第15讲 解直角三角形 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第15讲 解直角三角形 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解解直角三角形的意义，掌握三边、锐角、边角关系 · · 能根据已知元素（至少一边）求出其余未知元素 · · 会解决坡度、坡角的实际问题 · · 会解决仰角、俯角的测量问题 · · 会解决方向角（方位角）的实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.解直角三角形的依据 三边关系：a2+b2=c2（勾股定理） 两锐角关系：∠A+∠B=90° 边角关系：sinA=，cosA=，tanA= 已知两个元素（至少含一条边）即可求出其余三个未知元素 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，AB=18，BC=9，求∠A 解析：sinA===，故∠A=30° ☆ 2.坡度与坡角问题 坡面铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度i= 坡角α是坡面与水平面的夹角，i=tanα 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 常结合勾股定理：h2+l2=坡面距离2 概念辨析例题：汽车沿坡度i=1:2的斜坡前进100米，求竖直升高 解析：设升高x，则水平宽2x，x2+(2x)2=1002，即5x2=10000，x=20 ☆ 3.仰角与俯角问题 仰角：视线在水平线上方，与水平线所成的角 俯角：视线在水平线下方，与水平线所成的角 两水平线平行，俯角等于视线与竖直线所成锐角（内错角） 过观测点作水平线，构造直角三角形求解 概念辨析例题：无人机距湖面120m，测得A点俯角45°，求A到垂足的距离 解析：俯角45°，直角三角形为等腰直角三角形，两直角边相等，故距离=120m ☆ 4.方向角问题 方向角一般以南北方向为基准，如北偏东30° 先画方向坐标，过观测点作南北线、东西线 把斜三角形拆成两个直角三角形分别求解 方向具有相对性：甲在乙北偏东，则乙在甲南偏西 概念辨析例题：C在A北偏东30°方向，AC=40千米，求C到AB的铅直距离 解析：过C作CH⊥AB，∠CAH=60°，CH=AC·sin60°=40×=20 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 a2+b2=c2 勾股定理 锐角关系 ∠A+∠B=90° 两锐角互余 边角关系 sinA=等 分清对边邻边斜边 坡度 i==tanα 铅直高比水平宽 仰角/俯角 视线与水平线夹角 以水平线为基准 方向角 北偏东/南偏西 以南北方向为基准 解题关键 构造直角三角形 作高或作水平线 ⚠️ 核心考点 【考点1】解直角三角形（第1-11题） · · 先画图明确已知边、已知角 · · 选好关系式：有斜边用sin/cos · · 缺边先用勾股定理求出 · · 网格题借格点构造直角三角形 1．（2026春•青浦区期末）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（　　） A．AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30° B．AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30° C．AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30° D．AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中SSA（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【解答】解：A、选项给出AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30°，符合ASA判定，可确定唯一三角形，不符合题意； B、选项给出AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30°，属于SSA，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； C、选项给出AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30°，符合SAS判定，可确定唯一三角形，不符合题意； D、选项给出AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm，符合SSS判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025秋•张店区期末）若将Rt△ABC（∠C＝90°）的两直角边的长度都扩大为原来的3倍，则该Rt△ABC中锐角A的正切值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．没有变化 C．缩小为原来的 D．不能确定 【分析】由扩大后的直角三角形和原三角形相似，得到Rt△ABC中锐角A的度数没有变化，于是得到答案． 【解答】解：∵将Rt△ABC（∠C＝90°）的两直角边的长度都扩大为原来的3倍， ∴扩大后的直角三角形和原三角形相似， ∴Rt△ABC中锐角A的度数没有变化， ∴该Rt△ABC中锐角A的正切值没有变化． 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正切定义． 3．（2026•江阳区校级模拟）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】首先连接格点BE，根据△ACP∽△BDP得到，即可在Rt△BFP中求得即为∠APD的正切值． 【解答】解：如图，连接格点BE， 由条件可知BE⊥CD，BF＝CF， ∵AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴， ∴， 在Rt△BFP中，， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝tan∠BPF＝2， 故选：C． 【点评】本题主要考查相似三角形、网格中的三角函数，准确作出辅助线是解题的关键． 4．（2025秋•高邮市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，若正方体的展开图恰好放置在△ABC内，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依题意得EF∥BC，∠DFE＝90°，进而得∠A＝∠EDF，△DEF是直角三角形，设EF＝a，则DF＝2a，由勾股定理得DE，再根据正弦函数的定义得sin∠EDF，据此可得sinA的值． 【解答】解：如图所示： 依题意得：EF∥BC，∠DFE＝90°， ∴∠A＝∠EDF，△DEF是直角三角形， 设EF＝a，则DF＝2a， 在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE， ∴sin∠EDF， ∴sinA＝sin∠EDF． 故选：C． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正弦函数的定义是解决问题的关键． 5．（2026春•扶绥县校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（　　） A．a（cosα﹣cosβ） B． C． D．a•cosα﹣a2•sinαtanβ 【分析】因为∠ACB＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，求出BC、AC、CD，则． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a， ∴，BC＝AB•cosB＝a•cosα，AC＝AB•sinB＝a•sinα， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2025秋•宝山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，BC＝9，那么∠A＝　30°　 ． 【分析】根据特殊角的三角函数值，可以得到∠A的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝18，BC＝9， ∴sinA， ∴∠A＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确特殊角的三角函数值． 7．（2026•天宁区校级一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点D，则tan∠ADC＝　2　 ． 【分析】根据所给网格，构造出合适的直角三角形，再结合正切的定义进行计算即可． 【解答】解：连接BM， ∵正方形网格的边长为1， ∴DM，BM． 在Rt△BDM中， tan∠BDM2． ∵∠ADC＝∠BDM， ∴tan∠ADC＝tan∠BDM＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键． 8．（2026•盐亭县一模）如图，已知在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AD，点E、F分别在线段CD、AD上．如果AE⊥BF，，那么cot∠ABD＝ 　　 ． 【分析】过B作BG⊥AD于G，交AE于点H，证明△BGF∽△ADE，即可得，设BG＝2t，则AB＝AD＝3t，由勾股定理可得，最后求出cot∠ABD的值即可． 【解答】解：如图，过B作BG⊥AD于G，交AE于点H， ∵BG⊥AD，AE⊥BF， ∴∠BOA＝∠BGA＝90°， ∵∠BHO＝∠AHG， ∴∠GBF＝∠DAE， 又∵∠BGF＝∠ADE． ∴△BGF∽△ADE． ∴， 设BG＝2t，则AB＝AD＝3t， ∴， ∴， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题． 9．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，以AD为直径作⊙O，交BD的延长线于点E，连接CE，若CE切⊙O于点E． （1）求证：CE＝BC； （2）若CD＝8，，求⊙O半径的长． 【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EC，得到∠OED+∠BEC＝90°，根据OE＝OD，得到∠OED＝∠ODE，证明∠BEC＝∠CBE，根据等腰三角形的判定定理证明结论； （2）根据正切的定义求出BC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）∵CE切⊙O于点E， ∴OE⊥CE，∠OEC＝90°，即∠OED+∠CED＝90°， ∵OE＝OD， ∴∠OED＝∠ODE， ∵∠ACB＝90°，即∠BDC+∠DBC＝90°， 又∵∠BDC＝∠ODE， ∴∠BDC＝∠OED， ∴∠DBC＝∠DEC， ∴CE＝BC； （2）∵Rt△BCD中，，CD＝8， ∴，则， 设OD＝OE＝r， 在Rt△OCE中，OE2+CE2＝OC2，即， ∴若CD＝8，，求⊙O半径的． 【点评】本题考查了已知正切求边长，等腰三角形的性质与判定，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键． 10．（2026•禅城区一模）某品牌共享单车停放在水平地面的实物图如图1，其简易图如图2，其中AB，CD都与地平线l平行，点M、C、D在同一直线上．已知MC＝AC，CE平分∠ACD． （1）求证：AM∥CB． （2）现测得AB＝AC＝BC＝40cm，坐垫点E在中管CB的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为26cm，当BE＝20cm时，求车座点E到地面的距离（结果保留根号）． 【分析】（1）根据已知条件利用平行线的性质得出∠ABC＝∠BCD，再由角平分线定理推出∠ABC＝∠ACB，从而得出AC＝AB，进而证明四边形ABCM是平行四边形，即可得出结论； （2）过点E作EF⊥CD交CD于点F，先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再由等边三角形的性质和角平分线定理得出∠ACE＝∠DCE＝60°，结合已知条件求出CE的长，再通过解30度直角三角形和勾股定理求出EF的长，从而得出结果． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，点M、C、D在同一直线上， ∴∠ABC＝∠BCD， 又∵CE平分∠ACD， ∴∠ACB＝∠DCB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AC＝AB， ∵MC＝AC， ∴AB＝MC， ∴四边形ABCM是平行四边形， ∴AM∥CB． （2）解：AB＝AC＝BC＝40cm，坐垫点E在中管CB的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为26cm， 如图，过点E作EF⊥CD交CD于点F， ∵AB＝AC＝BC＝40cm， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝60°， ∵BE＝20cm， ∴CE＝BC+BE＝40+20＝60（cm）， 在Rt△ECF中，， ∴， ∵后车轮圆心点D到地面的距离为26cm， ∴车座点E到地面的距离为． 【点评】本题考查解直角三角形，正确进行计算是解题关键． 11．（2025•闵行区二模）如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE． （1）求BE的长； （2）求tan∠EBC的值． 【分析】（1）先根据∠ABE的正切及AB的长求出BH的长，再结合AD⊥BE及AD平分∠ABC即可解决问题． （2）根据题意，分别得出DH和EF为△BEF和△CAD的中位线，据此求出DH的长，最后在Rt△DHB中根据正切的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AD⊥BE， ∴在Rt△ABH中， tan∠ABE． 又∵AB＝5，∠ABE， ∴AH＝3，BH＝4． 又∵AD平分∠BAC， ∴BE＝2BH＝8． （2）∵EF⊥BE，AD⊥BE， ∴AD∥EF． 又∵BH＝EH， ∴DH是△BEF的中位线， ∴EF＝2DH． 同理可得，AD＝2EF， ∴AD＝4DH， 即3+DH＝4DH， ∴DH＝1． 在Rt△BDH中， tan∠EBC． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的判定与性质，熟知正切的定义及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点2】解直角三角形的应用（第12-20题） · · 把实际问题抽象为直角三角形 · · 按题意作高或作水平线 · · 参考数据按题目给出的代入 · · 结果注明单位与精确度 12．（2026•深圳三模）人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现90°．如图是一男士座椅情况和示意图，若AD＝40cm，∠C＝50°，该椅子座垫高度还要升高多少cm，才符合体工学椅的要求（　　） A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D． 【分析】过点B作BE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AD＝BE＝40cm，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E， 由题意得：AD＝BE＝40cm， 在Rt△BCE中，∠C＝50°， ∴BC（cm）， ∴该椅子座垫高度还要升高的高度＝BC﹣BE＝（40）cm， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．（2024秋•颍上县校级期末）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，AC＝6米，∠ACB＝52°，则AB的长为（　　） A．6cos52°米 B．6sin52°米 C．米 D．米 【分析】根据正弦函数的定义得sin∠ACB，由此可得出答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6米，∠ACB＝52°， ∵sin∠ACB， ∴AB＝AC•sin∠ACB＝6sin52°（米）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 14．（2025•同安区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　） A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα 【分析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，可得四边形AEOF是矩形，得到AE＝FO，又由四边形ABCD是矩形，可得∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，进而可得∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝α，再分别解Rt△ABF和Rt△BOC求出FB和BO，进而即可求解．． 【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F， ∵OC⊥OB，∴∠AFB＝∠AEO＝∠BOC＝90°， ∴四边形AEOF是矩形， ∴AE＝FO， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，AD＝4， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， ∵∠BCO＝α， ∴∠CBO＝90°﹣α， ∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBO＝180°﹣90°﹣（90°﹣α）＝α， 在Rt△ABF中，FB＝AB•cos∠ABF＝cosα， 在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠BCO＝4sinα， ∴AE＝FO＝FB+BO＝cosα+4sinα， ∴点A到OC的距离等于cosα+4sinα， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（2025秋•平潭县期中）如图1是平潭动车站入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝50cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是　60　 cm． 【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出BF与AE的长度，即可得出答案． 【解答】解：如图，过点B作BF⊥QD于点F，过点A作AE⊥PC于点E， 在Rt△AEC和Rt△BFD中， ∵∠PCA＝∠BDQ＝30°，AC＝BD＝50cm， ∴，， ∴可以通过闸机的物体的最大宽度是25+10+25＝60cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角三角形的性质，本题属于基础题型． 16．（2026•原州区校级二模）如图为小区常见漫步机的示意图，从侧面看，立柱A．高1.8m，AD长为0.35m，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2m，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为　0.52m ．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】过点B作BM⊥CF，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，可知四边形CNBM是矩形，在Rt△ANC中，根据∠CAN的余弦可得AN≈1.28，据此求解即可． 【解答】解：如下图所示，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点B作BM⊥CF，垂足为M， ∴四边形CNBM是矩形，AC＝AB＝AE﹣BE＝1.8﹣0.2＝1.6（m）， 在Rt△ANC中，∠CAN＝37°， ∴，即， ∴AN≈1.6×0.8＝1.28（m）， ∴CF＝NE＝AE﹣AN＝1.8﹣1.28＝0.52（m）， ∴CF为0.52m． 故答案为：0.52m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图1是一把油纸伞展开后的剖面图，E，F分别为伞骨AB，AC的中点，伞圈D为伞柄AP上可移动的点，四边形AEDF为菱形．当油纸伞打开到图1的程度时，∠BAC＝120°；当油纸伞收拢到图2的程度时，∠BAC＝60°．如果AE＝20cm，那么伞圈D下滑的距离为　（2020）　 cm．（结果保留根号） 【分析】在图①中，由菱形的性质得AE＝DE，DE∥AF，因为∠BAC＝120°，所以∠AED＝180°﹣∠BAC＝60°，则△AED是等边三角形，所以AD＝AE＝20cm，在图②中，设AD1、DF交于点H，则∠AHE＝90°，由AE＝AF，∠BAC＝60°，证明△AEF是等边三角形，则EF＝AE＝20cm，所以EH＝FHEF＝10cm，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图①，∵四边形AEDF是菱形，∠BAC＝120°， ∴AE＝DE，DE∥AF， ∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴△AED是等边三角形， ∴AD＝AE＝20cm， 如图②，设菱形AED1F的对角线AD1、DF交于点H，则EH＝FH，AH＝D1H， ∵AD1⊥EF， ∴∠AHE＝90°， ∵AE＝AF，∠BAC＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴EF＝AE＝20cm， ∴EH＝FHEF＝10cm， ∴AH10（cm）， ∴AD1＝2AH＝20cm， ∴DD1＝AD1﹣AD＝（2020）cm， 故答案为：（2020）． 【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地求出线段AD的长度及线段AD1的长度是解题的关键． 18．（2026•菏泽一模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC＝2m，折臂底座高CD＝1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m． （1）求下折臂DE的长； （2）求路灯AB的高． （结果精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93， 【分析】（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H，由题意可得四边形HGCD是矩形，则HG＝DC＝1.5，∠HDC＝90°，推出EH＝EG﹣HG＝4.5﹣1.5＝3，因为∠CDE＝135°，则∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°．在Rt△EHD中，； （2）过点E作EK⊥AB，垂足为K．根据EK∥HD，推出∠KED＝∠EDH＝45°．因为∠AED＝88°，则∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝43°，根据GC＝HD＝3，BC＝2，得出BG＝5，由题意可得四边形EGBK是矩形，所以EK＝5，KB＝4.5，在Rt△AEK中，，则AK＝EK•0.93°≈5×0.93＝4.65．得出AB＝KB+AK． 【解答】解：（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H， ∴HG＝DC＝1.5，∠HDC＝90°， ∴EH＝EG﹣HG＝4.5﹣1.5＝3， ∵∠CDE＝135°， ∴∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°． ∴在Rt△EHD中，， 答：下折臂DE的长约为4.2m． （2）过点E作EK⊥AB，垂足为K． ∵EK∥HD， ∴∠KED＝∠EDH＝45°． ∵∠AED＝88°， ∴∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝43°， ∵GC＝HD＝3，BC＝2， ∴BG＝5， 由题意可得四边形EGBK是矩形， ∴EK＝5，KB＝4.5， 在Rt△AEK中，， ∴AK＝EK•0.93°≈5×0.93＝4.65． ∴AB＝KB+AK＝4.5+4.65＝9.15≈9.2（m）． 答：路灯AB的高约为9.2m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意正确推理计算． 19．（2026春•新城区校级期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路AB由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为150m、200m，公路总长AB＝250m，工程车周边150米范围为噪声影响区域． （1）求∠ACB的度数； （2）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （3）若压路工程车行驶速度为每分钟40m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【分析】（1）已知△ABC三边长度，因为三边满足勾股定理的逆定理的条件，所以可通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出∠ACB的度数． （2）要判断学校是否受噪声影响，需先求点C到直线AB的距离，因为点到直线的最短距离是垂线段长度，所以过C作AB的垂线段，用等面积法求出垂线段长度后，与150m比较即可． （3）求噪声持续时间，先确定工程车在AB上到C点距离等于150m的两个交点，因为这两个交点之间的距离就是噪声影响的行驶路程，所以用勾股定理求出该路段长度后，再结合速度公式即可计算时间． 【解答】解：（1）∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m， ∴AC2+BC2＝1502+2002＝62500＝2502＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°． （2）学校C会受到噪声影响．原因： 过C作CD⊥AB于D， ∵， ∴（m）， ∵120m＜150m（噪声影响范围半径）， ∴学校C会受到噪声影响． （3）设工程车进入影响区的点为E，离开影响区的点为F， 则CE＝CF＝150m． 在Rt△CDE中，∵（m）， ∴EF＝2DE＝180m， ∵行驶速度为40m/分钟， ∴持续时间：180÷40＝4.5（分钟）， 即噪声持续干扰的时间为4.5分钟． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（2026•虹口区二模）根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果EF⊥平面镜AB，入射光线CF经平面镜AB反射，得到反射光线FD，那么反射角∠DFE等于入射角∠CFE，即∠DFE＝∠CFE． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻…”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点B，墙角记为点P，邻居记作点A，镜子（平面镜）记作MN，OD⊥MN于点O，入射光线AO经平面镜MN反射，得到反射光线OB，BE⊥AB于点B，OB又作为入射光线通过水盆B反射得到反射光线BC，进入观察者的眼中（抽象为点C）．已知OP⊥AB于点P，∠AOD＝45°，∠CBE＝37°，水盆到墙角的距离BP＝1.8米． 素材四 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75． 问题解决 任务一 求邻居A到墙角P的距离； 任务二 如果入射光线OA不变，将镜子MN绕点O顺时针旋转8°，在OP左侧的观察者仍能通过水盆B看到邻居A，那么水盆B应向左还是右平移？平移多少米？ 【分析】任务一：依据题意得，∠AOB＝90°，∠CBE＝∠OBE＝37°，结合BE⊥AB，可得∠BOP＝∠OAB＝37°，由BP＝1.8米，故OP2.4（米），从而AP3.2（米），即可得解； 任务二：依据题意得，旋转后镜子MN∥AB，由任务一，AP＝3.2米，从而BP＝AP＝3.2米，故平移的距离为3.2﹣1.8＝1.4（米），进而得解． 【解答】解：任务一：由题意得，∠AOB＝90°， ∠CBE＝∠OBE＝37°， ∵BE⊥AB， ∴∠BOP＝∠OAB＝37°， ∵BP＝1.8米， ∴OP2.4（米）， ∴AP3.2（米）． 答：邻居A到墙角P的距离为3.2米； 任务二：向左平移1.4米，理由如下： 由题意得，旋转后镜子MN∥AB， 由任务一，AP＝3.2米， ∴BP＝AP＝3.2米， ∴平移的距离为3.2﹣1.8＝1.4（米）． 答：水盆B应向左平移，平移1.4米． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、平移的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【考点3】坡度坡角问题（第21-25题） · · 坡度i=铅直高:水平宽=1:m · · 坡度i=tan坡角 · · 三边用勾股定理联系 · · 改造坡面抓公共高不变 21．（2025秋•芜湖期末）如图，一辆汽车在坡度i＝1：2（即的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了　20　 米． 【分析】设汽车竖直方向上升的高度为x米，根据坡度的概念用x表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：设汽车竖直方向上升的高度为x米， ∵斜坡的坡度i＝1：2， ∴汽车前进的水平宽度为2x米， 有勾股定理得：x2+（2x）2＝1002， 解得：x＝20（负值舍去）， 则汽车竖直方向上升的高度为20米， 故答案为：20． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 22．（2026•蓬江区校级开学）如图是某扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为　　 米． 【分析】根据题意可得：AB＝20米，再根据已知可设BC＝5x米，则AC＝12x米，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：AB＝0.5×40＝20（米）， ∵扶梯AB的坡度i＝5：12， ∴， ∴设BC＝5x米，则AC＝12x米， 在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2， ∴（5x）2+（12x）2＝202， 解得：x或（舍去）， ∴BC米， ∴王老师上升的铅直高度BC为米， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键． 23．（2026春•宁波期末）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道BC与地面AD平行，扶梯AB的坡比为1：1，滑梯CD的坡比为1：，若扶梯AB长为米，则滑梯CD的长度为　4　 米． 【分析】根据矩形的性质和解直角三角形的方法即可得到结论． 【解答】解：∵过道BC与地面AD平行， ∵BC∥AD，BE⊥AD，CF⊥AD， ∴四边形CBEF是矩形， ∴BE＝CF， ∵扶梯AB的坡比为1：1， ∴1， ∴AE＝BE＝2（米）， ∴CF＝2米， ∵滑梯DC的坡比为1：， ∴， ∴DF＝2米， 在直角三角形BCF中，由勾股定理得：DC4（米）， ∴滑梯CD的长为4米． 故答案为：4． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，理解题意，掌握坡度的含义，熟练运用勾股定理是解题的关键． 24．（2026•灌南县模拟）国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡AB的坡度为1：2，AB长为5米，钓竿AC与水平线的夹角是50°，其长为6米，若钓竿AC与钓角线CD的夹角是65°． （1）求点A到水平面BD的距离； （2）求浮漂D与斜坡下端B之间的距离．（结果精确到0.01，参考数据：2.236，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145） 【分析】（1）过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E，设AE＝x米，根据坡度的概念用x表示出BE，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案； （2）过点A作AF∥BD，交CD于F，过点F作FH⊥BD于H，根据三角形内角和定理求出∠AFC，再根据正切的定义求出DH，计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E， 设AE＝x米， ∵斜坡AB的坡度为1：2， ∴BE＝2x米， 在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，即x2+（2x）2＝52， 解得：x2.24（负值舍去）， 答：点A到水平面BD的距离约为2.24米； （2）如图，过点A作AF∥BD，交CD于F，过点F作FH⊥BD于H， 则四边形AEHF为矩形， ∴FH＝AE米，EH＝AF， 在△ACF中，∠C＝65°，∠CAF＝50°， 则∠AFC＝180°﹣65°﹣50°＝65°， ∴∠AFC＝∠C， ∴AF＝AC＝6米， ∴EH＝6米， ∵AF∥BD， ∴∠FDH＝∠AFC＝65°， ∴DH1.044（米）， ∴BD＝EH+DH﹣EB＝6+1.044﹣2×2.236≈2.57（米）， 答：浮漂D与斜坡下端B之间的距离约为2.57米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记坡度的概念是解题的关键 25．（2025秋•德城区期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC，△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB，PE与地面BE的夹角分别为∠PBE＝43°，∠PEB＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC，FD与地面BE垂直，A点到B点的距离AB＝1.6m． （参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） （1）车窗底部到地面的高度AC的长为　1.12　 m； （2）求盲区中DE的长度． 【分析】（1）由题意可知△ABC为直角三角形，由，可得AC＝AB•sinB，即可求解； （2）由题意可知四边形AFDC是矩形，则DF＝AC＝1.12m，在Rt△DEF中，由可得，即可求解． 【解答】解：（1）∵AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，， ∵∠B＝43°，AB＝1.6m， ∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12m， ∴车窗底部到地面的高度AC的长为1.12m， 故答案为：1.12； （2）由题意可知四边形AFDC是矩形， ∴DF＝AC＝1.12m， 在Rt△DEF中，， ∵∠E＝20°，DF＝1.12m， ∴． 答：盲区中DE的长度为2.8m． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，视点、视角和盲区，掌握相关知识点是解题的关键． 【考点4】仰角俯角问题（第26-29题） · · 过观测点作水平线 · · 俯角等于观测角（内错角） · · 两个直角三角形共用一条高 · · 列方程求测点间距离 26．（2026•南山区校级模拟）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面120m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　　 m（结果保留根号）． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝120m，求出∠CAD＝∠MCA＝45°，∠CBD＝∠NCB＝30°，利用CD⊥AB，得出，，相加即可求解． 【解答】解：如图，∠MCA＝45°，∠NCB＝30°，MN∥AB，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝120m， ∴∠CBD＝∠NCB＝30°，∠CAD＝∠MCA＝45°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴，， ∴． 故答案为：（120+120）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度角问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 27．（2025秋•鱼台县月考）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度AB进行了测量，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得超然楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得超然楼的高度是　51　 m．（参考数据：tan63°≈2） 【分析】延长BA交距水平地面102m的水平线于点D，根据tan63°≈2，求出DC＝AD≈51m，即可求解． 【解答】解：延长BA交距水平地面102m的水平线于点D， 如图， 依题意，有三个角都是直角的四边形是矩形， 设AD＝xm， ∵∠DCA＝45°， ∴DC＝AD＝x， ， ∴DC＝AD≈51m， ∴AB＝BD﹣AD＝102﹣51＝51（m）． 故答案为：51． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键． 28．（2026•滨湖区二模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面） （1）求路段BQ的长； （2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， 【分析】（1）求出∠PBQ＝53°，再由锐角三角函数定义求出BQ的长即可； （2）过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D，则四边形ACQD是矩形，得AD＝CQ，DQ＝AC，设AC＝x米，则BC＝3x米，由勾股定理求出ABx米，则PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米，进而求出∠PAD＝27°，再由锐角三角函数定义求出AD≈（32﹣2x）米，然后由AD＝CQ列出方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵在坡角点B处时，电子眼的俯角为53°， ∴∠QPB＝90°﹣53°＝37°， ∵∠PQB＝90°， ∴∠PBQ＝53°， ∵tan∠PBQ＝tan53°， ∴BQ12（米）， 答：路段BQ的长约为12米； （2）如图，过点A作AC⊥BQ于点C，AD⊥PQ于点D， 则四边形ACQD是矩形， ∴AD＝CQ，DQ＝AC， ∵引桥坡度i＝1：3， ∴， 设AC＝x米，则BC＝3x米， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：ABx（米）， ∴PD＝PQ﹣DQ＝（16﹣x）米， ∵在面点A处，此时电子眼的俯角为27°， ∴∠APD＝90°﹣27°＝63°， ∵∠ADP＝90°， ∴∠PAD＝27°， ∵tan∠PAD＝tan27°， ∴AD（32﹣2x）（米）， ∵CQ＝BC+BQ＝（3x+12）米， ∴3x+12＝32﹣2x， 解得：x＝4， ∴ABx≈12.8（米）， ∴该车的平均速度为v6.4（米/秒）＝23.04km/h， ∵23.04km/h＜30km/h， ∴小汽车没有超速． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 29．（2026•淮安区模拟）限速防超是最基本的交通规则，也是交通警察抓得非常严的交通规则，路边高频高清摄像是限速防超的一个重要手段．如图所示，有一条东西走向的高速公路MN，距离公路MN的正上方10m处有一个高频高清摄像头P，此时摄像头P探测到公路点A的俯角∠CPA是75°，探测到公路点B的俯角∠CPB是30°．（参考数据：） （1）求PB的长； （2）若交通规则要求测速区域AB的范围为10m∼20m，请判断该摄像头P的安装距离是否符合要求，并说明理由． 【分析】（1）过点B作BD⊥PC于D，解直角三角形Rt△BDP即可求解； （2）作AE⊥PB于E，由平行线的性质得∠DPB＝∠ABP＝30°，即得∠APB＝∠DPA﹣∠DPB＝45°，设AE＝xm，可得PE，BExm，AB＝2AE＝2xm，利用PE+BE＝PB求出x的值，进而求出AB的长即可判断求解； 【解答】解：（1）如图，过点B作BD⊥PC于D， 在Rt△BDP中，∠DPB＝30°，BD＝10m， ∴PB＝2BD＝20m， 答：PB的长为20m； （2）如图，作AE⊥PB于E， 由题意得：PC∥MN， ∴∠DPB＝∠ABP＝30°， ∵∠DPA＝75°， ∴∠APB＝∠DPA﹣∠DPB＝75°﹣30°＝45°， 设AE＝xm， 在Rt△APE中，PE， 在Rt△AEB中，∠ABE＝30°． ∴BExm，AB＝2AE＝2xm， ∵PE+BE＝PB， ∴， 解得， ∴AB＝2x＝2020≈14.6（m）． ∵交通规则要求测速区域AB的范围为10m～20m， ∴该摄像头P的安装距离符合要求． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点5】方向角问题（第30-35题） · · 画方向坐标定南北东西 · · 过点作垂线拆成两个直角三角形 · · 方向具有相对性 · · 等腰直角三角形常用45° 30．（2026•丛台区校级模拟）如图，嘉淇参加了某旅行社活动，从集结地A处出发，景点B在A的正东方向，景点C在集结地A的北偏东30°方向，在景点B的北偏西45°方向，集结地A与景点C之间的距离为40千米，则集结地A与景点B之间的距离为（　　） A．千米 B．（20+20）千米 C．30千米 D．（20+20）千米 【分析】过点C作CH⊥AB于点H，先解Rt△AHC求出AH，CH，再解Rt△BHC即可． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则∠AHC＝∠BHC＝90°． 在Rt△AHC中，AC＝40千米，∠CAH＝90°﹣30°＝60°， ∴千米．AH＝AC•cos60°＝20千米， 在Rt△BHC中，∠HBC＝45°， ∴千米， ∴千米． 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 31．（2026•株洲校级自主招生）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据∠BAD＝60°，∠ABC＝75°，利用三角形内角和定理求出∠C，在得出AD长度，CD＝BD，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出BC的长． 【解答】如图所示：过点B作BD⊥AC于点D， 由题意得：∠ABC＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠BAD＝45°+15°＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠BDA＝90°， ∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C， ∴CD＝BD，（千米）， ∴（千米）， ∴（千米）， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形性质和计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 32．（2025春•牡丹江期中）在海面上，有一艘渔船遇险，在它的南偏东50°方向上有一艘救生船，二者的距离是75nmile，如果救生船相对于渔船的位置用（南偏东50°，75nmile）表示，那么遇险的渔船相对于这艘救生船的位置是　（北偏西50°，75nmile）　 ． 【分析】依据题意，画出示意图，根据坐标确定地理位置，从而可以得解． 【解答】解：由题意，画出示意图如下： A为救生船，B为渔船， ∴∠ABC＝50°，AB＝75nmile， ∵BC∥DA， ∴∠DAB＝∠ABC＝50°． ∴遇险船相对于救生船的位置是：（北偏西50°，75nmile）， 故答案为：（北偏西50°，75nmile）． 【点评】本题考查了坐标确定地理位置，正确理解方向角的定义是解题关键． 33．（2025•巴林左旗模拟）如图是某活动小组在测量湖中古亭与岸边古塔之间的距离时绘制的，在古塔A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走100m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，则古亭与古塔之间的距离AB的长约为 　273　 m．（结果精确到1m．参考数据： 【分析】过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C，设AC＝xm，则CD＝（x+100）m，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再证明BC＝DC，列出关于x的方程，求出AC的长，然后在Rt△ABC中，由含30°角的直角三角形的性质求出AB的长即可． 【解答】解：如图，过点B作BC⊥AD，交DA的延长线于点C， 设AC＝xm，则CD＝AC+AD＝（x+100）m， 在Rt△ABC中，∠CAB＝60°， ∴BC＝AC•tan60°x（m）， 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BC＝CD， ∴x＝x+100， 解得：x＝5050， ∴AC＝（5050）m， ∵∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°， ∴AB＝2AC＝100100≈273（m）， ∴古亭与古塔之间的距离AB的长约为273m． 故答案为：273． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—方向角问题，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 34．（2025秋•重庆校级期中）如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西30°方向，E在D的南偏东75°方向，D在C的南偏西60°方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，AC＝2BC．（参考数据：，，） （1）求DC的长度；（结果保留根号） （2）小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到0.1） 【分析】（1）过点E作EF⊥CD于点F，分别利用锐角三角函数比求出DF，CF的长即可； （2）利用锐角三角函数求出各路线的长度，然后求出时间进行比较即可． 【解答】解：（1）如图，D在C的南偏西60°方向，米，过点E作EF⊥CD于点F， ∴∠ECD＝60°，∠CFE＝90°， ∴∠CEF＝30°， ∴∠DEF＝∠DEC﹣∠CEF＝75°﹣30°＝45°， ∴（米）， ∴（米），（米）， ∴（米）； （2）∵AC＝2BC，∠B＝90°， ∴， ∴∠BAC＝30°， ∴∠ACB＝60°，∠DAC＝90°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝60°，则∠ADC＝30°， ∴（米），（米）， ∵小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟， ∴小聪所用时间为：（分钟）， 小明所用的时间为：（分钟）， ∵10.5＜11.7， ∴小明先到达景点D． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 35．（2026•安徽模拟）如图，某货轮向正北方向航行，在A处时测得灯塔B在货轮的北偏西37°方向，灯塔C在货轮的北偏东45°方向．当货轮到达D处时，测得灯塔B在货轮的正西方向，灯塔C在货轮的正东方向，且灯塔B，C相距630海里． （1）D处与灯塔B的距离是多少海里？ （2）当货轮到达E处时，测得货轮与灯塔C的距离是600海里，此时灯塔C在货轮的什么方向上？ （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】（1）设D处与灯塔C的距离是x海里，根据等腰直角三角形的性质可知BC＝630海里，BD＝（630﹣x）海里，根据∠BAD＝37°可得：，根据tan37°≈0.75可得方程，解方程即可求出D处与灯塔C的距离； （2）根据DC和EC的长度求出∠DEC的正弦，根据正弦值得到∠DEC的度数，即可得到灯塔C与货轮的位置关系． 【解答】解：（1）设D处与灯塔C的距离是x海里， 由题意得∠DAC＝45°， ∴AD＝DC＝x海里， ∵灯塔B，C相距630海里， ∴BC＝630海里， ∴BD＝（630﹣x）海里， 在Rt△ABD中，， ∵在A处时测得灯塔B在货轮的北偏西37°方向， ∴∠BAD＝37°， ∴， ∴， 解得：x＝360， BD＝630﹣360＝270（海里）， 答：D处与灯塔C的距离是270海里； （2）∵货轮与灯塔C的距离是600海里， ∴EC＝600海里， 在Rt△EDC中，， ∴∠DEC≈37°， ∴灯塔C在货轮的南偏东37°方向． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•宝山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，，则下列说法中错误的是（　　） A．S△ABC＝1 B． C． D． 【分析】先根据tanA的值求出BC的长度，再用勾股定理求AB，再利用锐角三角函数的定义逐项分析即可判断． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC＝2，∠C＝90°， ∴， ∴， ∴， 故A选项说法正确，不符合题意； ∵∠C＝90°， ∴， ∴， 故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴∠B＞45°， ∴2∠B＞90°，2∠B为钝角，无法作为直角三角形的锐角，不能直接套用锐角正切定义，因此这个结论错误． 故C选项说法错误，符合题意； 在Rt△ABC中，，， ∴， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习 2】（2026•龙华区校级三模）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　） A．50tanαm B． C．50sinαm D． 【分析】在Rt△ABC中，根据正切的定义求解即可． 【解答】解：∵∠ABC＝α，AC＝50m， 由三角函数可得：． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，关键是根据正切的定义求解． 【练习 3】（2024秋•江阴市校级期中）小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度（　　） A．30° B．1：2 C． D． 【分析】先由勾股定理得出，再由坡度的定义即可得出答案． 【解答】解：由题意得：AB＝40m，CB＝20m，BC⊥AC， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴斜坡AB的坡度， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，熟练掌握坡度的定义是解此题的关键． 【练习 4】（2026•余杭区校级模拟）如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A是风车中心，其中一个叶片中AD∥BC，CD⊥AC，AD⊥AB，已知AB长为3cm，，则AD的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 【分析】利用正切的定义结合已知条件求得AB的长度，再用勾股定理求出AC的长度，由平行线的性质可得到∠DAC＝∠ACB，从而得到，同理利用正切的定义和勾股定理即可求得目标结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，， ∵AB＝3cm， ∴，即BC＝4cm， ∴（cm）， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴， 在Rt△ACD中，CD⊥AC， ∴，即， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习 5】（2025•衢州三模）如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝　8　 m．（结果保留根号） 【分析】根据AB的坡度为1：，AB＝8，可得AE的长，再根据AB改为坡度为1：2可以求出PE的长，根据勾股定理即可求出新坡面AP． 【解答】解：∵AB的坡度为1：，AB＝8， 设AE＝a，则BEa， ∴ABa＝8，故a＝8， 在Rt△APE中，坡度为1：2， ∴PE＝2a，故APa＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点． 【练习 6】（2026春•城区校级期末）教学楼P的南偏东60°方向，距离教学楼P，90米有食堂A，它沿北偏东30°方向走120米到达操场B，此时操场B与教学楼P的距离为　150　 米． 【分析】如图，过点A作AC∥PE交BP于C，利用平行线的性质以及方位角说明∠PAB＝90°，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过点A作AC∥PE交BP于C， 根据题意得AB＝120米，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝90 米， ∴∠PAB＝∠CAP+∠CAB＝90°， 在Rt△PAB中，根据勾股定理得， （米）， 即此时与教学楼P的距离为150米． 故答案为：150． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习 7】（2026•包头一模）如图，是三角形玻璃ABC损坏后剩余的部分，依据图中数据，则AC的长为　　 ． 【分析】延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作AD⊥BC于点D，先在直角△ADB中，求出AD的长度，再在直角△ADC中，求出AC的长度即可． 【解答】解：如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 在直角△ADB中， ∵，∠ADB＝90°，∠B＝45°， ∴， ∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵∠BAC＝110°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝110°﹣45°＝65°， ∴∠ADC＝90°， 在直角△ADC中， ∵AD＝2，∠ADC＝90°，∠DAC＝65°， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习 8】（2026春•琼中县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，BD＝1，DC＝4． （1）求AB、AC； （2）求∠BAC的度数． 【分析】（1）由AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，然后通过勾股定理即可求解； （2）由（1）得，，，由勾股定理逆定理得AB2+AC2＝BC2，从而求出∠BAC度数． 【解答】解：（1）由条件可知∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴，； （2）由（1）得，，， ∴，， ∵BC＝BD+CD＝5， ∴BC2＝52＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°． 【点评】本题考查了勾股定理及逆定理，掌握勾股定理及逆定理的应用是解题的关键． 【练习 9】（1）已知等腰三角形一条腰上的高与腰之比为1：，求这个等腰三角形的顶角． （2）已知在△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝2，AC＝2，AB＝4，求∠BAC的度数． 【分析】（1）由于没有明确高的位置是在三角形的内部还是外部，所以要根据等腰三角形的性质分两种情况讨论； （2）分两种情形：①当高AD在△ABC内部时，②当高AD在△ACB′外部时，分别求出∠BAD，∠CAD即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意知，分两种情况： ①当腰上的高在三角形内部时，如图，AB＝AC，CD⊥AB， 在直角三角形ADC中， sin∠CAD1：， ∴顶角∠CAD＝45°； ②当腰上的高在三角形外部部时，如图，AB＝AC，CD⊥AB， 在直角三角形ADC中， sin∠CAD1：， ∴∠CAD＝45°， ∴顶角∠CAB＝180°﹣∠CAD＝180°﹣45°＝135°； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为45°或135°； （2）如图，①当高AD在△ABC内部时， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AD＝2，AC，AB＝4， ∴cos∠BAD，cos∠CAD， ∴∠BAD＝60°，∠CAD＝45°， ∴∠BAC＝60°+45°＝105°， ②当高AD在△ACB′外部时，∠CAB′＝60°﹣45°＝15°， 综上所述，∠ABC的度数为15°或105°． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【练习 10】（2026•上海）如图，小明正在确认大楼是否安全，规定即为安全． （1）当d＝100米时，h至少小于多少米？ （2）若测AB长为a，BC长为b，仰角为θ，求（用含有a、b、θ的代数式表示）． 【分析】（1）根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）根据题意可得：DE＝AB＝a，然后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出CD和BD的长，从而求出CE的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：， ∵d＝100米， ∴， 解得：h＜12.5， ∴h至少小于12.5米； （2）如图： 由题意得：DE＝AB＝a， 在Rt△CBD中，∠CBD＝θ，BC＝b， ∴CD＝BC•sinθ＝bsinθ，BD＝BC•cosθ＝bcosθ， ∴h＝CD+DE＝bsinθ+a， ∴． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 解直角三角形先选好关系式，有斜边用sin/cos，无斜边用tan · · 坡度题牢记i=铅直高:水平宽，并结合勾股定理 · · 仰角俯角题过观测点作水平线，把俯角转化为三角形内角 · · 方向角题先画方向坐标，再作垂线拆成两个直角三角形 · · 实际应用最后按参考数据计算，并注明单位与精确度 【作业 1】（2025秋•尧都区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大3倍，则cosA也扩大3倍 B．若α为锐角，，则 C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°） D．三角形的三边长分别为a，b，c，则 【分析】根据三角函数的定义和性质逐项判断正误． 【解答】解：A：在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大3倍，但cosA是邻边与斜边的比值， ∴比值不变，故A错误，不符合题意． B：， 设对边＝5k，邻边＝12k， 则斜边， ∴，故B正确，符合题意． C：，两者不相等，故C错误，不符合题意． D：△ABC不一定是直角三角形，tanA不一定等于，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的定义和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 【作业 2】（2024秋•岳阳期末）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（8，12），则tanα的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AB⊥x轴于B，根据点A的坐标求出OB、AB，再根据锐角的正切值等于对边比邻边解答． 【解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴于B， ∵点A的坐标是（8，12）， ∴OB＝8，AB＝12， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，关键是坐标与图形性质的熟练掌握． 【作业 3】（2024秋•蓬莱区期中）如果在高为2米，坡度为1：2的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（　　） A．2米 B．6米 C．米 D．米 【分析】根据题意画出对应的几何图，注意地毯长度为AB+BC，而不是AC，即可求解． 【解答】解：如图所示： 由题意得：在Rt△ABC中，AB＝2m，AB：BC＝1：2， ∴BC＝2AB＝4m， ∴AB+BC＝6m， 故选：B． 【点评】本题考查了用平移的性质解决实际问题及坡比的应用，掌握坡度比是解题的关键． 【作业 4】（2026•龙华区三模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则tan∠AOC的值为　1　 ． 【分析】如图标记格点E，连接AD，BD，则，由此可得∠DAB＝∠CDE，所以∠DAB+∠ADC＝∠CDE+∠ADC，根据外角定理可得∠AOC＝∠ADE＝45°即可解答． 【解答】解： 方法一：如图标记格点E，连接AD，BD， 设小正方形的边长均为1， ∴，， ∵∠ADB＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴， ∵， ∴∠DAB＝∠CDE， ∴∠DAB+∠ADC＝∠CDE+∠ADC， ∵∠AOC＝∠DAB+∠ADC，∠ADE＝∠CDE+∠ADC＝45°， ∴∠AOC＝∠ADE＝45°， ∴tan∠AOC＝1． 方法二：如图可得，Rt△AHB为等腰三角形， ∴∠HAB＝45°， ∵AC∥HD，AC＝HD， ∴四边形ACDH是平行四边形， ∴AH∥DC， ∴tan∠AOC＝tan∠HAB＝tan45°＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了三角函数，明确“等角的三角函数值相等”是解题的关键． 【作业 5】（2026•江夏区校级模拟）如图所示，小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°，则信号发射塔PQ的高度约为　94.6　 米．（结果精确到0.1米，） 【分析】要计算信号发射塔PQ的高度，我们可以通过三角函数结合线段关系建立方程求解． 【解答】解：如图，延长PQ交直线AB于点C， 设PC＝xm． 在Rt△APC 中，∠A＝45°， 则AC＝PC＝xm． ∵∠PBC＝60°， ∴∠BPC＝30°， 在Rt△BPC中，BCxm， ∵AB＝AC﹣BC＝60m， 则， 解得， 则． 在Rt△BCQ中，． ∴． 即信号发射塔PQ的高度约是94.6m． 故答案为：94.6． 【点评】题目考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【作业 6】（2026•中牟县模拟）筒车是我国古代水力灌溉工具，如图，筒车⊙O按逆时针方向匀速旋转，每秒钟转4°．筒车与水面的交点为A、B，AB＝4m，筒车轴心O到水面的距离OC＝2m（OC⊥AB）． （1）求筒车⊙O的半径． （2）接水槽MN所在直线与⊙O相切于点D，且与直线AB交于点M，MO＝16m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多少秒恰好在直线MN上？（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，sin5°≈0.09，cos5°≈0.996） 【分析】（1）利用垂径定理将弦长转化为直角三角形的边长，再结合勾股定理建立方程求解半径．解题的关键 在于构建以半径、半弦长和圆心距为边的直角三角形模型； （2）通过切线的性质构造直角三角形，利用锐角三角函数求出关键角度，进而确定旋转的角度差．解题的关键在于准确计算出从最高点到切点位置所转过的圆心角，并结合转速公式求解时间． 【解答】解：（1）如图，连接OB， 设筒车⊙O的半径为r米． 由题意，OC⊥AB，且C为AB中点（垂径定理）， 故米． 在Rt△OAC中，OC＝2， ， 由勾股定理：OA2＝OC2+AC24+12＝16， OA＝4， ∴筒车⊙O的半径为4米； （2）连接OD，延长CO交⊙O于点E，则点E为⊙O的最高点， ∵MN与⊙O相切于点D， ∴OD⊥MN． 已知MO＝16米，OD＝4米（半径）， 在Rt△MOD中，， 参考数据中sin14°≈0.24，接近0.25， 故∠OMD≈14°， 因此，∠MOD＝90°﹣14°＝76°， 筒车从最高点P开始逆时针旋转，当P点转到直线MN上时，旋转角度为∠POM＝76°，筒车每秒转4°， 故所需时间为：19秒， ∴至少经过19秒，盛水筒P恰好在直线MN上． 【点评】题目考查了解直角三角形的应用、勾股定理、垂径定理的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【作业 7】（2026•高唐县二模）如图1所示，机器人舞蹈演员在舞台上展示高难度中国舞造型，图2是其瞬间的几何示意图，演员的一腿AB直立于地面MN，小腿部分是CD，上身AP，即AB⊥MN于点B，CE是演员小腿CD上踢后与大腿AC在同一平面的瞬间（这里的小腿CD，CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分）．已知演员身高160cm，腿AB＝90cm． （1）若∠CAB＝140°，∠DCE＝50°．求证：CD∥MN； （2）若演员上身AP垂直于大腿AC，大腿AC的长为50cm，求点P，C间的距离（保留根号）； （3）当演员头部P距离地面的高度是125cm时，求上身AP倾斜的角度∠QAP． 【分析】（1）过点A作AF∥CD，进而证明FA∥MN，即可判断CD∥MN； （2）易得AP的长度，进而根据勾股定理可得PC的长度； （3）作PG⊥BQ于点G，则GB为点P距离地面的高度，易得GA的长度，那么可得∠QAP的余弦值，即可求得∠QAP的度数． 【解答】解：（1）过点A作AF∥CD， ∴∠FAE＝∠DCE＝50°， ∵∠CAB＝140°， ∴∠FAB＝140°﹣50°＝90°， ∵AB⊥MN， ∴∠ABN＝90°， ∴∠FAB＝∠ABN， ∴FA∥MN， ∴CD∥MN； （2）连接PC，由题意得：AP＝160﹣90＝70cm， ∵AC⊥AP， ∴∠CAP＝90°， ∵AC＝50cm， ∴CP10cm； （3）作PG⊥BQ于点G，则∠AGP＝90°， 由题意得：GB＝125cm， ∴AG＝125﹣AB＝35cm， ∵AP＝70cm， ∴cos∠QAP， ∴∠QAP＝60°． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．构造合适的辅助线解决问题是解决本题的难点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 解直角三角形 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解解直角三角形的意义，掌握三边、锐角、边角关系 · · 能根据已知元素（至少一边）求出其余未知元素 · · 会解决坡度、坡角的实际问题 · · 会解决仰角、俯角的测量问题 · · 会解决方向角（方位角）的实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.解直角三角形的依据 三边关系：a2+b2=c2（勾股定理） 两锐角关系：∠A+∠B=90° 边角关系：sinA=，cosA=，tanA= 已知两个元素（至少含一条边）即可求出其余三个未知元素 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，AB=18，BC=9，求∠A 解析：sinA===，故∠A=30° ☆ 2.坡度与坡角问题 坡面铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度i= 坡角α是坡面与水平面的夹角，i=tanα 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 常结合勾股定理：h2+l2=坡面距离2 概念辨析例题：汽车沿坡度i=1:2的斜坡前进100米，求竖直升高 解析：设升高x，则水平宽2x，x2+(2x)2=1002，即5x2=10000，x=20 ☆ 3.仰角与俯角问题 仰角：视线在水平线上方，与水平线所成的角 俯角：视线在水平线下方，与水平线所成的角 两水平线平行，俯角等于视线与竖直线所成锐角（内错角） 过观测点作水平线，构造直角三角形求解 概念辨析例题：无人机距湖面120m，测得A点俯角45°，求A到垂足的距离 解析：俯角45°，直角三角形为等腰直角三角形，两直角边相等，故距离=120m ☆ 4.方向角问题 方向角一般以南北方向为基准，如北偏东30° 先画方向坐标，过观测点作南北线、东西线 把斜三角形拆成两个直角三角形分别求解 方向具有相对性：甲在乙北偏东，则乙在甲南偏西 概念辨析例题：C在A北偏东30°方向，AC=40千米，求C到AB的铅直距离 解析：过C作CH⊥AB，∠CAH=60°，CH=AC·sin60°=40×=20 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 a2+b2=c2 勾股定理 锐角关系 ∠A+∠B=90° 两锐角互余 边角关系 sinA=等 分清对边邻边斜边 坡度 i==tanα 铅直高比水平宽 仰角/俯角 视线与水平线夹角 以水平线为基准 方向角 北偏东/南偏西 以南北方向为基准 解题关键 构造直角三角形 作高或作水平线 ⚠️ 核心考点 【考点1】解直角三角形（第1-11题） · · 先画图明确已知边、已知角 · · 选好关系式：有斜边用sin/cos · · 缺边先用勾股定理求出 · · 网格题借格点构造直角三角形 1．（2026春•青浦区期末）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（　　） A．AB＝4cm，∠A＝60°，∠B＝30° B．AB＝4cm，BC＝3cm，∠A＝30° C．AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝30° D．AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝6cm 2．（2025秋•张店区期末）若将Rt△ABC（∠C＝90°）的两直角边的长度都扩大为原来的3倍，则该Rt△ABC中锐角A的正切值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．没有变化 C．缩小为原来的 D．不能确定 3．（2026•江阳区校级模拟）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（　　） A． B． C．2 D． 4．（2025秋•高邮市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，若正方体的展开图恰好放置在△ABC内，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•扶绥县校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（　　） A．a（cosα﹣cosβ） B． C． D．a•cosα﹣a2•sinαtanβ 6．（2025秋•宝山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝18，BC＝9，那么∠A＝________ ． 7．（2026•天宁区校级一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点D，则tan∠ADC＝_____ ． 8．（2026•盐亭县一模）如图，已知在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AD，点E、F分别在线段CD、AD上．如果AE⊥BF，，那么cot∠ABD＝ ____________________ ． 9．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，以AD为直径作⊙O，交BD的延长线于点E，连接CE，若CE切⊙O于点E． （1）求证：CE＝BC； （2）若CD＝8，，求⊙O半径的长． 10．（2026•禅城区一模）某品牌共享单车停放在水平地面的实物图如图1，其简易图如图2，其中AB，CD都与地平线l平行，点M、C、D在同一直线上．已知MC＝AC，CE平分∠ACD． （1）求证：AM∥CB． （2）现测得AB＝AC＝BC＝40cm，坐垫点E在中管CB的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为26cm，当BE＝20cm时，求车座点E到地面的距离（结果保留根号）． 11．（2025•闵行区二模）如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE． （1）求BE的长； （2）求tan∠EBC的值． 【考点2】解直角三角形的应用（第12-20题） · · 把实际问题抽象为直角三角形 · · 按题意作高或作水平线 · · 参考数据按题目给出的代入 · · 结果注明单位与精确度 12．（2026•深圳三模）人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现90°．如图是一男士座椅情况和示意图，若AD＝40cm，∠C＝50°，该椅子座垫高度还要升高多少cm，才符合体工学椅的要求（　　） A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D． 13．（2024秋•颍上县校级期末）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，AC＝6米，∠ACB＝52°，则AB的长为（　　） A．6cos52°米 B．6sin52°米 C．米 D．米 14．（2025•同安区校级模拟）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，AB＝1，AD＝4，∠BCO＝α，则点A到OC的距离为（　　） A．tanα+4sinα B．tanα+4cosα C．sinα+4cosα D．cosα+4sinα 15．（2025秋•平潭县期中）如图1是平潭动车站入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝50cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是_______ cm． 16．（2026•原州区校级二模）如图为小区常见漫步机的示意图，从侧面看，立柱A．高1.8m，AD长为0.35m，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2m，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为__________ ．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 17．油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图1是一把油纸伞展开后的剖面图，E，F分别为伞骨AB，AC的中点，伞圈D为伞柄AP上可移动的点，四边形AEDF为菱形．当油纸伞打开到图1的程度时，∠BAC＝120°；当油纸伞收拢到图2的程度时，∠BAC＝60°．如果AE＝20cm，那么伞圈D下滑的距离为____________________ cm．（结果保留根号） 18．（2026•菏泽一模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC＝2m，折臂底座高CD＝1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m． （1）求下折臂DE的长； （2）求路灯AB的高． （结果精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93， 19．（2026春•新城区校级期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路AB由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为150m、200m，公路总长AB＝250m，工程车周边150米范围为噪声影响区域． （1）求∠ACB的度数； （2）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （3）若压路工程车行驶速度为每分钟40m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 20．（2026•虹口区二模）根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果EF⊥平面镜AB，入射光线CF经平面镜AB反射，得到反射光线FD，那么反射角∠DFE等于入射角∠CFE，即∠DFE＝∠CFE． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻…”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点B，墙角记为点P，邻居记作点A，镜子（平面镜）记作MN，OD⊥MN于点O，入射光线AO经平面镜MN反射，得到反射光线OB，BE⊥AB于点B，OB又作为入射光线通过水盆B反射得到反射光线BC，进入观察者的眼中（抽象为点C）．已知OP⊥AB于点P，∠AOD＝45°，∠CBE＝37°，水盆到墙角的距离BP＝1.8米． 素材四 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75． 问题解决 任务一 求邻居A到墙角P的距离； 任务二 如果入射光线OA不变，将镜子MN绕点O顺时针旋转8°，在OP左侧的观察者仍能通过水盆B看到邻居A，那么水盆B应向左还是右平移？平移多少米？ 【考点3】坡度坡角问题（第21-25题） · · 坡度i=铅直高:水平宽=1:m · · 坡度i=tan坡角 · · 三边用勾股定理联系 · · 改造坡面抓公共高不变 21．（2025秋•芜湖期末）如图，一辆汽车在坡度i＝1：2（即的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了_________________ 米． 22．（2026•蓬江区校级开学）如图是某扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为____________________ 米． 23．（2026春•宁波期末）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道BC与地面AD平行，扶梯AB的坡比为1：1，滑梯CD的坡比为1：，若扶梯AB长为米，则滑梯CD的长度为_____ 米． 24．（2026•灌南县模拟）国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡AB的坡度为1：2，AB长为5米，钓竿AC与水平线的夹角是50°，其长为6米，若钓竿AC与钓角线CD的夹角是65°． （1）求点A到水平面BD的距离； （2）求浮漂D与斜坡下端B之间的距离．（结果精确到0.01，参考数据：2.236，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145） 25．（2025秋•德城区期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，△ABC，△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB，PE与地面BE的夹角分别为∠PBE＝43°，∠PEB＝20°，点A，F分别为PB，PE与车窗底部的交点，AF∥BE，AC，FD与地面BE垂直，A点到B点的距离AB＝1.6m． （参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） （1）车窗底部到地面的高度AC的长为_________ m； （2）求盲区中DE的长度． 【考点4】仰角俯角问题（第26-29题） · · 过观测点作水平线 · · 俯角等于观测角（内错角） · · 两个直角三角形共用一条高 · · 列方程求测点间距离 26．（2026•南山区校级模拟）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面120m的点C处．从C点测得A点的俯角为45°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为____________________ m（结果保留根号）． 27．（2025秋•鱼台县月考）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度AB进行了测量，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得超然楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得超然楼的高度是_______ m．（参考数据：tan63°≈2） 28．（2026•滨湖区二模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为27°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为53°（A、B、P、Q四点在同一平面） （1）求路段BQ的长； （2）当下引桥坡度i＝1：3时，如果测速路段AB限速30km/h，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段AB，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：tan53°，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， 29．（2026•淮安区模拟）限速防超是最基本的交通规则，也是交通警察抓得非常严的交通规则，路边高频高清摄像是限速防超的一个重要手段．如图所示，有一条东西走向的高速公路MN，距离公路MN的正上方10m处有一个高频高清摄像头P，此时摄像头P探测到公路点A的俯角∠CPA是75°，探测到公路点B的俯角∠CPB是30°．（参考数据：） （1）求PB的长； （2）若交通规则要求测速区域AB的范围为10m∼20m，请判断该摄像头P的安装距离是否符合要求，并说明理由． 【考点5】方向角问题（第30-35题） · · 画方向坐标定南北东西 · · 过点作垂线拆成两个直角三角形 · · 方向具有相对性 · · 等腰直角三角形常用45° 30．（2026•丛台区校级模拟）如图，嘉淇参加了某旅行社活动，从集结地A处出发，景点B在A的正东方向，景点C在集结地A的北偏东30°方向，在景点B的北偏西45°方向，集结地A与景点C之间的距离为40千米，则集结地A与景点B之间的距离为（　　） A．千米 B．（20+20）千米 C．30千米 D．（20+20）千米 31．（2026•株洲校级自主招生）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米 32．（2025春•牡丹江期中）在海面上，有一艘渔船遇险，在它的南偏东50°方向上有一艘救生船，二者的距离是75nmile，如果救生船相对于渔船的位置用（南偏东50°，75nmile）表示，那么遇险的渔船相对于这艘救生船的位置是____________________ ． 33．（2025•巴林左旗模拟）如图是某活动小组在测量湖中古亭与岸边古塔之间的距离时绘制的，在古塔A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走100m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，则古亭与古塔之间的距离AB的长约为 ________ m．（结果精确到1m．参考数据： 34．（2025秋•重庆校级期中）如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西30°方向，E在D的南偏东75°方向，D在C的南偏西60°方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，AC＝2BC．（参考数据：，，） （1）求DC的长度；（结果保留根号） （2）小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到0.1） 35．（2026•安徽模拟）如图，某货轮向正北方向航行，在A处时测得灯塔B在货轮的北偏西37°方向，灯塔C在货轮的北偏东45°方向．当货轮到达D处时，测得灯塔B在货轮的正西方向，灯塔C在货轮的正东方向，且灯塔B，C相距630海里． （1）D处与灯塔B的距离是多少海里？ （2）当货轮到达E处时，测得货轮与灯塔C的距离是600海里，此时灯塔C在货轮的什么方向上？ （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•宝山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，，则下列说法中错误的是（　　） A．S△ABC＝1 B． C． D． 【练习 2】（2026•龙华区校级三模）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为α，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的距离为（　　） A．50tanαm B． C．50sinαm D． 【练习 3】（2024秋•江阴市校级期中）小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度（　　） A．30° B．1：2 C． D． 【练习 4】（2026•余杭区校级模拟）如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A是风车中心，其中一个叶片中AD∥BC，CD⊥AC，AD⊥AB，已知AB长为3cm，，则AD的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 【练习 5】（2025•衢州三模）如图，一座水库大坝的横断面为梯形ABCD，斜坡m，现将坡度为的斜坡AB改为坡度为1：2的斜坡AP．则新坡面AP＝________________ m．（结果保留根号） 【练习 6】（2026春•城区校级期末）教学楼P的南偏东60°方向，距离教学楼P，90米有食堂A，它沿北偏东30°方向走120米到达操场B，此时操场B与教学楼P的距离为________ 米． 【练习 7】（2026•包头一模）如图，是三角形玻璃ABC损坏后剩余的部分，依据图中数据，则AC的长为____________________ ． 【练习 8】（2026春•琼中县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，BD＝1，DC＝4． （1）求AB、AC； （2）求∠BAC的度数． 【练习 9】（1）已知等腰三角形一条腰上的高与腰之比为1：，求这个等腰三角形的顶角． （2）已知在△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝2，AC＝2，AB＝4，求∠BAC的度数． 【练习 10】（2026•上海）如图，小明正在确认大楼是否安全，规定即为安全． （1）当d＝100米时，h至少小于多少米？ （2）若测AB长为a，BC长为b，仰角为θ，求（用含有a、b、θ的代数式表示）． 💯 课后巩固 复习建议 · · 解直角三角形先选好关系式，有斜边用sin/cos，无斜边用tan · · 坡度题牢记i=铅直高:水平宽，并结合勾股定理 · · 仰角俯角题过观测点作水平线，把俯角转化为三角形内角 · · 方向角题先画方向坐标，再作垂线拆成两个直角三角形 · · 实际应用最后按参考数据计算，并注明单位与精确度 【作业 1】（2025秋•尧都区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大3倍，则cosA也扩大3倍 B．若α为锐角，，则 C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°） D．三角形的三边长分别为a，b，c，则 【作业 2】（2024秋•岳阳期末）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（8，12），则tanα的值是（　　） A． B． C． D． 【作业 3】（2024秋•蓬莱区期中）如果在高为2米，坡度为1：2的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（　　） A．2米 B．6米 C．米 D．米 【作业 4】（2026•龙华区三模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则tan∠AOC的值为_____ ． 【作业 5】（2026•江夏区校级模拟）如图所示，小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°，则信号发射塔PQ的高度约为_________ 米．（结果精确到0.1米，） 【作业 6】（2026•中牟县模拟）筒车是我国古代水力灌溉工具，如图，筒车⊙O按逆时针方向匀速旋转，每秒钟转4°．筒车与水面的交点为A、B，AB＝4m，筒车轴心O到水面的距离OC＝2m（OC⊥AB）． （1）求筒车⊙O的半径． （2）接水槽MN所在直线与⊙O相切于点D，且与直线AB交于点M，MO＝16m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多少秒恰好在直线MN上？（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，sin5°≈0.09，cos5°≈0.996） 【作业 7】（2026•高唐县二模）如图1所示，机器人舞蹈演员在舞台上展示高难度中国舞造型，图2是其瞬间的几何示意图，演员的一腿AB直立于地面MN，小腿部分是CD，上身AP，即AB⊥MN于点B，CE是演员小腿CD上踢后与大腿AC在同一平面的瞬间（这里的小腿CD，CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分）．已知演员身高160cm，腿AB＝90cm． （1）若∠CAB＝140°，∠DCE＝50°．求证：CD∥MN； （2）若演员上身AP垂直于大腿AC，大腿AC的长为50cm，求点P，C间的距离（保留根号）； （3）当演员头部P距离地面的高度是125cm时，求上身AP倾斜的角度∠QAP． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $