专题07 解直角三角形之实际应用模型（几何模型讲义）数学新教材华东师大九年级上册

该初中数学讲义以“解直角三角形实际应用”为核心，通过“背靠背”“母抱子”“拥抱”三大模型系统构建知识体系，知识储备部分用表格归纳特殊角三角函数值，结合坡角、仰角等概念解析，清晰呈现重难点及内在逻辑。 讲义亮点在于模型化例讲与分层练习设计，如“测量长安塔高”“河面宽度计算”等典例，引导学生通过构造直角三角形、公共边建方程解决问题，培养数学模型意识与推理能力，基础题巩固方法，综合题提升思维，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题07 解直角三角形之实际应用模型（几何模型讲义） 解直角三角形是中考的重要内容之一，以生活测量、航海方位、坡面坡度为背景，核心考查将实际场景抽象为直角三角形模型的转化能力。考题多以双直角三角形组合结构呈现，通过仰角、俯角、方向角、坡比等条件，结合三角函数建立线段方程求解长度与高度。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中， 应先添加辅助线，构造直角三角形。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 3 模型1. 背靠背模型 3 模型2. 母抱子模型 9 模型3. 拥抱模型 14 模型运用 20 “背靠背”模型通常指在三角形内部作高，构造出的两个直角三角形共用一条高（公共直角边），且分别位于这条高的两侧。这种结构像两个人背对背站立，互相支撑，故得名“背靠背”。人们在无法直接靠近底部时，在两个不同位置测仰角，自然就形成了两个直角三角形背靠着同一条高的图形。 “母抱子”模型因解题时需在三角形外部作高，构造出的两个直角三角形呈现“大三角形（母）包含小三角形（子）”的嵌套结构，形似母亲怀抱孩子，故得名。本质是利用公共高建立方程。通过设公共高为未知数，分别在两个直角三角形中表示底边，再根据底边之间的和差关系列方程求解。‌‌‌ “拥抱模型”因两个直角三角形共用一条边（通常是高），且形状像两个图形“面对面”或“一个环抱另一个”，故得名“拥抱”。从远处一点测仰角，走近一段距离再测仰角，就自然形成了：一个大直角三角形，里面“抱”着一个小直角三角形，共用一条竖直高。本质是利用公共边建立方程。通过设公共边为未知数，分别在两个三角形中利用三角函数表示其他边，再根据线段和差关系列方程求解。 解直角三角形实际应用模型，根源来自锐角三角函数的几何定义，是课本基础知识点在真实生活场景 下的延伸与组合。模型本质不变：依托直角三角形边角关系，通过作水平、竖直辅助线，把不规则图形分割成直角三角形，利用线段和差建立方程。 1.锐角三角函数的概念 如图所示，在中，，所对的边记为，叫做的对边，也叫做的邻边， 所对的边记为，叫做的对边，也是的邻边，直角所对的记为，叫做斜边． 锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； 锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； 锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即. 同理；；． 2. 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 3.在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图，射线的方向是北偏东15°，射线的方向是北偏西40°. 　　　　　　　　　　　　 模型1.背靠背模型 【模型提炼】 条件：若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键． 【等量关系】为公共边， 【模型运用】 【典例1】如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 【典例2】如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 【典例3】（25-26八年级下·山东济南·期末）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】在中，求出，在中，求出，根据即可求出楼的高度． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 米． 【典例4】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)99米 【分析】（1）根据正切的定义计算即可得出结果； （2）设米，则米，解直角三角形得出米，米，求出的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，，米， ∴（米）； （2）解：设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 故塔高约为米． 【典例5】（2026·江苏徐州·中考真题）汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作（如图）．已知，，，，，求画幅的面积（精确到）．（参考数据：，，，，） 【答案】画幅的面积约为 【分析】连接，过点A作于F，则，先证明四边形是矩形，得到， ，再求得，，然后利用锐角三角函数和线段的和与差求得，进而可求解． 【详解】解：连接，过点A作于F，则， ∵， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴画幅的面积约为． 模型2. 母抱子模型 条件：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边是解题的关键． 【等量关系】为公共边， 【模型运用】 【典例1】小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的相关知识后，尝试利用所学知识测量小河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿水平面向着大树的方向走米到达小河近岸边的点处（点，，在同一条直线上），在点处测得大树顶端的仰角为，则大树的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】分别在和中，通过解直角三角形得到，，根据列出关于的式子，变形即可求解． 【详解】解∶∵在中，，， ∴． ∵在中，，， ∴． ， ． 米． 【典例2】（2026·河南平顶山·三模）下表是某同学的实践活动报告的部分内容： 活动主题 测量河面的宽 测量示意图 相关数据 楼AB的高为h，在河岸C，D处分别测得楼顶A的仰角（图中所有点在同一平面内，点C，D，B在同一水平线上） 则河面的宽可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解直角三角形分别求出的长，则可求出的长． 【详解】解：由题意得，， 在中，， 在中，， ∴． 【典例3】（2026·浙江·模拟预测）如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 【答案】 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，在中，根据三角函数即可求得气球A离地面的高度． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得． 即：气球A离地面的高度约为． 【典例4】如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向前进了到达B处，此时观测气球的仰角为． (1)如果测角仪高度为，那么气球的高度是多少？． (2)如果测得，，，，那么气球的高度是多少？（精确到）（下列数据供参考：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中，利用角的正切值分别表示出和的长，即可得解； （2）将所给数值代入（1）所得式子计算求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 气球的高度是； （2）解：，，，， 则气球的高度是 【典例5】（25-26九年级下·四川达州·期中）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【分析】由题意可知，四边形都是矩形可得．在中解直角三角形可得，在中解直角三角形可得，再根据列方程求得，进而求得的长即可． 【详解】解：由题意可知，四边形都是矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 答：甘州木塔的高度约为． 模型3. 拥抱模型 条件：分别解两个直角三角形，其中公共边是解题的关键. 【等量关系】为公共边. 【模型运用】 【典例1】（2026•旌阳区二模）“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达，喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．“如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，M是AB上一点，CM=DM，AC=30，BD=20，在C处测得点M的俯角为60°，那么AB= ． 【分析】先解Rt△AMC，求出AM和CM，再由DM=CM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 【解答】解：由题知，∵在点C处测得点M的俯角为60°， ∴∠C=90°60°=30°． 在Rt△ACM中，， 又∵AC=30， ∴MC= 同理可得，AM= 又∵CM=DM， ∴DM=， 在Rt△BMD中，， ∴AB=AM+BM=+， 故答案为：+． 【典例2】（2026•贺兰县校级一模）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．依据他们测量的数据求出大树BC的高度 米．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50） 【分析】过点D作DG⊥CE，垂足为G，过点D作DH⊥BC，垂足为H，根据题意可得：DG=CH，DH=CG，再根据已知可设DG=a米，则AG=2a米，从而在Rt△ADG中，利用勾股定理求出DG和AG的长，然后设AC=x米，则DH=CG=（24+x）米，分别在Rt△ABC和Rt△DBH中，利用锐角三角函数的定义求出BC和BH的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DG⊥CE，垂足为G，过点D作DH⊥BC，垂足为H， 由题意得：DG=CH，DH=CG， ∵斜坡AF的坡度为1：2， ∴， ∴设DG=a米，则AG=2a米， 在Rt△ADG中，（米）， ∵AD=米， ∴， 解得：a=12， ∴DG=CH=12米，AG=24米， 设AC=x米， ∴DH=CG=AG+AC=（24+x）米， 在Rt△ABC中，∠BAC=45°， ∴BC=AC•tan45°=x（米）， 在Rt△DBH中，∠BDH=26.7°， ∴BH=DH•tan26.7°≈0.5（24+x）米， ∵BH+CH=CB， ∴0.5（24+x）+12=x, 解得：x=48， ∴BC=48米， ∴大树BC的高约为48米， 故答案为：48米． 【典例3】（2025•湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04） 【分析】（1）根据题意，结合图形，在Rt△AGM中利用勾股定理求出AG的长，得到AB长，即可得到结果； （2）结合图形，在Rt△AGM中利用三角函数求出AK，可求出BK，即可得到结果． 【解答】解：（1）∵由题可知：在Rt△AGM中，AM＝（13分）米，MG＝（12分）米，AG⊥GM， ∴（分米）， ∵AB＝（19分）米， ∴BG＝AB﹣AG＝19﹣5＝14（分米）， ∴MN＝BG＝14（分米）， ∴该连衣裙MN的长度为（14分）米； （2）如图2，过E作EK⊥AB于K， ∵在Rt△AKE中，AE＝（13分）米，∠BAE＝76.1°，AK⊥KE， ∴AK＝AE•cos76.1°＝13×0.24＝3.12（分米）， ∵AB＝（19分）米， ∴BK＝AB﹣AK＝19﹣3.12＝15.88（分米）， ∴BK﹣MN＝15.88﹣14＝1.88≈2（分米）， ∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米． 【典例4】（2026·湖南长沙·三模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1) (2)塔的高度约为． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）在中，根据勾股定理求得，设．得出，过点作，垂足为．，．在中，，得出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，． 在中，，， ． 答：的长为． （2）由题意， 在中，，， ． 在中，设． ， ． ． 过点作，垂足为． 由题意，得，． ， ． 在中，， ． ，解得． ． 答：塔的高度约为． 【典例5】（2025•威海）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 【分析】过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，根据矩形的性质得到GH＝CD＝10m，CG＝DH，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝AG，设CG＝AG＝DH＝xm，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H， 则四边形CDHG是矩形， ∴GH＝CD＝10m，CG＝DH， ∵∠1＝45°， ∴CG＝BG， 设AH＝xm， ∴AG＝（x+10）， 在Rt△ACG中， ∵∠2＝52°， ∴CGm， ∴BG＝CGm， ∴BH＝BG+GH＝（10）m， 在Rt△BDH中，∠3＝65°， ∴tan65°2.1， ∴x≈1.8，AH≈1.8，BH≈19.1， ∴AB＝BH+AH≈21（m）． 答：大楼的高度AB约为21m． 1．如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平行于水平线，，，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，，根据角的和差关系得出，，即可得出，，可得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，设平行于水平线，，， ∴， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵在处测得处的俯角为，处的俯角为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 2．如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：由题意可知，则为直角三角形， 在中，，，， ， ． 3．（2026·广东广州·二模）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 4．（2026·江苏无锡·二模）如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（     ） A． B． C．12 D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得米，解直角三角形求出米，米，由即可解答． 【详解】解：如图， 由题意可得米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米，即第二次观察到的影子比第一次的长米． 5．（2026·山东东营·中考真题）如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向， ． 海里，海里． 在中，，海里． ， ． 即． 解得． （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 6．（26-27九年级上·北京·课前预习）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 【答案】8 【分析】过作交于点，过作交于点，分别进行解直角三角形，求得的长度即可． 【详解】解：如图，过作交于点，过作交于点， 在中，（米）， ∵四边形是梯形， ∴四边形为矩形， （米）， 在中，由勾股定理得， （米）， 在中，（米）， ∴（米）， 7．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 【答案】68.3 【分析】过点D作垂直于H，因为D处在A处南偏西、在B处南偏东，所以和都是等腰直角三角形，得，因为海警船速度为25海里/时，航行1小时从B到C，所以海里，那么．因为D处在C处南偏东，所以，在中，结合正切函数的定义，建立与的关系式，求解， 由即可得解． 【详解】过点D作于H，则， 由题意可知A、B、C三点在同一条东西向直线上． 在A处望见D在南偏西， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在B处望见D在南偏东， 同理，也是等腰直角三角形，． ∴， ∴． 已知海警船速度为25海里/时，从B航行1小时到C， ∴海里． ∵在C处望见D在南偏东， ∴， 在中，， 即． 又∵， ∴ ， 整理得， 解得． ， 代入， 得（海里）． 8．（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 【答案】4 【分析】根据题意得，，，，，因此，，通过解直角三角形求出，即可． 【详解】解∶由题意得：，，，，， ∴， ∴在中，（米）， ∴米， ∴在中，（米）． 答：滑梯的长度为4米． 10．人字梯为现代家庭常用的工具如图若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是______．结果精确到，参考数据：约等于，约等于，约等于 【答案】 【分析】在中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案． 【详解】解：，， ， ． 11．某学校准备改善原有户外楼梯的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角的度数为，调整后的楼梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．则楼梯底部A向外延伸的长度为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】2.3 【分析】先解求出，再解求出，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴在中，，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·内蒙古巴彦淖尔·三模）如图，始建于辽圣宗时期的呼和浩特白塔（万部华严经塔）已有近千年历史．某数学活动小组去测量其高度，在塔前平地上取A、B两 点，，在B、A点用测角仪测得塔顶M的仰角分别为，，测角仪的高度为．则塔的高度为_________m（结果精确到） 【答案】 【分析】先说明，如图：延长交于E，则；在可得，设，则；再在中解直角三角形求得，即；最后求得即可解答． 【详解】解：由题意可知：四边形是矩形， ∴， 如图：延长交于E，则， 如图：在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 13．（2026·湖北武汉·二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮所在的B处与灯塔P之间的距离是__________海里．（参考数据：，，，）． 【答案】130 【分析】根据题意得，，，解可得，进而解可得到，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得，，， 在中，，， ∴海里， 在中，，， ∴海里． 14．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼之间的水平距离为米，求教学楼的高度为_____米．（注：点 、都在同一平面上，参考数据：，结果保留整数） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用（仰角俯角问题），通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题，进而求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由题意可得，米，米，，， ∵在中，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵四边形是矩形， ∴米，， ∵在中，，， ∴， ∴米， ∴（米）． 15．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 【答案】该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． 16．如图，淮安市西游乐园景区的两个景点A、B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为100米，则两景点A、B间的距离为多少米？（结果保留根号）． 【答案】米 【分析】解直角三角形，求得即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 米， 米，米， （米）， 答：A、B之间的距离为米． 17．（2026·安徽芜湖·三模）甲乙两栋垂直地面的楼房、，工作人员在A处测得C点俯角，测得D点仰角，已知，求的长．参考数据：，，，，， 【答案】 【分析】过点A作于E，由题意易得四边形为矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点A作于E，如图所示： ∴， ∴四边形为矩形， ， 在中，，， 在中，，． 18．如图，小慧家对面是一幢商业大厦，小慧在自家窗口从处测得商业大厦顶部的仰角，商业大厦底部的俯角，量得两幢楼之间的距离为，求商业大厦的高度和小慧家的高度（结果精确到，参考数据：；；；；；） 【答案】商业大厦的高度约为，小慧家的高度约为 【分析】证得四边形是矩形，即可求得的长，然后分别在与中，利用三角函数的知识求得与的长，继而求得答案． 【详解】如图，过C作于E， ∴， 由题意知， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在 中，， ， ∴， 在 中，，， ∴， ∴， ∴商业大厦的高度约为，小慧家的高度约为． 19．如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正西方向，，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向．求船离观测站的距离． 【答案】船离观测站的距离为 【分析】过点作于点，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系和三角函数，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，设， 由题意可知，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得， 在中，， ∴． 答：船离观测站的距离为． 20．小明为了测量楼房的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走，到达坡顶D处，小明的身高是．已知斜坡的坡角为，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为，求楼房AB的高度．（，，）（以下计算结果精确到） 【答案】楼房的高度是 【分析】由图可知：，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义，求得，即可． 【详解】解：作于点F， 则由题意得：四边形是矩形， 在中，∵，， ∴，； 在中，∵， ∴， ∴． 答：楼房的高度是． 21．如图，广场上空有一个气球，地面上点，，在一条直线上，，在点，分别测得气球的仰角为，为，求气球离地面的高度（，，，精确到）． 【答案】气球离地面的高度约为． 【分析】根据题意得，，从而，，然后根据求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得． 答：气球离地面的高度约为． 22．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔附近有一大厦高，状状在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】广州塔的高约为 【分析】过点作于，可得四边形是矩形，得出，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据题意可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：． 答：广州塔的高约为． 23．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 【答案】(1) (2)解：送货员按既定路线进行运送能按时送达，理由如下： 根据题意，得， ， ， 故需要时间为， 小于16分钟， 故送货员按既定路线进行运送能按时送达； 【分析】（1）根据，计算即可； （2）根据时间，计算比较解答即可，注意单位的统一； 【详解】（1）解：根据题意，得，，，，，四点共线，，垂足分别为点F，点E， ， 根据平行线间的距离处处相等，得， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）略 24．（2026·西藏拉萨·模拟预测）为了让学生进一步了解拉萨市第六中学旗杆高度，组织九年级某班学生利用综合实践课测量旗杆的高度．列珠同学站在如图所示的旗杆前的平地上点处，测得顶部的仰角为，眼睛距离地面，向旗杆前行，到达点处，测得顶部的仰角为，求旗杆高．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】旗杆高为 【详解】由题意可得，，，，， 设，在中，， 在中，， ∵， ∴解得， ∴． 答：旗杆高为． 25．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 26．（2026年天津和平区中招考前模拟数学试卷）综合与实践活动中，要用测角仪测量牌楼的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点，，依次在同一水平直线上，，，且．在处测得牌楼顶部的仰角为，在处测得牌楼顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算牌楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，． 【答案】 【分析】连接交于点，证明四边形为矩形，结合矩形性质进而证明四边形，为矩形，，进而利用矩形性质与解直角三角形的相关计算推出，，再根据建立方程求出，进而即可求出牌楼的高度． 【详解】解：连接交于点， ，， ，， ， 四边形为矩形， ， ，， ， 四边形，为矩形， ，， ， ， ， ， 即， 解得， ． 27．如图，为了测量某建筑物的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是．已知测角仪的高度是，请你计算出该建筑物的高度． 【答案】该建筑物的高度约为 【分析】设，则由题意可知，，再利用解直角三角形得出x的值，即可得出的长． 【详解】解：设，则由题意可知，， 在中，， ∴， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 故该建筑物的高度约为． 28．（2026·四川内江·中考真题）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】设，解直角三角形得到，根据建立方程求出x的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴； 在中，， ∴； 在中，， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， 答：孔子雕像的高度为． 29．如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角，背水坡的坡度为，坝顶宽米，坝高米，求： (1)背水坡的坡角； (2)坝底的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据坡度的定义，即可求解； （2）过点作于，过点作于，根据题意得出米，根据背水坡的坡度为，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵背水坡的坡度为， 即， ， 即背水坡的坡角为； （2）过点作于，过点作于， ， ， 四边形是矩形， 米，米， ， ， 米， 背水坡的坡度为， （米）， （米）． 坝底的长为米． 30．随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上点处测得瀑布顶端点的仰角是，测得瀑布底端点的俯角是，与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得，（注：、、三点在同一直线上，于点）．斜坡，坡角．求瀑布的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，，） 【答案】瀑布的高度约为米 【分析】过点作，交于点，作，交于点， 分别解，，求得，根据，即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，作，交于点，则四边形是矩形， ∴． 在中，，，， ，， ． 在中，，，， ． 在中，，，， ． ． 答：瀑布的高度约为米． 31．（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． 32．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作于点，可得四边形为矩形，利用锐角三角函数即可求出的长； （2）过点作的延长线于点，利用锐角三角函数和勾股定理即可求出M、N两点的距离． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意知，，， 四边形是矩形， 米， 米． ， 米． （2）解：如图，过点作的延长线于点， ， ， ， 米，米， 米， 米． 33．（2026·山东枣庄·三模）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据求解即可； （2）延长交于点M，则，，求解，在中，根据求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为． （2）解：延长交于点M，则，， ， ， 在中，，， ， ． 故桌面到地面的距离约为． 34．如图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂长度可伸缩，还可绕点在一定范围内转动使张角发生变化，固定点距离地面的高度为3.5米． (1)当起重臂米，张角时，求云梯消防车最高点距离地面的高度． (2)起重臂最长可伸展为20米，且最大张角为，一居民家距离地面的高度为20米，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：） 【答案】(1) (2)能实施有效救援 【分析】（1）过C作，交于点F；过点A作，交于点G．先证明四边形是矩形，得．再在中利用正弦函数关系求得，由即可求解； （2）由题意张到最大，即，从而得，由正弦函数关系求得，进而求得，与居民家距离地面的高度为20米进行比较，可判断消防车能实施有效救援． 【详解】（1）解：如图，过C作，交于点F；过点A作，交于点G． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴； 答：云梯消防车最高点距离地面的高度为； （2）解：为了消防车高度达到最大，此时起重臂伸到最长，即张到最大，即， ∴，， ∴， ∴能实施有效救援． 35．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 【答案】(1)米 (2)4.3米 【分析】（1）过点作于，依题意知，，；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论； （2）根据求出，在中，求出米，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， 依题意知，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， (米)， ∴点到地面的距离为米； （2）解：∵斜坡的坡度， ∴中，(米)， ∴米． ∵，， ∴， ∴． 在中，(米)， ∴(米)． 答：宣传牌的高度约为4.3米． 36．火灾是最经常、最普遍地威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角的度数范围为，点A距离地面的高度为． (1)当起重臂长度为，张角时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度． (2)一日，某居民家突发火灾，已知该居民家距离地面的高度为．请问该云梯消防车能否实施有效救援？（参考数据：） 【答案】(1) (2)该云梯消防车能实施有效救援， 理由：如图：当，时，消防车能实施救援的高度最大， 过点作，垂足为， 则，， ， 在中，， ， ， ， 该云梯消防车能实施有效救援． 【分析】（1）过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可得，进而可得，然后进行计算即可解答； （2）当，时，消防车能实施救援的高度最大，过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 则，， ， ， 在中，， ， ， 云梯消防车最高点距离地面的高度为； （2）略 37．为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示． 课题 测量校园旗杆的高度 测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等 测量小组 A组 B组 C组 测量方案示意图 (1)上述A，B，C三个小组中，_______组不能测出旗杆的真实高度； (2)在A组测量中，线段表示旗杆的高度，线段，表示测角仪的高度，点A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内，表示两次测角仪摆放位置之间的距离，测角仪测得旗杆顶端A的仰角，，，，请你结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度．（参考数据：） 【答案】(1)C (2)9.5米 【分析】（1）根据C组测量时间不同判断即可； （2）连接交于点H，得到四边形为矩形，得到，，解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：因为C小组测量的和不是同一时刻的两物体的影长， 所以C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度； （2）解：连接交于点H，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴米， ∴米． 答：旗杆的高度为9.5米． 38．（2026·四川广元·中考真题）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 【答案】(1)米； (2)米/秒； (3)3.5米/秒． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，进而可知，根据三角函数计算即可； （2）同（1）计算即可； （3）设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E，根据三角函数求出的表达式，列方程求出x的值，进而可知凤舟最后10秒的平均速度． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴，， 因此是直角三角形，， ∴， 即米； （2）解：凤舟20秒内航行的路程等于的长度， 由题意知：，， ∴，， ∴是直角三角形，， ， ∴米， ∴米/秒； （3）解：设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E， 可得四边形是矩形， ∴米， 根据三角函数可知米， 同时米． ∵，， ∴， 解得， 因此平均速度米/秒． 39．（2026·山西长治·三模）项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 【答案】(1)高椅的实际高度为7米 (2)此时线段的长约为9米 【分析】（1）先解，，求出和，即可求解高椅的实际高度； （2）在图1中，（米），解中，求出，解在，得到，由，求解即可． 【详解】（1）解：在图4中，在中，米，，， ∴（米）． ∵在中，米， ， ∴（米）， ∴高椅的实际高度为（米）． 答：高椅的实际高度为7米． （2）解：在图1中，（米） 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， 由， 解得（米）． 答：此时线段的长约为9米． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解直角三角形之实际应用模型（几何模型讲义） 解直角三角形是中考的重要内容之一，以生活测量、航海方位、坡面坡度为背景，核心考查将实际场景抽象为直角三角形模型的转化能力。考题多以双直角三角形组合结构呈现，通过仰角、俯角、方向角、坡比等条件，结合三角函数建立线段方程求解长度与高度。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中， 应先添加辅助线，构造直角三角形。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 3 模型1. 背靠背模型 3 模型2. 母抱子模型 6 模型3. 拥抱模型 9 模型运用 12 “背靠背”模型通常指在三角形内部作高，构造出的两个直角三角形共用一条高（公共直角边），且分别位于这条高的两侧。这种结构像两个人背对背站立，互相支撑，故得名“背靠背”。人们在无法直接靠近底部时，在两个不同位置测仰角，自然就形成了两个直角三角形背靠着同一条高的图形。 “母抱子”模型因解题时需在三角形外部作高，构造出的两个直角三角形呈现“大三角形（母）包含小三角形（子）”的嵌套结构，形似母亲怀抱孩子，故得名。本质是利用公共高建立方程。通过设公共高为未知数，分别在两个直角三角形中表示底边，再根据底边之间的和差关系列方程求解。‌‌‌ “拥抱模型”因两个直角三角形共用一条边（通常是高），且形状像两个图形“面对面”或“一个环抱另一个”，故得名“拥抱”。从远处一点测仰角，走近一段距离再测仰角，就自然形成了：一个大直角三角形，里面“抱”着一个小直角三角形，共用一条竖直高。本质是利用公共边建立方程。通过设公共边为未知数，分别在两个三角形中利用三角函数表示其他边，再根据线段和差关系列方程求解。 解直角三角形实际应用模型，根源来自锐角三角函数的几何定义，是课本基础知识点在真实生活场景 下的延伸与组合。模型本质不变：依托直角三角形边角关系，通过作水平、竖直辅助线，把不规则图形分割成直角三角形，利用线段和差建立方程。 1.锐角三角函数的概念 如图所示，在中，，所对的边记为，叫做的对边，也叫做的邻边， 所对的边记为，叫做的对边，也是的邻边，直角所对的记为，叫做斜边． 锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； 锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； 锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即. 同理；；． 2. 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 3.在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图，射线的方向是北偏东15°，射线的方向是北偏西40°. 　　　　　　　　　　　　 模型1.背靠背模型 【模型提炼】 条件：若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键． 【等量关系】为公共边， 【模型运用】 【典例1】如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【典例2】如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【典例3】（25-26八年级下·山东济南·期末）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【典例4】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【典例5】（2026·江苏徐州·中考真题）汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作（如图）．已知，，，，，求画幅的面积（精确到）．（参考数据：，，，，） 模型2. 母抱子模型 条件：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边是解题的关键． 【等量关系】为公共边， 【模型运用】 【典例1】小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的相关知识后，尝试利用所学知识测量小河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿水平面向着大树的方向走米到达小河近岸边的点处（点，，在同一条直线上），在点处测得大树顶端的仰角为，则大树的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【典例2】（2026·河南平顶山·三模）下表是某同学的实践活动报告的部分内容： 活动主题 测量河面的宽 测量示意图 相关数据 楼AB的高为h，在河岸C，D处分别测得楼顶A的仰角（图中所有点在同一平面内，点C，D，B在同一水平线上） 则河面的宽可表示为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（2026·浙江·模拟预测）如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 【典例4】如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向前进了到达B处，此时观测气球的仰角为． (1)如果测角仪高度为，那么气球的高度是多少？． (2)如果测得，，，，那么气球的高度是多少？（精确到）（下列数据供参考：，，） 【典例5】（25-26九年级下·四川达州·期中）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 模型3. 拥抱模型 条件：分别解两个直角三角形，其中公共边是解题的关键. 【等量关系】为公共边. 【模型运用】 【典例1】（2026•旌阳区二模）“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达，喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．“如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，M是AB上一点，CM=DM，AC=30，BD=20，在C处测得点M的俯角为60°，那么AB= ． 【典例2】（2026•贺兰县校级一模）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．依据他们测量的数据求出大树BC的高度 米．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50） 【典例3】（2025•湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04） 【典例4】（2026·湖南长沙·三模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 【典例5】（2025•威海）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 1．如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2026·广东广州·二模）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏无锡·二模）如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（     ） A． B． C．12 D． 5．（2026·山东东营·中考真题）如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 6．（26-27九年级上·北京·课前预习）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形．已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形，加固后背水坡面的坡度为，则的长为________米． 7．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 8．（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 10．人字梯为现代家庭常用的工具如图若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是______．结果精确到，参考数据：约等于，约等于，约等于 11．某学校准备改善原有户外楼梯的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角的度数为，调整后的楼梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．则楼梯底部A向外延伸的长度为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，） 12．（2026·内蒙古巴彦淖尔·三模）如图，始建于辽圣宗时期的呼和浩特白塔（万部华严经塔）已有近千年历史．某数学活动小组去测量其高度，在塔前平地上取A、B两 点，，在B、A点用测角仪测得塔顶M的仰角分别为，，测角仪的高度为．则塔的高度为_________m（结果精确到） 13．（2026·湖北武汉·二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮所在的B处与灯塔P之间的距离是__________海里．（参考数据：，，，）． 14．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼之间的水平距离为米，求教学楼的高度为_____米．（注：点 、都在同一平面上，参考数据：，结果保留整数） 15．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 16．如图，淮安市西游乐园景区的两个景点A、B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为100米，则两景点A、B间的距离为多少米？（结果保留根号）． 17．（2026·安徽芜湖·三模）甲乙两栋垂直地面的楼房、，工作人员在A处测得C点俯角，测得D点仰角，已知，求的长．参考数据：，，，，， 18．如图，小慧家对面是一幢商业大厦，小慧在自家窗口从处测得商业大厦顶部的仰角，商业大厦底部的俯角，量得两幢楼之间的距离为，求商业大厦的高度和小慧家的高度（结果精确到，参考数据：；；；；；） 19．如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正西方向，，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向．求船离观测站的距离． 20．小明为了测量楼房的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走，到达坡顶D处，小明的身高是．已知斜坡的坡角为，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为，求楼房AB的高度．（，，）（以下计算结果精确到） 21．如图，广场上空有一个气球，地面上点，，在一条直线上，，在点，分别测得气球的仰角为，为，求气球离地面的高度（，，，精确到）． 22．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔附近有一大厦高，状状在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高．（结果精确到，参考数据：，，） 23．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 24．（2026·西藏拉萨·模拟预测）为了让学生进一步了解拉萨市第六中学旗杆高度，组织九年级某班学生利用综合实践课测量旗杆的高度．列珠同学站在如图所示的旗杆前的平地上点处，测得顶部的仰角为，眼睛距离地面，向旗杆前行，到达点处，测得顶部的仰角为，求旗杆高．（参考数据：，，结果精确到） 25．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 26．（2026年天津和平区中招考前模拟数学试卷）综合与实践活动中，要用测角仪测量牌楼的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点，，依次在同一水平直线上，，，且．在处测得牌楼顶部的仰角为，在处测得牌楼顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算牌楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，． 27．如图，为了测量某建筑物的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是．已知测角仪的高度是，请你计算出该建筑物的高度． 28．（2026·四川内江·中考真题）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 29．如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角，背水坡的坡度为，坝顶宽米，坝高米，求： (1)背水坡的坡角； (2)坝底的长． 30．随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上点处测得瀑布顶端点的仰角是，测得瀑布底端点的俯角是，与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得，（注：、、三点在同一直线上，于点）．斜坡，坡角．求瀑布的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，，） 31．（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 32．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)若米，求M、N两点的距离．（结果精确到0.1米） 33．（2026·山东枣庄·三模）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 34．如图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂长度可伸缩，还可绕点在一定范围内转动使张角发生变化，固定点距离地面的高度为3.5米． (1)当起重臂米，张角时，求云梯消防车最高点距离地面的高度． (2)起重臂最长可伸展为20米，且最大张角为，一居民家距离地面的高度为20米，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：） 35．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行． (1)求点F到直线的距离（结果保留根号）； (2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的高度（结果精确到0.1米，，）． 36．火灾是最经常、最普遍地威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角的度数范围为，点A距离地面的高度为． (1)当起重臂长度为，张角时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度． (2)一日，某居民家突发火灾，已知该居民家距离地面的高度为．请问该云梯消防车能否实施有效救援？（参考数据：） 37．为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示． 课题 测量校园旗杆的高度 测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等 测量小组 A组 B组 C组 测量方案示意图 (1)上述A，B，C三个小组中，_______组不能测出旗杆的真实高度； (2)在A组测量中，线段表示旗杆的高度，线段，表示测角仪的高度，点A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内，表示两次测角仪摆放位置之间的距离，测角仪测得旗杆顶端A的仰角，，，，请你结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度．（参考数据：） 38．（2026·四川广元·中考真题）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 39．（2026·山西长治·三模）项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $