第8讲·相似三角形及判定·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第8讲·相似三角形及判定·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握相似三角形的三种判定方法：两角（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS）、三边成比例（SSS） · 会识别与运用公共角、对顶角、等腰角、直角、平行线等隐含的等角条件 · 会通过添加或补充条件使两个三角形相似，能从多个条件中筛选正确组合 · 会处理翻折、旋转、网格、动点等情境中的相似判定问题 · 会规范书写相似判定的证明过程，做到条件明确、对应清楚 · 能综合全等、四边形、圆等知识解决相似判定的证明与探究问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.相似三角形的判定定理 AA：两角分别相等的两个三角形相似（最常用） SAS：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，夹角必须是两边的夹角 SSS：三边成比例的两个三角形相似，网格题先算三边再排序比较 平行线推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似 判定选择策略：已知两角→AA；已知两边→考虑夹角或第三边；有平行→直接相似 概念辨析例题：在 △ABC 与 △DEF 中，∠A = ∠D = 48°，AB = 4，AC = 6，DE = 2，则添加条件 DF = 3 后两三角形（　　） 答案：相似（SAS） 解析： = = 2， = = 2，且夹角 ∠A = ∠D，由 SAS 判定相似。已知一对等角与两组边时，验证边是否为「夹这个角的两边」。 ✅️ 2.隐含等角的常见来源 公共角：两个三角形共用一个角（A 字型、母子型） 对顶角：X 字型中交点处的对顶角相等 等腰三角形：等边对等角；等边三角形三内角均为 60° 直角：公共直角或同角的余角相等（双直角模型） 平行线：同位角、内错角相等，是判定相似最常用的转化手段 概念辨析例题：如图，D 是 △ABC 边 BC 上一点，要判定 △ABD 与 △ACB 相似，添加条件 ∠ADB = ∠C 后还需（　　） 答案：公共角 ∠A（已具备，直接相似） 解析：△ABD 与 △ACB 有公共角 ∠A，再加上 ∠ADB = ∠C（或 ∠ABD = ∠ABC），由 AA 即可判定相似。判定题先找「免费」的公共角，再补第二个条件。 ✅️ 3.补充条件与条件筛选 开放题：答案不唯一，写出一个能推出相似的条件即可，但要验证 「不能判定」类：逐项用判定定理验证，注意 SAS 中夹角的对位 多条件组合题：从 4~5 个条件中任取两个组合，逐一检验能否凑齐判定定理 常见陷阱：两边成比例但角不是夹角；三边比例对应错位；SSA 不能判定相似 补条件的两个方向：补角（凑 AA）或补边（凑 SAS/SSS） 概念辨析例题：已知 △ABC 中，D 在 AB 上，DE ∥ BC 交 AC 于 E，下列条件：①=；②∠ADE=∠ACB；③=；④=。能判定 △ADE ∽ △ACB 的是（　　） 答案：①②③④ 全部 解析：①④ 是平行线分线段成比例的等价形式（可推出 DE∥BC 再 AA 判定）；② 直接两角判定；③ 对应边成比例加公共角 ∠A 构成 SAS。多条件组合题要灵活运用比例式与角的双向转化。 ✅️ 4.情境中的相似判定 翻折：折叠前后对应角、对应边相等，折痕两端构造等腰三角形 旋转：旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角 网格：用勾股定理计算三边，排序后比较比值（SSS） 动点：设时间 t 表示线段长，由相似判定条件列方程求时刻 正方形/菱形：边长相等与直角（对角线垂直）提供等边与等角 概念辨析例题：如图，在 3×3 网格中，△ABC 三边长分别为 2、2、2，则网格中与 △ABC 相似（不全等）的格点三角形的三边比可能为（　　） 答案：1 : : （或其倍数） 解析：计算格点三角形边长用勾股定理，把三边从小到大排序后与 2、2、2 对比比值。三边比值一致（如 1::）即相似。网格判定题的通用流程：算边长→排序→比比值。 ✅️ 5.相似判定的证明书写 证明格式：在 △___ 和 △___ 中，列出条件组合，∴ △___ ∽ △___（判定依据） 对应顶点写在对应位置，比例式按对应边书写 全等是相似的特例（相似比为 1），全等条件可直接用于相似判定 综合证明：先由全等/等腰/平行得到等角或等比，再转化到相似判定 探究题：常「先证相似→得比例→代值计算」或「讨论不同位置分情况证明」 概念辨析例题：求证：直角三角形斜边上的高把原三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似。 答案：用「同角的余角相等」找第二组等角 解析：在 Rt△ABC（∠C=90°）中 CD⊥AB 于 D：∠ACD + ∠BCD = 90°，∠B + ∠BCD = 90°，得 ∠ACD = ∠B，加上公共直角 ∠ADC = ∠CDB = 90°，由 AA 得 △ACD ∽ △CBD ∽ △ABC。这是「母子型」相似的完整证明，是后续射影定理的基础。 🧀 知识总结表 判定方法 条件 关键词 AA 两角分别相等 公共角、对顶角、平行角 SAS 两边成比例且夹角相等 夹角必须对位 SSS 三边成比例 网格先算边长 平行推论 一边的平行线截两边 A字/X字型 SSA 陷阱 两边及其中一边对角 不能判定相似 全等特例 相似比为 1 全等条件可用 📩 核心考点 【考点1】判定的选择与辨析（第1-13题） · 逐项验证：AA、SAS、SSS 三定理对照条件 · SSA（两边及其中一边的对角）不能判定相似，是高频陷阱 · 图形结合：从图中挖出公共角、对顶角、平行角 · 命题真假判断类：举反例或用判定定理说明 1． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项A不符合题意； B.∵，， ∴，故选项B不符合题意； C. ∵，， ∴，故选项C不符合题意； D. 条件，，无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 2． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 【详解】解：∵， ∴， 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意． 故选：C． 3． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由相似三角形的判定方法，即可判断，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：、只有这一个条件，不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、∵， ∴，， ∴，原选项符合题意； 故选：． 4． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项进行求解即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故该选项不符合题意； B、由于的长度不知道，无法判断阴影三角形与原三角形相似，故该选项符合题意； C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故该选项不符合题意； D、，， ∵，， ∴， ∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 5． 【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定． 需根据相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）逐一分析选项． 【详解】选项，仅一组边相等且一组角相等，不满足相似三角形的判定条件， 不能判断，不符合题意； 选项，，是与的夹角，但不是与的夹角， 不满足两边对应成比例且夹角相等的判定条件， 不能判断，不符合题意； 选项，三角形内角和为，， ，即， 又，变形得， 两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似 能判断，符合题意； 选项，在中，，， ， 在中，，， ， 即对应角不相等， 不能判断，不符合题意． 故选：． 6． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、由，不能证明，符合题意； 故选：． 7． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形你的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、B、有两组角对应相等的两个三角形相似，由此判定，故A、B不符合题意； C、和，和不是对应边，不能判定，故C符合题意； D、由，得到，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故D不符合题意； 故选：C． 8． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先分析的角和边的特征，再逐一分析选项中三角形的角和边，根据相似三角形的判定定理两角分别相等或三边成比例或两边成比例且夹角相等来判断是否相似． 【详解】解：如图所示： ， 是等腰三角形， ， ， ， ． 、三角形有一个角是，仅知道一条边是，无法确定其角的关系和边的比例，不能判定与相似，不符合题意； 、三角形三边均为，是等边三角形，每个角都是，与的角不相等，不能判定与相似，不符合题意； 、三角形有一个角是，与的角和均不相等，不能判定与相似，不符合题意； 、三角形中有一个角是，且两边均为，是等腰三角形，所以其底角为，与中，分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得该三角形与相似，符合题意； 故选：D． 9． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故本选项不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故本选项符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 10． 【答案】D 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定综合、折叠问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】先根据翻折的性质可得，，，再根据三角形外角的性质得，即可得，判断A；然后根据两个角相等的两个三角形相似判断B；根据三角形内角和定理判断C；最后根据和的关系判断D即可． 【详解】根据翻折的性质可得，，． ∵是的外角，是的外角， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 可知A正确； ∵， ∴． ∵， ∴∽. 则B正确； ∵，，且，， ∴． 可知C正确； 无法确定和的关系， ∴无法确定和的关系． 可知D不正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定，三角形内角和等，理解翻折的性质是解题的关键． 11． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；故A不符合题意； 当时，；故B不符合题意； 当，即时，；故D不符合题意； 当，不能判定，故C符合题意； 故选C． 12． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据相似三角形的判定方法和勾股定理，对各个选项进行分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似，符合题意； 、∵，，，， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 故选：． 13． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】A、∵，，只有一角一边， ∴不能判断两个三角形相似， 故A不符合题意； B、∵，，不是与的夹角， ∴不能判断两个三角形相似， 故B不符合题意； C、由，可得， 再由，得， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， ∴可判断， 故C符合题意； D、由，， 得， 由，， 得， ∵只有， ∴不能得， 故D不符合题意． 故选：C． 【考点2】补充条件判定相似（第14-26题） · 开放题补条件：补角凑 AA 或补边凑 SAS，写完验证 · 多条件组合：任取两个凑齐判定定理，注意排列组合数 · 「不能判定」选哪个：一一对位检验，重点查 SAS 的夹角 · 补条件后有时需再证一步（如先证平行再判相似） 14． 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、根据概率公式计算概率 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．最后根据概率公式解答即可． 【详解】解：①当，是公共角， 所以； ②当，是公共角， 所以； ③当，即，是公共角， 所以； ④当，即， 而， 所以不能判断和相似． 综上，能满足和相似的条件有3个． 故从中随机抽取一个，能使和相似的概率是． 15． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据有两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、，， ∴，故此选项不合题意； B、，， ∴，故此选项不合题意； C、， ，， ∴，故此选项不合题意； D、，不存在夹角相等，不能判定，故此选项符合题意． 故选：D． 16． 【答案】A 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用正方形的性质和相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A．∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是正方形的边的中点， ∴ 当P是中点时， ∴， ∴， ∴不能推出与相似，故A符合题意； B．∵， ∴，故选项B不符合题意； C．∵，， ∴，故选项C不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵， ∴，故选项D不符合题意； 故选：A． 17． 【答案】 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查的知识点为相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，根据定理找到剩下一组对应边即可。 【详解】解：若使， 根据三边对应成比例的两个三角形相似这一定理， 已知， 则需找到剩下一组对应边， 故答案为： ． 18． 【答案】 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理“如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似”，即可求解． 【详解】解：由题意得，（公共角）， 所以可添加，使． 故答案为：（答案不唯一） 19． 【答案】或或（选择一个即可）． 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据有两组角对应相等的两个三角形相似和两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似添加条件即可解答． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：或或（选择一个即可）． 20． 【答案】①②④ 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 21． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据三角形相似的判定定理，选择适当的条件即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故可以添加如下条件：， 故答案为：． 22． 【答案】①③ 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断． 【详解】解：①，而， ∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由， 得， 又∵， ∴，故③正确， ④由， 得到， 不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误， 故答案为：①③． 23． 【答案】或或（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可． 【详解】解：∵， ∴当或或时，． 故答案为：或或． 24． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键； 根据相似三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴添加或或，， 故答案为：（答案不唯一）． 25． 【答案】或或或 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．根据为与的公共角，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹的两组对应边成比例． 【详解】解：∵为与的公共角， 当或时，； 当时，， 故答案为：或或或． 26． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点3】判定的综合应用（第27-39题） · 翻折、旋转情境：抓住对应角相等这一不变量 · 网格与格点：勾股算边 → 排序 → 比值（SSS） · 动点问题：设 t 表示线段，由判定条件列方程求时刻 · 正方形、菱形中的判定：利用边相等与直角 27． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据平行线的性质得到，进而证明，从而得到． 【详解】解：， ， ， ， ． 28． 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用两角对应相等判定相似、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，能根据作图痕迹判断条件是解题的关键． 分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：A．由作图可知，， 又∵， ∴，故本选项不符合题意； B．由作图可知，E、F分别为、中点， ∴， ∴，故本选项不符合题意； C．由作图知，、是的角平分线，不能说明，故本选项符合题意． D．由作图可知，平分，点E在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 29． 【答案】A 【知识点】利用两角对应相等判定相似、判断命题真假 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、三个角分别为、、的三角形与三个角分别为、、的三角形不相似，本说法是假命题； B、各有一个角是的两个等腰三角形都是等边三角形，它们是相似三角形，本说法是真命题 C、各有一个角是的两个等腰三角形是相似三角形，是真命题； D、两个等腰直角三角形是相似三角形是真命题； 故选：A． 30． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，证明三角形相似是解题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，通过证明 ，可得，即可求解． 【详解】解：，， ，，，， ，， ， ， ， 故选：. 31． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点B作，交延长线于点G，利用平行线构造相似三角形是解题的关键； 过点B作，交延长线于点G，利用可得，，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点G， 设，，则， ， ，， 由，可得， ， 由，可得， 即． 故选：B． 32． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定综合、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，属于基础题，熟悉相似三角形的判定证明及用好其性质是解题关键． 根据是边上的高和即可证明；再由相似三角形的性质证，再结合，即可得． 【详解】由题意可知，． ， ， ． ， ． 33． 【答案】12 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 34． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，先证明，由相似三角形的性质得出，由勾股定理得出，然后代入比例计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， 则， ∴， 故答案为：． 35． 【答案】相似 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 36． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定综合、两直线平行同位角相等 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两组角对应相等的两三角形相似即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 37． 【答案】相似 【知识点】利用两角对应相等判定相似、三角形内角和定理的应用 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，结合已知可得，，由两角相等可证． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴，， ∴． 38． 【答案】4 【知识点】相似三角形的判定综合、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵， ∴①． 又∵， ∴②，    ∴③． 由平行四边形的性质可得④， 共有4对相似三角形． 故答案为：4． 39． 【答案】或 【知识点】相似三角形——动点问题、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 【考点4】相似的证明与综合（第40-52题） · 证明书写规范：条件罗列 + 判定依据，对应顶点对位 · 母子型证明：直角 + 斜边高 → 同角余角 → AA · 与圆、四边形综合：切线垂直、对角线性质产生等角 · 先全等后相似的转化：全等条件是相似比为 1 的特例 40． 【答案】3 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用三边对应成比例判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】枚举所有任取两个条件的组合，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：从4个条件中任取两个，共得到6种组合，逐一判断如下： 取①②， ∵，， ∴，三边对应成比例，可判定； 取①③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取①④，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②④， ∵，， ∴两边对应成比例且夹角相等，可判定； 取③④， ∵，， ∴两角对应相等，可判定； 综上，能判定相似的共有3组． 41． 【答案】 【知识点】利用三边对应成比例判定相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，结合已知条件，利用三条边对应成比例，解题过程注意对应边． 【详解】解：当时，．理由如下： ∵， ∴可设（）， ∴，，， ∴， ∴，符合题意 故答案为： ． 42． 【答案】4 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 43． 【答案】④ 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：①， ∴， ②∵， ∴， ③∵， ∴， ∵， ∴， ④条件不符合，不能判定， 故答案为：④． 44． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【详解】解：根据对顶角相等，可得， 利用两角相等证明三角形相似，可添加的条件为：． 45． 【答案】 2 或 【知识点】相似三角形——动点问题、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法，进行分类讨论是解题的关键． （1）首先计算出的面积，设t秒的面积是面积的，表示出、，然后根据三角形面积公式计算即可； （2）根据相似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出方程求解． 【详解】在中，，，， 面积为， 的面积是面积的， 的面积为， 设t秒的面积是面积的， 则，， 在中， ， 解得， 故答案为：2； （2）设经过x秒后，两三角形相似，设t秒的面积是面积的， 则，， ∵， 当或时，两三角形相似． （1）当时， ， （2）当时， ； 所以，经过或秒后，两三角形相似． 46． 【答案】2，，3 【知识点】相似三角形的判定综合、利用两角对应相等判定相似、相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】分类讨论，，，，由相似三角形的性质分别求解． 【详解】解：①若， 则， ∴， ∴， ∴ ∴ ②若， 则， ∴， ∴， ∴ ∴ ③若， ∴， ∴， ∴ ∴． 47． 【答案】 解：相似 证明：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，进而证明进而即可得证． 【详解】略 48． 【答案】 证明：将绕点B逆时针旋转得到， 由旋转性质，得，，， ， ， ， 即， ∽ 【知识点】相似三角形的判定综合、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键． 由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明 【详解】略 49． 【答案】证明：∵线段、是的两条高， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形高的定义得到，进而根据两组角对应相等的两个三角形相似进行证明是解题的关键． 【详解】略 50． 【答案】 证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 由得到，然后得到，即可证明． 【详解】略 51． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【知识点】等边对等角、利用两角对应相等判定相似 【分析】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定等知识，推导出，进而证明． 【详解】略 52． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、选择或补充条件使两个三角形相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，，再若添加的条件是，证出，根据相似三角形的性质可得，然后证出四边形是平行四边形，则可得，与相矛盾，只能是，由此即可得添加的条件； （2）根据相似三角形的性质可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 若添加的条件是， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，与相矛盾，舍去； ∴只能是， ∴添加的条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由（1）可知，只能是， ∴， ∵，， ∴， ∴． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 判定三定理：AA、两边夹角 SAS、三边 SSS，SSA 不能判定 · 隐含等角五来源：公共角、对顶角、等腰角、直角（余角）、平行线角 · 补充条件先找「免费条件」（公共角），再补第二个 · 网格判定三步：勾股算边、排序对齐、比比值 · 翻折旋转不变量：对应角相等、对应边相等 【作业1】 【答案】 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理和正方形的性质。 由于与都是直角三角形，根据如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，则当时能得到，即可得到． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当时能得到， ∵E是的中点， ∴， ∵在正方形中，， ∴，即， ∴，即． 故答案为： 【作业2】 【答案】 【知识点】相似三角形的判定综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的性质以及三角形三边关系等知识，延长到，使，连接，证明，求得，由三角形三连关系可得结论． 【详解】解：延长到，使，连接，如图， ∴ 又， .∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：. 【作业3】 【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、相似多边形的性质、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【作业4】 【答案】证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵， ∴． 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】由中点的定义得出，根据为公共角，即可得出． 【详解】证明：略 【作业5】 【答案】相似， 理由如下： 由小方格是边长为1的正方形，根据勾股定理得： ； ∴； ∴． 【知识点】相似三角形的判定综合、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定方法，根据小正方形的边长求出两个三角形的三边长，然后根据来判定两个三角形是否相似． 【详解】 略 【作业6】 【答案】(1) 如图所示，取格点D，则射线即为所求； (2) 如图所示，即为所求； 【知识点】在网格中判断直角三角形、根据正方形的性质与判定证明、利用三边对应成比例判定相似、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点D，则射线即为所求； （2）取格点，使得即可 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 【作业7】 【答案】 证明：∵在中，， ． 平分， ． ， ． 【知识点】等边对等角、利用两角对应相等判定相似、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，结合平分，得，最后运用两组角分别相等的两个三角形是相似三角形，即可作答． 【详解】略 【作业8】 【答案】(1) 如图，射线即为所作， (2) 证明：，， ， 由作图可得：平分， ， ， ， 【知识点】等边对等角、利用两角对应相等判定相似、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据等腰三角形的性质求出，根据角平分线定义可得，根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【作业9】 【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2)不是； (3) 【知识点】利用两角对应相等判定相似、相似三角形的判定与性质综合、位似图形的识别 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似图形的定义．关键是利用已知角相等和对顶角相等证明三角形相似，再结合相似三角形的性质求解线段长度，同时掌握位似图形的判定条件． （1）要证明，已知一组角相等()，结合对顶角相等的性质，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明； （2）根据位似图形的定义：位似图形是对应顶点的连线交于一点，且对应边互相平行或在同一直线上的相似图形，结合图形特征判断即可； （3）先由得到对应边成比例，进而推出，再利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解的长度． 【详解】（1）略 （2）解：根据位似图形的定义，位似图形需满足对应边互相平行或在同一直线上，而与的对应边与、与、与均不平行，不满足位似图形的条件， ∴与不是位似图形； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【作业10】 【答案】(1) ，理由如下： ∵，， ∴． (2) 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由可得，代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 由（1）可得 ， ∴， ∴， ∴． 【作业11】 【答案】(1)证明：，， ． (2)48 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）根据有两个角相等的三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，再利用图形间的面积关系即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， ． 【作业12】 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】相似三角形的判定综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查了菱形，全等三角形，相似三角形，利用菱形的边，对角线平分的性质可证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，根据，可得，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】略 【作业13】 【答案】(1) 证明： (2) 【知识点】利用两角对应相等判定相似、由平行截线求相关线段的长或比值、利用相似三角形的性质求解 【分析】题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识： （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由得，则，再分别求出，，，从而可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得 又 ，点是的中点 【作业14】 【答案】(1)相似，理由： ，， ， ； (2) 如图：为所求， 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、利用三边对应成比例判定相似、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三边对应成比例，两三角形相似是解题的关键； （1）根据勾股定理分别求出两三角形的三边长，再根据三边对应成比例，两三角形相似求解即可； （2）由勾股定理可知：，由三角形与相似，且相似比为可知，的三边为：，再根据勾股定理作图即可． 【详解】（1） 略 （2） 略 【作业15】 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【知识点】利用两角对应相等判定相似、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明，再结合即可得证； （2）由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴． 【作业16】 【答案】 证明：过点O作，交于点M， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】相似三角形的判定综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定；过点O作，交于点M，先证明，得出，从而证出，再根据，即可证出结论． 【详解】略 【作业17】 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵，是边上的中点， ∴， ∵点与关于边对称， ∴，， ∴， ∵为外心， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴； (2) 证明：将绕点顺时针旋转，使点落在上点处，连接， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用矩形的性质证明、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（）由三角形外心的性质可得，即得，再证明，得到，，即得到，又由，根据相似三角形的判定即可求证； （）将绕点顺时针旋转，使点落在上点处，连接，先证明四边形是平行四边形， 得到，再证明，得到，再根据三角形中位线的性质即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的外心，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【作业18】 【答案】/度 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲·相似三角形及判定·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握相似三角形的三种判定方法：两角（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS）、三边成比例（SSS） · 会识别与运用公共角、对顶角、等腰角、直角、平行线等隐含的等角条件 · 会通过添加或补充条件使两个三角形相似，能从多个条件中筛选正确组合 · 会处理翻折、旋转、网格、动点等情境中的相似判定问题 · 会规范书写相似判定的证明过程，做到条件明确、对应清楚 · 能综合全等、四边形、圆等知识解决相似判定的证明与探究问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.相似三角形的判定定理 AA：两角分别相等的两个三角形相似（最常用） SAS：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，夹角必须是两边的夹角 SSS：三边成比例的两个三角形相似，网格题先算三边再排序比较 平行线推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似 判定选择策略：已知两角→AA；已知两边→考虑夹角或第三边；有平行→直接相似 概念辨析例题：在 △ABC 与 △DEF 中，∠A = ∠D = 48°，AB = 4，AC = 6，DE = 2，则添加条件 DF = 3 后两三角形（　　） 答案：相似（SAS） 解析： = = 2， = = 2，且夹角 ∠A = ∠D，由 SAS 判定相似。已知一对等角与两组边时，验证边是否为「夹这个角的两边」。 ✅️ 2.隐含等角的常见来源 公共角：两个三角形共用一个角（A 字型、母子型） 对顶角：X 字型中交点处的对顶角相等 等腰三角形：等边对等角；等边三角形三内角均为 60° 直角：公共直角或同角的余角相等（双直角模型） 平行线：同位角、内错角相等，是判定相似最常用的转化手段 概念辨析例题：如图，D 是 △ABC 边 BC 上一点，要判定 △ABD 与 △ACB 相似，添加条件 ∠ADB = ∠C 后还需（　　） 答案：公共角 ∠A（已具备，直接相似） 解析：△ABD 与 △ACB 有公共角 ∠A，再加上 ∠ADB = ∠C（或 ∠ABD = ∠ABC），由 AA 即可判定相似。判定题先找「免费」的公共角，再补第二个条件。 ✅️ 3.补充条件与条件筛选 开放题：答案不唯一，写出一个能推出相似的条件即可，但要验证 「不能判定」类：逐项用判定定理验证，注意 SAS 中夹角的对位 多条件组合题：从 4~5 个条件中任取两个组合，逐一检验能否凑齐判定定理 常见陷阱：两边成比例但角不是夹角；三边比例对应错位；SSA 不能判定相似 补条件的两个方向：补角（凑 AA）或补边（凑 SAS/SSS） 概念辨析例题：已知 △ABC 中，D 在 AB 上，DE ∥ BC 交 AC 于 E，下列条件：①=；②∠ADE=∠ACB；③=；④=。能判定 △ADE ∽ △ACB 的是（　　） 答案：①②③④ 全部 解析：①④ 是平行线分线段成比例的等价形式（可推出 DE∥BC 再 AA 判定）；② 直接两角判定；③ 对应边成比例加公共角 ∠A 构成 SAS。多条件组合题要灵活运用比例式与角的双向转化。 ✅️ 4.情境中的相似判定 翻折：折叠前后对应角、对应边相等，折痕两端构造等腰三角形 旋转：旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角 网格：用勾股定理计算三边，排序后比较比值（SSS） 动点：设时间 t 表示线段长，由相似判定条件列方程求时刻 正方形/菱形：边长相等与直角（对角线垂直）提供等边与等角 概念辨析例题：如图，在 3×3 网格中，△ABC 三边长分别为 2、2、2，则网格中与 △ABC 相似（不全等）的格点三角形的三边比可能为（　　） 答案：1 : : （或其倍数） 解析：计算格点三角形边长用勾股定理，把三边从小到大排序后与 2、2、2 对比比值。三边比值一致（如 1::）即相似。网格判定题的通用流程：算边长→排序→比比值。 ✅️ 5.相似判定的证明书写 证明格式：在 △___ 和 △___ 中，列出条件组合，∴ △___ ∽ △___（判定依据） 对应顶点写在对应位置，比例式按对应边书写 全等是相似的特例（相似比为 1），全等条件可直接用于相似判定 综合证明：先由全等/等腰/平行得到等角或等比，再转化到相似判定 探究题：常「先证相似→得比例→代值计算」或「讨论不同位置分情况证明」 概念辨析例题：求证：直角三角形斜边上的高把原三角形分成的两个直角三角形与原三角形相似。 答案：用「同角的余角相等」找第二组等角 解析：在 Rt△ABC（∠C=90°）中 CD⊥AB 于 D：∠ACD + ∠BCD = 90°，∠B + ∠BCD = 90°，得 ∠ACD = ∠B，加上公共直角 ∠ADC = ∠CDB = 90°，由 AA 得 △ACD ∽ △CBD ∽ △ABC。这是「母子型」相似的完整证明，是后续射影定理的基础。 🧀 知识总结表 判定方法 条件 关键词 AA 两角分别相等 公共角、对顶角、平行角 SAS 两边成比例且夹角相等 夹角必须对位 SSS 三边成比例 网格先算边长 平行推论 一边的平行线截两边 A字/X字型 SSA 陷阱 两边及其中一边对角 不能判定相似 全等特例 相似比为 1 全等条件可用 📩 核心考点 【考点1】判定的选择与辨析（第1-13题） · 逐项验证：AA、SAS、SSS 三定理对照条件 · SSA（两边及其中一边的对角）不能判定相似，是高频陷阱 · 图形结合：从图中挖出公共角、对顶角、平行角 · 命题真假判断类：举反例或用判定定理说明 1．（24-25九年级上·上海静安·阶段检测）四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南昆明·二模）如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026九年级下·全国·专题练习）下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 6．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·重庆奉节·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·山东·期中）如图，已知，则下列四个三角形中，与相似的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图所示，在中，，点P在边上（点P不与B，C重合，且，将沿翻折变为，交于点M，交于点N．则下列结论中，不一定正确的是（    ）    A．平分 B． C． D． 11．（25-26九年级上·全国·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·全国·随堂练习）在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（    ） A．，； B．，，，； C．，，，； D．，，，； 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B． ， C．， D．，，， 【考点2】补充条件判定相似（第14-26题） · 开放题补条件：补角凑 AA 或补边凑 SAS，写完验证 · 多条件组合：任取两个凑齐判定定理，注意排列组合数 · 「不能判定」选哪个：一一对位检验，重点查 SAS 的夹角 · 补条件后有时需再证一步（如先证平行再判相似） 14．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，P为上一点，有下列四个条件：①，②，③，④，从中随机抽取一个，能使和相似的概率是（    ） A．1 B． C． D． 15．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　）    A．P是边的中点 B． C． D． 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是上的一点，连接．当________时，． 18．（24-25九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，是的边上的一点，添加一个条件________，使（写出一个即可） 19．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，已知点D是边上的一点，连接．添加一个条件，可以得到，则该条件可以是_____．（写出一个即可） 20．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有_______．（填序号） 21．（23-24九年级下·云南昆明·阶段检测）如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是__________________．（只填写一个你认为正确的答案） 22．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是______．（只填序号） 23．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足___________条件时，（写一个即可）．    24．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，中，是边上一点，连接，要使，需要补充的一个条件为______． 25．（24-25八年级下·全国·课后作业）结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________． 26．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件：________，使． 【考点3】判定的综合应用（第27-39题） · 翻折、旋转情境：抓住对应角相等这一不变量 · 网格与格点：勾股算边 → 排序 → 比值（SSS） · 动点问题：设 t 表示线段，由判定条件列方程求时刻 · 正方形、菱形中的判定：利用边相等与直角 27．（2026·云南丽江·二模）如图，，＝，则＝（    ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，与不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下列命题中假命题的是（ ） A．各有一个角是的两个等腰三角形是相似三角形 B．各有一个角是的两个等腰三角形是相似三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形是相似三角形 D．两个等腰直角三角形是相似三角形 30．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点D在上，点E，F在上，且，，则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，点在上，，点在上，，，相交于，则（   ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是边上的高，且，则的度数为________． 33．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，点M，N分别在上，且．已知，则_______． 34．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，线段交于点，，那么___________． 35．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 36．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，则____________． 37．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 38．（24-25九年级上·全国·期末）如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有________对． 39．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【考点4】相似的证明与综合（第40-52题） · 证明书写规范：条件罗列 + 判定依据，对应顶点对位 · 母子型证明：直角 + 斜边高 → 同角余角 → AA · 与圆、四边形综合：切线垂直、对角线性质产生等角 · 先全等后相似的转化：全等条件是相似比为 1 的特例 40．（26-27九年级上·全国·课后作业）在与中，有下列条件：①；②；③；④．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有_______组． 41．（2025九年级·全国·专题练习）已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 42．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要________． 43．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图：点D在的边上，连接，下列条件：①；②；③；④．其中不能判定的是_____ （填序号）． 44．（26-27九年级下·全国·阶段检测）如图，在四边形中，对角线，相交于点，请添加一个条件：________，使． 45．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，在中，，，，点Q从B出发，沿方向以的速度移动，点P从C出发，沿方向以的速度移动． 若Q、P分别同时从B、C出发，试探究∶ （1）经过_______s ，的面积是面积的； （2）经过________________s，以点C、P、Q为顶点的三角形与相似． 46．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 47．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，请判断与是否相似？如果不相似，请说明理由；如果相似，请证明． 48．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 49．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，线段、是的两条高．求证：．    50．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 51．（25-26九年级上·江西景德镇·阶段检测）如图，在中，，点分别是边上的点，．求证：． 52．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图．，，． (1)请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是______． (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 判定三定理：AA、两边夹角 SAS、三边 SSS，SSA 不能判定 · 隐含等角五来源：公共角、对顶角、等腰角、直角（余角）、平行线角 · 补充条件先找「免费条件」（公共角），再补第二个 · 网格判定三步：勾股算边、排序对齐、比比值 · 翻折旋转不变量：对应角相等、对应边相等 【作业 1】（23-24九年级上·四川宜宾·期中）如图，在正方形中，E是边的中点，要依据“两边成比例且夹角相等”判定，还需添加的一个条件是 ___________． 【作业 2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为________． 【作业 3】（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【作业 4】（2025·广东广州·一模）已知：如图，在中，，分别为，的中点．求证：． 【作业 5】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段检测）在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的图形叫做格点图形．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，试判断格点图形与是否相似，并说明理由． 【作业 6】（23-24九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的角平分线； (2)如图2，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，画，且相似比为． 【作业 7】（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在中，平分交于点D． 求证：． 【作业 8】（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，是以为底的等腰三角形，． (1)尺规作图：作平分线，与的交点记为点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明． 【作业 9】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，，相交于点，连接，，，，． (1)求证：． (2)直接回答与是不是位似图形． (3)若，，，求的长． 【作业 10】（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 【作业 11】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 【作业 12】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线点． 求证：． 【作业 13】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【作业 14】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，是一个格点三角形． (1)在图①中，请判断与是否相似，并说明理由； (2)在图②中，请画出一个格点三角形与相似，且相似比为． 【作业 15】（25-26九年级上·广西桂林·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的大小． 【作业 16】（22-23九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点是边上一点，于点，连接．求证：． 【作业 17】（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）如图，在中，，为其外心，是边上的中点，点使四边形是矩形，与交于，与关于边对称． (1)求证：与相似； (2)设与相交于点，求证：，． 【作业 18】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $