6.2.2 线段的比较与运算 教学设计 2026—2027学年人教版七年级数学上册

6.2.2 线段的比较与运算 教学设计 姓名 学科段 授课班级 职称 教龄 授课时间 课题 6.2.2 线段的比较与运算（人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册 第六章 第 2 节） 教材分析 本节在认识线段的基础上研究线段的度量与运算。教材先用尺规作一条线段等于已知线段，作为比较与运算的工具；再用度量法与叠合法比较两条线段的长短；由“从甲地到乙地，哪条路最近”归纳出基本事实两点之间线段最短，并给出两点间的距离的定义；随后研究线段的和、差及其作图，最后引入中点、三等分点等概念，完成从“图形”到“数量”的转化。本节是初中“数形结合”思想的第一次集中体现。 核心素养目标 1. 几何直观：会用叠合法与度量法比较线段长短，能用图形表示线段的和与差。 2. 推理能力：理解“两点之间线段最短”，能据此解释生活现象并比较路径长短。 3. 运算能力：能进行线段的和差计算，会用中点、三等分点进行线段长度的推理计算。 4. 应用意识：能解决“蚂蚁沿圆柱侧面爬行”等最短路径问题。 教学重点 比较线段长短的两种方法；基本事实“两点之间线段最短”及两点间的距离；线段的和差作图与计算；线段的中点与等分点。 教学难点 用尺规作线段的和差；中点、等分点条件下线段长度的推理计算（含分类讨论）；区分“两点间的距离”与“线段”本身。 学情分析 学生会用直尺量出线段长度，但“叠合法”的操作经验不足；对“两点间的距离是一个数值而不是一条线段”容易说错；在有中点、等分点的计算中，画图与列式脱节，遇到“点在线段上”与“点在直线上”两种情形时不会分类。因此本设计把作图、比较、计算串成一条线，每步都要求先画图再列式。 教学方法 动手操作、合作探究、例题示范相结合；坚持“先画图、再标量、后列式”的解题顺序，用变式题训练分类讨论。 课时安排 1 课时（40 分钟） 教学资源 教材图 6.2-7（从甲地到乙地的路径）、图 6.2-8 至图 6.2-11；本设计自制的线段和差图、中点与三等分点图；圆规、直尺、无刻度直尺、多媒体课件。 教学流程设计 任务/环节 教学内容与问题设计 教师活动 学生活动 学习评价设计 环节一 尺规作图 作等长线段 已知线段 a，怎样用圆规和无刻度直尺作一条线段等于 a？ 示范作法：作射线 AC，用圆规量出线段 a 的长度，在射线 AC 上截取 AB = a；强调只用圆规和没有刻度的直尺，并要求保留作图痕迹。 动手作图；说出关键动作“量—截—标”；互相检查作图痕迹是否保留。 能否规范作出等长线段；能否保留作图痕迹并说出步骤。 设计意图：尺规作图是本节后续比较与运算的工具，先把这个“看家本领”练到位。 环节二 比较长短 怎样比较两条线段 AB 与 CD 的长短？两种方法各有什么优点？ 介绍度量法（用刻度尺量出长度再比较）与叠合法（把两条线段的一端重合，看另一端的位置）；示范叠合法的操作；板书 AB<CD、AB = CD、AB>CD。 用刻度尺量出长度比较；再用圆规把一条线段“搬”到另一条上比较；说出“端点重合、同向放置”是叠合法的关键。 能否用两种方法比较并正确书写结论；能否说出叠合法的操作要点。 设计意图：度量法依赖刻度、叠合法依赖图形，两者互补；让学生体会“不量也能比”的几何思路。 环节三 最短路径 从甲地到乙地有四条路——直路、折线路等，哪条路最短？由此能得到什么结论？（教材图 6.2-7） 出示教材图 6.2-7 的路径情境；引导学生猜想并说明理由；归纳基本事实两点之间线段最短；给出两点间的距离的定义：连接两点的线段的长度。 发现直路最短；用自己的话说出基本事实；强调“距离”是一个长度数值，不是线段本身。 能否举出生活中应用“两点之间线段最短”的例子；能否说清距离与线段的区别。 设计意图：先有生活经验再有基本事实；“距离是数值”这一辨析必须当堂强调，否则后续计算会写成“距离=线段”。 环节四 线段的和与差 如图，点 C 在线段 AB 的延长线上，AC=a+b；点 D 在线段 AB 上，AD=a−b。怎样用圆规作出 a+b 与 a−b？ 示范：在射线上依次截取两条线段得和；在同一条射线上截取后“回截”得差；板书 AC = AB+BC、AD = AB−DB 等关系式。 动手作图，并写出对应的等式；说清“和”是“接着截”，“差”是“从里面截”。 能否作出线段的和与差；能否把图形关系写成等式。 设计意图：线段的运算必须由图形支撑；让学生边画边写等式，形成“形—式”对应。 环节五 例题示范 例 1 已知线段 a、b（a>b），用尺规作一条线段，使它等于 2a−b。 引导分解任务：先作 2a（连续截取两次），再在 2a 上去掉 b；示范完整作图并写出结论“线段 AC 即为所求”。 独立作图，同桌互查；说出“先作和、再作差”的顺序；尝试作 a+2b 并说明步骤。 能否正确分解“2a−b”的作图步骤；作图是否规范、结论是否完整。 设计意图：把复合运算拆成基本动作，训练“分解—作图—作答”的程序化思维。 环节六 中点与等分点 点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB，点 M 叫作什么？ 若把线段 AB 三等分，有几个分点？ 给出中点定义并板书、AB = 2AM = 2MB；介绍三等分点、四等分点；强调中点一定在线段上。 用式子表示中点关系；由 AM = 3 cm 求 AB = 6 cm，由 AB = 10 cm 求 AM = 5 cm；说出三等分点有 2 个。 能否用三种形式（AM = MB、、AB = 2AM）表示中点；能否正确计算。 设计意图：中点是线段运算的核心模型，三种等价写法为后续列方程与推理打基础。 环节七 计算与分类 点 C 在直线 AB 上，AB=10 cm，AC=4 cm，求 BC 的长。 追问“点 C 在直线上”与“在线段上”有何不同；示范分两种情形画图：C 在 A、B 之间时 BC = 6 cm；C 在 A 的左侧时 BC = 14 cm。 先画图再计算，得出两个答案；归纳“点在直线上”必须分类讨论。 能否画出两种情形；能否完整写出两个答案而不漏解。 设计意图：分类讨论是本节的思维难点，用“直线上”三个字触发分类意识，避免把“线段上”的习惯迁移到“直线上”。 环节八 课堂小结 布置作业 1. 比较线段长短有哪两种方法？2. 本节的基本事实是什么？“两点间的距离”指什么？3. 线段的和差、中点怎样用式子表示？ 组织学生归纳“作图—比较—计算”三条线索；板书结构；布置分层作业（A 组必做、B 组选做、C 组拓展）。 复述基本事实与距离的定义；写出中点的三种表示；记录分层作业。 能否完整复述本节的概念、事实与方法；能否说出易错点。 设计意图：小结回到“形—数”转化的主线，把操作方法上升为解题策略。 板书设计 6.2.2 线段的比较与运算 一、尺规作图：作一条线段等于已知线段（量—截—标，保留痕迹） 二、比较长短：度量法（量长度）；叠合法（一端重合、同向放置） 三、基本事实：两点之间线段最短 　　两点间的距离：连接两点的线段的长度（是一个数值，不是线段） 四、线段的和差：AC=AB+BC；AD=AB−DB；作图先作和再作差 五、中点：，AB=2AM=2MB（中点在线段上） 六、三等分点：（有 2 个分点） 七、易错：点 C 在“直线 AB”上要分类（在线段上或在线段外） 作业设计 《6.2.2 线段的比较与运算》课后作业 A 组（必做，基础） 1. 已知线段 AB=8 cm，点 M 是线段 AB 的中点，则 AM=____cm，MB=____cm。 答案：4；4。 2. 点 C 在线段 AB 上，AC=3 cm，CB=5 cm，M、N 分别是 AC、CB 的中点，求 MN 的长。 答案：。 3. 判断题： （1）两点之间线段最短； （2）两点间的距离是连接两点的线段； （3）若 AM=MB，则点 M 是线段 AB 的中点； （4）连接两点的线段的长度叫作两点间的距离。 答案：（1）√；（2）×，距离是线段的长度，是一个数值；（3）×，点 M 可能不在线段 AB 上；（4）√。 B 组（选做，中档） 4. 已知线段 a、b（a>b），用尺规作一条线段，使它等于 2a−b（保留作图痕迹，不要求写作法）。 答案：先作射线，在射线上连续截取两段 a 得 2a，再在这条线段上截去 b，剩下的线段即为所求。 5. 点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 CB 的中点。若 AB=12 cm，求 AD 的长。 答案：AC=CB=6 cm，CD=DB=3 cm，所以 AD=AC+CD=6+3=9 cm。 6. 已知线段 AB=10 cm，点 C 在直线 AB 上，且 AC=4 cm，求 BC 的长。 答案：分两种情况：点 C 在线段 AB 上时，BC=10−4=6 cm；点 C 在线段 BA 的延长线上时，BC=10+4=14 cm。 C 组（拓展，综合） 7. 在数轴上，点 A 表示的数是 3，线段 AB=4，点 C 是线段 AB 的中点，求点 C 表示的数。 答案：点 B 表示 3+4=7 或 3−4=−1。当 B 表示 7 时，C 表示 5；当 B 表示 −1 时，C 表示 1。所以点 C 表示的数是 5 或 1。 8. 圆柱的高为 12 cm，底面周长为 18 cm。一只蚂蚁从圆柱下底面的点 A 出发，沿侧面爬到上底面上与 A 正对的点 B，最短路径是多少？ 答案：沿点 A 所在的母线把圆柱侧面展开成矩形，其宽为底面周长的一半 9 cm，高为 12 cm。最短路径是这个矩形的对角线，长为 √(9²+12²)=15 cm。 1 学科网（北京）股份有限公司 $