第15讲 随机事件及概率 培优讲义（知识梳理+典例+练习） 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第15讲·随机事件及概率·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解必然事件、不可能事件与随机事件的概念，会判断事件的类型 · 理解概率的意义，知道 P(必然事件)=1、P(不可能事件)=0、0<P(随机事件)<1 · 会用 P(A) = （m 为结果数、n 为总结果数）计算简单随机事件的概率 · 会用列表法和画树状图法列举所有等可能结果，求两次试验（放回与不放回）的概率 · 理解频率与概率的关系，会用频率估计概率，并解决摸球估数量等问题 · 会计算几何概率（面积比）并综合统计图表解决概率与决策问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.事件的分类与可能性大小 必然事件：一定发生，P = 1；不可能事件：一定不发生，P = 0 随机事件：可能发生也可能不发生，0 < P < 1 可能性大小比较：包含结果数越多（或占比越大），发生的可能性越大 「一定有」「不可能」等绝对化表述常是判断事件的抓手 随机事件的概率是大量试验下的稳定规律，单次试验结果不可预测 概念辨析例题：下列事件中是随机事件的是（　　）A．度量三角形的内角和为 360°　B．经过城市某路口遇到红灯　C．太阳从东方升起　D．两名负数相加得正数 答案：B 解析：A 是不可能事件（内角和恒为 180°）；C 是必然事件；D 是不可能事件（负数加负数仍为负）；B 可能发生也可能不发生，是随机事件。判断事件类型先问「一定发生？一定不发生？」。 ✅️ 2.概率的公式计算 P(A) = ，n 为所有等可能结果的总数，m 为事件 A 包含的结果数 计算前提：所有结果出现的可能性相等（等可能事件） 概率取值范围：0 ≤ P(A) ≤ 1 分子分母勿约分错对象：结果是「数的个数」或「球的个数」等离散计数 抽卡片、掷骰子、摸球等直接计数即可 概念辨析例题：从 -、0、1、2、 中随机抽取一个数，抽到无理数的概率为（　　） 答案： 解析：共 5 个数，其中 - 与 是无理数（2 个），P = 。先甄别每个数是否为无理数（0、1、2 是有理数），再套公式。 ✅️ 3.列表法与树状图法 适用：两步（或两次）试验，求两步结果的概率 列表法适用于所有两步试验（不限每步的结果数）；树状图适合步骤多、结果多的情况 放回与不放回：不放回时第二次结果数少 1，列表/画树时要扣掉 公式：P(事件) = ，总结果数 = 第一步数 × 第二步数（放回） 游戏公平性：双方获胜概率相等则公平，否则不公平并说明如何修改 概念辨析例题：袋中有 2 个红球和 1 个白球，除颜色外完全相同，摸出一个不放回再摸一个，则两次都摸到红球的概率为（　　） 答案： 解析：画树状图：第一次 3 种、第二次 2 种共 6 种等可能结果；两红的结果有 2 种（红1红2、红2红1），P = = 。不放回问题树状图第二层只有 2 个分支。 ✅️ 4.频率估计概率 大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定，稳定值即为概率的估计值 频率 = 发生次数 ÷ 试验总次数，是随试验变化的量；概率是稳定的理论值 摸球估数量：由 P(摸到某色) = 反求球数 由频率估计概率再估计总体：合格率 × 总数 = 合格品估计数 试验次数越多估计越可靠；有限次试验的频率不等于概率 概念辨析例题：袋中有 4 个红球和若干白球，多次摸球（放回）发现摸到红球的频率稳定在 0.4，则袋中白球约为（　　） 答案：6 个 解析： ≈ 0.4，解得 4 + 白 = 10，白球约 6 个。「频率稳定值 ≈ 概率」建立方程，把概率问题转化为分式方程求解。 ✅️ 5.几何概率与综合应用 几何概率：P = 目标区域面积 ÷ 总区域面积（均匀分布的投针、飞镖等） 常见模型：正方形中的圆（面积比 = π:4）、圆内接正方形（2:π）、扇形、七巧板 与统计综合：先由条形图/扇形图读数求统计量，再算概率 决策问题：比较概率（或平均收益）给出建议，结论需有计算支撑 与方程、函数结合：由概率反求数量，或由频率列方程 概念辨析例题：向边长为 2 的正方形内随机投一粒米，则米粒落在其内切圆内的概率为（　　） 答案： 解析：内切圆半径 1，面积 π；正方形面积 4。P = 。几何概率只算面积比，与投掷位置无关，前提是「随机且均匀」。 🧀 知识总结表 事件类型 发生情况 概率 必然事件 一定发生 P = 1 不可能事件 一定不发生 P = 0 随机事件 可能发生 0 < P < 1 公式概率 等可能事件 P = m/n 几何概率 面积之比 目标面积/总面积 频率估计 大量试验稳定值 频率 ≈ 概率 📩 核心考点 【考点1】事件的分类与可能性大小（第1-13题） · 三分类判断：一定发生、一定不发生、可能发生 · 注意「一定有」「不可能」等绝对化字眼 · 可能性大小比较：数结果数或比占比 · 概率意义辨析：单次试验不能预测，概率大≠一定发生 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列事件中，是随机事件的是（   ） A．任意画一个三角形，其内角和是； B．任意抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上； C．在一个标准大气压下加热到时，水沸腾； D．太阳从东方升起． 2．（26-27九年级下·全国·周测）下列说法正确的是（     ） A．“宇航员在月球上所受的重力比在地球上小”是不可能事件 B．“今天是周一，明天是周三”是随机事件 C．“将三个球放进两个盒子里，其中必有一个盒子中有两个球”是必然事件 D．“若x是任意实数，则”是随机事件 3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）下列事件为随机事件的是(   ) A．太阳从东边升起 B．抛掷一枚骰子，向上一面的点数为7 C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，它的内角和等于180° 4．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）下列事件中是必然事件的是（   ） A．任意画一个三角形，其内角和是 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．煮熟的鸭子飞了 D．买一张彩票，一定不会中奖 5．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）下列说法正确的是（     ） A．从中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较小 B．成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件 C．张彩票中有1张奖票，人去摸，先摸的人比后摸的人中奖概率大 D．小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，3次都是正面朝上是随机事件 6．（22-23九年级上·内蒙古兴安·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．刻舟求剑 B．从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形 C．方程在实数范围内有解 D．在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球 7．（23-24七年级上·贵州贵阳·开学考试）小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是 _____（填“对”或“错”）． 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）掷一枚骰子，点数6朝上的可能性大小是_________；点数是6的因数朝上的可能性大小是_________． 9．（25-26七年级下·四川达州·期中）把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是_____ （填序号）． （1）一副去掉大小王的扑克牌中，随意抽取一张抽到的牌是红色； （2）随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育； （3）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是白球； （4）站在平地上抛一块小石头，石头会落下． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）从一副扑克牌中任意抽取1张，①抽到的牌是“A”；②抽到的牌是“黑桃”；③抽到的牌是“大王”．上述事件发生概率最大的是__________（填序号）． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，然后放回；摇匀后，再摸第次、第次． (1)小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种说法正确吗？ (2)小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明什么问题？ (3)小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的．这样认为对吗？ 12．（24-25九年级下·江西宜春·阶段检测）为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某学校计划举办一系列丰富多彩的活动，旨在回顾历史，弘扬爱国主义精神，增强学生的国家认同感和社会责任感，李老师准备从9（2）班的A，B，C，3名学生中随机选取2名去参加演讲比赛． (1)“学生A，C都被选去参加演讲比赛”是 （填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； (2)请用列表法或画树状图法，求学生A，B都被选去参加演讲比赛的概率． 13．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）某奶茶店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率                                    (1)通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为________．（结果精确到） (2)若先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则________． (3)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求的值． 【考点2】频率估计概率（第14-26题） · 频率稳定值 ≈ 概率，试验次数越多越可靠 · 摸球估数量：P = 该色球数/总球数，列分式方程 · 由合格率估计总量：合格率 × 总数 · 折线频率图读「稳定值」，不是最大值 14．（24-25九年级上·全国·期末）在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 15．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）袋中有4个红球和若干个白球，它们只有颜色上的区别．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（    ） A．8个 B．12个 C．16个 D．20个 16．（23-24七年级下·山东东营·期中）小龙转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字．图（b）是小龙记录下的实验结果情况，那么小龙记录的实验是（    ） A．转动转盘后，出现能被3整除的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现比5小的数 D．转动转盘后，出现能被5整除的数 17．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）以下说法合理的是（   ） A．小明在抛图钉10次的试验中发现有4次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．掷一枚骰子，掷出点6的概率是，意思是每掷6次就有1次掷得点数为6 C．某彩票的中奖机会是百分之五，那么买100张彩票一定会有5张中奖 D．甲、乙两组同学分别进行抛掷硬币的试验，正面朝上的频率分别为和 18．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有60个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 19．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）2023年石家庄市举办了首届业余羽毛球公开赛：小明为打好比赛到运动场练球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（    ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.05 20．（2024·山东菏泽·一模）某超市随机选取1000名顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如图统计表，其中“√”表示购买．“×”表示未购买．假定每位顾客购买商品的可能性相同，若顾客购买了甲商品，并且同时也在乙、丙、丁三种商品中进行了选购，则购买可能性最大的是（    ） 商品顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × A．乙 B．丙 C．丁 D．无法确定 21．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，高明辉随机出的是“剪刀” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上 D．用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 22．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示： 投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 下面有3个推断： ① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 23．（24-25九年级上·山东济南·期中）在一个不透明箱子里装有10个除颜色外都相同的红球和黑球，小红想知道箱子里红球的个数，于是她从箱子里随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则箱子中黑球的数量约为_____个． 24．（2025·福建厦门·二模）在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数： 移栽棵数 100 1000 10000 100000 成活棵数 89 910 9008 90005 若该园林部门准备移植220000棵树木，则依此估计有________棵树木可以成活． 25．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_____ 26．（24-25七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【考点3】概率公式与几何概率（第27-39题） · P = m/n：先数清总结果数与符合数 · 甄别数的类别（无理数/有理数）再计数 · 几何概率算面积比：圆与正方形、七巧板、扫雷格 · 与三角形、判别式等知识结合先转化再求概率 27．（2022·江苏镇江·一模）有长度分别是的四条线段，任取其中的3条，恰好能构成三角形的概率是（     ） A． B． C． D．0 28．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，小亮同学用正方形做了如图所示的七巧板，他用激光笔指着七巧板讲解每个图形性质的时候，激光笔射出的小红点落到七巧板上的任意位置，则它落在阴影部分的概率为_________． 30．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知数据：，，，，，，．从中随机抽取一个数是无理数的概率为______． 31．（24-25七年级下·江西萍乡·期中）电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是__________方格． 32．（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）如图，一只蚂蚁在正方形内爬行，点是对角线的交点，，，分别交线段，于，，若蚂蚁在正方形内随机停留，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_________． 33．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在边长为的正方形内部画了一个圆，圆心为点，为估算的面积，在正方形区域内任意取100个点，若有60个点在内部，则的面积约为______． 34．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是______． 35．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为______． 36．（2024·山东青岛·一模）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图．由此他可以估计不规则图案的面积为_____________． 37．（25-26七年级下·四川达州·期末）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 38．（2026·重庆北碚·模拟预测）西葫芦村的某蛋糕店推出了蛋糕盲盒，现在有草莓蛋糕盲盒8个，巧克力蛋糕盲盒12个，抹茶蛋糕盲盒7个，芒果蛋糕盲盒9个，提拉米苏蛋糕盲盒4个，所有蛋糕盲盒包装外形完全相同．若小懂和小颖两人各自随机抽取一个蛋糕盲盒，则两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒的概率为_____． 39．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共60个，这些球除颜色外都相同，其中红球有20个，黄球有15个． (1)求从中随机摸出一个球是蓝球的概率； (2)若向盒子中再放入5个蓝球，求从中随机摸出一个球是蓝球的概率． 【考点4】列表法与树状图法（第40-52题） · 两步试验先确定总结果数（放回 n²、不放回 n(n-1)） · 树状图分支清晰，不放回第二层少一支 · 游戏公平性：比较双方概率，相等才公平 · 与统计图表综合：先读图求统计量，再求概率 40．（2025·山西朔州·三模）中国古代四大发明（造纸术、印刷术、指南针、火药）对世界文明的发展具有深远的影响．某校历史社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，甲、乙两名同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他们恰好抽到同一项发明的概率是（    ） A． B． C． D． 41．（26-27九年级上·全国·单元测试）有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分别标有数字，，，小明和小亮各摸一个，前一个人随机摸一个小球记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机摸一个小球，如果两人摸得小球的数字之和为的概率为，那么第四个小球上的数字是（     ） A． B． C．或 D． 42．（2022·江苏宿迁·模拟预测）从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，则关于x的方程有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25九年级下·北京海淀·阶段检测）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同3张卡片，分别标有数字1、2、3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 44．（2025九年级·全国·专题练习）如图，这是四张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案．现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是______． 45．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是________． 46．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 47．（26-27九年级上·重庆·开学考试）为了迎接重庆北关中学90周年校庆，学校筹备了精彩的文艺汇演．现从初三某班合唱团的2名男生和2名女生中随机选取2名同学参加表演，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______． 48．（2024·河南许昌·二模）化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、 可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是___________． 49．（2024·河南新乡·三模）小月、小梅两位同学去学校餐厅吃饭，并在如图所示的四座餐桌处随意落座，则小月坐在小梅正对面的概率是______． 50．（2024·江西南昌·一模）江西省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门； (1)选择历史的概率是________； (2)请用画树状图或列表的方法，求恰好选择思想政治和地理的概率． 51．（2024·陕西渭南·二模）某校组织初三毕业班的全体师生参加中考百日誓师大会，要求每班选两名同学带领大家进行，已知该校九年级一班有五名候选人，其中女生两名，男生三名． (1)若班主任老师在两名女生中任选一名女生，三名男生中任选一名男生，则具有________种等可能性的结果； (2)若老师在五名候选人中任选两名同学，请用画树状图或列表的方法求出选中的两名学生中，刚好一男一女的概率为多少？ 52．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）中国古代四大发明对世界影响深远，其分别是：造纸术，指南针，火药，印刷术．如图是小江同学收集的关于中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀后放好． (1)若随机抽一张卡片，则抽到的卡片恰好是“火药”的概率为__________． (2)若小江从这四张卡片中先随机抽取一张，不放回，再随机抽取另一张．请用列表或画树状图的方法，求抽到的卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 事件三分类：必然 P=1、不可能 P=0、随机 0<P<1 · 等可能事件概率 P = m/n，分子分母都是「结果个数」 · 两步试验：列表或树状图；不放回第二层少一支 · 频率稳定值估计概率：稳定值列分式方程求球数 · 几何概率 = 目标面积 ÷ 总面积（均匀投掷） 【作业 1】（2026·安徽滁州·三模）学校食堂推出了“健康午餐”活动，鼓励学生从两组菜品中各选一种进行搭配． ◎主菜组（组）：红烧肉、鱼香肉丝、宫保鸡丁（共种）． ◎素菜组（组）：炒青菜、西红柿炒蛋、酸辣土豆丝（共种）． 一名学生需要从组随机挑选种主菜，从组随机挑选种素菜．已知“经典搭配”共有种：红烧肉炒青菜、宫保鸡丁酸辣土豆丝．则该学生选中的“主菜”和“素菜”恰好是“经典搭配”的概率是__________． 【作业 2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）一只不透明的袋子中装有若干个黑球和红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验： 将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下表： 摸球次数m 200 300 400 1000 1500 2000 摸到红球的频数n 115 184 236 595 902 1202 摸到红球的频率（结果保留三位小数） 0.575 0.613 0.590 0.595 0.601 0.601 根据以上数据，当摸球次数很大时，估计摸到红球的概率为______（精确到0.01）． 【作业 3】（25-26九年级下·辽宁锦州·开学考试）不透明的口袋中装有12个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有_____个． 【作业 4】（2026·内蒙古通辽·二模）在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此可估计袋中红球的个数为________． 【作业 5】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为________元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 沃柑损坏的频率（精确到0.001） … 【作业 6】（2024·云南文山·一模）在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，从袋子中随机摸出一个小球，把小球上的数字记为x，然后放回；再摸出一个小球，把小球上的数字记为y． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)若把x作为一个两位数的十位数字，把y作为这个两位数的个位数字，求这个两位数大于20的概率． 【作业 7】（24-25九年级上·河南南阳·阶段检测）为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级4名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中2名男生，2名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团． (1)若只能从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为　　　　； (2)若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的2名学生中恰好是1男1女的概率． (3)若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，选中的2名学生中至少有1名男生的概率是　　　　． 【作业 8】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）某工厂对500支某型号铅笔进行抽检，统计不合格铅笔的数量，已知这些铅笔外形没有任何区别，将这些铅笔装在一个不透明的盒子里，每次从盒子里随机摸出一支铅笔，检测是否合格后再放回盒子里，经过多次重复试验，发现摸出合格铅笔的频率稳定在0.98，请你估计这500支铅笔中不合格铅笔的数量． 【作业 9】（2024·湖南·模拟预测）第19届亚运会于2023年在杭州举办，亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，这一届亚运会以“中国特色、亚洲风采、精彩纷呈”为目标，秉持“绿色，智能、节俭、文明”的办会理念，吸引了共45个国家和地区的代表队、12000多名运动员报名参加，共颁发金牌482枚．某校新闻社团的同学根据各个国家获得的金牌数绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图． 金牌排名 国家/地区 金牌 1 中国 201 2 日本 52 3 韩国 42 4 印度 28 5 其他国家和地区 m 根据以上信息，解答下列问题： (1)求_______；_______；（结果精确到0.1） (2)在扇形统计图中，求印度国家代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数；（结果精确到1°） (3)为提高学生体育锻炼的积极性，该校顺应时势组织学生运动会，并特别购买了亚运会吉祥物机器人琮琮、莲莲和宸宸作为学生运动员获奖的奖品．某获奖运动员从三个机器人中随机抽取一个机器人，然后放回摇匀，再随机抽取一次，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的是同一个机器人的概率． 【作业 10】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验得到数据如下表所示： 每次打捞鱼数 50 100 200 300 500 每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 0.095 0.103 0.100 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中_____，_____； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，估计打捞到带标记的鱼的概率．（结果精确到0.1） 【作业 11】（2025·陕西·模拟预测）华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示） (1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； (2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 【作业 12】（2025·广东茂名·模拟预测）综合与实践 主题：池塘里有多少条鱼 活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张； 活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数 50 100 150 200 摸到黑棋的次数 12 26 38 50 摸到黑棋的频率 0.24 0.26 0.253 注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 黑棋与样本的比值 黑棋个数 3 4 4 2 3 2 2 1 3 2 2.6 0.26 ②方案二：试验次数10次，每次摸10个； 活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； 活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？ 根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题． 【作业 13】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了如下不完整的统计图表． 学生平均每天阅读时长情况统计表 平均每天阅读时长 人数 20 25 15 10 学生平均每天阅读时长情况扇形统计图 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了 名学生，统计表中 ； (2)该校某同学从《朝花夕拾》、《红岩》、《骆驼祥子》、《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的概率． 【作业 14】（2024·云南·模拟预测）“七彩云南·欢乐世界”是云南省重点历史文化旅游项目，以“古滇文化”、“民族文化”、“地域文化”为特色某校为让学生了解家乡，亲近自然，增强学生集体观念和团体意识，某组织全校师生去往此地开展研学活动．活动结束后，该校举行了“古滇文化知识竞赛活动”，并随机抽查八、九年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如下： 成绩/分 八年级 4 3 5 3 九年级 0 0 5 10 九年级抽取的15名同学竞赛成绩统计 平均数 中位数 众数 方差 八年级 15.4 16 8 九年级 18.2 18 2 说明：八年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题． (1)______；______；______，（填“”“”或“”）．由此，你认为哪个年级同学掌握有关“古滇文化”的知识更好？请说明理由． (2)学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是一男一女的概率． 【作业 15】（23-24九年级上·山东青岛·期中）数学活动让数学学习更加有趣，在一次数学课上老师设计了一个“配紫色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）若同时转动A盘和B盘，请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率．    【作业 16】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球然后放回，表格是试验进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 200 300 400 800 1000 2000 摸到黑球的频率 0.22 0.18 0.21 0.19 0.21 0.20 (1)根据表格数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是___________．（保留1位小数）； (2)求袋中白球的个数； (3)若小明同学摸出一个球后放回，再次摸出一个球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【作业 17】（25-26七年级下·河北保定·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同。小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空：_____，_____，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_____．（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_____． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于； B．某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏，根据试验结果，盒子中有个白球，约定游戏规则：拿出个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【作业 18】（26-27九年级上·全国·单元测试）现有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》人物名称的卡片：．哪吒，．敖丙，．太乙真人，．无量仙翁．将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中． (1)从这4张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上的人物名称是“．太乙真人”的概率是______； (2)从这4张卡片中任意取出1张，记录后放回，再从中任意取出1张，求两次取出的2张卡片上的名称为“．哪吒”“．敖丙”的概率． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲·随机事件及概率·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解必然事件、不可能事件与随机事件的概念，会判断事件的类型 · 理解概率的意义，知道 P(必然事件)=1、P(不可能事件)=0、0<P(随机事件)<1 · 会用 P(A) = （m 为结果数、n 为总结果数）计算简单随机事件的概率 · 会用列表法和画树状图法列举所有等可能结果，求两次试验（放回与不放回）的概率 · 理解频率与概率的关系，会用频率估计概率，并解决摸球估数量等问题 · 会计算几何概率（面积比）并综合统计图表解决概率与决策问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.事件的分类与可能性大小 必然事件：一定发生，P = 1；不可能事件：一定不发生，P = 0 随机事件：可能发生也可能不发生，0 < P < 1 可能性大小比较：包含结果数越多（或占比越大），发生的可能性越大 「一定有」「不可能」等绝对化表述常是判断事件的抓手 随机事件的概率是大量试验下的稳定规律，单次试验结果不可预测 概念辨析例题：下列事件中是随机事件的是（　　）A．度量三角形的内角和为 360°　B．经过城市某路口遇到红灯　C．太阳从东方升起　D．两名负数相加得正数 答案：B 解析：A 是不可能事件（内角和恒为 180°）；C 是必然事件；D 是不可能事件（负数加负数仍为负）；B 可能发生也可能不发生，是随机事件。判断事件类型先问「一定发生？一定不发生？」。 ✅️ 2.概率的公式计算 P(A) = ，n 为所有等可能结果的总数，m 为事件 A 包含的结果数 计算前提：所有结果出现的可能性相等（等可能事件） 概率取值范围：0 ≤ P(A) ≤ 1 分子分母勿约分错对象：结果是「数的个数」或「球的个数」等离散计数 抽卡片、掷骰子、摸球等直接计数即可 概念辨析例题：从 -、0、1、2、 中随机抽取一个数，抽到无理数的概率为（　　） 答案： 解析：共 5 个数，其中 - 与 是无理数（2 个），P = 。先甄别每个数是否为无理数（0、1、2 是有理数），再套公式。 ✅️ 3.列表法与树状图法 适用：两步（或两次）试验，求两步结果的概率 列表法适用于所有两步试验（不限每步的结果数）；树状图适合步骤多、结果多的情况 放回与不放回：不放回时第二次结果数少 1，列表/画树时要扣掉 公式：P(事件) = ，总结果数 = 第一步数 × 第二步数（放回） 游戏公平性：双方获胜概率相等则公平，否则不公平并说明如何修改 概念辨析例题：袋中有 2 个红球和 1 个白球，除颜色外完全相同，摸出一个不放回再摸一个，则两次都摸到红球的概率为（　　） 答案： 解析：画树状图：第一次 3 种、第二次 2 种共 6 种等可能结果；两红的结果有 2 种（红1红2、红2红1），P = = 。不放回问题树状图第二层只有 2 个分支。 ✅️ 4.频率估计概率 大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定，稳定值即为概率的估计值 频率 = 发生次数 ÷ 试验总次数，是随试验变化的量；概率是稳定的理论值 摸球估数量：由 P(摸到某色) = 反求球数 由频率估计概率再估计总体：合格率 × 总数 = 合格品估计数 试验次数越多估计越可靠；有限次试验的频率不等于概率 概念辨析例题：袋中有 4 个红球和若干白球，多次摸球（放回）发现摸到红球的频率稳定在 0.4，则袋中白球约为（　　） 答案：6 个 解析： ≈ 0.4，解得 4 + 白 = 10，白球约 6 个。「频率稳定值 ≈ 概率」建立方程，把概率问题转化为分式方程求解。 ✅️ 5.几何概率与综合应用 几何概率：P = 目标区域面积 ÷ 总区域面积（均匀分布的投针、飞镖等） 常见模型：正方形中的圆（面积比 = π:4）、圆内接正方形（2:π）、扇形、七巧板 与统计综合：先由条形图/扇形图读数求统计量，再算概率 决策问题：比较概率（或平均收益）给出建议，结论需有计算支撑 与方程、函数结合：由概率反求数量，或由频率列方程 概念辨析例题：向边长为 2 的正方形内随机投一粒米，则米粒落在其内切圆内的概率为（　　） 答案： 解析：内切圆半径 1，面积 π；正方形面积 4。P = 。几何概率只算面积比，与投掷位置无关，前提是「随机且均匀」。 🧀 知识总结表 事件类型 发生情况 概率 必然事件 一定发生 P = 1 不可能事件 一定不发生 P = 0 随机事件 可能发生 0 < P < 1 公式概率 等可能事件 P = m/n 几何概率 面积之比 目标面积/总面积 频率估计 大量试验稳定值 频率 ≈ 概率 📩 核心考点 【考点1】事件的分类与可能性大小（第1-13题） · 三分类判断：一定发生、一定不发生、可能发生 · 注意「一定有」「不可能」等绝对化字眼 · 可能性大小比较：数结果数或比占比 · 概率意义辨析：单次试验不能预测，概率大≠一定发生 1． 【答案】B 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故不符合题意； B、任意抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上，是随机事件，符合题意； C、在一个标准大气压下加热到时，水沸腾，是必然事件，故不符合题意； D、太阳从东方升起，是必然事件，故不符合题意． 故选：B． 2． 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，逐一判断各选项的事件类型． 【详解】解：∵ 宇航员在月球上所受重力比地球上小是必然发生的， ∴ A中事件是必然事件，A错误． ∵ 今天是周一时，明天一定是周二， ∴ “明天是周三”是不可能事件，B错误． ∵ 三个球放进两个盒子，至少有一个盒子中有两个球是必然发生的， ∴ C中事件是必然事件，C正确． ∵ 对任意实数，， ∴是不可能事件，D错误． 3． 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A、太阳从东边升起，是必然事件，故本选项不符合题意； B、抛掷一枚骰子，向上一面的点数为7，属于不可能事件，故本选项不符合题意； C、经过红绿灯路口，遇到红灯，属于随机事件，故本选项符合题意； D、任意画一个三角形，它的内角和等于180°，属于必然事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 4． 【答案】A 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； C、煮熟的鸭子飞了是不可能事件，不符合题意； D、买一张彩票，中不中奖是随机事件，不符合题意； 故选：A． 5． 【答案】D 【知识点】概率的意义理解、事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】根据相关知识点逐一判断选项正误即可． 【详解】解：A：在1,2,3,4,5这5个数中，奇数有3个，偶数有2个，，取得奇数的可能性更大，A错误； B：“水中捞月”是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不是随机事件，B错误； C：10张彩票中有1张奖票，每个人摸到奖票的概率都是，中奖概率和摸奖顺序无关，C错误； D：连续抛掷硬币3次都是正面朝上，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，D正确． 6． 【答案】B 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意； B、从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形，是随机事件，符合题意； C、方程在实数范围内有解，是不可能事件，不符合题意； D、在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 7． 【答案】错 【知识点】概率的意义理解 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 根据小明分别扔硬币4次，正面朝上的不一定有2次，即可解答． 【详解】解：小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是错， 故答案为：错． 8． 【答案】 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】考查了可能性的大小的知识，解答此题应根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答，进而得出结论．一个骰子的6个面上分别有1，2，3，4，5，6个点，其中点数是6的有1个，点数是6的有4个，求掷出后朝上点数是6的可能性与点数是6的因数朝上的可能性大小，根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几，用除法分别解答即可． 【详解】解：因为1，2，3，4，5，6中6的因数有1，2，3，6共4个， 所以点数6朝上的可能性大小是， 点数是6的因数朝上的可能性大小是：； 故答案为：；． 9． 【答案】（3）（1）（2）（4） 【知识点】判断几个事件概率的大小关系、判断事件发生的可能性的大小 【分析】先求出每个事件发生的可能性大小，再比较可能性大小进行排序即可． 【详解】解：（1）一副去掉大小王的扑克牌共张，其中红色牌张，抽到红色牌的可能性为； （2）我国九年义务教育普及率极高，因此随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育的可能性大于，接近于； （3）袋子中没有白球，摸出白球的可能性为； （4）站在平地上抛一块小石头，石头一定会下落，发生的可能性为； ∴故事件发生的可能性从小到大的顺序排列为（3）（1）（2）（4）． 10． 【答案】② 【知识点】判断几个事件概率的大小关系、根据概率公式计算概率 【分析】分别计算三个事件发生的概率，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：一副扑克牌共有张， ①抽到“A”的情况数为，概率为； ②抽到“黑桃”的情况数为，概率为； ③ 抽到“大王”的情况数为，概率为； ， 发生概率最大的是②．． 11． 【答案】(1) 这种说法不正确，理由：因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； (2)说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件； (3)不对 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键． （1）根据事件发生的可能性进行判断即可； （2）根据事件发生的可能性进行判断即可； （3）根据事件发生的可能性进行判断即可； 【详解】（1）略 （2）解：小亮同学摸球10次，摸到白球6次，红球1次，黄球3次，摸到白球的频率为0.6，明显高于摸到红球（0.1）和黄球（0.3）的频率；由于每次摸到每个球的机会相同，某种颜色球被摸到的频率较高，说明盒中该颜色球的数量较多，由此可以推测盒中白球的数量最多． （3）解：小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对，因为红球数、黄球数及白球数不相等时，他们的可能性就不一样． 12． 【答案】(1)随机 (2) 【知识点】事件的分类、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了事件的分类，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格． （1）根据事件的分类方法进行解答即可； （2）根据题意画出表格，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：“学生A，C都被选去参加演讲比赛”是随机事件． 故答案为：随机． （2）列表如下： A B C A B C 由表格可知，共有6种等可能的结果，其中学生A，B都被选去参加演讲比赛的结果有2种， ∴P（学生A，B都被选去参加演讲比赛）． 13． 【答案】(1) (2)12 (3)2 【知识点】事件的分类、已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应概率，还涉及了必然事件． （1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于 ； （2）根据题意可得需要拿出所有的红球即可； （3）根据题意可得拿掉个红球，加入个黑球后，则红球，总球数不变，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为， 故答案为：； （2）解：∵估计摸到红球的概率为， ∴盒子里红球的数量为个， ∵“摸出黑球”为必然事件， ∴袋子只有黑球，需要拿出所有的红球， ， 故答案为：12 ； （3）解：由（2）知红球的数量为12个， 根据题意得， 解得：． 【考点2】频率估计概率（第14-26题） · 频率稳定值 ≈ 概率，试验次数越多越可靠 · 摸球估数量：P = 该色球数/总球数，列分式方程 · 由合格率估计总量：合格率 × 总数 · 折线频率图读「稳定值」，不是最大值 14． 【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率．本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，解决本题的关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数，再用总数减去黄球的个数求出白球的个数． 【详解】解：设袋子中黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， 则白球有(个)； 故选：C． 15． 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、由频率估计概率 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可． 【详解】解：设白球个数为：x个， ∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到红色球的概率为， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 即白球的个数为12个． 故选：B． 16． 【答案】A 【知识点】由频率估计概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，先根据得到的实验结果读出频率，得到概率，再逐项判断即可，正确得到概率是解题的关键． 【详解】解：转盘上共有10个数，由（b）当转动次数为600次时，频率为，故该事件的概率约为， A、能被3整除的数有3，6，9三个数，概率为，即转动转盘后，出现能被3整除的数概率为，该选项符合题意； 奇数有1，3，5，7，9共5个数，概率为，即转动转盘后，出现奇数的概率为，该选项不符合题意； C、比5小的数有1，2，3，4共4个数，概率为，即转动转盘后，出现比5小的数概率为，该选项不符合题意； D、能被5整除的数有5，10共两个，概率为，即转动转盘后，出现能被5整除的数概率为，该选项不符合题意； 故选：A． 17． 【答案】D 【知识点】概率的意义理解、由频率估计概率 【分析】概率是事件发生可能性大小的度量，只有大量重复试验后，才可利用频率估计概率，概率不代表有限次试验的结果一定发生，据此逐一判断选项． 【详解】解：∵只有大量重复试验才可利用频率估计概率，10次试验次数过少，不能确定钉尖朝上的概率为，∴A错误； ∵掷骰子得到6点的概率为，表示大量重复试验时，平均每6次试验会出现1次6点朝上，并非每掷6次就一定有1次掷出6点，∴B错误； ∵彩票中奖机会是，表示每张彩票中奖的可能性为，买100张彩票不一定会有5张中奖，∴C错误； ∵不同小组进行有限次试验，得到的正面朝上频率可以不同，只要在概率附近都合理，和都接近真实概率，∴D正确． 18． 【答案】D 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，则摸到黄球的概率为，再根据概率计算公式求出黄球的个数即可求出红球的个数． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在， ∴摸到黄球的概率为， ∴盒子中黄球的个数为（个）， ∴盒子中红球的个数为（个）， 故选：D． 19． 【答案】A 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率可近似估计概率，通过计算有效发球的频率来估计概率即可． 【详解】∵小明发球1000次，有效951次， ∴有效发球的频率为， ∵当试验次数足够多时，频率可近似代替概率， ∴估计他有效发球的概率大约为0.95， 故选：A 20． 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论． 【详解】解：在购买甲商品的685名顾客中，同时又购买乙的概率为， 同时购买甲和丙的概率为， 同时购买甲和丁的概率为， 故同时购买甲和丙的概率最大， 故选：B． 21． 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，解题的关键在于从折线图读取稳定频率，观察折线在大次数试验后稳定在哪个数值附近；图中最后频率大约在到之间，即约，再去比对选项即可． 【详解】选项A、“石头、剪刀、布”，出“剪刀”的概率，与题意不符； 选项B 、掷骰子点数为6的概率，与题意相符； 选项C 、两枚硬币都正面朝上的概率，与题意不符； 选项D 、用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数，末位为或时是偶数，可能情况：末位时前两位排列有种，末位时也有种，总共4种；所有三位数有种，概率，与题意不符． 故选：B． 22． 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：① 抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是，不合理； ② 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，判断合理； ③ 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，判断合理， 故选：B． 23． 【答案】7 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用球的数量乘以红球的频率即可． 【详解】解：， ， 答：箱子中黑球的数量约为7， 故答案为：7． 24． 【答案】 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、由频率估计概率 【分析】本题考查的是用大量试验得出的频率去估计事件的概率，用到的知识点是概率所求情况数与总情况数之比； 先计算出移栽100棵、1000棵、10000棵、100000棵树成活的概率； 再计算三次概率之和与4的商即为所估计的概率，再计算220000棵树木可以成活的数量． 【详解】解：根据抽样的意义可得幼树成活的概率为：， ， 故答案为：． 25． 【答案】12 【知识点】由频率估计概率、几何概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式． 用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴落入黑色部分的概率是． ∴据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：12． 26． 【答案】(1)①3②2或1 (2)1 【知识点】事件的分类、用频率估计概率的综合应用 【分析】（1）①在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球，要使“摸出红球”是必然事件，则袋子中必须全是红球，故需将3个白球全部取出，所以． ②要使“摸出红球”是随机事件，则袋子中必须既有红球又有白球，故取出的白球个数需满足，因为为整数，所以的值是1或2； （2）先从袋子中取出个白球，再放入个一样的红球，此时袋中有个红球，个白球，球的总数为个，随机摸出一个红球的概率为，因为随机摸出一个红球的频率在附近摆动，所以，解得． 【详解】（1）解：①如果事件A是必然事件，则m的值为3； ②如果事件A是随机事件，则m的值为2或1； （2）解：根据题意，可得袋子里共有10个球， 则， 解得， 故的值为1． 【考点3】概率公式与几何概率（第27-39题） · P = m/n：先数清总结果数与符合数 · 甄别数的类别（无理数/有理数）再计数 · 几何概率算面积比：圆与正方形、七巧板、扫雷格 · 与三角形、判别式等知识结合先转化再求概率 27． 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件、根据概率公式计算概率 【分析】先列出任取3条线段的所有等可能结果，再根据三角形三边关系找出能构成三角形的结果数，最后根据概率公式计算概率。 【详解】解：∵从长度为四条线段中任取3条，共有4种等可能的结果，分别为： 根据三角形任意两边之和大于第三边判断，只有这一组满足三边关系，符合条件的结果共1种. ∴恰好能构成三角形的概率是． 28． 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、几何概率 【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，根据勾股定理求出，然后解出M部分面积与整个圆面积的比即为概率． 【详解】解：如图，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设， ， ∴， 解得：，， ∴M部分面积与整个圆面积的比：， ∴等于， 故选A． 29． 【答案】 【知识点】用七巧板拼图形、根据概率公式计算概率、几何概率 【分析】本题考查几何概率和七巧板，根据七巧板对应图的面积，结合概率公式即可得到结果． 【详解】解：由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的， 故它落在阴影部分区域的概率为， 故答案为：． 30． 【答案】 【知识点】无理数、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式以及有理数和无理数，直接由概率公式求解即可．概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 【详解】解：7个数据：，，，，，，，其中，，，，是无理数，有5个， 从中随机抽取一个数是无理数的概率为， 故答案为：． 31． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率为，根据图形发现、中只有一个地雷，所以知道必为雷，则可得到答案． 【详解】解：由图形及题意可知：、中只有一个有地雷， 所以必定有地雷， 所以、、三个方格中有地雷的概率最大的方格是，概率为 1 ． 故答案为：． 32． 【答案】 【知识点】几何概率、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先证明，得出，求出，再由几何概率计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为． 33． 【答案】5.4 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 用正方形的面积乘以点落在内部的频率即可得出答案． 【详解】解：的面积约为， 故答案为：． 34． 【答案】/ 【知识点】用七巧板拼图形、几何概率 【分析】本题考查了七巧板，以及几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据图形和七巧板特点可得到阴影部分面积占正方形面积的，进而根据概率公式，即可得到飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：由七巧板特点可知，图②中阴影部分的面积，可转化为图①中阴影部分面积，如图所示： 阴影部分面积占正方形面积的， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 35． 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键，用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为：， ∵正方形区域内任取个点中，有个点在黑色部分， ∴黑色部分占正方形的：， ∴二维码中黑色部分的面积约为：， 故答案为：． 36． 【答案】2.1 【知识点】由频率估计概率、几何概率 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.35．根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为， 设不规则图案的面积为， 则， 解得：， 不规则图案的面积约为， 故答案为：2.1． 37． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、几何概率、用勾股定理解三角形 【分析】根据已知首先求出圆的面积以及正方形的面积，即可得出落在正方形内的概率． 【详解】解：圆的面积为， 正方形的边长为，则其面积为， ∴落在正方形内的概率为. 38． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，能够正确计算各事件发生的次数是解题的关键． 先求出所有蛋糕盲盒的总数量，再分别计算两人选到每种同种口味的概率，利用不放回模型计算最终结果． 首先计算所有蛋糕盲盒的总数量（盒）， 【详解】设两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒为事件，小懂有40种选择，则小颖有剩下的39种可能，所有等可能的结果数为， 两人选同一种口味的所有等可能结果数为， 则概率为． 39． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据再放入5个蓝球后盒子篮球的总个数和球的总个数求出从中随机摸出一个球是蓝球的概率即可． 【详解】（1）解：蓝球个数：（个）， 摸出蓝球的概率：． （2）解：放入5个蓝球后，蓝球总个数为： （个）， 总球数为（个）， ∴此时摸出一个球是蓝球的概率：． 【考点4】列表法与树状图法（第40-52题） · 两步试验先确定总结果数（放回 n²、不放回 n(n-1)） · 树状图分支清晰，不放回第二层少一支 · 游戏公平性：比较双方概率，相等才公平 · 与统计图表综合：先读图求统计量，再求概率 40． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设“造纸术”表示为A，“印刷术” 表示为B，“指南针”表示为C，“火药” 表示为D，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲乙恰好选中同一项目的结果有4种， 两人恰好选中同一种的概率是， 故选：D． 41． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率、已知概率求数量 【分析】先计算所有等可能结果数，结合概率得出和为的结果数，再分类讨论第四个球的数字，即可得出答案． 【详解】解：设第四个小球上的数字为，画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能结果， ∵两人摸得数字之和为8的概率为， ∴和为的结果有（种）， ∵其中三个小球上面分别标有数字，，，仅两次都摸到标的球时和为，对应种结果， ∴要使和为的结果有种时，需， 当时，和为的结果有种，不符合题意， 当时，和为的结果有种，符合题意， 当时，和为的结果有种，符合题意， ∴第四个小球上的数字是或． 42． 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、列表法或树状图法求概率 【分析】画树状图，共有12种等可能结果，其中能使关于x的方程有实数根的有6种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中能使关于x的方程有实数根的有6种结果， ∴关于x的方程有实数根的概率为：． 43． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，根据题意和树状图，列出所有等可能情况，找出两次摸出的数字之和为奇数的情况，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有9个等可能的结果，摸出的两个小球上的数字之和为奇数的有4个情况， ∴两次抽得的数字之和为奇数的概率为， 故选：A． 44． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 将四种生活现象分别记作、、、，利用列表法，得出所有等可能结果共有种，两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的结果数有种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将四张卡片分别记作、、、，则属于物理变化的有、，不属于物理变化的有、， 列表如下： — — — — 由表知共有种等可能结果，两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的结果有种，即、， ∴这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是， 故答案为：． 45． 【答案】/0.75 【知识点】列举法求概率、构成三角形的条件 【分析】本题考查列举法求概率，从4张卡片中随机抽取3张，共有4种可能组合，根据三角形三边关系定理判断，其中能构成三角形的有3种，故概率为． 【详解】解：由题意，所有可能的抽取组合为：，其中能构成三角形的有共3种， ∴； 故答案为： 46． 【答案】二 【知识点】列举法求概率 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 47． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】先通过树状图找出所有等可能的选取结果总数，再找出恰好选中1名男生1名女生的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，得树状图如下： 由图可知，共种等可能结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果共种， ∴所求概率为． 48． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了事件，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】设用A表示、用B表示、用C表示，用D表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的有9种， ∴二人所选金属均能置换出氢气的概率是． 49． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列举求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．根据题意画出树状图，找到所有可能结果和符合条件的结果，利用概率公式求解即可． 【详解】解：设四个座位，正对面的分别为①和②，③和④，根据题意画出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小月和小梅坐正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种， ∴小月坐在小梅正对面的概率为． 故答案为：． 50． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由概念公式可得答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选择思想政治和地理的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：考生从物理、历史2门科目中自主选择1门， 选择历史的概率是； 故答案为：； （2）解：记思想政治、地理、化学、生物分别为①，②，③，④，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选择思想政治和地理有：①②，②①，共2种， 恰好选择思想政治和地理的概率为． 51． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】列举法求概率、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查的是概率公式，用列表法或画树状图求随机事件的概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，分别列出所有等可能的结果，即可作答． （2）画树状图表示出所有的结果，再运用概率公式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：两名女生记为女1和女2，三名男生分别记为男1、男2、男3， 则等可能性的结果分别为女1男1，女1男2，女1男3，女2男1，女2男2，女2男3， 即有6种等可能性的结果 ∴若班主任老师在两名女生中任选一名女生，三名男生中任选一名男生，则具有6种等可能性的结果； 故答案为：6； （2）解：画树状图得： 共有20种等可能的结果，选出同学是一男一女的有12种情况， ∴ 选出学生是一男一女的概率为． 52． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率计算公式，用列举法求事件的概率，熟练掌握用列举法求事件的概率是关键． （1）根据概率计算公式计算即可； （2）设造纸术，指南针，火药，印刷术分别为A，B，C，D，然后列表求出共有12种等可能结果，其中“造纸术”和“指南针”被选中的等可能结果有2种，再根据概率计算公式计算即可． 【详解】（1）解：随机抽一张卡片，则抽到的卡片恰好是“火药”的概率为． 故答案为：． （2）解：设造纸术，指南针，火药，印刷术分别为A，B，C，D， 从这四张卡片中随机抽取两张的情况列表如下： A B C D A B C D 所以共有12种等可能结果，其中“造纸术”和“指南针”被选中的等可能结果有2种， 所以抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 事件三分类：必然 P=1、不可能 P=0、随机 0<P<1 · 等可能事件概率 P = m/n，分子分母都是「结果个数」 · 两步试验：列表或树状图；不放回第二层少一支 · 频率稳定值估计概率：稳定值列分式方程求球数 · 几何概率 = 目标面积 ÷ 总面积（均匀投掷） 【作业1】 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】先列表找出所有等可能的搭配结果和满足恰好是经典搭配的结果，根据概率公式计算即可得到所求概率． 【详解】解：组红烧肉、鱼香肉丝、宫保鸡丁分别用表示，组炒青菜、西红柿炒蛋、酸辣土豆丝分别用表示 列表如下： 由上表可知：所有等可能的搭配结果共种，其中满足恰好是经典搭配的结果有种， ∴该学生选中的搭配恰好是经典搭配的概率为. 【作业2】 【答案】0.60 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格可知，摸到红球的频率在0.600左右摆动， 所以根据以上数据估计，摸到红球的概率约为0.60． 故答案为：0.60． 【作业3】 【答案】18 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】设未知数，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设口袋中白球大约有个， ∵摸到黄球的频率稳定在附近， ， 解得：，经检验是原方程的解， 则估计口袋中白球大约有18个． 【作业4】 【答案】16 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值可以作为事件发生概率的估计值，根据题意得到等量关系，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球的个数为，则袋中总球数为， 摸到红球的频率稳定在， 摸到红球的概率估计值为， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 可估计袋中红球的个数为． 【作业5】 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、一元一次方程的应用等知识，正确确定沃柑的完好率是解题关键． 从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，易得沃柑的完好率应为．设每千克沃柑的实际售价定为元，根据题意列方程求解即可获得答案． 【详解】解：从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以沃柑的完好率应为， 设每千克沃柑的实际售价定为元， 则有， 解得， 所以，可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时，可获得13000元利润． 故答案为：． 【作业6】 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、列举随机实验的所有可能结果 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）画出树状图，即可求解， （2）根据数状图，可得出大于20的数的个数，以及两位数的个数，再根据概率公式即可求解， 【详解】（1）解：画树状图如下： 则所有可能出现的结果为 （2）解：把x作为一个两位数的十位数字，把y作为这个两位数的个位数字， 则共有9个不同的两位数，且大于20的数有6个， 则这个两位数大于20的概率为：， 【作业7】 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查树状图或列表法求概率： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行求解即可； （3）借助（2）中的树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，选中的学生是男生的概率为； 故答案为：； （2）画出树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中一男一女的情况有8种， ∴； 故答案为：； （3）由（2）中树状图可知，共12种等可能的结果，其中至少有1名男生的结果有10种， ∴； 故答案为：． 【作业8】 【答案】10支 【知识点】已知概率求数量 【分析】本题主要考查频率估计概率，用总数乘以频率得到合格铅笔数量，再用总数减去合格数量可得不合格铅笔的数量． 【详解】解：（支），                  （支）， ∴估计这500支铅笔中，不合格铅笔有10支 【作业9】 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】列表法或树状图法求概率、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、统计表 【分析】本题考查了统计图、求扇形的圆心角度数，解题的关键是读得懂图表． （1）用总数减去前四名即可得到；根据中国金牌数除以总金牌数即可得出中国金牌占比； （2）利用印度国家代表队所得金牌占比乘上即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的机器人相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1），. （2）． 答：印度国家代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数约为． （3）将三个机器人分别记为，，，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽到的是同一个机器人的结果有3种， 两次抽到的是同一个机器人的概率为． 【作业10】 【答案】(1)0.11；50 (2)0.1 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：0.11，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为0.1． 【作业11】 【答案】(1) (2)游戏不公平 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率的计算公式计算即可； （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得出所有等可能的情况数，分别求出小宇和小辰获胜的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：小宇抽取一张共有种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有种结果， ∴小宇抽到甲图片上半部分图片的概率是； （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，（同一个字母的大小写表示同一图片的两张小图，）画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有种， ∴小宇获胜的概率为； 摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有种， ∴小辰获胜的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 【作业12】 【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；活动二：0.25、0.25、40；活动四：估计鱼塘中有1500条鱼． 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了概率与统计，用频率估计概率，用样本估计总体，熟练掌握“频率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 活动一：问题1：根据红球和黑球共有的个数乘以红球的概率即可得出答案； 问题2：根据A的张数和A的概率，根据除法即可得出答案； 活动二：利用频率估计概率的一般方法估计即可； 活动四：设该人池塘里有x条鱼，根据频率=所求情况数与总情况数之比建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：活动一： 袋子中有红球有3个 ； 这副扑克牌有20张； 故答案为：3，20； 活动二：， 表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25， 黑球的概率是； 总棋数是， 故答案为：、40； 活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则： 解得： 经检验，是所列方程的解， ∴估计鱼塘中有1500条鱼． 【作业13】 【答案】(1)100，30 (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、频数分布表、由扇形统计图求总量 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率， （1）将组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以组的百分比即可求出a的值； （2）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可． 【详解】（1）解：∵组的人数为25，占比为，且， ∴本次调查共抽取了100名学生； ∵组占比，， ∴， 故答案为：100，30； （2）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下： 一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即A和D有2种可能的情况， ∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）． 【作业14】 【答案】(1)16；19；．九年级同学掌握有关“古滇文化”的知识更好 (2) 【知识点】求中位数、列表法或树状图法求概率、求方差、求众数 【分析】本题考查列表法与树状图法、中位数、众数、方差； （1）根据中位数、众数、方差的定义可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及所选取的2名学生恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）（1）将八年级抽取的15名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第8名的成绩为16， ． 由九年级抽取的15名同学的竞赛成绩统计图可知，． 八年级成绩的方差为8，九年级成绩的方差为2， ． 故答案为：16；19；． 九年级同学掌握有关“古滇文化”的知识更好． 理由：九年级成绩的平均数、中位数、众数都大于八年级，且九年级成绩的方差小于八年级， 九年级同学掌握有关“古滇文化”的知识更好． （2）列表如下： 男 男 男 女 男 （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） 共有12种等可能的结果，其中所选取的2名学生恰好是一男一女的结果有6种， 所选取的2名学生恰好是一男一女的概率为． 【作业15】 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查几何概率，列表法或树状图法求概率．掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键．由题意可将B盘红色扇形区域分成面积相等的两个圆心角是的扇形，即可列出表格表示所有等可能的情况，再找出能配成紫色的情况，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可将B盘红色扇形区域分成面积相等的两个圆心角是的扇形， ∴可列表格如下， A盘         B盘 红 红 蓝 红 红，红 红，红 红，蓝 蓝 蓝，红 蓝，红 蓝，蓝 黄 黄，红 黄，红 黄，蓝 由表格可知共有9种等可能的情况，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，即可以配成紫色的情况有3种， ∴配成紫色的概率为． 【作业16】 【答案】(1)0.2 (2)袋中白球的个数为4个 (3) 【知识点】列表法或树状图法求概率、已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】（1）根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.2左右，即为摸出黑球的概率； （2）袋中白球的个数为个，根据概率公式得到，然后解方程即可； （3）画树状图展示所有25种等可能的结果，再找出他两次都摸出白球的结果数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.2左右， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.2． （2）解：设袋中白球的个数为，根据题意得， ， 解得， 经检验是方程的解， ∴袋中白球的个数为4个． （3）解：画树状图得： ∵共有25种等可能的结果，两次都摸到白球的有16种情况， ∴两次都摸出白球的概率为． 【作业17】 【答案】(1)，，； (2)A (3)不公平，理由如下： ∵拿出个白球，那盒子中现在一共有球（个），现有白球（个），黑球（个）， ∴搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，小红胜的概率为，小亮胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 【知识点】游戏的公平性、用频率估计概率的综合应用、由频率估计概率、判断事件发生的可能性的大小 【分析】（1）运用频率频数总数可得的值，再根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值求解即可； （2）求出A、B、C三个选项中事件发生的概率即可求解； （3）根据题意求出现有球的个数、白球和黑球的个数，分别求出小红、小亮胜的概率，对比后即可求解． 【详解】（1）由题意得，，， 由表格可知，随着试验次数的增加，摸到白球频率逐步稳定在附近， 故从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为； （2）A.掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于的概率为，，故符合题意； B.某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯的概率为，，故不符合题意； C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，，故不符合题意； （3）略 【作业18】 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据概率公式即可得到答案； （2）设两次抽取的卡片分别为第1张、第2张，用树状图表示出所有的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》人物名称的卡片：．哪吒，．敖丙，．太乙真人，．无量仙翁．从这4张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上的人物名称是“．太乙真人”的概率是； （2）解：设两次抽取的卡片分别为第1张、第2张，用树状图表示出所有的结果如图． 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片上名称为“A．哪吒”“B．敖丙”的结果有2种， 两次取出的2张卡片上的名称为“A．哪吒”“B．敖丙”的概率． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $