若顶点超范围，则还要结合增减性比较边界。 结论与应用 先解连续模型，再叠加整数和范围条件，可把实际优化的层次写清楚，避免直接四舍五入而忽略另一候选值。 新知讲授 检查模型的基准状态 观察与分析 把调价量设为零，应还原原售价、原销量与原利润；把超额人数设为零，应得到起组人数与原收费。 结论与应用 这是建模后最方便的自检。随后还要检查最优方案的价格非负、销量非负，以及题目明确的整数条件。 例题讲解 示例 商品现售价每件元，每星期可售件。单价为整数；每涨价元少售件，每降价元多售件，进价每件元。如何定价利润最大？最大利润多少？ 答：涨价元，售价元，利润元。 。 为允许整数，销量为件。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 例题讲解 示例 商品现售价每件元，每星期可售件。单价为整数；每涨价元少售件，每降价元多售件，进价每件元。如何定价利润最大？最大利润多少？ 答：降价方案售价或元，利润元；总最佳仍为售价元，利润元。 降价利润。 整数均得，小于涨价最优。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 课堂练习 练习 旅行社人起组团，每人元。超过人时，每增加人，每人收费降低元。人数多少时营业额最大？最大营业额多少？ 答：人，最大营业额元。 设增加人，。 ，人数。 人数乘人均收费得到营业额；增加量不是最终总人数。 课堂练习 练习 生产商品有元固定花费，每件另需元。预定单价元，实际单价随产量增加而下调，下调幅度为产量的八分之一。产量多少时利润最大？最大利润多少？ 答：件时，最大利润元。 。 。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 例题讲解 示例 商品进价元，现价元时可售件；每涨价元少售件。问怎样定价利润最大？ 答：涨价元，定价元；最大利润元。 设涨价元，。 开口向下，顶点；核对价格与销量限制。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 例题讲解 示例 商品进价元，现价元时可售件；每涨价元少售件。问怎样定价利润最大？ 答：涨价元，定价元；最大利润元。 设涨价元，。 开口向下，顶点；核对价格与销量限制。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 例题讲解 示例 收入，总成本，求利润最大值及产量。 答：时，最大利润。 。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 例题讲解 示例 人数为整数，营业额，。何时最大？ 答：或，最大。 两整数到顶点距离相同。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 例题讲解 示例 利润，只允许涨价，求可达最大利润。 答：时，最大元。 允许范围在顶点左侧，函数递增。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 例题讲解 示例 某商品售出件，每件售价元、进价元，另付固定费用元。收入与利润各多少？ 答：收入元，利润元。 。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 课堂总结 定价、营业额与最大利润 目标 区分收入与利润 建模 单位利润乘销量，再减固定成本 分类 涨价降价响应不同需分别建模 可行 范围、整数、销量非负 比较 连续顶点、邻近整数与边界 针对训练 训练 商品进价元，售价元，每件利润为（ ）。A.；B.；C.；D.。 答：选A。 单位利润等于售价减进价，即。 合并得；售价本身未扣成本，不能直接作为利润。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 针对训练 训练 原销量件，每涨价元少售件，涨价元后销量为件；仅按非负销量，应满足。 答：；。 减少的销量等于每元减少量乘涨价金额。 由及涨价量非负解出范围。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，错误的说明理由。 （1） 营业额就是利润。 错误 利润还需从营业额中扣除成本。 （2） 固定成本应再乘以生产件数。 错误 固定费用只计一次，逐件费用才乘产量。 （3） 顶点不是整数时，整数最优值需比较附近可行整数。 正确 顶点两侧按离轴距离比较，再检查范围。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 针对训练 训练 商品进价元，现价元时可售件；每涨价元少售件。问怎样定价利润最大？ 答：涨价元，定价元；最大利润元。 设涨价元，。 开口向下，顶点；核对价格与销量限制。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 针对训练 训练 每件成本元，固定费用元，生产件总成本是多少？ 答：元。 逐件成本为，固定成本为。 两者相加，固定项不乘产量。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 针对训练 训练 设比人多人，函数最大时。最佳总人数多少？ 答：人。 自变量表示比基准三十人增加的人数，不是总人数。 因此最优总人数。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 针对训练 训练 ，为整数，求最大值。 答：，在取得。 顶点横坐标，最近整数为。 两处函数值均为。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 针对训练 训练 ，，求最大值。 答：，在取得。 允许范围在顶点横坐标六的左侧，函数随增大而增大。 取右端，得。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 针对训练 训练 义卖品成本每件元，售价元时售件；每涨价元少售件。求利润最大的售价与利润。 答：售价元，最大利润元。 。 涨价十元时销量八十件，价格与销量均可行。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 针对训练 训练 研学团人时每人收费元，每多一人所有人每人少付元。允许至人，求营业额最大时人数与金额。 答：人，最大营业额元。 设多人，。 且为整数，取。 区分售价、单位利润与总利润；最大值还须符合范围和整数条件。 方法归纳 解题方法总结 先把每个因子写准确 ① 销量随价格的变化必须同时计入。 ② 固定成本单独减，营业额不可冒充利润。 求可行的最大值 ① 先看范围，再检查整数条件。 ② 分别求各调价方案最优值后总比较。 $