第14讲·解直角三角形·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第14讲·解直角三角形·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握解直角三角形的方法：已知两边或一边一角求其余元素 · 理解坡度、坡比的概念（坡度 = 铅直高度：水平宽度），会解决坡面问题 · 理解仰角、俯角与方位角，会解决测量物体高度、距离的问题 · 会综合运用勾股定理、三角函数与几何性质（中线、旋转、折叠）求线段 · 会解决栏杆旋转、盲区、机械臂、光伏支架等实际情境中的解直角三角形问题 · 会通过设未知数、构造直角三角形把复杂图形转化为基本解直角三角形问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.解直角三角形的基本方法 解直角三角形：由已知元素求出所有未知元素，至少需一条边 工具组合：两锐角互余、勾股定理 a²+b²=c²、三角函数定义 已知一边一角：用该角的 sin/cos/tan 直接求相关边 已知两边：先勾股求第三边，再用定义求角（或用特殊角直接得角） 非直角三角形：作高构造两个直角三角形分别求解 概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，BC = 8，则 AB 的长为（　　） 答案：10 解析：cosA = = ，设 AC = 3k、AB = 5k，由勾股 BC = 4k = 8，k = 2，AB = 10。设参法处理「已知函数值求边」最简洁，比先求角再查表快。 ✅️ 2.坡度与坡比 坡度（坡比）i = 铅直高度 : 水平宽度（竖直:水平），常写成 1:m 的形式 坡角 α：坡面与水平面的夹角，i = tanα 坡面长（斜坡长）由勾股定理求得：l = 株距是水平距离，坡面距离是斜线段长，两者要区分 坝体横截面常为梯形，分段计算各坡面与水平投影 概念辨析例题：一个斜坡的坡度为 1:，坡面长 30 米，则坡的铅直高度为（　　） 答案：15 米 解析：坡度 1: = tanα，α = 30°。铅直高度 = 坡面长 × sin30° = 30 × = 15 米。也可用比例：高度:水平 = 1:，高度² + 水平² = 30²，解得高度 = 15。 ✅️ 3.仰角、俯角与方位角 仰角：视线在水平线上方时与水平线的夹角；俯角：视线在水平线下方时与水平线的夹角 测高模型：测点与物体底部、顶部构成两个直角三角形，公共水平距离列方程 方位角：从观测点的北（南）偏东（西）多少度，先定观测点与始边 无人机测旗杆：顶部仰角与底部俯角分别解两个直角三角形再求和 船在灯塔的方位描述与相对位置互换：南北相反、东西相反 概念辨析例题：从热气球 A 处看楼顶 B 的仰角为 30°，看楼底 C 的俯角为 60°，A 到楼的水平距离为 90 米，则楼高 BC 为（　　） 答案：360 米 解析：楼在 A 正下方一侧：楼顶高（A 到顶的竖直差）= 90 × tan30° = 90；A 到底部的竖直差 = 90 × tan60° = 270。楼高 BC = 90 + 270 = 360 米。仰俯角问题拆成上下两个直角三角形分别求竖直差再相加。 ✅️ 4.与几何性质的综合 斜边中线、三线合一、垂直平分线与三角函数联动求线段 矩形折叠：折痕产生等线段，设未知数用勾股列方程 旋转问题：旋转角与三角板内角结合，用含 t 的式子表示角或线段 网格与坐标：格点三角形用勾股算边长再求三角函数值 圆与切线中的解直角三角形：直径所对圆周角为直角、切线垂直半径 概念辨析例题：在 △ABC 中，AB = AC = 10，BC = 12，AD 是 BC 边上的高，则 tanB 的值为（　　） 答案： 解析：三线合一：BD = BC = 6，AD = = 8。tanB = = = 。等腰三角形作高是「三线合一」的标准用法，先求高与半底再算函数值。 ✅️ 5.实际情境中的建模 常见情境：遮阳伞、栏杆旋转、盲区、背肌训练器、机械臂、光伏支架、汽车坡道 建模步骤：抽象出直角三角形（或三角形组合）→ 标注已知 → 选择三角函数求解 旋转类：旋转角已知时，用 sin/cos 求竖直与水平位移分量 多步问题：第一问的结论（线段长）是第二问的条件，注意复用 结果按要求取近似值（精确到 0.1 米、保留根号等），参考数据题目会给出 概念辨析例题：停车场入口栏杆 OA 长 3 米，从水平位置绕 O 旋转 30° 到 OA'，则栏杆端点 A 上升的高度为（　　） 答案：1.5 米 解析：上升高度 = 3 × sin30° = 1.5 米。旋转类问题把「端点位移的竖直分量」表示为「长度 × sin旋转角」，水平分量为「长度 × cos旋转角」。 🧀 知识总结表 概念 定义 关系/公式 解直角三角形 求所有未知元素 互余 + 勾股 + 三角函数 坡度 i 铅直高度:水平宽度 i = tan坡角 仰角/俯角 视线与水平线夹角 上仰下俯 方位角 北(南)偏东(西)多少度 先定观测点与始边 圆柱旋转分量 竖直 = L·sinθ 水平 = L·cosθ 等腰作高 三线合一 先求高与半底 📩 核心考点 【考点1】解直角三角形的基本计算（第1-13题） · 已知一边一角：正弦对斜边、余弦邻斜边、正切对邻比 · 已知两边：勾股求第三边，定义求角 · 设参法处理「已知函数值」型题目 · 非直角三角形作高分拆成两个直角三角形 1． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 故选D． 2． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点P作轴，垂足为B，在中，设，则，，求出，，即可解答． 【详解】解：过点P作轴，垂足为B， 在中，， ∴可设，则， ∴， 解得：， ，， ∴点P的坐标为， 故选：A． 3． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 4． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】 本题考查正弦函数的定义，勾股定理求直角三角形第三边，解题的关键是能构造直角三角形．过点作交的延长线于点，利用勾股定理求的长，再用正弦函数的定义解答． 【详解】解：如图过点作交的延长线于点， 则,, ∴, ∴． 5． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】分和，过点作于点，过点作于点，则，然后通过勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：若，如图所示， ∵，作， ∴，但此时不是最小角，故排除； 若，如图所示，过点作交于点，过点作交于点，则， 则，此时， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，，则， ∴， ∴， ∴， 此时． 6． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了锐角三角函数，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．根据锐角三角函数求出，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 点为的中点， ， 故答案为：． 7． 【答案】/ 【知识点】解直角三角形的相关计算、等边对等角 【分析】本题主要考查了解直角三角形． 设，在中，利用锐角三角函数可得，再结合，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8． 【答案】 /30度 /0.5 8 /0.75 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是正确掌握边角之间的转化． ①先求出，即可求解度数，即可求解； ②先由正弦的定义求解，再由勾股定理求解，即可求解． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， ∴； ∵，若，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，8，． 9． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，先根据余弦定义求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意找到直角三角形并根据锐角的三角函数值求解是解题关键，先求出，在中，利用三角函数求出结论即可． 【详解】解：中，已知， ， ， 在中，已知， ， ． 11． 【答案】/ 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先作，设，再根据勾股定理求出，进而得出，及，然后根据勾股定理求出，最后根据正弦的定义得出答案． 【详解】解：过点A作，垂足为D． 在中，， 设， 根据勾股定理，得， ， 解得（负值舍去）， 则，． 在中，. ∴． 12． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握解直角三角形的基本知识． （1）利用求出的余弦值，进而得到的度数，再利用直角三角形锐角互余，求出的度数，进而求出长度. （2）利用求出的正切，进而得到的度数，再利用直角三角形锐角互余，求出的度数，利用含直角三角形性质进而求出长度. 【详解】（1）解：在中， ， . （2）解：在中， ， . 13． 【答案】，， 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形：由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形，根据勾股定理和锐角三角函数以及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 【考点2】坡度坡比（第14-26题） · 坡度 = 铅直:水平，坡角正切即坡度 · 坡面长用勾股（或 i 化为三角函数） · 株距（水平）与坡面距离（斜线）严格区分 · 坝体梯形横截面分段计算 14． 【答案】C 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，设坡角为，则，得出，进而根据坡度的定义，即可求解． 【详解】解：依题意，设坡角为，则 ∴， ∴这个斜坡的坡度为， 故选：C． 15． 【答案】D 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了坡比计算，熟练掌握坡比的意义是解题的关键，根据，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：根据， 解得：， 故相邻两棵树间的坡面距离为， 故选：D． 16． 【答案】D 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，设此时小球距离地面的高度为米，根据坡度的概念得到水平距离为米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：设此时小球距离地面的高度为米， ∵一个小球由地面沿着坡度（铅直高度与水平宽度的比）， ∴水平距离为米， 由勾股定理得：，解得：或（舍去）， ∴此时小球距离地面的高度为， 故选：． 17． 【答案】B 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】由斜坡的坡比为，可知斜坡坡角为，然后运用正弦函数解答即可． 【详解】解：如图， 因为坡度比为，即， ∴ ， 由题意可知，运动员沿斜坡滑下米， 则其下降的高度米． 18． 【答案】C 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点A、D作的垂线，垂足分别为E、F，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，解直角三角形即可求解． 【详解】解：过点A、D作的垂线，垂足分别为E、F， ∵， ∴四边形是矩形， ∵斜坡的坡角为， ∴是等腰直角三角形， ∵米， ∴， ∴， ∵斜坡的坡度为， ∴， ∴坝底宽(米)． 故选：C． 19． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解坡角的定义是解题的关键． 在中，由正切的定义即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴（米）， 故答案为：． 20． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题．在中，已知了坡面的坡比是铅直高度和水平宽度的比值，据此即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：（米）． 故答案为：． 21． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了坡度坡比问题（解直角三角形的应用），勾股定理等知识点，熟练掌握坡度（或坡比）的定义是解题的关键：坡面的铅垂高度（）和水平长度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即，坡度通常写成的形式． 根据坡度的定义画图求解即可． 【详解】解：如图，由题意可知：米，米， 根据勾股定理可得： 米， 这个斜坡的坡度， 故答案为：． 22． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了坡度、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，过点作于点H，则，由等腰三角形的性质得到米，根据斜脊的坡度i为得到，则米，利用勾股定理即可求出斜脊的长． 【详解】解：过点作于点H，则，如图， ∵是等腰三角形， ∴米， ∵斜脊的坡度i为， ∴， ∴米， ∴， 故答案为： 23． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了勾股定理、坡度，熟练掌握利用正切求坡度是解题关键．先利用勾股定理求出的长，再利用正切求坡度即可得． 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴， ∴， ∴残疾人通道的坡度为， 故答案为：． 24． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，然后利用三角函数可进行求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 25． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，三线合一定理： （1）在中，由，根据正弦函数定义列方程求解即可得到答案； （2）利用等腰三角形三线合一得到，再利用勾股定理求出相关线段长，在中，由正切函数定义代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在等腰中，， ，， 则， 解得， 由勾股定理可得； （2）解：在等腰中，，点是边的中点， ， 由（1）知，，则， ， 在中，， ． 26． 【答案】(1)小路的长为； (2)12秒． 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴在中， ， ∴小路的长为； （2）如图所示：过B作， 当小狗在小路上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与淇淇的距离最近． ∵， ∴， 即， ∴， 则， 即， ， ∵由题意可得：， 则， 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑12秒与淇淇的距离最近． 【考点3】仰角俯角与方位角（第27-39题） · 测高拆上下两个直角三角形，公共水平距离设参 · 无人机、气球测楼：仰角部分 + 俯角部分 · 方位角描述相对位置：南北东西互换 · 测角仪、观测点有高度差时先减去仪器高 27． 【答案】C 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进而求出该旗杆的高度即可． 【详解】解：根据题意可得：， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 28． 【答案】B 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了俯角的定义，直角三角形的边角关系，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．如图所示，过点A作于点D，通过俯角的定义和解直角三角形求出，由汽车通过山洞的时间为12秒，求出小车过山洞的平均速度． 【详解】解：如图所示，过点A作于点D， 由题意得，，，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵汽车通过山洞的时间为12秒， ∴小车过山洞的平均速度为（米/秒）， 故选：B． 29． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案． 【详解】解：首先过点A作于点D，如下图所示， 则，，米， 在中，米， 在中，米， ∴米． 故答案为： 30． 【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】作于点，在中利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，则即可求得，进而求得速度．本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：作于点． 在中，， ∴ （米），（米）， 同理，（米）． 则（米）． 则平均速度是（米秒）， 故答案为：． 31． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可． 【详解】解：由题意：， ∴； 故答案为：． 32． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用．在中求出的长，在中，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴； 答：旗杆的高度为． 故答案为：． 33． 【答案】58 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．设，解，得到．解，求出，再求出求出，根据即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：． ，， ． ． 故答案为：58． 34． 【答案】1133 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 根据题意可得：, 先在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答. 【详解】由题意得： ,在中,米,, (米) ,， 解得：米，米， ∵米, ∴米， 在中, , ∴米， 米， ∴飞船从到处的平均速度 (米/秒) , 故答案为: . 35． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】过B作，垂足为F，则四边形为矩形，在中，求出的长，在中，求出的长，然后根据即可求出广告牌的高度． 【详解】解：过B作，垂足为F，则四边形为矩形，， ∵山坡的坡度， 设米，则（米）， 在中， ∴， ∴， ∴米，米， ∴（米）． ∵， ∴米． ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴广告牌的高度是米． 36． 【答案】9 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图：过B作，则是矩形，即，在中解直角三角形求得，再在中解直角三角形求得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过B作，则是矩形，即， ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∴大树的高度：． 故答案为：9． 37． 【答案】点到地面的距离的长约为． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】解：由题易得四边形、四边形均为矩形， 则， ， ， 由题意可得，，， 设，则， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 答：点到地面的距离的长约为． 38． 【答案】(1) (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形中仰俯角及坡度角问题． （1）根据题意，，解直角三角形即可求出； （2）过作，根据斜坡的坡角为及，求出，再求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵仰角为，， ∴（）． 答：综合楼的高度． （2）解：如图，过作，，则四边形为矩形， ∵的坡角为，， ∴（）， （）， ∵处测得宣传牌顶部的仰角为， ∴（）， ∴（）． 答：宣传牌的高度． 39． 【答案】假山的高度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据等角对等边证明边相等、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质等知识； 过E点作于G，则有，从而，在中，利用正切函数关系即可求得，从而求得假山的高度． 【详解】解：过E点作于G， ∵， ∴， ∴； 由题意，得四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴； 在中，， ∴， 即， 解得：， 则， 答：假山的高度为． 【考点4】实际应用与综合（第40-52题） · 旋转分量：竖直 = L·sinθ，水平 = L·cosθ · 盲区、支架、机械臂先抽象三角形再标注 · 与勾股、中线、旋转、折叠联动逐步推进 · 结果按题目要求取近似值，参考数据不误用 40． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】过点E作于点I，利用三角函数得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质可得，最后勾股定理求得，即可． 【详解】解：过点E作于点I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长为米，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查了正切函数的应用，平行线的性质，等腰三角形的三线合一性质，余角的性质，熟练掌握正切函数，等腰三角形的性质是解题的关键． 41． 【答案】B 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，作，先解直角三角形求出，再根据求出答案． 【详解】解：过点B作，垂足为E， 在中，， ∴（米）． ∵米， ∴（米）， 握手点B离水平地面的竖直高度约为米． 故选：B． 42． 【答案】A 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．本题过点作于点C，根据锐角正弦的定义即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点C， 根据题意得：， ． 故选：A 43． 【答案】D 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本要领是解题的关键． 过点作于点D，解直角三角形即可． 【详解】解：过点作于点D， 则（米）． 故选D． 44． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、求角的正切值、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题是解决本题的关键． 通过解直角得到与、间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ． 故选：A． 45． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长． 【详解】解：设此时小明的影长为， 由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的夹角为，该角的对边为小明身高，邻边为影长， 根据正切的定义得，将代入得， 解得． 46． 【答案】/ 【知识点】线段垂直平分线的性质、轴对称中的光线反射问题、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称中的光线反射问题，其他问题（解直角三角形的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分别过反射点作成像图层的垂线，构建直角三角形，利用三角函数求出和的长度，再通过计算出两点间距离． 【详解】解：如图，分别过反射点作成像图层的垂线，设平面镜上两个反射点为、，过作于，过作于． 由题意知，平面镜与成像图层平行，且距离为， ∴． 对于的光线： 根据反射定律，入射角等于反射角， ∴是等腰直角三角形（）， 在中，， 即， 解得：． 又∵垂直平分（反射对称性）， ∴， 对于的光线： 在中，， 即， ∴， 同理，垂直平分， ∴． ∴． 故答案为：． 47． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理．过点A作于点G，则，，利用，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到；连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线，可得，可设，，在中，利用勾股定理可得（舍去），从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点G，则，， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图，连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线， 在中，，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴可设， ∴， 在中，，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∵， ∴． 即相对点上升了． 故答案为：32； 48． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、正多边形的外角问题、坐标与图形 【分析】本题考查了正多边形的外角和，解直角三角形的应用，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键．过点作轴于点，根据正多边形的外角和，得到，再利用锐角三角函数分别求出，，即可得到点A的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 正六边形的外角和为， 正六边形的每个外角为，即， 点E的坐标为， ， 在中，，， ，， 点A的坐标为， 故答案为： 49． 【答案】(1)． (2)的长度约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过点E作于点G．可得四边形为矩形，推出．根据题意得，．结合，即可求解； （2）过点B分别作于点H，于点P．可推出四边形是矩形，得∴．在中，根据，，即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点E作于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在中，， ∴． （2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 易知， 在中， ， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（）． 答：的长度约为． 50． 【答案】(1) (2)至少为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）易得四边形是矩形，则，解，得出的长，即可求解； （2）过点作的垂线，当垂线正好过点时，满足相邻两块光伏板互不遮光遮挡，解即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：四边形是矩形， ∴． 在中，， ． ． （2）解：如图，过点作的垂线，当垂线正好过点时，满足相邻两块光伏板互不遮光遮挡， 则， 又∵， ． 依题意得：，四边形是矩形， 在中，， ∴． ． 51． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、含30度角的直角三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）过点C作，垂足为M，则，证，由含角 的直角三角形的性质得，即可得出答案； （2）过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M，则， ∵垂直水平地面，臂与水平面平行， ∴三点共线， ，， ， ，， ， 即点A到地面的距离为； （2）解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形， ∴； ，， ，，， ，，， 点A到地面的距离为． 52． 【答案】(1) 证明：， ，． ， ， ， ， ． 一题多解法 ，点，，在同一直线上， 点，，在以点为圆心，为直径的圆上， ，即． (2)雕塑的高约为 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质和判定、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，进而可得，即可解答；也可以先证明点，，在以点为圆心，为直径的圆上，根据直径所对的圆周角为直角得到结论； （2）过点作，交的延长线于点．在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；也可过点作，交的延长线于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图①，过点作，交的延长线于点． 在中，，，， ， ． 在中，， ． 故雕塑的高约为． 一题多解法 如图②，过点作，交的延长线于点，过点作于点， 则四边形是矩形，， ，． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 故雕塑的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 解直角三角形三工具：互余、勾股、三角函数定义，至少已知一条边 · 坡度 = 铅直:水平 = tan坡角，坡面长用勾股 · 仰角俯角拆上下直角三角形，公共水平距离设参 · 旋转分量：竖直 = L·sinθ，水平 = L·cosθ · 等腰三角形作高三线合一，先求高与半底 【作业1】 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，求三角函数值，由三角函数值求得边长是关键．利用三角函数、勾股定理求、的长，结合折叠和矩形的性质可得的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ，． ， ． ． ． 沿折叠矩形，使点落在边的点处， ． ． 故选：B． 【作业2】 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】延长，交于点M，证明，，可得，过E点作于N点，结合可得，，，再进一步可得答案. 【详解】解：延长，交于点M， 在菱形中，点E，F分别是，的中点， ，，，， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ，， 过E点作于N点， ，， ，， ， ， 在中 ， 即， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 【作业3】 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、化为最简二次根式 【分析】根据尺规作图可知垂直平分，从而得出为中点且，结合可得，进而利用相似三角形性质求解即可． 【详解】解：在中，， ． 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， ，， ， ， ． 在中，， 【作业4】 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，过点作于点，证明四边形为矩形，得出，，求出，得到，求出，再解直角三角形得出的长，再由计算即可得出答案熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 由题意，得，， ∵垂直平分，垂足为，垂直平分，与交于点，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 【作业5】 【答案】 12 【知识点】解直角三角形的相关计算、等边三角形的性质、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，过点M作于点C，过点N作于点D，根据，得出，，求出，得出，求出；设点，则，，根据直角三角形的性质求出． 【详解】解：过点M作于点C，过点N作于点D，如图所示： 则， ∵， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M在反比例函数上， ∴； ∴反比例函数解析式为：， 设点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：；12． 【作业6】 【答案】14 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，过点作,垂足为点，即可得到，进而求出和长，再根据角平分线的定义和平行线的性质得到,即可得到，然后根据勾股定理求出的长，再过点作于点,求出和长解答即可． 【详解】解：若点恰好是的三等分点(靠近点)，则， 过点作,垂足为点,如图, ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 则,， ∵,平分, ∴, ∴， ， ， ， 过点作于点, 在中,,， 在中, ， 故答案为：． 【作业7】 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段最短问题，将求的最小值转化为求出线段的长是解题关键．过点作交延长线于点，连接，根据平行四边形的性质得出，再结合特殊角的正弦值，得到，则，当、、三点共线时，有最小值为的长，再在直角三角形中求解即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， ， ， 在中，，， ， 即的最小值等于， 故答案为：． 【作业8】 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形可得，由可得，再解直角三角形即可得到，正确解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【作业9】 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长 【分析】连接交于点O，根据菱形的性质得出，推出，，根据勾股定理求出，则，，最后求出的值，即可解答． 【详解】解：连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，则，， ∴在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， ∴ ∴． 【作业10】 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、含30度角的直角三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】先在中利用角求出，再根据求出，最后利用勾股定理求出斜边． 【详解】解： 是的高， ， ，， ， ， ，即， ， ． 【作业11】 【答案】4 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 在中，利用边角间关系和勾股定理先求出、，再求出的长即可． 【详解】解：∵在中，是边上的高， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， 故答案为：． 【作业12】 【答案】(1)； (2) 补全图形如下图所示，，证明如下： ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 设， 由（1）可知：，，， ， ， 在中，，，则， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， ， ． 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）证和相似得，由点为的中点及得，设，，则，，进而得，由此可得的值； （2）先证为等腰直角三角形得，，再由得，则，设，由（1）可知，，，则，，进而可求出，，再证和相似得，即，由此得，据此可得和的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 又， ， ， 即， 点为的中点，， ， ， ， 设，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ； （2）略 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【作业13】 【答案】(1)证明：是上的高， ， ，． 在和中， ，， 又， ， ． (2)8 (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、求角的余弦值、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）利用高得到直角，结合正切、余弦的定义，根据已知等量关系推导出线段相等． （2）利用正弦值设参数表示直角三角形三边，结合（1）的结论，根据列方程求出参数，再计算． （3）设线段参数，利用勾股定理建立等式，求出线段的比值，再结合余弦定义计算． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，， ∴可设，， ∵， ． ，又， ． ∵， ， ， ． （3）解：设，，， ∵， ∴， ． ， 则， ， ∴， ∴， 解得， ． 【作业14】 【答案】(1)小明家A到小亮家B的距离是米； (2) 解：由上得是等腰直角三角形， ∴米， 在中，米 ∴小明的路程是米，小明的速度是米分钟， 小明从家到图书馆的时间是分钟， ，分别是，的中点， 是的中位线， 米， 小亮的路程是米， 小亮从家到图书馆的时间是分钟， 小亮先到达图书馆． 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查直角三角形的应用—方位角问题，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题． （1）作于，得到，由锐角的正弦求出的长，由是等腰直角三角形，解直角三角形得到（米； （2）由三角形中位线定理求出的长，即可求出小亮行走的路程，求出的长即可得到小明行走的路程，从而求出小明，小亮行走的时间，即可解决问题； 【详解】（1）解：作于， ，， ， ， ∵米， 米， ∵ 是等腰直角三角形， 米， 小明家到小亮家的距离是米． （2）略 【作业15】 【答案】(1)（米） (2)树的高度为为米 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用相似三角形的性质求解、平行投影 【分析】本题主要考查解直角三角形，线段成比例的运用，合作作出辅助线是解题的关键， （1）如图所示，连接并延长交延长线于点，根据与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，可得，求出的值，同理，，即可求解； （2）如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，根据与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，可得，求出的值，在中，，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，米，米， 如图所示，连接并延长交延长线于点， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 同理，， ∴（米）； （2）解：如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，米，米，， ∴在中，（米），（米）， ∴（米），（米）， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴树的高度为米． 【作业16】 【答案】(1)的长度为 (2)宣传牌的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】（1）解即可； （2）过F作于G，由坡度的定义可得，则，解，得到，再解，得到，再由求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 答：长为； （2）解：过F作于G， ∴， ∴， 的坡度为 ∴在中，，                   在中，      在中，，          ∴     答：宣传牌的高度约为． 【作业17】 【答案】(1)点处距水平地面的竖直高度为 (2)无人机与技术人员之间的距离为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】（1）交的延长线于点，根据山坡的坡度为得出，在中，根据勾股定理求得，即可求解； （2）作于点，于点，如图，四边形为矩形，根据题意得出，解，即可求解． 【详解】（1）解：作交的延长线于点，如图， 由题意，得， 设，且， ， 在中，， 即， 解得（负值已舍）， ，即点处距水平地面的竖直高度为； （2）作于点，于点，如图，四边形为矩形， ， ， 无人机观测点位置的俯角为， 点观测点的仰角也是，即， 在中， ， 无人机与技术人员之间的距离为． 【作业18】 【答案】(1)= (2)的长度约为千米 (3)甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、两直线平行同旁内角互补 【分析】（1）根据题意可解得，，，即可求解； （2）过点作于，过点作于，在中，由三角函数可解得，，四边形是矩形，，，根据勾股定理即可求解的长度； （3）当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足，过点作于，在中，由三角函数可解得，，设，则，，在中，由三角函数可解得，，，利用勾股定理列方程解得即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作于，过点作于， ， 由题意得，， 由（1）可知，， ∴四边形是等腰梯形， 在中，（千米）， （千米）， 无人机位于的正东方向10千米的处，位于的正西方向上， ， ，， 四边形是矩形， （千米），（千米）， （千米）， （千米）， 答：的长度约为千米； （3）解：如图所示，当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足（千米）．过点作于， 由题意得，， 在中，（千米）， （千米）， （千米）， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 或（此时大于的长，舍去）， ， 答：甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲·解直角三角形·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握解直角三角形的方法：已知两边或一边一角求其余元素 · 理解坡度、坡比的概念（坡度 = 铅直高度：水平宽度），会解决坡面问题 · 理解仰角、俯角与方位角，会解决测量物体高度、距离的问题 · 会综合运用勾股定理、三角函数与几何性质（中线、旋转、折叠）求线段 · 会解决栏杆旋转、盲区、机械臂、光伏支架等实际情境中的解直角三角形问题 · 会通过设未知数、构造直角三角形把复杂图形转化为基本解直角三角形问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.解直角三角形的基本方法 解直角三角形：由已知元素求出所有未知元素，至少需一条边 工具组合：两锐角互余、勾股定理 a²+b²=c²、三角函数定义 已知一边一角：用该角的 sin/cos/tan 直接求相关边 已知两边：先勾股求第三边，再用定义求角（或用特殊角直接得角） 非直角三角形：作高构造两个直角三角形分别求解 概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，BC = 8，则 AB 的长为（　　） 答案：10 解析：cosA = = ，设 AC = 3k、AB = 5k，由勾股 BC = 4k = 8，k = 2，AB = 10。设参法处理「已知函数值求边」最简洁，比先求角再查表快。 ✅️ 2.坡度与坡比 坡度（坡比）i = 铅直高度 : 水平宽度（竖直:水平），常写成 1:m 的形式 坡角 α：坡面与水平面的夹角，i = tanα 坡面长（斜坡长）由勾股定理求得：l = 株距是水平距离，坡面距离是斜线段长，两者要区分 坝体横截面常为梯形，分段计算各坡面与水平投影 概念辨析例题：一个斜坡的坡度为 1:，坡面长 30 米，则坡的铅直高度为（　　） 答案：15 米 解析：坡度 1: = tanα，α = 30°。铅直高度 = 坡面长 × sin30° = 30 × = 15 米。也可用比例：高度:水平 = 1:，高度² + 水平² = 30²，解得高度 = 15。 ✅️ 3.仰角、俯角与方位角 仰角：视线在水平线上方时与水平线的夹角；俯角：视线在水平线下方时与水平线的夹角 测高模型：测点与物体底部、顶部构成两个直角三角形，公共水平距离列方程 方位角：从观测点的北（南）偏东（西）多少度，先定观测点与始边 无人机测旗杆：顶部仰角与底部俯角分别解两个直角三角形再求和 船在灯塔的方位描述与相对位置互换：南北相反、东西相反 概念辨析例题：从热气球 A 处看楼顶 B 的仰角为 30°，看楼底 C 的俯角为 60°，A 到楼的水平距离为 90 米，则楼高 BC 为（　　） 答案：360 米 解析：楼在 A 正下方一侧：楼顶高（A 到顶的竖直差）= 90 × tan30° = 90；A 到底部的竖直差 = 90 × tan60° = 270。楼高 BC = 90 + 270 = 360 米。仰俯角问题拆成上下两个直角三角形分别求竖直差再相加。 ✅️ 4.与几何性质的综合 斜边中线、三线合一、垂直平分线与三角函数联动求线段 矩形折叠：折痕产生等线段，设未知数用勾股列方程 旋转问题：旋转角与三角板内角结合，用含 t 的式子表示角或线段 网格与坐标：格点三角形用勾股算边长再求三角函数值 圆与切线中的解直角三角形：直径所对圆周角为直角、切线垂直半径 概念辨析例题：在 △ABC 中，AB = AC = 10，BC = 12，AD 是 BC 边上的高，则 tanB 的值为（　　） 答案： 解析：三线合一：BD = BC = 6，AD = = 8。tanB = = = 。等腰三角形作高是「三线合一」的标准用法，先求高与半底再算函数值。 ✅️ 5.实际情境中的建模 常见情境：遮阳伞、栏杆旋转、盲区、背肌训练器、机械臂、光伏支架、汽车坡道 建模步骤：抽象出直角三角形（或三角形组合）→ 标注已知 → 选择三角函数求解 旋转类：旋转角已知时，用 sin/cos 求竖直与水平位移分量 多步问题：第一问的结论（线段长）是第二问的条件，注意复用 结果按要求取近似值（精确到 0.1 米、保留根号等），参考数据题目会给出 概念辨析例题：停车场入口栏杆 OA 长 3 米，从水平位置绕 O 旋转 30° 到 OA'，则栏杆端点 A 上升的高度为（　　） 答案：1.5 米 解析：上升高度 = 3 × sin30° = 1.5 米。旋转类问题把「端点位移的竖直分量」表示为「长度 × sin旋转角」，水平分量为「长度 × cos旋转角」。 🧀 知识总结表 概念 定义 关系/公式 解直角三角形 求所有未知元素 互余 + 勾股 + 三角函数 坡度 i 铅直高度:水平宽度 i = tan坡角 仰角/俯角 视线与水平线夹角 上仰下俯 方位角 北(南)偏东(西)多少度 先定观测点与始边 圆柱旋转分量 竖直 = L·sinθ 水平 = L·cosθ 等腰作高 三线合一 先求高与半底 📩 核心考点 【考点1】解直角三角形的基本计算（第1-13题） · 已知一边一角：正弦对斜边、余弦邻斜边、正切对邻比 · 已知两边：勾股求第三边，定义求角 · 设参法处理「已知函数值」型题目 · 非直角三角形作高分拆成两个直角三角形 1．（23-24九年级上·福建莆田·期中）在直角三角形中，，，，则的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．24 2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段检测）如图，P是射线上的一点，若，则P点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段检测）在中，，已知及边，则的斜边长应为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长是，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，，为边上一点，且满足最大内角与最小内角之差为，则的长为（） A． B． C．或 D．或 6．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，，点为的中点，连接，则的长为_____． 7．（25-26九年级上·广西梧州·期末）在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测） 中，，，则______，________． ②中，，若，，那么______，________． 9．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，那么____________． 10．（2024·安徽合肥·二模）如图，中，已知，点在边上，且，求的长．（结果精确到，参考数据：） 11．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，已知中，，求的值． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形． 13．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）在中，，，，解这个直角三角形． 【考点2】坡度坡比（第14-26题） · 坡度 = 铅直:水平，坡角正切即坡度 · 坡面长用勾股（或 i 化为三角函数） · 株距（水平）与坡面距离（斜线）严格区分 · 坝体梯形横截面分段计算 14．（23-24九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知一个斜坡的坡面长30米，铅直高度为15米，则这个斜坡的坡度为（      ） A． B． C． D． 15．（2024·吉林长春·一模）如图，在坡比为的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为，那么相邻两棵树间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，一个小球由地面沿着坡度（铅直高度与水平宽度的比）的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·吉林长春·二模）如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（     ） A．10米 B．15米 C．米 D．米 18．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，四边形是某护坡大坝的横截面，，坝顶宽为5米，斜坡的坡度为，斜坡的坡角为，坡长米，则坝底宽约为(   ) A．13.8米 B．15.8米 C．16.3米 D．11.3米 19．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为______米． 20．（24-25九年级上·河南开封·期末）冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机．如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则堤脚的长是________米．    21．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度______． 22．（24-25九年级上·北京平谷·期末）中国古代建筑中的斜脊结构，既有利于排水，又有利于保温，是古代工匠智慧的体现．.如图，房屋的屋顶截面结构为等腰三角形，若斜脊的坡度i为，房子侧宽为12米， 则斜脊的长为________米．                                       23．（2025·上海金山·一模）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为_______．（结果保留根号的形式） 24．（23-24九年级上·福建三明·阶段检测）商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯长为，且坡角，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：） 25．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰中，， ，过点作于点．    (1)求的长； (2)若点是边的中点，连接，求的值． 26．（24-25八年级下·全国·阶段检测）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到C的小路，经测量，． (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑，现在小狗从点B出发，奔跑t秒后到达小路上的某点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值． 【考点3】仰角俯角与方位角（第27-39题） · 测高拆上下两个直角三角形，公共水平距离设参 · 无人机、气球测楼：仰角部分 + 俯角部分 · 方位角描述相对位置：南北东西互换 · 测角仪、观测点有高度差时先减去仪器高 27．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·河南南阳·期末）“十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．某交警在一次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为96米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（   ）米/秒． A． B． C． D． 29．（2024·上海青浦·二模）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为_______米．（用含的式子表示） 30．（2024·山西·模拟预测）“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是______米/秒． 31．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为______m． 32．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度是________． （参考数据：．） 33．（2025·湖北武汉·模拟预测）用测角仪测量一座桥的桥塔的高度，某学习小组设计了一个方案：如图，点C，D，依次在同一条水平直线上，，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，又在处测得桥塔顶部的仰角为，桥塔的高度为______m（结果取整数）．参考数据：，． 34．（2024·湖北武汉·模拟预测）2024年4月25日20时59分，运载火箭托举着神舟十八号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，送航天员奔赴“天宫”，如图，神舟十八号载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点A时，地面处的雷达站测得米，仰角为37°，0.3秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为，点在同一直线上，已知两处相距460米，则飞船从A到处的平均速度为______米/秒．（结果精确到1米；参考数据：） 35．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度米，米．广告牌的高度是_____米（保留根号）． 36．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在建筑平台的顶部B处，测得大树的顶部C的仰角为α，且，测得大树的底部D的俯角为 β，且，若平台的高度为，则大树的高度为__________． 37．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测） “实验是获取真知的关键途径”．如图，某校在实验楼上悬挂一块高为6米的标语牌，小明和小张准备在数学活动课上测标语牌的底部D到地面的距离，小明在点E处测得标语牌底部点D处的仰角，小张在点F处测得标语牌顶部点C处的仰角，经测量，，测角仪的支架高，已知，，，点A、B、H在同一条直线上，点C、D、N、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求点D到地面的距离．（参考数据：，，） 38．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 综合楼，宣传牌，为山坡 测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿山坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为， ②测得，，斜坡的坡角为． ③用计算器计算得：，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 39．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）公园的小湖中有一座假山，某中学九年级某班数学兴趣小组的活动课题是“测量假山的高度”．测量小队带上测角仪和皮尺进行现场测量，如图，首先把测量仪放在处，测得假山顶的仰角为，向后退了15m到达处，在处测得假山顶的仰角为，测角仪的高，请你计算假山的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【考点4】实际应用与综合（第40-52题） · 旋转分量：竖直 = L·sinθ，水平 = L·cosθ · 盲区、支架、机械臂先抽象三角形再标注 · 与勾股、中线、旋转、折叠联动逐步推进 · 结果按题目要求取近似值，参考数据不误用 40．（2025·广东深圳·一模）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米． A． B． C． D． 41．（2025·广东深圳·三模）如图1是背肌训练器实物图，图2都是这个训练器在被使用过程中的示意图，立柱竖直固定在水平地面上，摆臂可绕点在一定范围内上下转动，的长为米．的长为米．小滨将摆臂绕点O往下拉，现小滨将摆臂下拉到图2位置，，则握手点B离水平地面的竖直高度为（　） （参考数据，，） A．米 B．米 C．米 D．米 42．（23-24九年级上·山东烟台·期末）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点O旋转到的位置，已知．若栏杆的旋转角时，借助计算器求栏杆A端升高的高度．下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点O旋转到的位置，已知米，若栏杆的旋转角，则栏杆最外点A升高的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 44．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 45．（2026·广东深圳·中考真题）一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 46．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，两束光线从成像图层的点O处发出，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N．若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则M，N两点之间的距离为_________． 47．（2025·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图是手机支架，如图是手机支架的侧面示意图，人俯看手机，点为观测点，线段长度保持不变，绕点逆时针进行转动可以调整视角，在支架示意图中，水平观测点，观测点到的距离为，则观测点到直线的距离长为______；若线段，当从铅锤位置第一次转到位置时，视线恰好经过点，则相对点上升了______． 48．（2024·陕西西安·模拟预测）“剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．如图是一个正六边形剪纸，将其放在平面直角坐标系中，边在x轴上，若点E的坐标为，则点A的坐标为_______． 49．（23-24九年级上·浙江·期末）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 50．（2026·江苏泰州·二模）我国“光伏治沙”项目，既可利用光伏发电，又能改善沙漠环境．图1为新疆南疆沙漠中铺设的光伏板，如图2为两个完全相同且前后相邻的光伏板，为光伏板侧面长度，、均为光伏板支撑支架，且、都垂直于地面．是光伏板与水平线的倾斜角记为，为光伏板之间的间距，若，，．（参考数据：，，） (1)求支架的高度； (2)当太阳光线与光伏板垂直时，若要求相邻两块光伏板互不遮光遮挡，求板间间距至少多少米？ 51．（2025·浙江·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 52．（2025九年级·全国·专题练习）图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图．已知点，，，均在同一直线上，，测得，，（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）． (1)连接，求证：． (2)求雕塑的高（点到直线的距离）． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 解直角三角形三工具：互余、勾股、三角函数定义，至少已知一条边 · 坡度 = 铅直:水平 = tan坡角，坡面长用勾股 · 仰角俯角拆上下直角三角形，公共水平距离设参 · 旋转分量：竖直 = L·sinθ，水平 = L·cosθ · 等腰三角形作高三线合一，先求高与半底 【作业 1】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，沿折叠矩形，使点落在边的点处，若，则的长为（　　） A．6 B．8 C．9 D． 【作业 2】（2025·浙江宁波·一模）在菱形中， 点E，F分别是， 的中点， 连接， ．若 ，， 则的长为（    ） A． B． C． D．6 【作业 3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，交于点，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【作业 4】（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图）的最高点到地面的高度．如图是其测量示意图，五边形关于直线对称，与，分别相交于点，．测得，，，，则文化长廊的最高点离地面的高度约为（    ）（结果保留一位小数，参考数据：，，） A． B． C． D． 【作业 5】（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与等边三角形的边，分别交于点M，N，且，点B位于经x轴的正半轴， （1）_______； （2）_______． 【作业 6】（2025·广东肇庆·一模）如图，在中，，，点M是上一点，且平分，连接，将绕点M顺时针旋转，点A的对应点N落在上．若点N恰好是的三等分点（靠近点C），则___________． 【作业 7】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，平行四边形中，，，，P为边上的一动点，则的最小值等于______． 【作业 8】（2024·湖北孝感·一模）如图，，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点为视线与车窗底端的交点，，，．若点到点的距离，求图中及盲区中的长度．（参考数据：，，，） 答：（）图中的长度是______米； （）盲区中的长度是______米． 【作业 9】（25-26九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，点在边上，点在边上，点在对角线上，，．若四边形是菱形，则的长是________． 【作业 10】（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，是的高，，，，则的长为__________． 【作业 11】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，是边上的高，，， ，则线段的长为___________． 【作业 12】（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．    (1)求的值； (2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明． 【作业 13】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是上的高，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【作业 14】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，小明家在A地，小亮家在B地，图书馆在C地，在A处测得图书馆C在A的西北方向上，在B处测得图书馆C在B的北偏东方向上，已知米．（参考数据： (1)求小明家到小亮家的距离；（结果保留根号） (2)如图M、N分别是的中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着方向慢跑前进．由于道路有堵塞，小亮沿着方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？（结果保留小数点后两位） 【作业 15】（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． (1)如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度． (2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？ 【作业 16】（2026·湖南长沙·二模）某公司在办公楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，工程人员为测量宣传牌的高度，他站在距离办公楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得办公楼窗户处的仰角为（、、、在同一直线上）．然后，工程人员沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若工程人员在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度．（结果精确到0.1米，，） 【作业 17】（2026·河北沧州·模拟预测）2026年4月，春季农耕关键时期，河北省沧州市就是立足农业生产实际，积极推广无人机飞防技术，为春季农业提质增效注入科技力量，提高农业生产效率，助力夏粮丰收．如图，技术人员位于山坡上的点控制无人机点进行作业．控制器显示：无人机距离水平地面的竖直高度是，观测点位置的俯角为．已知点距离山脚点A的距离是，山坡的坡度为． (1)求点处距水平地面的竖直高度； (2)求无人机与技术人员之间的距离（结果精确到）．（参考数据：取，取，取） 【作业 18】（2026·海南省直辖县级单位·二模）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，、、、在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正东方向10千米的处，乙无人机位于的南偏西方向20千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏西方向上． (1)填空：_________（直接填“”或“”）； (2)求的长度（结果保留根号，即可以是无理数）； (3)甲、乙两无人机同时分别从，出发沿、往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留根号，即可以是无理数）． 1 1 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