专题10直线.射线.线段复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题10直线.射线.线段复习讲义 1.能分清直线、射线、线段，掌握三者的联系与区别，牢记各自端点数量、延伸特点以及表示方法。 2.理解 “两点确定一条直线” 这个基本事实，会用它解释生活里的相关现象。 3.会用尺规作一条线段等于已知线段，掌握线段的度量、比较大小的方法。 4.理解线段中点的含义，能利用中点的倍分关系进行线段长度计算。 5.理解 “两点之间，线段最短”，知道两点间距离的定义，会解决路径最短相关问题。 6.能处理多条线段组合、动点类线段计算，审题留意多解、分类讨论的情况。 7.易错辨析：两点间的距离是线段的长度，不是线段本身；射线的表示要注意端点写在前面。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型二 画出直线、射线、线段 ★ 题型三 点与线的位置关系 ★ 题型四 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型五 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型六 线段的应用 ★★ 题型七 两点确定一条直线 ★ 题型八 作线段 ★★ 题型九 线段的和与差 ★★ 题型十 线段中点的有关计算 ★★ 题型十一 线段 n 等分点的有关计算 ★★★ 题型十二 线段之间的数量关系 ★★ 题型十三 与线段有关的动点问题 ★★★ 题型十四 两点之间线段最短 ★ 题型十五 两点间的距离 ★ 题型十六 最短路径问题 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 直线、射线、线段基础概念与三要素对比 一、定义 线段：直线上两点及两点间的部分，有两个端点，长度可测量。 有始有终，长度可量 射线：将线段向一个方向无限延伸得到的图形，只有 1 个端点，不可度量长度。 有始无终，无限延伸 直线：将线段向两个方向无限延伸得到的图形，无端点，不可度量长度。 无始无终，无限延伸 二、核心对比表格（必考区分点） 知识点 02 两个基本事实（几何公理，证明、填空必背） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点有且只有一条直线。 关键词：有（存在）、只有（唯一） 生活应用： 钉木条至少钉 2 颗钉子；排队对齐；射击瞄准两点一线。 拓展：过一点可以画无数条直线；两点只能画 1 条直线。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点的所有连线中，线段最短。 衍生定义：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离。 ⚠️ 易错区分：距离是长度（数），线段是图形，不能说 “线段是距离”。 生活应用：走路走直路、河道改直缩短路程。 知识点 03 线段的作图、比较、和差运算 一、尺规作图：作一条线段等于已知线段 标准步骤： 1.画一条射线AB； 2.圆规量取已知线段MN的长度； 3.圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； 4.线段AC即为所求。 二、比较线段长短两种方法 方法 操作步骤 适用场景 度量法 用刻度尺分别量两条线段长度，再比较数值 需要精确数值、计算和差 叠合法 一端点重合，另两端点落在同侧，观察位置 纯图形直观比较 三、线段的和、差（几何书写规范） 已知点C在线段AB上： 和：AB=AC+BC 差：AC=AB-BC，BC=AB-AC 四、线段中点（核心概念） 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 几何等量关系（必写）： 若C是线段AB中点，则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB 知识点 04 直线、射线、线段计数规律（选择填空高频） 1. 直线计数 任意两点确定 1 条直线，n个点中任意三点不共线时，直线总数： 2. 射线计数（直线上有n个点） 直线上每个点分出 2 条射线，总射线数2n。 3. 线段计数（直线上有n个端点） 总线段条数：(n-1)+(n-2)+..+1= 例：线段上有 4 个点，总线段数3+2+1=6条。 知识点 05 高频易错点汇总 典型错误 标准正确做法 射线写反顺序，射线OA写成射线AO 射线端点字母必须写在第一位，不可调换 混淆 “两点间距离”，说成两点之间的线段 距离是线段的长度，是数值，线段是图形 认为射线、直线可以度量长度 只有线段有有限长度，射线、直线无限长，无法测量 中点公式书写颠倒，AM=2AB 中点分线段为两半，AM=AB 过两点画多条直线，违背直线公理 牢记两点确定唯一一条直线 计算线段条数漏数、重复数 套用公式，按端点有序枚举 尺规作图不保留圆规痕迹 作图题必须保留作图痕迹，不能直接画出线段 知识点 06 几何规范语言汇总（答题书写标准） 1.延长线段AB至点C，使BC=AB； 2.反向延长射线OA； 3.点M在线段AB上；点P在直线l外； 4.连接AB（只能连接两点得到线段，不能说连接射线 / 直线）； 5.过点A、B作直线AB。 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 1．手电筒发射出来的光线，给我们的感觉是________．（填“直线”“射线”或“线段”） 【答案】射线 【分析】根据直线、射线、线段的端点和延伸特征，并结合手电筒发光的实际场景判断即可． 【详解】解：直线没有端点，向两个方向无限延伸；射线有一个端点，向一个方向无限延伸；线段有两个端点，长度有限．手电筒发出的光线，有一个端点在手电筒位置，且向一个方向无限延伸，符合射线的特征． 2．下列语句正确的是（   ） A．画直线厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到点C，使得 【答案】D 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解决本题的关键． 根据直线、射线、线段的概念逐项判定即可解决此题． 【详解】解：A、直线两端无限延伸，即直线无长度，所以画直线厘米错误，故此选项不符合题意． B、射线一端有固定的顶点，另一端无限延伸，即射线无长度，所以画射线厘米错误，故此选项不符合题意． C、射线是向一方无限延伸的，要截取长为2厘米的线段，应以射线端点O为线段的一个端点，即截取厘米，原说法错误，故此选项不符合题意； D、延长线段到点C，当B为的中点时，可使得，所以延长线段到点C，使得正确，故此选项符合题意． 故选：D． 3．小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选：A． 题型二 画出直线、射线、线段 4．下列选项中，根据语句“画射线，画直线，连接”画图正确的是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查作图，直线、射线、线段，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 根据直线、射线、线段定义即可解决问题． 【详解】解：画射线，画直线，连接，如图所示： 故选：B． 5．下列表示方法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段、直线、射线的应用，根据直线、射线、线段的表示方法判断即可． 【详解】解：A、表示直线，正确，故本选项错误； B、表示射线 ，错误，故本选项正确； C、表示直线l，正确，故本选项错误； D、表示线段a，正确，故本选项错误； 故选：B． 6．经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为______． 【答案】10 【分析】本题是探索规律题，考查了直线、射线、线段，不在同一条直线上的五个点有三种不同的关系：①有四个点在同一条直线上；②有三个点在同一条直线上；③五个点中任意三个点都不在同一条直线上．熟练掌握分类讨论思想的运用是关键． 【详解】解：如图， ①有四个点在同一条直线上； 故最多可画5条； ②有三个点在同一条直线上； 故最多可画8条； ③五个点中任意三个点都不在同一条直线上； 当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：（条，所以最多能得到10条直线． 故答案为10 题型三 点与线的位置关系 7．点与直线有______种位置关系，分别是点在_________和点在__________．如图：点A在__________，点B在_________． 【答案】 2 直线上 直线外 直线外 直线上 【分析】本题主要查了点与直线的位置关系．根据点与直线的位置关系，即可求解． 【详解】解：点与直线有2种位置关系，分别是点在直线上和点在直线外． 点A在直线外，点B在直线上． 故答案为：2；直线上；直线外；直线外；直线上 8．M所在的位置如图，的位置是点 _____，的位置是点 _____． 【答案】 ② ④ 【分析】本题考查了线段的倍数关系，熟悉掌握线段的长短变换时解题的关键． 通过分析点的位置即可解答． 【详解】解：∵，即点坐落在到的处， ∴此点为②； ∵，则点坐落在到的倍长度处，即在与的中间， ∴此点为④； 故答案为：②④． 9．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 题型四 直线、线段、射线的数量问题 10．一条铁路有9个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备车票（    ）种． A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】D 【分析】本题主要考查线段概念的实际应用，利用线段数计算车票种类，注意往返车票是不同的，需乘以2． 【详解】解：∵9个火车站可看作直线上的9个点， ∴线段总数为：（条）， ∵每两个车站之间的往返车票为不同的两种， ∴铁路局需准备的车票种类为（种）； 故选：D． 11．平面内，不在同一直线上的n（正整数）个点（任意三点不共线），过其中任意两点画直线，可以画____条；n条直线最多可以把一个平面分成__________部分． 【答案】 【分析】此题主要考查了相交线以及图形的变化类，正确得出变化规律是解题关键．第一部分利用有2，3，4个点时，可以画出的直线条数得出规律，进而得出答案；第二部分直接利用当有1，2，3条直线时最多可把平面分成的部分得出规律求出答案． 【详解】解：对于第一问：如图，当，3，4时，画出最多直线的条数分别是： ∴平面内n个点（任意三点不共线），过其中任意两点画直线，可以画条； 对于第二问：如图，当有1，2，3条直线时最多可把平面分成的部分分别是： ∴n条直线最多可把平面分成个部分， 故答案为：；． 12．如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……按照此规律，在内画10条射线时，则图中角的个数是（   ） A．65 B．66 C．67 D．68 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律的探究，解题的关键是找出角的个数与射线条数之间的数量关系． 先根据已知条件总结出在内画条射线时，角的个数的通用公式，再将代入公式计算结果． 【详解】解：在内画条射线时，图中共有条射线， 内部射线数 总射线条数 代入公式计算 实际角的个数 1 条 3 条 3 个 2 条 4 条 6 个 3 条 5 条 10 个 …… ∴角的个数为， 当时，． 故选：． 题型五 直线相交的交点个数问题 13．同一平面内10条不同的直线，其中有4条直线，它们之间无公共点，另外还有4条直线，它们有一个共同的公共点，则这10条直线的公共点个数最多是（    ） A．31 B．33 C．34 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了直线相交的交点问题，根据10条不同的直线最多有个不同的交点，4条不同的直线最多有个不同的交点，进而可得，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：10条不同的直线最多有个不同的交点， 4条不同的直线最多有个不同的交点， 所以这10条直线的公共点个数最多是个． 故选C． 14．某城市新区规划建设8条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为________． 【答案】28 【分析】要使信号灯组数最多，需每两条主干道都相交，且任意三条主干道不经过同一个交点，总结n条直线最多交点数的规律即可计算． 【详解】解：两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点， 可得规律：条直线相交，最多的交点个数为， 将代入公式得： 即最多需要准备28组交通信号灯． 15．小丁通过举例推理，探究出多条直线两两相交时，交点数量的变化规律（如图）．按照这个规律计算，当直线两两相交最多出现190个交点时，直线的数量是（     ）    直线的条数 2 3 4 5 … 交点的个数 1 3 6 … … A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】观察表格数据，归纳出条直线两两相交最多有个交点，令交点数为建立方程求解即可． 【详解】解：设直线的数量是，由表格规律可知，条直线两两相交最多有个交点， 根据题意得， 整理得， ∵且为正整数， ∴． 即直线的数量是． 题型六 线段的应用 16．兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 【答案】C 【分析】此题考查了线段之间的总条数，解题的关键是往返车票需要两种车票．根据线段之间的总条数计算即可． 【详解】解：如图所示，兰州市某公交线路上共设6个车站，可看作六个点， 则线段的总条数是， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应设计（种）． 故选：C． 17．往返于贵阳到铜仁的列车，中途停靠4个站，则要准备 _____种不同的车票． 【答案】30 【分析】先计算出总的站点数量，再结合不同起点终点对应不同车票，即往返车票方向不同属于不同车票，计算即可得到总车票种类． 【详解】由题意可得，总站数为 （个）， 因为车票起点不同即为不同车票，每个站可到达剩余个站，因此总车票种类为：（种）． 18．如图，在线段AD上有两点B，C，则图中共有_____条线段，若在车站A、D之间的线路中再设两个站点B、C，则应该共印刷_____种车票． A．3， 3 B．3， 6 C．6， 6 D．6， 12 【答案】D 【分析】从左到右的顺序依次确定线段，车票有方向性，是线段条数的2倍. 【详解】从A开始的线段有AB，AC，AD三条；从B开始的线段有BC，BD二条； 从C开始的线段有CD一条；所以共有6条线段； 车票从A到B和从B到A是不同的，所以车票数恰好是线段条数的2倍，所以需要12种车票， 故选D. 【点睛】本题考查了线段的定义，数线段，以及线段与生活中的车票的关系，熟练数线段，理解车票数是线段数的2倍是解题的关键. 题型七 两点确定一条直线 19．如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】A 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是两点确定一条直线． 20．平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有__________________条． 【答案】170 【分析】此题主要考查了两点确定一条直线，解决问题的关键是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，再代入求值． 根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线…，依此类推找出规律：n个点最多确定（条）直线．据此即可解题． 【详解】解：平面内不同的2个点确定1条直线， 3个点最多确定3条，即； 4个点确定最多（条）直线； 则n个点最多确定（条）直线． 解法1：平面上20个点最多可连（条）直线，而平面上的7个点最多可连（条）直线，现四点共线，故有（条）． 解法2：由直线外的13个点分别与同一直线上的7个点连线可连（条），又13个点无三点共线，可连（条），再加上四点共线一条，一共是（条)． 故答案为：170． 21．如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考察了直线的性质：两点确定一条直线，关键是按照一定的顺序寻找． 找到同时经过其中个点的直线的条数即可求解． 【详解】解：如图所示： 故同时经过其中个点的直线有条． 故选：C． 题型八 作线段 22．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是读懂图象信息，根据作图痕迹判断即可． 【详解】解：选项A，C，D中可以作出线段， 而选项B表示的是，不能作出线段， 故选：B． 23．如图，点是线段上一点，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．则______． 【答案】 【分析】根据线段的和差关系及已知比例求出和的长，再根据作图痕迹得出，，最后利用线段的和差关系计算的长 ． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴． 24．小华进行了如下操作：①作射线；②在射线上依次截取；③在线段上截取．由作图可得线段（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段的和差计算，解题关键是根据图形准确找出线段间的数量关系，利用数形结合思想列式计算． 由作图可知，，根据线段关系，代入、计算，化简得出． 【详解】解：由题意可得：，， ， 故选A． 题型九 线段的和与差 25．已知线段，在直线上画线段，使，则线段的长度为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况计算线段的长度． 【详解】解：当点C在线段上时，， 当点C在线段的延长线上时，． 26．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先说明，再结合求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 27．七巧板被誉为“东方魔板”，小丽利用七巧板（如图甲）中的各板块拼成一个“轮船”（如图乙），则“轮船”的长与高比值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据七巧板特点，设，，用的代数式表示出 “轮船”的长与高，再根据求出、的关系，即可求“轮船”的长与高比值. 【详解】解：如图， 根据七巧板特点得：，， 设，，则： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴“轮船”的长与高比值为2. 题型十 线段中点的有关计算 28．下列能判断点M是线段的中点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ 点在线段上任意位置均满足， ∴ 选项A无法判断是线段的中点． ∵ 点不在线段上时，也可分别满足或， ∴ 选项B、D无法判断是线段的中点． ∵ ， ∴ ，即点在线段上， 又∵ ， ∴ 是线段的中点． ∴选项C能判断是线段的中点． 29．如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【答案】 【分析】由是的中点可得，利用线段和差得到，再由点是的中点，点是的中点，可得，，即可求出的值． 【详解】解：是的中点，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ． 30．已知O为原点，点C表示的数为4，取的中点M，将分为两段，记为第一次操作：取的中点分别为，将分为4段，记为第二次操作；再取这四段的中点，将分为8段，记为第三次操作；…，第十次操作后，（包含两个端点）之间共有__ 个点 ． 【答案】1025 【分析】逐次观察操作后的分段数规律，结合线段上点数量与段数的关系（点数量=段数+1），推导第十次操作后的总点数． 【详解】解：逐次观察操作后的分段情况． 第一次操作后，被分为2段，即段数为． 第二次操作后，被分为4段，即段数为． 第三次操作后，被分为8段，即段数为． 每次操作后的段数都是前一次的2倍， 因此第次操作后，被分为段． ∵ 线段上包含两个端点的点的总数量等于线段被分成的段数加1． ∴ 第次操作后，上的点的总数量为． 当时，代入得总点数量为． 题型十一 线段 n 等分点的有关计算 31．如图，点是线段的一个三等分点，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点是线段的一个三等分点，， ∴． 32．已知点是线段的一个三等分点，是线段的中点，是线段的中点，，则________． 【答案】24或12 【分析】本题考查了线段的和差，线段n等分点的有关计算，线段中点特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 根据点C是线段的一个三等分点，分两种情况讨论：当C靠近A时和当C靠近B时，利用中点定义和线段和差关系求解，即可解题． 【详解】解：设， 情况1：当点C靠近点A时，， ∵是线段的中点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 情况2：当点C靠近点B时，； ∵是线段的中点， ∴， ∵是线段的中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上所述，的值为24或12； 故答案为：24或12． 33．有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 【答案】A 【分析】根据作图的方法以及线段的中点，三等分点的定义，即可求解． 【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确； ②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误． 故选：A．           【点睛】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，画线段，分类讨论是解题的关键 题型十二 线段之间的数量关系 34．已知A、B、C三点在同一条直线上，则下列：①；②；③；④．可以判断点C是线段AB中点的有（    ） A．③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义逐项分析即可求得答案． 【详解】解：①当时，只能说明点C在线段AB上，点C不一定是线段AB中点，故①错误； ②当时，点C不一定在线段AB上，有可能在出现下图的情况， 故②错误； ③当时，点C一定是线段AB中点，故③正确； ④当时，点C不一定在线段AB上，有可能在出现下图的情况， 故④错误； 综上，正确的只有③． 故答案为：A． 【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． 35．已知点，，在一条直线上且不重合，则下列等式中：①；②；③；④，不能判断点是线段中点的有_______．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据线段中点的有关性质判断即可； 【详解】∵AP=BP，∴点P是线段AB的中点，故①不符合题意； 点P可能是在线段AB的延长线上且在点B的一侧，此时也满足，故②符合题意； 点P可能是在线段BA的延长线上且在点A的一侧，此时也满足，故③符合题意； ∵点P为线段AB上任意一点时恒成立，故④符合题意； 故答案为②③④． 【点睛】本题主要考查了线段中线的性质应用，准确分析判断是解题的关键． 36．已知三点在同一条直线上，且线段，点分别是线段的中点点F是线段的中点，则_______． 【答案】或 【分析】根据中点定义求出BD、BE的长度，然后分①点C在AB的延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解；②点C在AB的反向延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解． 【详解】 解：、分别是线段、的中点，，， ，， ①如图1，点在的延长线上时，， 点是线段的中点， ， 此时，； ②如图2，点在的反向延长线上时，， 点是线段的中点， ， 此时，， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 题型十三 与线段有关的动点问题 37．电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为________． 【答案】5 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 38．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 39．如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点P从点A开始沿该数轴的正方向运动，到达点C停止．若运动过程中，点P到三点的距离之和的最大值为x，最小值为y，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用线段和性质将三点距离之和转化为，根据点位置确定的最值，进而求出与的差． 【详解】解：由题意可知， ∵点在线段上运动， ∴， ∴点到，，三点的距离之和为， 当点与点重合时，取得最小值，此时距离之和最小，即， 当点运动到点时，取得最大值，此时距离之和最大，即，． 题型十四 两点之间线段最短 40．如图，2025年9月28日建成通车的贵州花江峡谷大桥，是新的“世界第一高桥”，通车后北盘江两岸（两地）通行时间从2小时缩短至2分钟．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．过一点可以画多条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据题意可得两点之间，线段最短． 【详解】解：通行时间从2小时缩短至2分钟．用所学数学知识解释这一现象恰当的是两点之间，线段最短； 故选：D． 41．在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【答案】30 【详解】解：根据题意，得当点P与点B重合时，取得最小值，且最小值为， 则到三个加工点的距离之和最小，且最小为． 42．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为12，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是得出．连接，则，根据两点之间线段最短，得出当N在A，C之间时，最小，然后求出最小值即可． 【详解】解：如图，连接，则，    ∵两点之间线段最短， ∴当N在A，C之间时，最小，且最小值， ∴的最小值为， 故选：B． 题型十五 两点间的距离 43．已知线段长为，点是线段的中点，点是线段的三等分点．则线段的长为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是注意分类讨论．分两种情况讨论． 【详解】解：①当时， ，线段长为，点是线段的中点， ， ， ②当时， ，线段长为，点是线段的中点， ， ， ， 故选：． 44．如图，线段，点分别是线段和线段的中点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设，，可得，，然后根据，求得，故求出，，再根据中点的定义计算即可． 【详解】解：设，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 又∵点分别是线段和线段的中点， ∴，， ∴， 故答案为． 45．如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一枚钉子，（钉子大小忽略不计，，抽象成两个点），若将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条上钉子之间的距离是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】题目主要考查线段两点间的距离，中点的性质，分类讨论，掌握数形结合的思想是解题关键． 根据题意，分两种情况讨论：当，（或，）重合，且剩余两端点在重合点同侧时；当，或，重合，且剩余两端点在重合点两侧时；作出相应图形，结合图形求解即可． 【详解】解：①当，（或，）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可知，； ②当，或，重合，且剩余两端点在重合点两侧时， ； 两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：D 题型十六 最短路径问题 46．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（     ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．以上结论都不对 【答案】C 【分析】由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理是两点之间线段最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的性质，牢记线段的性质是解题关键． 47．如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（    ） A．不断变大 B．不断变小 C．先变小再变大 D．先变大再变小 【答案】C 【分析】作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O，当点O运动到此点时三角形的周长最短，由此即可得出结论． 【详解】解：作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O， ∵两点之间线段最短，且PQ为定值， ∴当点O运动到此点时三角形的周长最短， ∴这些三角形的周长变化为先变小再变大． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 48．在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 【答案】B 【分析】本题考查的是比较线段的长短，先根据题意求出各点间的距离并在图上表示出来，再分别计算出各村到选项中所给的村的路程和，再比较出其大小即可． 【详解】解：A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，， ∴ 又村庄G正好是的中点， ∴， ∴各村间的距离如图所示： 各村到A村的路程和为：， 各村到E村的路程和为：， 各村到C村的路程和为：； 各村到G村的路程和为：． ， 故活动中心应建在C村． 故选B． 解答题 49．如图，平面内有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图（截取用圆规，并保留痕迹不写作法）． (1)画直线，画射线交直线于点E； (2)连接，用圆规在线段的延长线上截取． 【答案】(1)如图，直线、射线和点即为所求； (2)如图，，即为所求． 【分析】（1）根据直线，射线的定义进行画图即可； （2）利用圆规截取线段即可． 【详解】（1）略 （2）略 50．课本问题 如图，以A、B、C、D四点中的两点为端点的线段共有多少条？ (1)【解题回顾】解：以A为端点的线段有3条，以B为端点的线段有2条，以C为端点的线段有1条，所以一共有 条． (2)【一般化探索】如图①，线段上有n个点，求图①中线段共有多少条？ (3)【类比探究】在如图②所示的（边长都是8个单位长度）的正方形网格中，求图②中正方形共有多少个？ (4)在如图③所示的的立方体中有多少个小立方体？ 【答案】(1)6 (2) (3)204 (4) 【分析】（1）将以A、B、C三个端点线段条数求和即可； （2）类比（1）得到规律求解即可； （3）类比（2）得到规律求解即可； （4）类比（3）得到规律求解即可． 【详解】（1）解：∵以A为端点的线段有3条，以B为端点的线段有2条，以C为端点的线段有1条， ∴一共有（条）． 故答案为：6． （2）解：∵线段上有n个点，不妨记为， 则以为端点的线段有条， 以为端点的线段有条（不以为端点的）， 以为端点的线段有条（不以为端点的）， …… 以为端点的线段有0条， 故图①中共有线段（条）． （3）解：∵正方形网格规格可设为， ∴边长分别为8，7，6，…，1的正方形， 则边长为的有个， 的有个， 的有个， … 的有个， 故图②中共有正方形（个）． （4）解：将正方体分为，，，…，规格， 即棱长为8的有个， 7的有个， 6的有个， … 1的有个， 故图③中有（个）． 【点睛】掌握运用由特殊情况总结一般性结论的方法是解题的关键． 51．某数学兴趣小组学习“两点确定一条直线”后，想继续探究平面内有3点、4点……n点时，过两点画直线的情况，并进行了以下操作探究： (1)【操作·思考】画出下面两种情况的所有直线： ①当3点在同一条直线上时，如图1 ②当3点不在同一条直线上时，如图2 (2)【思考·提升】类比以上方法，继续探究不在同一条直线上的4点、5点、6点……画直线的情况．总结规律解决问题：过在同一平面内的10个点最多可作多少条直线？过在同一平面内的n个点最多可作多少条直线？ (3)【提升·拓展】某校组织了“迎新”活动． ①七年级举行单循环篮球赛，全年级8个班共打了几场比赛？ ②有50人参加了本次“迎新”活动，活动结束后参与人员需互送贺卡，共送出了多少张贺卡？ 【答案】(1) 解：如图1， 如图2， (2)过在同一平面内的10个点最多可作条直线，过在同一平面内的n个点最多可作条直线； (3)①全年级8个班共打了场比赛；②共送出了张贺卡． 【分析】本题考查了直线、射线、线段，本题是探索规律题，有理数混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据两点确定一条直线画图即可；②根据两点确定一条直线画图即可； （2）根据过不在同一直线上的3个点的直线有3条，过不在同一直线上4个点的直线有6条，过不在同一直线上5个点的直线有10条，按此规律，即可得到平面内有n个点，可画的直线数，即可解答； （3）①根据单循环赛制列式计算即可；②根据每个人送出张贺卡，列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：过在同一直线上的3个点，一共可以画条直线； 过在同一直线上的4个点，一共可以画条直线； 过在同一直线上的5个点，一共可以画条直线； 过在同一直线上的6个点，一共可以画条直线； ； 则过在同一直线上的n个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的3个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的4个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的5个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的6个点，一共可以画条直线； ； 则过不在同一直线上的n个点，一共可以画条直线； 综上，过在同一平面内的10个点最多可作条直线，过在同一平面内的n个点最多可作条直线； （3）解：①（场） 答：全年级8个班共打了场比赛； ②（张） 答：共送出了张贺卡． 52．如图①，点把线段分成和两条线段，当时，称点是线段的内二倍分割点；如图②，当时，称点是线段的内二倍分割点．例如：如图③，数轴上，点、、、分别表示数、2、1、0，则点是线段的内二倍分割点，点是线段的内二倍分割点． (1)如图④，、为数轴上的两点，点所表示的数为，点所表示的数为7，线段的内二倍分割点表示的数是_______，线段的内二倍分割点表示的数是_______； (2)数轴上，点所表示的数为，点所表示的数为20．点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． （ⅰ）线段的长为_______；（用含的式子表示） （ⅱ）当为_______时，、、三个点中恰有一个点为其余两点连成线段的内二倍分割点？ 【答案】(1)； (2)或或或 【分析】（1）根据内二倍分割点，结合数轴上两点间的距离建立一元一次方程分别求解即可； （2）（ⅰ）根据点以每秒2个单位的速度从点出发沿数轴向左运动，即可列出代数式；（ⅱ）分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设线段的内二倍分割点表示的数是， 则， 解得， 即线段的内二倍分割点表示的数是； 设线段的内二倍分割点表示的数是， 则， 解得， 即线段的内二倍分割点表示的数是； （2）解：（ⅰ）由题意得，线段的长为； （ⅱ）由（ⅰ）知线段的长为， 点所表示的数为，点所表示的数为20， ， 当点在之间时， 若，即点是线段的内二倍分割点, 此时，， 则，解得； 若，即点是线段的内二倍分割点, 此时，， 则，解得； 当点在点左侧时， 若，即点是线段的内二倍分割点, 此时，， 则，解得； 若，即点是线段的内二倍分割点, 此时，， 则，解得； 综上，当为或或或时，、、三个点中恰有一个点为其余两点连成线段的内二倍分割点． 53．在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为3． (1)①点A与点B之间的距离为 ；②若数轴上有一点C，且点C到点A的距离等于点C到点B的距离，则点C表示的数为 ． (2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动．求经过多少秒后，点P与点Q之间的距离为4个单位长度． (3)若数轴上有一点M，使点M到点A的距离与点M到点B的距离和最小，求满足条件的点M表示的所有整数和． 【答案】(1)①8；②． (2)1秒或3秒 (3) 【分析】（1）①根据数轴上两点间距离公式计算即可；②根据点C到点A的距离等于点C到点B的距离可知点C是线段的中点，然后列式计算即可； （2）设经过t秒后，点P与点Q之间的距离为4，则点P表示的数为，点Q表示的数为，根据两点间距离公式列出绝对值方程求解即可； （3）设点M表示的数为m，则点M到点A的距离为，点M到点B的距离为，点M到点A的距离与点M到点B的距离和为，再确定最小值时m的取值范围，最后确定所有整数并求和即可． 【详解】（1）解：①点A与点B之间的距离为； ②∵数轴上有一点C，且点C到点A的距离等于点C到点B的距离， ∴点C是线段的中点， ∴点C表示的数为：． （2）解：设经过t秒后，点P与点Q之间的距离为4，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意，得：，即， 所以或，解得或， 答：经过1秒或3秒后，点P与点Q之间的距离为4个单位长度． （3）解：设点M表示的数为m，则点M到点A的距离为，点M到点B的距离为，点M到点A的距离与点M到点B的距离和为， 当时，， ∵， ∴，即； 当时，； 当时，； 当时，， ∵， ∴，即； 综上，当时，的最小值为8， ∴满足条件的点M表示的所有整数和为． 54．如图，已知点，，都是线段上的点，线段，，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，点在线段上，且，求的长． 【答案】(1)线段的长为3 (2)的长为23或31 【分析】（1）根据题意，先求出、，然后根据线段和差关系，依次求出、，结合中点定义得到，进而求出． （2）首先根据（1）求出，然后根据点F的位置关系，分两种情况讨论，综合得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． ∵点为线段的中点， ∴， ∴． （2）由（1）得， 点在线段上，且，分两种情况： 情况一：当F在点E左侧时，； 情况二：当F在点E右侧时，； 综上，的长为23或31． 55．如图，，点是线段上一定点，，两点分别从，同时出发以，的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上）． (1)若，当点，运动了3s时，此时 ， ； (2)当点，运动了3s时，求的值； (3)若点，运动时，总有，求的值； (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】(1)3，1 (2) (3) (4)1或 【分析】（1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据C、D的运动速度知：，再根据，可得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，； （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； （3） 解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （4）解：①当点N在线段上时，如图1， ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2， ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 【点睛】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 56．已知线段，线段在直线上运动（在的左侧，在的左侧）．若、满足． (1)①当点与点重合时，求____________； ②是的中点，当时，求的长； (2)当线段运动到点距离点一个单位长度时，若有一点在点右侧且位于线段的延长线上，试求的值． 【答案】(1)①；②或． (2)或 【分析】（1）①根据平方非负性求出a，b的值；②根据中点性质可求解； （2）根据线段的和差来表示，分类讨论． 本题考查了线段的和差，解题关键是正确画图． 【详解】（1）解：, ，， ①当D点与B点重合时, , ②如图， 当点在点左侧， ,,, , 是的中点， , , 当点在点右侧， ,,, , 是的中点， , , 故答案为：①；②或． （2）解：如下图， 由题意得： , , , ． 如下图， ， ， 。 ． 故答案为：或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10直线.射线.线段复习讲义 1.能分清直线、射线、线段，掌握三者的联系与区别，牢记各自端点数量、延伸特点以及表示方法。 2.理解 “两点确定一条直线” 这个基本事实，会用它解释生活里的相关现象。 3.会用尺规作一条线段等于已知线段，掌握线段的度量、比较大小的方法。 4.理解线段中点的含义，能利用中点的倍分关系进行线段长度计算。 5.理解 “两点之间，线段最短”，知道两点间距离的定义，会解决路径最短相关问题。 6.能处理多条线段组合、动点类线段计算，审题留意多解、分类讨论的情况。 7.易错辨析：两点间的距离是线段的长度，不是线段本身；射线的表示要注意端点写在前面。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型二 画出直线、射线、线段 ★ 题型三 点与线的位置关系 ★ 题型四 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型五 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型六 线段的应用 ★★ 题型七 两点确定一条直线 ★ 题型八 作线段 ★★ 题型九 线段的和与差 ★★ 题型十 线段中点的有关计算 ★★ 题型十一 线段 n 等分点的有关计算 ★★★ 题型十二 线段之间的数量关系 ★★ 题型十三 与线段有关的动点问题 ★★★ 题型十四 两点之间线段最短 ★ 题型十五 两点间的距离 ★ 题型十六 最短路径问题 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 直线、射线、线段基础概念与三要素对比 一、定义 线段：直线上两点及两点间的部分，有两个端点，长度可测量。 有始有终，长度可量 射线：将线段向一个方向无限延伸得到的图形，只有 1 个端点，不可度量长度。 有始无终，无限延伸 直线：将线段向两个方向无限延伸得到的图形，无端点，不可度量长度。 无始无终，无限延伸 二、核心对比表格（必考区分点） 知识点 02 两个基本事实（几何公理，证明、填空必背） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点有且只有一条直线。 关键词：有（存在）、只有（唯一） 生活应用： 钉木条至少钉 2 颗钉子；排队对齐；射击瞄准两点一线。 拓展：过一点可以画无数条直线；两点只能画 1 条直线。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点的所有连线中，线段最短。 衍生定义：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离。 ⚠️ 易错区分：距离是长度（数），线段是图形，不能说 “线段是距离”。 生活应用：走路走直路、河道改直缩短路程。 知识点 03 线段的作图、比较、和差运算 一、尺规作图：作一条线段等于已知线段 标准步骤： 1.画一条射线AB； 2.圆规量取已知线段MN的长度； 3.圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； 4.线段AC即为所求。 二、比较线段长短两种方法 方法 操作步骤 适用场景 度量法 用刻度尺分别量两条线段长度，再比较数值 需要精确数值、计算和差 叠合法 一端点重合，另两端点落在同侧，观察位置 纯图形直观比较 三、线段的和、差（几何书写规范） 已知点C在线段AB上： 和：AB=AC+BC 差：AC=AB-BC，BC=AB-AC 四、线段中点（核心概念） 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 几何等量关系（必写）： 若C是线段AB中点，则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB 知识点 04 直线、射线、线段计数规律（选择填空高频） 1. 直线计数 任意两点确定 1 条直线，n个点中任意三点不共线时，直线总数： 2. 射线计数（直线上有n个点） 直线上每个点分出 2 条射线，总射线数2n。 3. 线段计数（直线上有n个端点） 总线段条数：(n-1)+(n-2)+..+1= 例：线段上有 4 个点，总线段数3+2+1=6条。 知识点 05 高频易错点汇总 典型错误 标准正确做法 射线写反顺序，射线OA写成射线AO 射线端点字母必须写在第一位，不可调换 混淆 “两点间距离”，说成两点之间的线段 距离是线段的长度，是数值，线段是图形 认为射线、直线可以度量长度 只有线段有有限长度，射线、直线无限长，无法测量 中点公式书写颠倒，AM=2AB 中点分线段为两半，AM=AB 过两点画多条直线，违背直线公理 牢记两点确定唯一一条直线 计算线段条数漏数、重复数 套用公式，按端点有序枚举 尺规作图不保留圆规痕迹 作图题必须保留作图痕迹，不能直接画出线段 知识点 06 几何规范语言汇总（答题书写标准） 1.延长线段AB至点C，使BC=AB； 2.反向延长射线OA； 3.点M在线段AB上；点P在直线l外； 4.连接AB（只能连接两点得到线段，不能说连接射线 / 直线）； 5.过点A、B作直线AB。 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 1．手电筒发射出来的光线，给我们的感觉是________．（填“直线”“射线”或“线段”） 2．下列语句正确的是（   ） A．画直线厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到点C，使得 3．小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 题型二 画出直线、射线、线段 4．下列选项中，根据语句“画射线，画直线，连接”画图正确的是（    ） A． B． C．D． 5．下列表示方法不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为______． 题型三 点与线的位置关系 7．点与直线有______种位置关系，分别是点在_________和点在__________．如图：点A在__________，点B在_________． 8．M所在的位置如图，的位置是点 _____，的位置是点 _____． 9．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 题型四 直线、线段、射线的数量问题 10．一条铁路有9个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备车票（    ）种． A．9 B．18 C．36 D．72 11．平面内，不在同一直线上的n（正整数）个点（任意三点不共线），过其中任意两点画直线，可以画____条；n条直线最多可以把一个平面分成__________部分． 12．如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……按照此规律，在内画10条射线时，则图中角的个数是（   ） A．65 B．66 C．67 D．68 题型五 直线相交的交点个数问题 13．同一平面内10条不同的直线，其中有4条直线，它们之间无公共点，另外还有4条直线，它们有一个共同的公共点，则这10条直线的公共点个数最多是（    ） A．31 B．33 C．34 D．35 14．某城市新区规划建设8条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为________． 15．小丁通过举例推理，探究出多条直线两两相交时，交点数量的变化规律（如图）．按照这个规律计算，当直线两两相交最多出现190个交点时，直线的数量是（     ）    直线的条数 2 3 4 5 … 交点的个数 1 3 6 … … A．17 B．18 C．19 D．20 题型六 线段的应用 16．兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 则线段的总条数是， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应设计（种）． 故选：C． 17．往返于贵阳到铜仁的列车，中途停靠4个站，则要准备 _____种不同的车票． 18．如图，在线段AD上有两点B，C，则图中共有_____条线段，若在车站A、D之间的线路中再设两个站点B、C，则应该共印刷_____种车票． A．3， 3 B．3， 6 C．6， 6 D．6， 12 题型七 两点确定一条直线 19．如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 20．平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有__________________条． 21．如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型八 作线段 22．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，点是线段上一点，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．则______． 24．小华进行了如下操作：①作射线；②在射线上依次截取；③在线段上截取．由作图可得线段（    ） A． B． C． D． 题型九 线段的和与差 25．已知线段，在直线上画线段，使，则线段的长度为（   ） A．或 B． C． D． 26．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 27．七巧板被誉为“东方魔板”，小丽利用七巧板（如图甲）中的各板块拼成一个“轮船”（如图乙），则“轮船”的长与高比值为（     ） A．2 B． C． D． 题型十 线段中点的有关计算 28．下列能判断点M是线段的中点的是（     ） A． B． C． D． 29．如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 30．已知O为原点，点C表示的数为4，取的中点M，将分为两段，记为第一次操作：取的中点分别为，将分为4段，记为第二次操作；再取这四段的中点，将分为8段，记为第三次操作；…，第十次操作后，（包含两个端点）之间共有__ 个点 ． 题型十一 线段 n 等分点的有关计算 31．如图，点是线段的一个三等分点，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 32．已知点是线段的一个三等分点，是线段的中点，是线段的中点，，则________． 33．有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 题型十二 线段之间的数量关系 34．已知A、B、C三点在同一条直线上，则下列：①；②；③；④．可以判断点C是线段AB中点的有（    ） A．③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 35．已知点，，在一条直线上且不重合，则下列等式中：①；②；③；④，不能判断点是线段中点的有_______．（填序号） 36．已知三点在同一条直线上，且线段，点分别是线段的中点点F是线段的中点，则_______． 题型十三 与线段有关的动点问题 37．电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为________． 38．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为_______． 39．如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点P从点A开始沿该数轴的正方向运动，到达点C停止．若运动过程中，点P到三点的距离之和的最大值为x，最小值为y，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十四 两点之间线段最短 40．如图，2025年9月28日建成通车的贵州花江峡谷大桥，是新的“世界第一高桥”，通车后北盘江两岸（两地）通行时间从2小时缩短至2分钟．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．过一点可以画多条直线 D．两点之间，线段最短 41．在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 42．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为12，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．6 题型十五 两点间的距离 43．已知线段长为，点是线段的中点，点是线段的三等分点．则线段的长为（   ） A．或 B． C． D．或 44．如图，线段，点分别是线段和线段的中点，则线段的长为______． 45．如图，有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一枚钉子，（钉子大小忽略不计，，抽象成两个点），若将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条上钉子之间的距离是（   ） A． B． C． D．或 题型十六 最短路径问题 46．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（     ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．以上结论都不对 47．如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（    ） A．不断变大 B．不断变小 C．先变小再变大 D．先变大再变小 48．在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 解答题 49．如图，平面内有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图（截取用圆规，并保留痕迹不写作法）． (1)画直线，画射线交直线于点E； (2)连接，用圆规在线段的延长线上截取． 50．课本问题 如图，以A、B、C、D四点中的两点为端点的线段共有多少条？ (1)【解题回顾】解：以A为端点的线段有3条，以B为端点的线段有2条，以C为端点的线段有1条，所以一共有 条． (2)【一般化探索】如图①，线段上有n个点，求图①中线段共有多少条？ (3)【类比探究】在如图②所示的（边长都是8个单位长度）的正方形网格中，求图②中正方形共有多少个？ (4)在如图③所示的的立方体中有多少个小立方体？ 51．某数学兴趣小组学习“两点确定一条直线”后，想继续探究平面内有3点、4点……n点时，过两点画直线的情况，并进行了以下操作探究： (1)【操作·思考】画出下面两种情况的所有直线： ①当3点在同一条直线上时，如图1 ②当3点不在同一条直线上时，如图2 (2)【思考·提升】类比以上方法，继续探究不在同一条直线上的4点、5点、6点……画直线的情况．总结规律解决问题：过在同一平面内的10个点最多可作多少条直线？过在同一平面内的n个点最多可作多少条直线？ (3)【提升·拓展】某校组织了“迎新”活动． ①七年级举行单循环篮球赛，全年级8个班共打了几场比赛？ ②有50人参加了本次“迎新”活动，活动结束后参与人员需互送贺卡，共送出了多少张贺卡？ 52．如图①，点把线段分成和两条线段，当时，称点是线段的内二倍分割点；如图②，当时，称点是线段的内二倍分割点．例如：如图③，数轴上，点、、、分别表示数、2、1、0，则点是线段的内二倍分割点，点是线段的内二倍分割点． (1)如图④，、为数轴上的两点，点所表示的数为，点所表示的数为7，线段的内二倍分割点表示的数是_______，线段的内二倍分割点表示的数是_______； (2)数轴上，点所表示的数为，点所表示的数为20．点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒． （ⅰ）线段的长为_______；（用含的式子表示） （ⅱ）当为_______时，、、三个点中恰有一个点为其余两点连成线段的内二倍分割点？ 53．在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为3． (1)①点A与点B之间的距离为 ；②若数轴上有一点C，且点C到点A的距离等于点C到点B的距离，则点C表示的数为 ． (2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动．求经过多少秒后，点P与点Q之间的距离为4个单位长度． (3)若数轴上有一点M，使点M到点A的距离与点M到点B的距离和最小，求满足条件的点M表示的所有整数和． 54．如图，已知点，，都是线段上的点，线段，，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，点在线段上，且，求的长． 55．如图，，点是线段上一定点，，两点分别从，同时出发以，的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上）． (1)若，当点，运动了3s时，此时 ， ； (2)当点，运动了3s时，求的值； (3)若点，运动时，总有，求的值； (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，则的值为 ． 56．已知线段，线段在直线上运动（在的左侧，在的左侧）．若、满足． (1)①当点与点重合时，求____________； ②是的中点，当时，求的长； (2)当线段运动到点距离点一个单位长度时，若有一点在点右侧且位于线段的延长线上，试求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $