第13讲·锐角三角函数·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第13讲·锐角三角函数·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切，会在直角三角形与网格中求函数值 · 熟记 30°、45°、60° 角的三角函数值，并能进行特殊角三角函数的混合运算 · 会综合运用勾股定理与三角函数定义解直角三角形，求线段长与角的函数值 · 会由已知三角函数值反求边长或角的大小，掌握同角三角函数关系 · 会使用计算器求任意锐角的三角函数值及由函数值反求锐角 · 会综合旋转、折叠、圆、矩形等知识解决三角函数的综合与实际问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.锐角三角函数的定义 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°：sinA = 对边/斜边 = ，cosA = 邻边/斜边 = ，tanA = 对边/邻边 = 三角函数值是比值，只与角的大小有关，与三角形大小无关 求非直角三角形中某角的函数值：先构造直角三角形（作高），再套定义 网格（格点）求函数值：用勾股定理算出所需线段长，再按定义求比 同角关系：sin²A + cos²A = 1；tanA = （可用于互求） 概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，则 tanA 的值为（　　） 答案： 解析：∠A 的对边是 BC = 4，邻边是 AC = 3，tanA = = 。定义题先分清「对边、邻边、斜边」再写比，不要用错参考角。 ✅️ 2.特殊角三角函数值 sin30° = ，cos30° = ，tan30° = sin45° = cos45° = ，tan45° = 1 sin60° = ，cos60° = ，tan60° = 记忆技巧：30°→60° 的正弦余弦互换，45° 自身相等；正切随角度增大而增大 混合运算：先代入特殊值，再按实数运算顺序（乘方、根式、分母有理化）化简 概念辨析例题：计算：2sin60° - tan45° 的值等于（　　） 答案： - 1 解析：2sin60° = 2 × = ，tan45° = 1，所以原式 = - 1。特殊角混合运算先「对号入座」代入数值，再按运算顺序化简。 ✅️ 3.解直角三角形 解直角三角形：由已知元素（至少一边）求出其余元素 工具组合：两锐角互余、勾股定理、三角函数定义，三选二即可解全 已知一边一角：用三角函数求另一边（注意选对对边/邻边/斜边） 已知两边：先用勾股求第三边，再由定义求角 非直角三角形中的求值：作垂线（常作高）把它分成两个直角三角形分别求解 概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，BC = 4，则 AB 的长为（　　） 答案：8 解析：cosA = = ，则 AB = 2AC。设 AC = x，则 AB = 2x，由勾股 AB² = AC² + BC²：4x² = x² + 48，x = 4，AB = 8。也可由 cosA = 直接知 ∠A = 60°，∠B = 30°，AC = AB。 ✅️ 4.由三角函数值求边长与角 已知 sin（或 cos、tan）值与一边，可求其他边：按定义列比例式 由特殊函数值反求角：sinα = → α = 30°，tanα = 1 → α = 45° 等 由非特殊函数值反求角：用计算器（先按数值再按 2nd/shift + 函数键） 坐标与三角函数：设终边上点 P(x, y)，则 sinα = ，cosα = （OP = ） 注意锐角三角函数的取值范围：0 < sinα < 1，0 < cosα < 1，tanα > 0 概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则 AC 的长为（　　） 答案：8 解析：sinA = = ，BC = 6，所以 AB = 10。由勾股 AC = = 8。已知正弦与对边求斜边，再勾股求邻边，是「由值求边」的标准流程。 ✅️ 5.三角函数的综合与实际应用 仰角俯角问题：视线与水平线的夹角，在直角三角形中用 tan（或 sin/cos）求高度距离 网格作图与三角函数：算线段长用勾股，写函数值用定义 与旋转、折叠、圆、切线、矩形综合：先解几何关系（等线段、直角），再求函数值 坐标系中的旋转问题：结合特殊角三角函数求旋转后点的坐标 计算器使用：先输入角度（或函数值），注意 DEG 模式与精确度要求 概念辨析例题：在矩形 ABCD 中，AB = 6，BC = 8，将 △ABD 沿 BD 折叠，点 A 落在 A' 处，则 tan∠A'BD 的值为（　　） 答案： 解析：折叠后 ∠A'BD = ∠ABD。在 Rt△ABD 中，tan∠ABD = = = ……注意 ∠A'BD 即 ∠ABD，其对边与邻边要看角在哪：tan∠ABD = = = 。折叠不改变角的大小，直接用原三角形的函数值。 🧀 知识总结表 角α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 定义 对边/斜边 邻边/斜边 对边/邻边 同角关系 sin²+cos²=1 — tan=sin/cos 增减性 随α增大而增大 随α增大而减小 随α增大而增大 📩 核心考点 【考点1】锐角三角函数的定义与求值（第1-13题） · 定义三比要分清参考角：对边、邻边随角变化而变化 · 网格求值：先勾股算线段长，再按定义写比值 · 非直角三角形先作高构造直角三角形 · 正切、余切互为倒数关系，注意题目自定义的新概念 1．（2026·江苏宿迁·二模）如图，已知A、B、C、D四个点均在格点上，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，设为射线上一点，于点于点E，则等于（     ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山东淄博·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若为锐角，，则 7．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，是的边上一点，且点的坐标为，则___________． 8．（2025·四川成都·一模）在中，，，则 ______． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，位于6×6的方格纸中，其中A，B，C均为格点，则_____． 10．（23-24九年级上·江苏常州·期中）一副三角板如图所示放置，中，，等腰中，连接，则的值为______    11．（2023·江苏常州·二模）在正方形中，E、F分别是边、的中点，、交于点G，则_____． 12．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为______． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，，相交于点O，交于点E，连接．若，，则的值为______． 【考点2】特殊角三角函数值与混合运算（第14-26题） · 30°/45°/60° 三角函数值表必须熟记，正弦余弦互换记 · 混合运算先代值再化简：注意二次根式、分母有理化、零指数与负指数 · 由特殊值反求角：如 sinα = → α = 60° · 坐标系中由特殊角定旋转后点的坐标 14．（23-24九年级上·江苏常州·期末）已知，则的值是（   ） A． B． C． D．1 15．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，锐角A的邻边与对边的比叫做的余切，记作，如图， ，则的值为（　　） A． B． C． D． 16．（2025·山东临沂·一模）如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转，使点正好落在边上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 17．（2024·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，线段轴，，连接OA，OB，若将绕点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 18．（2024·福建龙岩·模拟预测）平面直角坐标系中，，则坐标原点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）计算：_____． 20．（26-27九年级上·全国·单元测试）的值等于__________． 21．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在中，若，则的值为____． 22．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知α为锐角，且，则α等于____． 23．（2026·上海静安·三模）计算： _________． 24．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）计算：． 25．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）计算： 26．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）计算：． 【考点3】解直角三角形（第27-39题） · 解三角形三工具：互余、勾股、三角函数定义，已知两元素即可解全 · 已知函数值求边：按定义列比例，先求斜边再勾股 · 非直角三角形作高分拆成两个直角三角形 · 与垂直平分线、三线合一、矩形性质结合时先解几何再算函数 27．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）在中，于D，已知．则的值为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在中，，，，那么（　　） A． B． C．2 D． 29．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）在中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在中，，，，则下列三角函数值不正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，于点D，则的值为（   ） A． B． C． D． 32．（26-27九年级下·全国·单元复习）在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，则的长是____________． 34．（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）在中，，若，则的值为______． 35．（23-24九年级上·山东东营·期末）在中，，则______． 36．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，，，，则的长为______． 37．（2025·青海西宁·二模）在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是________． 38．（2024·湖南·三模）如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是___________． 39．（2026·广东佛山·二模）在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 【考点4】综合应用（第40-52题） · 计算器求值与反求角：注意精确度与 DEG 模式 · 折叠旋转不改变线段长与角的大小，函数值可迁移 · 圆与切线中的三角函数：找直径所对直角或切线垂直 · 坐标与反比例函数结合：面积条件转比例，函数值按定义算 40．（25-26九年级上·山东烟台·期中）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 41．（21-22九年级下·山东德州·开学考试）如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，若，则的值（     ） A． B． C． D． 42．（2025·海南·模拟预测）在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 43．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，为其终边上的一点，若，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．2 44．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知是锐角，且，则______． 45．（23-24九年级上·山东泰安·期末）运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下： 则计算器显示的结果是_______. 46．（2025·广东惠州·二模）如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度________米． 47．（24-25九年级上·全国·随堂练习）利用计算器计算___________．（精确到） 48．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，的直角顶点在坐标原点上，顶点在反比例函数的图象上，斜边轴，若的面积是，，则______． 49．（2022·贵州黔西南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 50．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为______． 51．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，将绕点B旋转到的位置，其中点D与点A对应，点E与点C对应．如果图中阴影部分的面积为15，那么的正切值是______． 52．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，，点在上，以为直径作与相切于点，则的长为______． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 三角函数定义三比：对边比斜边（sin）、邻边比斜边（cos）、对边比邻边（tan） · 特殊角函数值表必须滚瓜烂熟：30°→60° 正弦余弦互换，tan45° = 1 · 解直角三角形三工具：两锐角互余、勾股定理、三角函数定义 · 由函数值求边按定义列比例；由值求角先想特殊角，否则用计算器 · 网格求值两步走：勾股算线段，定义写比值 【作业 1】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，求的值． 【作业 2】（专题05锐角三角函数（七大类型）-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（苏科版））计算：． 【作业 3】（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，矩形中，，，求的长． 【作业 4】（2025·西藏·中考真题）计算：． 【作业 5】（2026·浙江金华·三模）计算：． 【作业 6】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）计算题：． 【作业 7】（26-27九年级下·全国·单元复习）计算：． 【作业 8】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 9】（26-27九年级上·湖南·阶段检测）如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 【作业 10】（2025·贵州贵阳·模拟预测）（1）计算：； （2）图是小星同学进行分式化简的过程， 请认真阅读并完成相应任务： ①小星同学的化简过程从第______步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，，中选择合适的数代入求值． 化简：． 解：原式              第一步                          第二步                                 第三步                                      第四步 【作业 11】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，在中，，，．求的周长和的值． 【作业 12】（2025·河南南阳·三模）化简或计算： (1)． (2)小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式＝ 先化简，再求值：，其中 解：原式① ② 当时，原式③ 编辑 我的解答正确吗？ 【作业 13】（25-26九年级上·北京·课后作业）在中，，根据下列条件求出和的正弦、余弦的值： (1)； (2)，． 【作业 14】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【作业 15】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【作业 16】（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，，，求的长和的值． 【作业 17】（23-24九年级下·江苏无锡·阶段检测）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 【作业 18】（2026·广东深圳·中考真题）综合与探究 定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为，则称该四边形为“倍四边形”． (1)①如图1，在中，对角线与交于点，点为中点．若四边形为倍四边形，则的值为__________； ②如图2，在倍四边形中，若对角线被平分，则__________；（用含的代数式表示） (2)如图3，四边形为倍四边形，其对角线平分对角线，且满足，，求的值； (3)如图4，已知定点，，且，点为射线上一动点，点为平面内一点，连接，，，构成四边形．若平分，，四边形为2倍四边形，求的值． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲·锐角三角函数·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切，会在直角三角形与网格中求函数值 · 熟记 30°、45°、60° 角的三角函数值，并能进行特殊角三角函数的混合运算 · 会综合运用勾股定理与三角函数定义解直角三角形，求线段长与角的函数值 · 会由已知三角函数值反求边长或角的大小，掌握同角三角函数关系 · 会使用计算器求任意锐角的三角函数值及由函数值反求锐角 · 会综合旋转、折叠、圆、矩形等知识解决三角函数的综合与实际问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.锐角三角函数的定义 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°：sinA = 对边/斜边 = ，cosA = 邻边/斜边 = ，tanA = 对边/邻边 = 三角函数值是比值，只与角的大小有关，与三角形大小无关 求非直角三角形中某角的函数值：先构造直角三角形（作高），再套定义 网格（格点）求函数值：用勾股定理算出所需线段长，再按定义求比 同角关系：sin²A + cos²A = 1；tanA = （可用于互求） 概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，则 tanA 的值为（　　） 答案： 解析：∠A 的对边是 BC = 4，邻边是 AC = 3，tanA = = 。定义题先分清「对边、邻边、斜边」再写比，不要用错参考角。 ✅️ 2.特殊角三角函数值 sin30° = ，cos30° = ，tan30° = sin45° = cos45° = ，tan45° = 1 sin60° = ，cos60° = ，tan60° = 记忆技巧：30°→60° 的正弦余弦互换，45° 自身相等；正切随角度增大而增大 混合运算：先代入特殊值，再按实数运算顺序（乘方、根式、分母有理化）化简 概念辨析例题：计算：2sin60° - tan45° 的值等于（　　） 答案： - 1 解析：2sin60° = 2 × = ，tan45° = 1，所以原式 = - 1。特殊角混合运算先「对号入座」代入数值，再按运算顺序化简。 ✅️ 3.解直角三角形 解直角三角形：由已知元素（至少一边）求出其余元素 工具组合：两锐角互余、勾股定理、三角函数定义，三选二即可解全 已知一边一角：用三角函数求另一边（注意选对对边/邻边/斜边） 已知两边：先用勾股求第三边，再由定义求角 非直角三角形中的求值：作垂线（常作高）把它分成两个直角三角形分别求解 概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，BC = 4，则 AB 的长为（　　） 答案：8 解析：cosA = = ，则 AB = 2AC。设 AC = x，则 AB = 2x，由勾股 AB² = AC² + BC²：4x² = x² + 48，x = 4，AB = 8。也可由 cosA = 直接知 ∠A = 60°，∠B = 30°，AC = AB。 ✅️ 4.由三角函数值求边长与角 已知 sin（或 cos、tan）值与一边，可求其他边：按定义列比例式 由特殊函数值反求角：sinα = → α = 30°，tanα = 1 → α = 45° 等 由非特殊函数值反求角：用计算器（先按数值再按 2nd/shift + 函数键） 坐标与三角函数：设终边上点 P(x, y)，则 sinα = ，cosα = （OP = ） 注意锐角三角函数的取值范围：0 < sinα < 1，0 < cosα < 1，tanα > 0 概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则 AC 的长为（　　） 答案：8 解析：sinA = = ，BC = 6，所以 AB = 10。由勾股 AC = = 8。已知正弦与对边求斜边，再勾股求邻边，是「由值求边」的标准流程。 ✅️ 5.三角函数的综合与实际应用 仰角俯角问题：视线与水平线的夹角，在直角三角形中用 tan（或 sin/cos）求高度距离 网格作图与三角函数：算线段长用勾股，写函数值用定义 与旋转、折叠、圆、切线、矩形综合：先解几何关系（等线段、直角），再求函数值 坐标系中的旋转问题：结合特殊角三角函数求旋转后点的坐标 计算器使用：先输入角度（或函数值），注意 DEG 模式与精确度要求 概念辨析例题：在矩形 ABCD 中，AB = 6，BC = 8，将 △ABD 沿 BD 折叠，点 A 落在 A' 处，则 tan∠A'BD 的值为（　　） 答案： 解析：折叠后 ∠A'BD = ∠ABD。在 Rt△ABD 中，tan∠ABD = = = ……注意 ∠A'BD 即 ∠ABD，其对边与邻边要看角在哪：tan∠ABD = = = 。折叠不改变角的大小，直接用原三角形的函数值。 🧀 知识总结表 角α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 定义 对边/斜边 邻边/斜边 对边/邻边 同角关系 sin²+cos²=1 — tan=sin/cos 增减性 随α增大而增大 随α增大而减小 随α增大而增大 📩 核心考点 【考点1】锐角三角函数的定义与求值（第1-13题） · 定义三比要分清参考角：对边、邻边随角变化而变化 · 网格求值：先勾股算线段长，再按定义写比值 · 非直角三角形先作高构造直角三角形 · 正切、余切互为倒数关系，注意题目自定义的新概念 1． 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【详解】解：如图，取格点M，连接，则， ∵A、B、C、D四个点均在格点上， ∴． 2． 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求角的正切值、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理，正正方形的性质，掌握正切的定义并构造直角三角形是本题的关键． 首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：取格点，连接．根据正方形的性质可得， 由勾股定理得，， ∴． 故选：A． 3． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由格点及勾股定理知：，，， ， ， 是直角三角形，， ∵， ． 故选：B． 4． 【答案】A 【知识点】求角的正弦值 【分析】根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，． 5． 【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形、求角的正切值、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理及其逆定理，构造直角三角形是解答本题的关键．取格点D，使，连结，先根据勾股定理计算，，的长， 再证明，最后根据三角函数的定义，即得答案． 【详解】如图，取格点D，使，连结， 则，，， ． 故选A． 6． 【答案】D 【知识点】求角的余弦值、三角函数综合 【分析】本题主要考查了三角函数，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键. 根据三角函数的定义和性质判断：A中是比值，边扩大但比值不变；B中在锐角范围内小于1；C中三角函数值不能直接相加角度；D中由可推导． 【详解】解：A．在中，，当两个邻边都扩大5倍时，比值不变，即不变，故A错误，不符合题意； B．当时，从减小到，即，故B错误，不符合题意； C．，，两者之和，，故C错误，不符合题意； D．由，设对边，邻边，则斜边，即，故D正确，符合题意． 故选D． 7． 【答案】 【知识点】求角的正切值、求点到坐标轴的距离 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标可得的长，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵点的坐标为， ∴， ∴． 8． 【答案】60° 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、正切的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的对边与邻边的比叫做的正切．根据正切的定义得到，再根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ， ， 故答案为：． 9． 【答案】 【知识点】求角的正切值 【分析】本题主要考查了利用网格求正切值，过点B作于点D，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：过点B作于点D， ∴， 故答案为： 10． 【答案】 【知识点】求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值．过点A作于E，设等腰的边，则，解，得，再解，得，从而得，即可由求解． 【详解】解：过点A作于E，如图，    设等腰的边，由勾股定理，得， 在中，∵，， ∴，即， ∴， ∴等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11． 【答案】1 【知识点】求角的余弦值、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】过B作于H，根据正方形的性质得到，，证得，然后根据全等三角形的性质得到，进而求得． 【详解】解：过B作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点E，F分别是边的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 12． 【答案】 【知识点】求角的正切值、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理、正切的定义、等面积法等知识点，灵活借助等面积法求线段的长度是解题的关键． 如图：分别过点A和点C作和的垂线，利用面积法求出垂线段的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：分别过点A和点C作和的垂线，垂足分别为M和N， 设正方形网格的边长为1，则， ∵， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：． 13． 【答案】 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、求角的正切值、根据矩形的性质求线段长 【分析】由矩形的性质可得，，由正切的定义可得，证明垂直平分，得出，从而得出，进而可得，即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ， 垂直平分， ， ， ， 的值为． 【考点2】特殊角三角函数值与混合运算（第14-26题） · 30°/45°/60° 三角函数值表必须熟记，正弦余弦互换记 · 混合运算先代值再化简：注意二次根式、分母有理化、零指数与负指数 · 由特殊值反求角：如 sinα = → α = 60° · 坐标系中由特殊角定旋转后点的坐标 14． 【答案】A 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． 【详解】解：， 故选A 15． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了三角形函数的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．设，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据新定义，得出答案即可． 【详解】解：设，， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 16． 【答案】C 【知识点】求弧长、根据特殊角三角函数值求角的度数、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了矩形的性质，特殊角的锐角三角函数、弧长公式，首先根据矩形的性质可以得到：，，根据特殊角的锐角三角函数可得：，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由旋转可知， 又， ， ， ， 的长为． 故选：C． 17． 【答案】A 【知识点】坐标与图形、根据特殊角三角函数值求角的度数、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、旋转的性质、坐标与图形等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 延长交y轴于C，易得；再借助正切函数可得，进而说明点与点B关于y轴对称，据此确定点的坐标即可． 【详解】解：如图： 延长交y轴于C 点A的坐标为，线段轴，， ∴， ∴，即， 如图： 将绕点O逆时针旋转， ∴，即点与点B关于y轴对称， ∴． 故选：A． 18． 【答案】B 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、等边三角形的判定和性质、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，坐标与图形性质，如图，过作轴于，求解，可得为等边三角形，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故选B 19． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 20． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】根据计算即可． 【详解】解：原式． 21． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、特殊三角形的三角函数 【分析】根据平行四边形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22． 【答案】/40度 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、特殊三角形的三角函数 【分析】先根据特殊角的余弦值确定的度数，再求解α的值即可． 【详解】解：∵， 又∵α为锐角， ∴， ∴， ∴， ∴． 23． 【答案】3 【知识点】负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算、求一个数的立方根、实数的混合运算 【详解】解：原式 ． 24． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算等知识点，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 将各特殊角的三角函数值代入原式，然后按照二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 25． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算、求一个数的立方根、零指数幂 【分析】本题考查了实数的有关计算，此类题属于常考题型，要熟记特殊角的三角函数值，掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂的计算公式，并注意运算顺序．是正数，所以它的绝对值是本身，任何不为0的零指数幂都是1，，，表示8的立方根，是2，分别代入计算可得结果． 【详解】解： ． 26． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的性质化简，再算加减即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝． 【考点3】解直角三角形（第27-39题） · 解三角形三工具：互余、勾股、三角函数定义，已知两元素即可解全 · 已知函数值求边：按定义列比例，先求斜边再勾股 · 非直角三角形作高分拆成两个直角三角形 · 与垂直平分线、三线合一、矩形性质结合时先解几何再算函数 27． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】根据，得到，根据得到，于是得到解答即可． 本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，余弦的定义，熟练掌握勾股定理，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 28． 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作． 依据中，，，，进行表示即可． 【详解】解：∵在中，，画图如下： ∴， 故选A． 29． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．先利用勾股定理计算出，然后根据三角函数的定义对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ． 故选项D符合题意． 故选：D． 30． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解答本题的关键，根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】， ， ，，，． 故选：C． 31． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，勾股定理，首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 32． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长 【分析】先由正切的定义求出直角边的长，再利用勾股定理计算斜边的长度； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ． 33． 【答案】12 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正弦，勾股定理等知识．作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：12． 34． 【答案】 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：中，，， ∴， 故答案为：． 35． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】此题主要考查了锐角三角函数以及勾股定理，关键是正确计算出的长． 首先利用勾股定理计算出长，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：. 36． 【答案】9 【知识点】已知余弦求边长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了锐角三角函数的余弦函数的定义，解题的关键是掌握直角三角形中余弦值为邻边与斜边的比值．在中，由余弦函数的定义得，代入已知的和的数值，求解斜边． 【详解】解：在中，，根据余弦的定义：， 已知，，代入得：， 解得， 故答案为：． 37． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、求角的正切值 【分析】本题考查了非负数的性质及正切的定义．根据非负数的性质求出的值，根据根据大角对大边，小角对小边，得到最小的角，利用正切的定义解答即可． 【详解】解：∵两直角边a，b满足， ∴，即， ∴， ∵， ∴三角形中最小的角为， ∴， 故答案为：． 38． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、已知余弦求边长 【分析】此题考查三角函数，勾股定理，根据，设，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】在中，， ∴， 设， ∵垂直平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为． 39． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长、三线合一、根据矩形的性质求线段长 【分析】过点B作于点G，则，再由矩形的性质得，从而有；在中由正弦函数关系求得，由勾股定理求得，在中由正弦函数关系求得，即可求得矩形的面积． 【详解】解：如图，过点B作于点G，则， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴； ∵，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∴， 在中，， ∴， ∴矩形的面积为． 【考点4】综合应用（第40-52题） · 计算器求值与反求角：注意精确度与 DEG 模式 · 折叠旋转不改变线段长与角的大小，函数值可迁移 · 圆与切线中的三角函数：找直径所对直角或切线垂直 · 坐标与反比例函数结合：面积条件转比例，函数值按定义算 40． 【答案】A 【知识点】用计算器求锐角三角函数值 【分析】本题主要考查了计算器-三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子． 简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果． 【详解】解：利用该型号计算器计算 ，按键顺序正确的是： 故选：A． 41． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值、矩形与折叠问题 【分析】由矩形的性质、折叠的性质求得，进而求得，设，在中，利用勾股定理建立方程求得x的值，再由正切函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形沿直线折叠，使点D落在边上的F处， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴，解得， 即， ∴． 42． 【答案】C 【知识点】已知正切值求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查三角函数的实际应用——测量高度，根据题意可得，从而求出，再求出即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴铜像的高度是； 故选：C． 43． 【答案】D 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角余弦函数是解题关键． 根据余弦函数的定义，结合点P的坐标，建立方程求解m的值． 【详解】解：由题意，，又为锐角， ，， 两边平方可得：，， ， 交叉相乘可得：， ， ， ． 故选：D． 44． 【答案】 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义． 将分子和分母同时除以，化简可得 ，然后代入求解； 【详解】 ， ∴原式 故答案为：． 45． 【答案】 【知识点】用计算器求锐角三角函数值、计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查了用计算器求锐角三角函数值得运算，将图示翻译成算式即可求解． 【详解】解：由题意得，计算器按键写成算式为： ∴原式 故答案为： 46． 【答案】 【知识点】三角函数综合 【分析】本题考查了特殊的锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题通过题干可得，，，然后根据，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 47． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、用计算器求锐角三角函数值 【分析】本题主要考查了用科学计算器计算三角函数值，角度的换算，精确度的概念，熟练掌握用科学计算器计算三角函数值是解题关键． 先用科学计算器分别求出、、的值，再进行平方和加减运算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 48． 【答案】 【知识点】已知余弦求边长、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握相似三角形的判定和性质，余弦值的计算方法，几何图形面积与反比例系数的计算方法是关键． 如图所示，过点作轴于点，可证，，根据余弦值得到相似比，由此得到，求出的面积，根据，结合图象即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴， 故答案为： ． 49． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值、三线合一 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，，勾股定理求出，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵三角形是等腰三角形，，点D为的中点， ∴，， ∴， ∵于点E， ∴ 即， ∴． 50． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、求角的正弦值 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 51． 【答案】/0.5 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查正切函数的定义，旋转的性质，勾股定理． 过点F作于点G，由可得，，从而，，根据三角形的面积公式可求得，，再根据勾股定理，在中，，在中，，从而，由旋转得到，则． 【详解】过点F作于点G， ∵，，， ∴． ， ∵， ∴． ∵由旋转可得，， ∴， ∵，即， ∴． ∵由旋转有，， ∴， ∴， ∵由旋转得， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． ∵由旋转得， ∴． 故答案为： 52． 【答案】2 【知识点】切线的性质定理、含30度角的直角三角形、三角函数综合 【分析】本题考查了直角三角形的性质、切线的性质，掌握切线的性质，结合直角三角形中角所对直角边的性质，通过设未知数，利用三角函数求解是解题的关键． 本题先由直角三角形性质求出的长度，设的半径为，结合切线性质和三角函数，求出半径，最后计算的长度即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 即：， ∴，， 设的半径为，则：， ， ∵与相切于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 三角函数定义三比：对边比斜边（sin）、邻边比斜边（cos）、对边比邻边（tan） · 特殊角函数值表必须滚瓜烂熟：30°→60° 正弦余弦互换，tan45° = 1 · 解直角三角形三工具：两锐角互余、勾股定理、三角函数定义 · 由函数值求边按定义列比例；由值求角先想特殊角，否则用计算器 · 网格求值两步走：勾股算线段，定义写比值 【作业1】 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】本题考查了求角的正切值，根据勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得. 则 【作业2】 【答案】3 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊的三角函数值，根据特殊锐角三角函数的值即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 【作业3】 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据矩形的性质，三角函数的定义，勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【作业4】 【答案】1 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、求一个数的算术平方根、零指数幂、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零次幂，平方根等，解题的关键是熟练掌握各运算法则．利用特殊角的三角函数值，零次幂，平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【作业5】 【答案】1 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、求一个数的算术平方根、零指数幂、实数的混合运算 【详解】解： ． 【作业6】 【答案】． 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂的混合运算，先计算特殊角的三角函数值，零指数幂运算，然后合并计算即可，熟记特殊角的三角函数值及掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【作业7】 【答案】 【知识点】负整数指数幂、有理数的乘方运算、特殊三角形的三角函数、实数的混合运算 【分析】按照运算法则正确运算即可． 【详解】解：原式， ， ． 【作业8】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分母有理化、特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，分母有理化． （1）先化简特殊角三角函数值，再运算乘方，然后运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先运算乘方和化简特殊角三角函数值，然后运算乘法，最后运算加减，即可作答． （3）先化简特殊角三角函数值，再运算乘方，最后运算加减，即可作答． （4）先化简特殊角三角函数值，然后运算乘法，最后进行分母有理化，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 【作业9】 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求角的正切值、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）延长，，交于点，连接，先证出，则，，再求出，进而可得，然后求出的长，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 又∵点是的中点， ∴． （2）解：如图，延长，，交于点，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 又∵，即点是的中点， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 【作业10】 【答案】（1）；（2）①三；②； 【知识点】分式化简求值、负整数指数幂、根据特殊角三角函数值求角的度数、零指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，然后合并即可； （2）根据分式的运算法则即可求解； 根据分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件，将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）第三步开始出现错误； 故答案为：三； ． ∵ ∴当时，原式 【作业11】 【答案】， 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 先根据锐角三角函数的定义求，再利用勾股定理求，最后根据周长公式和正切的定义求出答案即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， 的周长为， ． 【作业12】 【答案】(1) (2)①；，， 解：这个解答从第①步开始出现错误； 正确解答为： 解：原式 ， 当时，原式， 故答案为：①． 【知识点】分式化简求值、特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂、实数的混合运算 【分析】（）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值的性质分别运算，再合并即可； （）根据分式的性质和运算法则化简求值即可； 本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）（）略 【作业13】 【答案】(1) (2) 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】本题考查求角的正弦值和余弦值，熟练掌握正弦和余弦的定义是解题的关键： （1）勾股定理求出，根据定义进行求解即可； （2）勾股定理求出，根据定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴． 【作业14】 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【知识点】绝对值非负性、由特殊角的三角函数值判断三角形形状、特殊三角形的三角函数 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 【作业15】 【答案】， 【知识点】分式化简求值、特殊角三角函数值的混合运算、分式加减乘除混合运算 【分析】先化简分式，再计算的值，代入化简结果求值． 【详解】解： ， ，， 则， 当时，． 【作业16】 【答案】 的长为，的值为 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值、已知余弦求边长 【分析】利用锐角余弦的定义求出的长度，再通过勾股定理求出的长度，最后根据锐角正切的定义计算的值． 【详解】解：在中，，如图， ∵ ，，， ∴ ， 由勾股定理得 ， ∴ ． 【作业17】 【答案】(1)；1； (2) 证明：∵在中，，，，， ∴，，， ∵， ∴． (3) 证明：∵ ， ∴． 【知识点】余弦的概念辨析、正弦的概念辨析、特殊三角形的三角函数、三角函数综合 【分析】本题主要考查了三角函数的有关计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角函数的定义． （1）根据题干中提供的信息进行计算即可； （2）根据三角函数的定义进行解答即可； （3）根据解析（2）的结论分别求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）略 （3）略 【作业18】 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边证明边相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得，根据点为中点，得出，结合倍四边形的定义，即可求解； ②过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，进而根据三角形的面积比，即可求解； （2）过点作交于点，证明得出，设，进而表示出的长，即可求解； （3）设交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为；分两种情况讨论，当时，设，证明得出，设，则，证明得出，进而求得的值，勾股定理求得，进而根据正切的定义，即可求解；当时，同理可得结论． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为倍四边形， ∴； ②如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵四边形为倍四边形，对角线被平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， （2）解：如图，过点作交于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为倍四边形，其对角线平分对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为 ①当时，设，如图4， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 在中，， ∴； ②当时，设，如图4， 同①可得，， ∴， 同①可得， ∴， 设，则， ∴，， ∵，即， 解得：， ∴,， 在中，， ∴， 综上所述，的值为或． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $