第12讲 直线、射线、线段 讲义（考点突破+分层训练） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第12讲·直线、射线、线段·尖子生学案 （考点突破+分层训练）·2026学年人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能从端点个数、延伸性、可度量性三个角度准确区分直线、射线与线段 · 会用两大基本事实（两点确定一条直线、两点之间线段最短）解释实际问题 · 掌握线段中点与 n 等分点的表示方法，能熟练进行线段和差倍分的计算 · 能运用设元法与方程思想处理线段比例、倍分与折叠问题 · 会利用数轴求两点间距离、确定中点坐标，并解决动点与折线长问题 · 会规范使用尺规作图，作出线段的和、差与指定倍数的线段 📚 知识梳理 ☆ 1.直线、射线、线段的特征对比 三线对比记三点：端点数（0 / 1 / 2）、延伸方向（两方 / 一方 / 不延伸）、能否度量（否 / 否 / 能） 表示要规范：直线 AB 与 BA 同义；射线端点字母必须写在前面，顺序不可交换 线段是直线的一部分：线段向一个方向无限延伸得到射线，向两个方向延伸得到直线 易错提醒：射线 OA 与射线 AO 不是同一条射线（端点与方向都不同） 线段出现次数公式：直线上 n 个点共有 n(n-1)/2 条线段，射线有 2n 条 概念辨析例题：下列说法：①射线 AB 与射线 BA 是同一条射线；②直线 AB 与直线 BA 是同一条直线；③线段 AB 与线段 BA 是同一条线段。其中正确的个数是（　　） 答案：2 个（②③正确，①错误） 解析：射线有方向性，端点字母在前，射线 AB 从 A 出发向 B 延伸，射线 BA 从 B 出发向 A 延伸，二者端点与方向均不同，故①错；直线与线段的两个字母可交换，②③均正确。判断射线问题的关键是「端点 + 方向」两者都要看。 ☆ 2.两条基本事实及其应用 基本事实一：经过两点有一条直线，并且只有一条直线（简说：两点确定一条直线） 应用场景：砌墙拉线、植树定点、射击瞄准、固定木条至少两枚钉子 基本事实二：两点之间的所有连线中，线段最短（两点之间线段最短） 应用场景：道路裁弯取直、铺设管道走直线、蚂蚁爬行最短路径 两点的距离：连接两点线段的长度，是数值而不是图形本身 概念辨析例题：把一根木条固定在墙上，至少需要两枚钉子，其依据是（　　） 答案：两点确定一条直线 解析：两枚钉子相当于两个点，木条相当于直线。过一点可以画无数条直线，但过两点有且只有一条直线，所以两枚钉子就能把木条「钉死」。若只钉一枚钉子，木条仍可绕钉子旋转，体现「一点不确定直线」。 ☆ 3.线段的中点与 n 等分点 中点定义：点 M 在线段 AB 上且 AM = MB，则 M 是 AB 的中点 中点三种等价表达：AM = MB、AB = 2AM、AM = ½AB，解题时任选其一建立关系 三等分点：若 M、N 三等分 AB，则 AM = MN = NB = ⅓AB，把线段分成相等的三段 反向判定要谨慎：仅知 AM = MB 不足以说明 M 是 AB 中点，还要说明点 M 在线段 AB 上 n 等分点问题常用设元法：设每一份为 x，按「一份长 × 份数 = 全长」列方程 概念辨析例题：已知点 C 在线段 AB 上，AC = 6，BC = 4，M 是 AB 的中点，则 CM 的长为（　　） 答案：1 解析：先求全长 AB = AC + CB = 6 + 4 = 10，再由中点得 AM = ½AB = 5。因 AM = 5 < AC = 6，故 M 在 A、C 之间，所以 CM = AC − AM = 6 − 5 = 1。中点计算先求全长、再求半长、最后作差定位。 ☆ 4.线段计算的两把钥匙：和差关系与方程思想 和差关系：AB = AC + CB（C 在 A、B 之间）；AB = AC − CB（C 在线段 AB 的延长线上） 位置不明必分类：点在直线上有「同侧」「异侧」两种可能，答案常有两解 设元法：遇比例（如 AB:BC = 2:3）设每一份为 x，把各线段用 x 表示 方程思想：抓住不变量（全长不变、中点等分）列一元一次方程 检验习惯：算完回代检验各段长度是否满足题目全部条件 概念辨析例题：线段 AB 上有一点 C，AB = 12，BC = 3，点 M 是线段 BC 的中点，则 AM 的长为（　　） 答案：10.5 解析：C 在 A、B 之间，BC = 3，M 是 BC 中点，则 BM = ½BC = 1.5，于是 AM = AB − BM = 12 − 1.5 = 10.5。计算线段长时先画出示意图，标出每一段，再用「全长减去一段」或「两段相加」完成转移。 ☆ 5.数轴上的线段：距离与动点 数轴上两点距离：|a − b|；两点中点表示的数：(a + b) ÷ 2 动点表示：从数 a 出发、以每秒 v 个单位的速度向右运动，t 秒后表示的数为 a + vt（向左则为 a − vt） 相遇与追及：数轴上同向是追及（路程差 = 速度差 × 时间），相向是相遇（路程和 = 距离） 折叠对称：数轴折叠后对应点重合，两对应点到折痕点的距离相等 绝对值协助：|x − a| 的几何意义是 x 与 a 的距离，常用于化简动点式子 概念辨析例题：数轴上点 A、B 分别表示 −2 和 4，点 P 从 A 出发以每秒 1 个单位向右运动，当 BP = 1.5 时，运动时间 t 为（　　） 答案：t = 4.5 或 t = 7.5 解析：BP = 1.5 时点 P 表示的数为 4 − 1.5 = 2.5 或 4 + 1.5 = 5.5。P 从 −2 出发向右，表示的数为 −2 + t。分两类：−2 + t = 2.5 得 t = 4.5；−2 + t = 5.5 得 t = 7.5。数轴动点题的关键是「用含 t 的式子表示动点位置」，再按距离相等分类列方程。 📋 知识总结表 对象 端点数 延伸 / 等分 可否度量 直线 0 个 两方无限延伸 不可度量 射线 1 个 一方无限延伸 不可度量 线段 2 个 不延伸 可度量 中点 M — AM = MB = ½AB M 在线段 AB 上 数轴距离 — |a − b|，中点 (a+b)/2 绝对值即距离 n 点计数 — 线段 n(n-1)/2 条 射线 2n 条 ⚠️ 核心考点 【考点1】直线的性质与线段、射线概念（第1-14题） · 抓「端点数、延伸方向、可否度量」三要素区分三类线 · 射线表示端点在前，方向不同就是不同的射线 · 「两点确定一条直线」与「两点之间线段最短」对号入座：唯一性用前者，最短性用后者 · 计数问题有序枚举：n 个点线段 n(n-1)/2，n 个车站车票 n(n-1) 种 1． 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段的应用 【分析】此题考查了线段之间的总条数，解题的关键是往返车票需要两种车票．根据线段之间的总条数计算即可． 【详解】解：如图所示，兰州市某公交线路上共设6个车站，可看作六个点， 则线段的总条数是， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应设计（种）． 故选：C． 2． 【答案】A 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键．根据，，，有进行判断即可． 【详解】解：如图，在平面内，， ∵，， ∴点C为以A为圆心，6为半径，与以B为圆心，4为半径的两个圆的交点， 由于， 所以，点C在线段上， 故选：A．    3． 【答案】C 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，两点确定一条直线，根据直线的性质，可得答案． 【详解】植树时，只要定出两个树坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线 其道理用几何知识解释是： 两点确定一条直线 故选：C． 4． 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短、两点确定一条直线 【分析】本题考查了对“两点之间，线段最短”公理以及“两点确定一条直线”公理的理解，该公理强调两点间线段路径最短，适用于解释路径缩短问题，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、在砌墙前，师傅会在墙两端拉一根笔直的水平线，应用“两点确定一条直线”原理； B、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，应用“两点确定一条直线”原理； C、植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，应用“两点确定一条直线”原理； D、描述弯曲路径改直后路程缩短，直接体现“两点之间，线段最短”公理； 故选：D． 5． 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查线段的性质：两点之间线段最短的知识点；据此即可解答． 【详解】解：某同学认为第③条路线最近，根据的是两点之间线段最短． 故选：C． 6． 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是熟练掌握该知识点． 利用两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，根据是两点之间线段最短， 故选：B． 7． 【答案】 0或1或2或3个 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题主要考查了相交线和平行线．正确画出图形，即可得到正确结果． 分类讨论画出图形，①当三条直线平行时，没有交点；②三条直线交于一点时，有一个交点；③两条平行线与一条直线相交时，有两个交点；④三条直线两两相交时有三个交点，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可知：同一平面内的三条直线，其交点个数为：0个；1个；2个；3个． 故答案是：0个或1个或2个或3个． 8． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查直线的性质：两点确定一条直线，关键是掌握两点确定一条直线． 由直线的性质：两点确定一条直线，即可得到答案． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这其中蕴含的道理可以用数学基本事实来阐释，该数学基本事实是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 9． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可． 【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近， 其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短 故答案为：两点之间，线段最短． 10． 【答案】3 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查了直线相交的个数问题，两条直线相交最多有一个交点，第三条直线与前两条直线均相交且不共点时，可增加两个交点，因此最多有三个交点． 【详解】解：两条直线在平面上相交，最多有一个交点，当第三条直线加入时，为使交点最多，第三条直线需与前两条直线都相交，且不经过前两条直线的交点，这样第三条直线会与前两条直线各产生一个交点，因此总交点数最多为个， 故答案为：3． 11． 【答案】 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查了平面内直线的位置关系，充分考虑平面内三条直线不同的位置关系并分类讨论是解题的关键． 根据平面内互不重合的三条直线的位置分析判断即可． 【详解】解：在同一平面内，当三条互不重合的直线相互平行时，把平面分成4部分，分成的部分最少． 故答案为：． 12． 【答案】(1) 解：所作射线如下： (2) 解：所作图形如图所示； (3) 解：所作图形如图所示， 两点之间，线段最短 【知识点】画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】（1）根据射线的定义画图即可． （2）根据线段的定义可画出线段的延长线，以点B为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的延长线于点． （3）根据直线的定义画图即可；根据线段的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：两点之间，线段最短； 故答案为两点之间，线段最短． 13． 【答案】(1)射线如图所示； (2)直线如图所示； (3)线段和点M如图所示； (4)如图： 【知识点】画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题考查直线、射线、线段的概念以及作图，掌握线的基本性质和画法是关键． （1）射线只有一个端点，按要求作图即可； （2）直线没有端点，按要求作图即可； （3）按要求作图即可； （4）线段与线段的交点即为点N． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）连接与，由“两点之间，线段最短”可知，线段与线段的交点即为点N． 14． 【答案】（）；（）；（）；（）①种；②种 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】（）根据线段的定义结合图形解答即可； （）根据线段的定义结合图形解答即可； （）根据（）、（）的结果找到规律即可求解； （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题，据此即可求解；②根据火车往返是双向的，结合票价数量解答即可求解； 本题考查了线段的定义及其应用，找到规律是解题的关键． 【详解】解：（）图中有条线段， 故答案为：； （）图中有条线段， 故答案为：； （）∵直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， 直线上有个点时，图中有条线段， ∴直线上有个点时，图中有条线段， 故答案为：； （）①火车车票票价问题可以抽象成直线上有个点的线段条数问题， 当时，， ∴这条线路的车票最多有种不同的票价； ②∵火车往返是双向的， ∴需要印制种火车票． 【考点2】线段的和差与中点计算（第15-41题） · 见中点即写三式之一：AM = MB、AB = 2AM、AM = ½AB · 和差转移：AB = AC + CB（之间）或 AC − CB（延长线上） · 位置不定先分类：同侧与异侧两种情形分别画图求解 · 比例与倍分设元，用全长不变或中点等分列一元一次方程 15． 【答案】D 【知识点】点与线的位置关系、线段的和与差、直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了点与线段的关系，线段与线段的关系，射线的判定．根据点与线段的关系，线段之间的关系，射线的判定判断即可． 【详解】解：A、点A在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，故本选项错误，不符合题意； C、点C在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 16． 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出、的长是解题关键．分两种情况讨论，根据线段中点的性质，可得、的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】 解：如图，若点B在线段上时，设点M为的中点，点N为的中点， ，点M为的中点，点N为的中点， ，． ． 如图，若点A在线段上时，设点M为的中点，点N为的中点， ，点M为的中点，点N为的中点， ，． ． 综上所述，这两条线段的中点之间的距离为2或22， 故选：C 17． 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算、直线、线段、射线的数量问题、两点间的距离 【分析】本题考查了两点间距离，直线的性质，线段的性质．根据两点间距离，直线的性质，线段的性质，线段中点的定义判断即可． 【详解】解：①图中共有3条线段，则①正确； ②图中共有6条射线，则②正确； ③线段的长度表示点与点之间的距离，则③错误； ④若，则点为线段的中点，则④正确． 故选：C． 18． 【答案】D 【知识点】线段的和与差 【分析】此题考查了比较线段的长短，根据直线上，，的位置，判断即可． 【详解】解：A、由图可知，故A选项正确，不符合题意； B、由图可知，故B选项正确，不符合题意； C、由图可知，故C选项正确，不符合题意； D、由图可知，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 19． 【答案】D 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】本题考查线段的和差关系，分“小涵家在超市和书店之间”“书店在超市和小涵家之间”两种情况，分别计算即可． 【详解】解：分两种情况：当小涵家在超市和书店之间时， 超市和书店之间的距离为：（米）； 当书店在超市和小涵家之间时， 超市和书店之间的距离为：（米）； 则超市和书店之间的距离为500米或1100米． 故选D． 20． 【答案】D 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧，如图所示： ； 当点在点左侧，如图所示： 为的中点，， ， ， ， 点在点右侧，则， ； 综上所述，的长为或， 故选：D． 21． 【答案】A 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段，先求出以、、、这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和，然后根据居已知可得所有线段的总和减去1的差一定是3的倍数，从而进行计算即可解答， 【详解】解：以、、、这四点中任意两点为端点有：、、、、、等，共六条， ， ∵，线段的长度是-个正整数， ∴所有线段的总和减去1的差一定是3的倍数， A、是的倍数，故A符合题意； B、不是的倍数，故B不符合题意； C、不是的倍数，故C不符合题意； D、不是的倍数，故D不符合题意； 故选A． 22． 【答案】C 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键，中点得到，进而得到，根据，得到，推出，进而得到，得到即可． 【详解】解：∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 23． 【答案】A 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，先根据中点的性质得出，根据已知求得，则，进而根据线段中点的性质求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 24． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点之间的距离，线段的中点的概念，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，已知可得，再由即可求解． 【详解】解：因为线段，是的中点， 所以 ， 因为，， 所以． 故答案为：． 25． 【答案】12 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的中点、线段的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 26． 【答案】8 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，先求出线段的长，再求出线段的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 27． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，中点的应用，解题的关键是根据题意，画出图形，设未知量为，，点是的中点，点是的中点，则、，故，从而得到的值．比较后可得最长部分的值． 【详解】解：如图，，点是的中点，点是的中点， 设，则，，， ，， ， ， 是最长的部分，为． 故答案为：． 28． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是线段的长度计算问题，能正确表达线段之间的和差关系是解决本题的关键． 根据已知条件先求的长度，再求的长度，然后利用中点定义求，最后通过线段和差关系求即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵点为的中点， ∴， 又∵点在线段上， ∴ ， 故答案为：． 29． 【答案】或或12 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差 【分析】本题考查新定义与线段的计算，熟练运用分类讨论思想是解题关键． 根据题干的新定义，共可分为，，，四种可能，逐一计算即可． 【详解】解：当时，此时点C是线段的中点， ∴， 同理，当时，点C也是线段的中点，即， 当时， ∵， ∴， 解得，， 当时， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：6或9或12． 30． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】此题考查了线段中点与线段和差，利用线段中点和线段和差即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】解：因为是的中点，， 所以， 所以， 所以， 因为是的中点， 所以, 所以， 故答案为：． 31． 【答案】或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差，能根据题意画出示意图是解题的关键．根据题意，画出图形，再结合线段中点的定义及的长进行计算即可． 【详解】解：由题知， 当点在延长线上时， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； 当点在延长线上时， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 32． 【答案】5或11 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据点D在直线上的位置不同分两种情况讨论：点D在线段上或点D在线段的延长线上，分别利用线段中点的定义和线段的和差计算的长度即可． 【详解】解：情况1：点D在线段上， ∵点C是中点， ∴； ∵点E是中点，， ∴； ∴； 情况2：点D在线段的延长线上， ∵点C是中点， ∴； ∵点E是中点，， ∴； ∴； 故答案为：5或11． 33． 【答案】2或7 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算问题． 根据题意，画出图形进行分类讨论，利用线段中点的定义，线段的和与差计算即可求解． 【详解】解：①如图所示： ∵，． ∴， ∵O是线段的中点， ∴， ∴． ②如图所示：    ∵，． ∴， ∵O是线段的中点， ∴， ∴， 综上所述：或， 故答案为：2或7． 34． 【答案】2或8 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的中点、以及线段的和差．分点O在点B的左侧和点O在点B的右侧两种情况，根据线段中点的定义、线段的和差进行计算即可得． 【详解】解：分两种情况讨论： 如图①，当点O在点B的左侧时， ∵，， ∴． ∵点O是线段的中点， ∴． ∴． 如图②，当点O在点B的右侧时， ∵，， ∴． ∵点O是线段的中点， ∴． ∴． 综上，的长是或． 故答案为：2或8． 35． 【答案】 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和与差，首先确定以，，，这四点中任意两点为端点的线段有：线段、、、、、，根据，，可知，，再根据线段之间的关系求解即可． 【详解】解：图中以，，，这四点中任意两点为端点的线段有：线段、、、、、， ，， ， ， ， ， 图中以，，，这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是． 故答案为：． 36． 【答案】①②④ 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差及线段的倍数关系，根据已知条件求出线段、、的长度，再结合线段中点的性质求出、、的长度，最后逐一分析各个说法即可． 【详解】解：设，，， 由，得，则， ∴， ∵M是中点， ∴，故①正确； ，故②正确； ，，而，故③错误； 已知，故④正确． 故答案为：①②④． 37． 【答案】 或 或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】此题考查了线段中点的定义，线段的和与差，正确理解点在直线上的位置并利用分类思想解决问题是解题的关键． 分两种情况：①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，先求出，根据线段中点的定义求出，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：分两种情况： ①当点C在线段上时，如图， ，， ， 是线段的中点， ， ， ②当点在线段的延长线上时，如图， ，， ， 是线段的中点， ， ， 故答案为：或；或． 38． 【答案】(1) 证明：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴， ∴； (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段的和差计算，熟知线段中点的定义是解题的关键． （1）根据线段中点的定义可得，再由线段的和差关系可得答案； （2）根据（1）可得的长，再由题意可得，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵， ∴． 39． 【答案】或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别画出图形，根据线段中点的定义解答即可，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在线段上时，如图， ∵， ， ∴， ∵点是的中点， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵， ， ∴， ∵点是的中点， ∴； 综上，线段的长为或． 40． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． （1）先根据点为线段的中点，得出的长，进而可得出结论； （2）先求出的长，再由得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 41． 【答案】36 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了比例线段的应用及线段中点的性质，解题的关键是设未知数表示各线段长度，利用中点求出对应的线段表达式，列方程求解． 设，，，根据中点性质得，，由求出，进而计算得解． 【详解】解：设，，， ∵M是的中点， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∵点A、B、C、D顺次排列， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 答：线段的长度为36． 【考点3】数轴动点与线段综合应用（第42-54题） · 动点定位：起点 ± 速度 × 时间，向右取加、向左取减 · 距离工具：数轴上两点距离 = |a − b|，中点 = (a+b)/2 · 相遇看「路程和」，追及看「路程差」，折线长逐段累加 · 尺规作图按步骤书写：已知、求作、作法、结论缺一不可 42． 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查了数轴，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，解题的关键是分类讨论．要求学生分情况讨论，，三点的位置关系，即点在线段上，点在线段的延长线上． 【详解】解：此题画图时会出现两种情况，即点在线段上，点在线段的延长线上，所以要分两种情况计算． 点、表示的数分别为、3， ． 第一种情况：在线段上， ∵， ∴； 第二种情况：在线段的延长线上， ∵， ∴； 故选：C． 43． 【答案】C 【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题 【分析】设，则，得，设，则，根据线段的长可得，即可求出． 【详解】解： 设，则， ， 点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点速度是点的2倍， ， 设则， ， ， ， 知道长度即可知道长度． 44． 【答案】A 【知识点】线段的和与差、列代数式、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了列代数式，比较线段的长短，整式的运算，正确求出停靠点分别在A、B、C各点和A区、B区之间时，在B区、C区之间时，员工步行的路程和是解题的关键，要能把线段的概念在现实中进行应用． 【详解】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程总和是米； 当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程总和是米； 当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程总和是米； 因为，即在A区时，路程之和最小，为4500米， 设在A区、B区之间时，设距离A区x米， 则所有员工步行路程之和 ， ∴当时，即在A区时，路程之和最小，为4500米， 设在B区、C区之间时，设距离B区x米， 则所有员工步行路程之和， ， ∴当时，即在B区时，路程之和最小，为5000米， 综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小， 所以停靠点的位置应在A区． 故选：A． 45． 【答案】6或14 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 先根据已知条件求出，，再设经过t秒时线段，可得，，分两种情况：当点M在点A的右侧时，可得，求出解；当点M在点A的左侧时，可得，求出解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 设经过t秒时线段，点M是的中点，则，， 当点M在点A的右侧时， ∵，， ∴，， 即， 解得； 当点M在点A的左侧时， ∵，， ，， 即， 解得． 所以经过6或14秒时线段． 故答案为：6或14． 46． 【答案】16或 【知识点】线段的和与差、其他问题(一元一次方程的应用)、两点间的距离 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，线段的和与差，两点间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 点C在射线上，可能位于线段上或的延长线上，根据，分两种情况讨论． 【详解】解：设，则， 当点C在线段上时，， 即，解得：， 所以； 当点C在的延长线上时，， 即，解得：， 所以， 综上所述，的长为16或， 故答案为：16或． 47． 【答案】 7 10 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段的和差倍分关系，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式． （1）利用数轴上两点之间的距离计算即可； （2）先表示，，再建立方程即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，点C在之间，且， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：， 48． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求 (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作线段，线段有关中点的计算，正确画出图形，弄清线段之间的关系是解题的关键． （1）用圆规在线段上截取即可求解； （2）首先根据线段的和差求出，然后利用线段中点的概念求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， ，， ， 又， ， 为中点， ． 49． 【答案】(1) 如图所示，直线、射线、点即为所求作的； (2) 如图所示，线段即为所求作的． 【知识点】画出直线、射线、线段、线段的和与差、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了画直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键． （1）根据线、射线、线段的定义画图即可； （2）以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，则；再以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，则，因此，线段即为所求作的． 【详解】（1）略 （2）略 50． 【答案】(1) 如图所示： (2) 如图所示： (3) 【知识点】线段中点的有关计算、作线段(尺规作图) 【分析】此题主要考查了作图，以及线段的中点，关键是正确画出图形．结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）首先画一条射线，再以射线的端点为圆心，顺次在射线上截取，在以D为圆心，在线段上截取，线段即为所求； （2）利用刻度尺找出线段的中点即可； （3）根据a、b的长度可计算出的长，再利用线段的中点定义可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵C是线段的中点 ∴． 51． 【答案】(1)10 (2)5 (3) 线段的长度不发生变化，其值为5． 证明：分下面三种情况： ①当点在、两点之间运动时（如图甲）． ②当点在点的左侧运动时（如图乙）． ③当点在点的右侧运动时（如图丙） 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为5． 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的计算和中点的性质及数轴的知识，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． （1）根据数轴上两点间距离公式计算可得，即数轴上两点、表示的数分别为、，则； （2）当点在线段上时，，可根据中点性质得到、，相加可得； （3）当点在数轴上运动时，可分下面三种情况：①点在、两点之间运动时，根据计算可得，②点在点的左侧运动时，根据计算可得，③点在点的右侧运动时，根据计算可得，最后综合三种情况得出结论． 【详解】（1）解：． （2）解：线段的长度为5．如图甲， 为中点，为的中点， ，， ， ． （3）略 52． 【答案】(1) 解：①如图所示，即为所作： ②如图，即为所作： (2)①点D在直线外；②4或12 【知识点】画出直线、射线、线段、线段的和与差 【分析】本题考查了直线、射线、线段作图点与直线位置关系，解题的关键是掌握直线、射线、点的作图与位置关系． （1）①按照题意作图即可，②按照题意作图即可； （2）①根据点与直线的位置关系解答即可； ②利用线段的和差计算线段长． 【详解】（1）略 （2）解：①点D与直线的关系：点D在直线外， 故答案为：点D在直线外； ②如图：当点E在上时， ∵，， ∴， 当点E在延长线上时， ∵，， ∴B为中点， ∴， ∴线段的长为4或12． 故答案为：4或12． 53． 【答案】(1)8，20 (2)不随时间的变化而变化， 设运动时间为t秒， 则t秒后点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， ∴，， ∴， ∴的值与时间t无关， ∴的值不随时间的变化而变化． 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差、整式的加减运算 【分析】本题考查数轴的有关概念、两点之间的距离、以及路程、时间、速度的关系． （1）根据两点之间的距离计算即可； （2）先表示出t秒后A，B，C表示的数，进而表示出，，然后相减即可得出结论． 【详解】（1）解：由图象可知： ， ， 故答案为：8，20； （2）略 54． 【答案】(1) 如解图①，可以连成三条线段； (2) 如解图②，可以连成六条线段； (3) 共有10种票价 (4)见解析 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段的和与差、线段的应用 【分析】本题考查线段的计数以及其在实际生活中的应用，解题的关键是理解两点确定一条线段，并将实际问题转化为数学模型． （1）根据两点确定一条线段，通过列举法来计算线段数量； （2）根据两点确定一条线段，通过列举法来计算线段数量； （3）将站点看作点，不同站点间的距离不同对应不同票价，转化为求线段数量问题； （4）根据前面的原理构造类似的实际场景问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由表可得（千米），（千米），（千米）， 所以任意两站点间的距离均不相等，即票价均不相等， 故A市到E市各站点的距离如解图③所示： ①从A出发有4种票价，即； ②从B出发有3种票价，即； ③从C出发有2种票价，即； ④从D出发有1种票价，即， ⑤从E出发，有0种票价， 4+3+2+1＝10（种）， 综上共有10种票价； （4）解：若将一个点看作一个篮球队，每个篮球队两两之间进行一场比赛，则三个篮球队共需进行三场比赛，四个篮球队共需进行六场比赛．（答案不唯一） 💯 课后巩固 复习建议 · 三类线抓三要素：端点数、延伸方向、可否度量，射线端点字母在前 · 两大基本事实：两点确定一条直线（唯一性）、两点之间线段最短（最短性） · 中点三式随手写：AM = MB = ½AB，n 等分点设每份为 x 列方程 · 线段计算画图先行：位置不明必分类（同侧 / 异侧） · 数轴动点定位式：起点 ± 速度 × 时间；距离 |a − b|，中点 (a+b)/2 【作业1】 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，直线的性质，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 根据线段的性质，即可解答． 【详解】解：如图，从地到地有，，三条道路，人们通常会选择距离最短的道路，这样做依据的数学原理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【作业2】 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：∵两点之间线段最短， ∴③是路程最短的． 故答案为：两点之间线段最短． 【作业3】 【答案】(1)点B在直线l上（直线l经过点B） (2) ①如图，射线即为所求． ②如图，线段即为所求． (3)，两点之间，线段最短 【知识点】画出直线、射线、线段、两点之间线段最短、点与线的位置关系、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、两点间的距离． （1）根据点与直线的位置关系可得答案； （2）①根据射线的定义画图即可；②以点P为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点C，则线段即为所求； （3）根据两点之间线段最短可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，点B在直线l上（直线l经过点B）， 故答案为：点B在直线l上（直线l经过点B）； （2）略 （3）解：， 成立的理由是：两点之间线段最短． 故答案为：；两点之间线段最短． 【作业4】 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、两点间的距离 【分析】本题考查了作图复杂作图，两点间的距离； （1）根据线段定义即可画线段； （2）根据射线定义即可画射线； （3）根据线段定义即可连接，并将其反向延长至，使得； 解决本题的关键是掌握基本作图方法． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如图，射线即为所求； （3）如图，线段，即为所求； 【作业5】 【答案】D 【知识点】线段中点的有关计算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查数轴上的中点性质以及绝对值的化简，解题的关䋖是利用中点性质得出、与的关系，再结合原点位置分析绝对值内式子的值． 先根据线段中点的性质得出、、的关系，再结合原点位置判断绝对值内式子的结果，进而化简绝对值． 【详解】因为点是线段的中点，根据线段中点的性质：若点是线段的中点， 则，由此可得， 将代入中，得到， 所以， 故选：D． 【作业6】 【答案】①②③ 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的中点，以及线段的和差运算等内容，要注意“点在线段”这个前提，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵点在线段上， ∴， ∴是线段的中点 故①正确； ∵点在线段上， ∴是线段的中点 故②正确； ∵，点在线段上， ∴ 即 ∴是线段的中点 故③正确； ∵点在线段上， ∴ 但不能知道这两条线段是不是相等的， 故④是错误的 故答案为：①②③ 【作业7】 【答案】2或6 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．由已知条件不能确定点在直线上的位置，故要分情况讨论：当在线段上时及当要线段的延长线上时，然后进行求解即可． 【详解】解：本题有两种情况： 当点在线段上时，如图， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ， ， ； 故答案为2或6． 【作业8】 【答案】线段的长度为 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差，先根据，点C是的中点，求出的长，再根据求出即可． 【详解】解：如下图， ∵，点C是的中点， ∴． ∵， ∴． 答：线段的长度为． 【作业9】 【答案】(1) (2)CM长为3或7 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查线段和差、线段中点的知识，掌握线段中点的有关计算是解题关键； （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）分点M在点B的左侧和右侧两种情况，再根据线段和差性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵C是AB的中点，， ∴； （2）∵， ∴ 当点M在点B的左侧时， ∵， ∴； 当点M在点B的右侧时， ∵， ∴． 综上所述，CM长为3或7． 【作业10】 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题的关键． （1）根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算即可； （2）由题意得、，根据即可得出； （3）根据、的运动速度知，再由已知条件求得，可得，即可得出． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，； 故答案为：，； （2）当点、运动了时，，， ∵，，， ∴； （3）根据、的运动速度可知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【作业11】 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、与线段有关的动点问题、绝对值的几何意义 【分析】利用线段和性质将三点距离之和转化为，根据点位置确定的最值，进而求出与的差． 【详解】解：由题意可知， ∵点在线段上运动， ∴， ∴点到，，三点的距离之和为， 当点与点重合时，取得最小值，此时距离之和最小，即， 当点运动到点时，取得最大值，此时距离之和最大，即，． 【作业12】 【答案】A 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、线段中点的有关计算、线段的和与差、整式的加减运算 【分析】本题考查线段的和与差计算及中点性质、一元一次方程的应用，需根据条件逐一分析各结论的正确性，注意动点位置可能带来的多解情况． 【详解】解：①∵ C是中点，， ∴，又D在上且， ∴，故①正确； ②∵且，点C和D位置不确定， ∴分两种情况： 若顺序为，则， 设，，则，解得，即； 若顺序为，则， 设，， 则，解得，即， 综上，或，故②错误； ③若顺序为，则， ∵， ∴，解得，不符合题意，舍去； 若顺序为，则， ∵， ∴，解得，故③正确； ④∵， ∴，又D是中点， ∴，， ∴，故④正确． 综上，①③④正确， 故选：A． 【作业13】 【答案】 ③②①④ 【知识点】线段的和与差、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了线段的和差计算，作图——基本作图，根据题意确定正确的作图排序，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】解：正确的作图排序是：③②①④； ， 故答案为：③②①④；． 【作业14】 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、线段中点的有关计算 【分析】根据题意，看成数轴动点问题，设点位置以及线段和差的关系建立等量关系即可求解． 本题考查一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键熟练掌握以上知识点． 【详解】解：∵，，，，分别为， 的中点， 设当时，点代表的数为， 则点代表的数为，点代表的数为，点代表的数为，点代表的数为，点代表的数为， 则线段以每秒4个单位长度的速度向右运动时， 则点为，点为，点为， 则，， 当时， 则 解得：或． 故答案为：或． 【作业15】 【答案】(1) 作图如图所示： (2)作图如图所示： (3) 作图如图所示： 【知识点】画出直线、射线、线段、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查直线、线段、射线的基本作图及线段的尺规作图，关键是理解直线、线段、射线的定义，并掌握尺规作等长线段的方法． （1）直线可向两端无限延伸，线段有两个端点，作图时需体现直线的延伸性与线段的有限性． （2）反向延长线段需明确延长的方向，即从原线段的一个端点向另一个端点的反方向延伸． （3）射线有一个端点且向一端无限延伸，尺规作等长线段的关键是用圆规截取已知线段的长度． 【详解】（1）解：用直尺过、两点画直线(向两端无限延伸)，再用直尺连接、两点得到线段，直线与线段的交点即为点， （2）解：用直尺连接、两点得到线段，再从点出发，沿到的反方向延长，得到的反向延长线， （3）解：用直尺画出射线，再以为圆心，的长度为半径画弧，弧与射线的交点即为点，此时，保留圆规作图的痕迹即可， 【作业16】 【答案】(1) (2) 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上找原点、作线段(尺规作图)、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点即可； （2），故点是数2和数表示的点的中点，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，即可. 【详解】（1）略 （2）略 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲·直线、射线、线段·尖子生学案 （考点突破+分层训练）·2026学年人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能从端点个数、延伸性、可度量性三个角度准确区分直线、射线与线段 · 会用两大基本事实（两点确定一条直线、两点之间线段最短）解释实际问题 · 掌握线段中点与 n 等分点的表示方法，能熟练进行线段和差倍分的计算 · 能运用设元法与方程思想处理线段比例、倍分与折叠问题 · 会利用数轴求两点间距离、确定中点坐标，并解决动点与折线长问题 · 会规范使用尺规作图，作出线段的和、差与指定倍数的线段 📚 知识梳理 ☆ 1.直线、射线、线段的特征对比 三线对比记三点：端点数（0 / 1 / 2）、延伸方向（两方 / 一方 / 不延伸）、能否度量（否 / 否 / 能） 表示要规范：直线 AB 与 BA 同义；射线端点字母必须写在前面，顺序不可交换 线段是直线的一部分：线段向一个方向无限延伸得到射线，向两个方向延伸得到直线 易错提醒：射线 OA 与射线 AO 不是同一条射线（端点与方向都不同） 线段出现次数公式：直线上 n 个点共有 n(n-1)/2 条线段，射线有 2n 条 概念辨析例题：下列说法：①射线 AB 与射线 BA 是同一条射线；②直线 AB 与直线 BA 是同一条直线；③线段 AB 与线段 BA 是同一条线段。其中正确的个数是（　　） 答案：2 个（②③正确，①错误） 解析：射线有方向性，端点字母在前，射线 AB 从 A 出发向 B 延伸，射线 BA 从 B 出发向 A 延伸，二者端点与方向均不同，故①错；直线与线段的两个字母可交换，②③均正确。判断射线问题的关键是「端点 + 方向」两者都要看。 ☆ 2.两条基本事实及其应用 基本事实一：经过两点有一条直线，并且只有一条直线（简说：两点确定一条直线） 应用场景：砌墙拉线、植树定点、射击瞄准、固定木条至少两枚钉子 基本事实二：两点之间的所有连线中，线段最短（两点之间线段最短） 应用场景：道路裁弯取直、铺设管道走直线、蚂蚁爬行最短路径 两点的距离：连接两点线段的长度，是数值而不是图形本身 概念辨析例题：把一根木条固定在墙上，至少需要两枚钉子，其依据是（　　） 答案：两点确定一条直线 解析：两枚钉子相当于两个点，木条相当于直线。过一点可以画无数条直线，但过两点有且只有一条直线，所以两枚钉子就能把木条「钉死」。若只钉一枚钉子，木条仍可绕钉子旋转，体现「一点不确定直线」。 ☆ 3.线段的中点与 n 等分点 中点定义：点 M 在线段 AB 上且 AM = MB，则 M 是 AB 的中点 中点三种等价表达：AM = MB、AB = 2AM、AM = ½AB，解题时任选其一建立关系 三等分点：若 M、N 三等分 AB，则 AM = MN = NB = ⅓AB，把线段分成相等的三段 反向判定要谨慎：仅知 AM = MB 不足以说明 M 是 AB 中点，还要说明点 M 在线段 AB 上 n 等分点问题常用设元法：设每一份为 x，按「一份长 × 份数 = 全长」列方程 概念辨析例题：已知点 C 在线段 AB 上，AC = 6，BC = 4，M 是 AB 的中点，则 CM 的长为（　　） 答案：1 解析：先求全长 AB = AC + CB = 6 + 4 = 10，再由中点得 AM = ½AB = 5。因 AM = 5 < AC = 6，故 M 在 A、C 之间，所以 CM = AC − AM = 6 − 5 = 1。中点计算先求全长、再求半长、最后作差定位。 ☆ 4.线段计算的两把钥匙：和差关系与方程思想 和差关系：AB = AC + CB（C 在 A、B 之间）；AB = AC − CB（C 在线段 AB 的延长线上） 位置不明必分类：点在直线上有「同侧」「异侧」两种可能，答案常有两解 设元法：遇比例（如 AB:BC = 2:3）设每一份为 x，把各线段用 x 表示 方程思想：抓住不变量（全长不变、中点等分）列一元一次方程 检验习惯：算完回代检验各段长度是否满足题目全部条件 概念辨析例题：线段 AB 上有一点 C，AB = 12，BC = 3，点 M 是线段 BC 的中点，则 AM 的长为（　　） 答案：10.5 解析：C 在 A、B 之间，BC = 3，M 是 BC 中点，则 BM = ½BC = 1.5，于是 AM = AB − BM = 12 − 1.5 = 10.5。计算线段长时先画出示意图，标出每一段，再用「全长减去一段」或「两段相加」完成转移。 ☆ 5.数轴上的线段：距离与动点 数轴上两点距离：|a − b|；两点中点表示的数：(a + b) ÷ 2 动点表示：从数 a 出发、以每秒 v 个单位的速度向右运动，t 秒后表示的数为 a + vt（向左则为 a − vt） 相遇与追及：数轴上同向是追及（路程差 = 速度差 × 时间），相向是相遇（路程和 = 距离） 折叠对称：数轴折叠后对应点重合，两对应点到折痕点的距离相等 绝对值协助：|x − a| 的几何意义是 x 与 a 的距离，常用于化简动点式子 概念辨析例题：数轴上点 A、B 分别表示 −2 和 4，点 P 从 A 出发以每秒 1 个单位向右运动，当 BP = 1.5 时，运动时间 t 为（　　） 答案：t = 4.5 或 t = 7.5 解析：BP = 1.5 时点 P 表示的数为 4 − 1.5 = 2.5 或 4 + 1.5 = 5.5。P 从 −2 出发向右，表示的数为 −2 + t。分两类：−2 + t = 2.5 得 t = 4.5；−2 + t = 5.5 得 t = 7.5。数轴动点题的关键是「用含 t 的式子表示动点位置」，再按距离相等分类列方程。 📋 知识总结表 对象 端点数 延伸 / 等分 可否度量 直线 0 个 两方无限延伸 不可度量 射线 1 个 一方无限延伸 不可度量 线段 2 个 不延伸 可度量 中点 M — AM = MB = ½AB M 在线段 AB 上 数轴距离 — |a − b|，中点 (a+b)/2 绝对值即距离 n 点计数 — 线段 n(n-1)/2 条 射线 2n 条 ⚠️ 核心考点 【考点1】直线的性质与线段、射线概念（第1-14题） · 抓「端点数、延伸方向、可否度量」三要素区分三类线 · 射线表示端点在前，方向不同就是不同的射线 · 「两点确定一条直线」与「两点之间线段最短」对号入座：唯一性用前者，最短性用后者 · 计数问题有序枚举：n 个点线段 n(n-1)/2，n 个车站车票 n(n-1) 种 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 2．（23-24七年级上·河北唐山·期末）平面上有A，B，C三点，如果，，，那么下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在直线外 D．点C的位置无法确定 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）绿水青山就是金山银山．植树造林、保护森林，是每一位适龄公民应尽的法定义务．植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上．下列哪个数学原理可以解释这一现象（   ） A．两点之间，线段最短 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 4．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）下列说法中，能用“两点之间，线段最短”来解释的是（   ） A．在砌墙前，师傅会在墙两端拉一根笔直的水平线 B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 C．植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 D．把弯曲的公路改直就能缩短路程 5．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）从A地到C地有四条道路，某同学认为第③条路线最近，解释其中的道理是（   ） A．两点之间，直线最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 6．（20-21七年级上·陕西西安·期末）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 7．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是______ 8．（23-24七年级上·四川成都·期末）建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这其中蕴含的道理可以用数学基本事实来阐释，该数学基本事实是_______． 9．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______．    10．（23-24七年级下·四川广安·期末）三条直线相交，最多有________个交点． 11．（6.2线段、射线和直线（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（青岛版2024））在同一平面内，三条互不重合的直线把平面至少分成___________部分． 12．（24-25七年级上·北京房山·阶段检测）如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句作图（保留作图痕迹），并回答问题． (1)画射线； (2)连接，并在线段的延长线上用圆规截取； (3)作直线与射线交于点F．观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是： ． 13．（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，平面上有四个点A、B、C、D，请用直尺按下列要求作图： (1)作射线； (2)作直线； (3)连接，并反向延长交射线于点M； (4)画出点N，使点N到A、B、C、D四点的距离之和最短． 14．（24-25七年级上·山东日照·阶段检测）（）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）如图所示，直线上有个点，则图中有______条线段． （）应用（）中的结论，若火车的行驶路线上有个车站， ①问用于这条线路的车票最多有多少种不同的票价． ②若火车在这条线路上往返行车，则需要印制多少种火车票． 【考点2】线段的和差与中点计算（第15-41题） · 见中点即写三式之一：AM = MB、AB = 2AM、AM = ½AB · 和差转移：AB = AC + CB（之间）或 AC − CB（延长线上） · 位置不定先分类：同侧与异侧两种情形分别画图求解 · 比例与倍分设元，用全长不变或中点等分列一元一次方程 15．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D． 16．（22-23七年级上·四川眉山·期末）已知数轴上有两条线段，，则这两条线段的中点之间的距离为（    ） A．2 B．4 C．2或22 D．4或44 17．（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图所示，已知直线，点在线段上，则下列说法正确的个数有（    ） ①图中共有3条线段 ②图中共有6条射线 ③线段表示点与点之间的距离 ④若，则点为线段的中点 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（23-24七年级上·山东济宁·期中）点，，在直线上的位置如图所示，下列结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级上·河南郑州·期末）小涵家所在的小区、小区附近的一个大型超市和新华书店均位于一条东西走向的公路两旁，且超市和书店与小涵家的距离分别为800米和300米，则超市和书店之间的距离为（    ） A．500米 B．1100米 C．300米或500米 D．500米或1100米 20．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 21．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，线段在线段上，且，若线段的长度是-个正整数，则图中以A、B、C、D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（   ） A．28 B．29 C．30 D．27 22．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，，点在线段的延长线上，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与、重合），使得且，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D．4 23．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，点是线段的中点，是线段上的一点，点是的中点，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，线段，是的中点，点在上，且，则线段的长为________． 25．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点是线段的中点，，，则的长度为_______． 26．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，点在线段上，且，延长至点，使．若，则的长为_______． 27．（23-24七年级上·吉林松原·期末）线段被分成三部分，第一部分与第三部分中点的距离为，则最长部分的长为________． 28．（25-26七年级上·江苏·期末）已知线段，延长线段至点，使得，点为线段中点，则的长度为__________． 29．（24-25七年级上·河北唐山·期末）【新知理解】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点C是线段的巧点，则_______． 30．（23-24七年级上·湖北咸宁·期末）如图，点在线段上，分别是的中点，若，则_____． 31．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）直线l上有A，B，C三个点，已知，D是的中点，且，则线段的长为______． 32．（23-24七年级上·云南红河·期末）点C是线段的中点，点D是直线上的一点，点E是线段的中点，若，则线段的长为________． 33．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在直线l上取A、B、C三点，使得，．如果O是线段的中点，则线段的长度为______cm． 34．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知，点O是线段的中点，且，则的长是______． 35．（21-22七年级下·浙江温州·开学考试）如图，线段在线段上，且，，则图中以，，，这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是 _______． 36．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，点B和点C把线段分成三部分，点M是线段的中点，，下列说法：①；②；③；④，正确的是______（填序号）． 37．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）在直线上取三点，使得，． （1）的长为___________； （2）如果点是线段的中点，那么线段的长为___________． 38．（河北石家庄市长安区2025-2026学年第一学期七年级期末考试数学模拟试卷）已知，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)求证：； (2)如果，求的长． 39．（24-25六年级下·山东泰安·阶段检测）三点在一条直线上，， ， 的中点是 ，的中点是 ，求线段的长． 40．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，点、是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)求的长． (2)若，求的长． 41．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，，如果的中点M和的中点N的距离是24，求线段的长度 ． 【考点3】数轴动点与线段综合应用（第42-54题） · 动点定位：起点 ± 速度 × 时间，向右取加、向左取减 · 距离工具：数轴上两点距离 = |a − b|，中点 = (a+b)/2 · 相遇看「路程和」，追及看「路程差」，折线长逐段累加 · 尺规作图按步骤书写：已知、求作、作法、结论缺一不可 42．（23-24六年级下·山东泰安·期末）点在同一条数轴上，其中点表示的数分别为，3，若，则等于（   ） A．3 B．1 C．4或8 D．2或6 43．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点为直线上从左到右的四个点，且，动点在直线上，点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点的速度是点的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 44．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示，．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．A区 B．B区 C．C区 D．不确定 45．（2025七年级上·河南郑州·专题练习）如图，点A、点B是直线l上的两点，厘米，点C在线段上，且，点P、点Q分别从点C、点B同时朝点A方向运动，且点P、点Q运动的速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，若点M是的中点，则经过_______秒时线段． 46．（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知线段，点是射线上一点，且，则的长等于______． 47．（23-24七年级上·河北邢台·期末）如图，数轴上点，分别表示数，，点为原点．    （1）若，，则线段的长度为______． （2）若点C在之间，且点C表示的数是2，，则整式______． 48．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，已知点在线段上． (1)尺规作图：在线段上作一点，使得（不写过程，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，，，为中点，求线段的长． 49．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如图，在同一平面内有，，，四个点，利用尺规，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹，不写结论）． (1)作直线； 作射线； 连接，交于点； (2)在（1）的条件下，在射线上作线段，使得线段． 50．（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知线段、，且（如图） (1)用直尺和圆规画出线段，使； (2)画出线段的中点； (3)如果，，求线段的长． 63．（有理数期末考前拔高预测卷（青岛版）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版2024））如图，已知数轴上、两点所表示的数分别为和8． (1)线段长是 ； (2)若为线段上的一点（点不与、两点重合），为的中点，为的中点，请你画出图形，求的长； (3)若为数轴上的一点（点不与、两点重合，为的中点，为的中点，当点在数轴上运动时；的长度是否发生改变？请你画出图形说明，直接写出你的结论． 51．（24-25七年级上·北京·期末）如图，平面上有三个点A，B，C． (1)根据下列语句画图： ①作线段，射线，直线； ②在射线上取一点（不与点重合），使； (2)在（1）的条件下，回答问题： ①用适当的语句表述图中点与直线的关系：______； ②已知A，B两点之间的距离为6，点为直线上一点，且满足，则线段的长为______． 52．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是，，8． (1)填空：　 　，　 　； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 53．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）按要求作图，并回答问题： (1)若平面内有三个点，且不在同一直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (2)若平面内有四个点，且每三点都不在同一条直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (3)利用以上原理解决问题： 某趟高铁从起始点A市到终点E市会经过B，C，D三个站点，中途共停靠3次，每个站点到A市的距离如表所示： 站点 B C D E 与A市的距离（公里） 115 254 367 493 已知高铁的票价由路程决定，求共有几种不同的票价； (4)写出一个可以用以上问题中的原理解决的实际问题． 💯 课后巩固 复习建议 · 三类线抓三要素：端点数、延伸方向、可否度量，射线端点字母在前 · 两大基本事实：两点确定一条直线（唯一性）、两点之间线段最短（最短性） · 中点三式随手写：AM = MB = ½AB，n 等分点设每份为 x 列方程 · 线段计算画图先行：位置不明必分类（同侧 / 异侧） · 数轴动点定位式：起点 ± 速度 × 时间；距离 |a − b|，中点 (a+b)/2 【作业 1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是_____ ．         【作业 2】（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）如图，小华认为从A点到B点的四条路线中，③是路程最短的，他判断的依据是______． 【作业 3】（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图、已知直线l和点A、B，P． (1)用适当的语句表述点B与直线l的位置关系：______； (2)请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①画射线； ②连接，在线段的延长线上作线段，使； (3)连接，则______（填“”“”“”）成立的理由是______． 【作业 4】（22-23七年级上·新疆阿克苏·期末）如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句用没有刻度的直尺和圆规画图，请保留作图痕迹，并写明结论．（温馨提示：请同学们在答题卡上标出对应的四个点A、B、C、D） (1)画线段； (2)画射线； (3)连接，并将其反向延长至E，使得 【作业 5】（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知数轴上点、、所表示的数分别为、、，点是线段的中点，且，如果原点的位置在线段上，那么等于（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【作业 6】（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）如果点在线段上，下列式子：①，②，③，④．能判断是线段的中点的有______． 【作业 7】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知 ，点是线段的“巧分点”，则_____． 【作业 8】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）已知线段，点C是的中点，点D在上，且，求线段的长度． 【作业 9】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，点C为线段AB的中点，． (1)求BC的长； (2)在射线AB上有一点M，，求线段CM的长． 【作业 10】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）已知：如图1，点是线段上一定点，，、两点分别从、同时出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上）． (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点、运动了，求的值； (3)若点、运动时，总有，则 （填空）． 【作业 11】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点P从点A开始沿该数轴的正方向运动，到达点C停止．若运动过程中，点P到三点的距离之和的最大值为x，最小值为y，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业 12】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知线段，、是线段上的两个动点，则下列结论：①若C是的中点，点D在线段上，，则；②若，且，则；③若，则；④若是的中点，，则．其中正确的为（    ） A．①③④ B．①②④ C．①② D．①④ 【作业 13】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段， 正确的作图排序是：________ ．所求作的线段是线段________ ． 【作业 14】（25-26七年级上·四川广安·期末）如图，已知直线l上的三条线段分别为，，，将线段固定不动，线段以每秒4个单位长度的速度向右运动，，分别为， 的中点，设线段的运动时间为 秒，当时，的值为_______． 【作业 15】（25-26七年级上·新疆·期末）如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图． (1)画直线，与线段交于点； (2)连接，并将反向延长； (3)画射线，用尺规作图，在射线上取一点，使得线段．（保留作图痕迹，不写作法） 【作业 16】（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）数轴上，点表示的数分别为，请利用刻度尺或圆规作图． (1)如图1，若，请在数轴上画出原点； (2)如图2，若，在数轴上画出表示数的点． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $