第7讲·成比例线段及相似图形·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华东师大版九年级数学上册
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内容正文：
第7讲·成比例线段及相似图形·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册
参考答案与试题解析
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 理解比例线段的概念，掌握比例的基本性质并会进行比例变形与求值
· 认识相似图形与相似多边形，掌握相似多边形的性质（对应角相等、对应边成比例）
· 掌握平行线分线段成比例定理及其推论（A 字型、X 字型），会求线段的比与长度
· 理解黄金分割的概念，记住黄金比约为 0.618，会解决黄金分割的计算与应用问题
· 会综合勾股定理、方程等知识解决成比例线段的实际问题
· 会利用比例设参法（设 k 法）解决含多个比例式的求值问题
🍗 知识梳理
✅️ 1.比例线段与比例的性质
比例线段：四条线段 a、b、c、d 满足 = ，则称它们成比例线段
比例基本性质： = ⟺ ad = bc（交叉相乘）
合比性质： = ⟹ =
等比性质： = = … = ⟹ = （各分母之和不为 0）
设参法：已知 = = k，设 a = kb、c = kd 代入求值，是处理连比问题的通法
概念辨析例题：已知 = = ，且 a + c = 10，则 b + d 的值为（ ）
答案：15
解析：由等比性质： = ，a + c = 10，所以 b + d = 10 × = 15。等比性质把多个比「合并」，是连比求和问题的捷径。
✅️ 2.相似图形与相似多边形
相似图形：形状相同的图形（大小可以不同）
相似多边形：对应角相等、对应边成比例的两个多边形
相似比：对应边的比；相似比为 1 时两多边形全等
相似多边形周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方
判断相似多边形必须两个条件同时满足：对应角相等且对应边成比例
概念辨析例题：两个相似多边形的相似比为 2:3，若较大多边形面积为 36，则较小多边形的面积为（ ）
答案：16
解析：面积比 = 相似比的平方 = 4:9。S小 = 36 × = 16。相似多边形问题与相似三角形性质一致：边与周长用 k，面积用 k²。
✅️ 3.平行线分线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
推论（A 字型）：平行于三角形一边的直线截其他两边，对应线段成比例
推论（X 字型）：两条直线被平行线所截，交点在两平行线之间时同样成比例
平行线间的平行线段相等（如五线谱、练习本横格线间的竖直段）
使用时先找准「对应」：上比下 = 上比下，左比右 = 左比右
概念辨析例题：如图，l₁ ∥ l₂ ∥ l₃，直线 m、n 分别交 l₁、l₂、l₃ 于点 A、B、C 和 D、E、F，若 AB = 3，BC = 5，DE = 2，则 EF = （ ）
答案：
解析：由平行线分线段成比例： = ，即 = ，EF = 。三条平行线截两直线，对应线段成比例，交叉相乘即可。
✅️ 4.黄金分割
黄金分割：点 C 把线段 AB 分成 AC > BC 的两段，且 AC² = AB·BC（AC 是 AB 与 BC 的比例中项）
黄金比： = ≈ 0.618（长段占全长的 0.618）
短段:长段 = 长段:全长，黄金矩形宽长之比约为 0.618
常见计算：AB = 10 时，长段 ≈ 6.18，短段 ≈ 3.82
应用：五角星、二胡千斤、摄影构图、建筑比例等
概念辨析例题：线段 AB = 10，点 C 是 AB 的黄金分割点（AC > BC），则 AC 的长约为（ ）
答案：6.18
解析：AC = × AB ≈ 0.618 × 10 = 6.18，BC = 10 - 6.18 = 3.82。验证：AC² ≈ 38.2，AB·BC ≈ 38.2，满足 AC² = AB·BC。黄金分割题先分清长段短段再代 0.618。
✅️ 5.成比例线段的综合应用
比例尺问题：图上距离:实际距离 = 比例尺，注意单位换算
设参求值：连比设 k 或用合比、等比性质变形
与几何综合：折叠、旋转、矩形中构造成比例线段，结合勾股定理
方程思想：由比例式列方程求未知线段
实际测量：梯子、琴弦、五线谱等情境抽象出平行截线模型
概念辨析例题：在比例尺为 1:50000 的地图上，量得甲、乙两地距离为 3cm，则两地实际距离为（ ）
答案：1.5km
解析：实际距离 = 3 × 50000 = 150000cm = 1.5km。比例尺问题先算实际长度，再统一单位（cm 换 m、km），是本讲最基础的实物应用。
🧀 知识总结表
性质/概念
内容
用途
比例基本性质
ad = bc
交叉相乘求线段
等比性质
分子和/分母和 = 每个比
连比求和问题
相似多边形
角等 + 边成比例
周长比=k 面积比=k²
平行分线段
对应线段成比例
A字/X字型求线段
黄金比
≈ 0.618
长段=全长×0.618
设参法
a=kb, c=kd
连比代入求值
📩 核心考点
【考点1】比例线段与比例的性质（第1-13题）
· 比例基本性质交叉相乘是最常用的变形
· 合比、等比性质处理「比的和差」问题
· 设参法（设 k）解连比与代数式求值
· 比例尺注意图上与实际的单位换算
1．
【答案】B
【知识点】比例线段
【分析】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系．要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可．
【详解】解：（厘米）
18000000厘米千米
答：两地间的实际距离是180千米．
故选：B．
2．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查了成比例线段，熟记“如果，那么”是解题关键．
【详解】解：，
，
，
．
故选：C．
3．
【答案】B
【知识点】成比例线段
【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的定义得出，然后把，，代入求解即可，熟练掌握比例线段的定义是解本题的关键．
【详解】解：∵，，，是成比例线段，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
4．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
根据已知的比例关系设出参数，再将其代入所求式子进行计算．
【详解】解：设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
5．
【答案】
【知识点】比例的性质、分式化简求值
【分析】本题考查了分式求值，熟练掌握“设法”是解题的关键，设比值为，用表示出然后代入分式即可得解．
【详解】解：设，
，
原式．
故答案为：．
6．
【答案】12
【知识点】比例线段
【分析】本题主要考查了比例尺，根据，即可解答．
【详解】因为比例尺为，且图上距离是，
所以实际距离是．
故答案为：12．
7．
【答案】/
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查了比例的性质，设，代入代数式进行计算，即可解答．
【详解】解：设
∴，，，
∴
故答案为：．
8．
【答案】
【知识点】比例的性质、分式的求值
【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例关系，可得，，，代入所求分式后化简．
【详解】解：因为 ，
所以，，，
代入分式，得：，
注意到分子，
所以．
故答案为：．
9．
【答案】1
【知识点】比例的性质
【分析】此题主要考查了比例线段，依据，即可得出，再根据a、b、c为的三边，可得，进而得到．
【详解】解：∵，
∴，，，
可得，
∴，
∵a、b、c为的三边，
∴，
∴．
故答案为：1．
10．
【答案】3
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，利用设法，进行计算即可解答．熟练掌握用设法是解题的关键．
【详解】解：设，
则，，，
，
故答案为：3．
11．
【答案】（1）12 （2）
【知识点】比例的性质
【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握“设法”和内项乘积等于外项乘积是解题的关键．
（1）利用“设法”正确表示出各数，求出代入求值即可；
（2）利用内项乘积等于外项乘积列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）因为，则设，，，
所以，
解得
所以；
（2）
即
解得
12．
【答案】(1)
(2)
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，解一元一次方程，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．
（1）设，代入化简即可；
（2）设，代入求出k的值，进而可求出a，b，c的值．
【详解】（1）解：∵，
∴设，代入，得
；
（2）解：∵，
∴设，代入，得
，
解得，
∴．
13．
【答案】372
【知识点】比例的性质、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，熟练掌握设k法是解题的关键．
设，则，，，代入求出k值，从而求得x、y、z的值，即可代入求解．
【详解】解：设，则，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，，
∴．
【考点2】相似图形与相似多边形（第14-26题）
· 相似多边形两条件：对应角相等且对应边成比例
· 周长比 = 相似比，面积比 = 相似比平方
· 相似比 1:2、2:3 等直接代 k 与 k²
· 装裱、扩边等情境先写出对应边再列比例
14．
【答案】B
【知识点】相似图形
【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断．
【详解】解：由相似图形的概念知，选项B中的两个图形不相似；
故选：B．
15．
【答案】C
【知识点】相似多边形
【分析】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．
利用相似多边形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的两个图形相似，进而判断即可．
【详解】解：∵矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，
∴变化前后的两个矩形不相似，
∵三角形、菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个三角形、菱形、正方形相似，
故选：C．
16．
【答案】D
【知识点】相似图形
【分析】本题考查了相似图形：把形状相同的图形叫做相似图形，熟记相似图形的定义是解题关键．根据相似图形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，则此项不符合题意；
B、两个图形形状不相同，不相似，则此项不符合题意；
C、两个图形形状不相同，不相似，则此项不符合题意；
D、两个图形形状相同，大小不同，相似，则此项符合题意；
故选：D．
17．
【答案】D
【知识点】相似图形
【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可．
【详解】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意；
因为两个菱形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个菱形不一定相似，所以B不符合题意；
因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意；
因为两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等腰直角三角形相似，所以D符合题意．
故选：D．
18．
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于多边形的相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方．
根据相似多边形的性质“相似多边形的面积比等于相似比的平方”即可直接得出答案．
【详解】解：两个相似多边形的相似比为，
它们的面积比为：，
故选：．
19．
【答案】C
【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，设，，的面积为，根据，推出，再由相似多边形的性质得到，即，则，据此证明，再由可以推出，据此可得答案．
【详解】解：设，，的面积为，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵矩形矩形，
∴，即，
∴，
∴，
∴
，
∴已知的面积，则一定能求出矩形的面积，
故选：C．
20．
【答案】 ad b cf
【知识点】相似图形
【分析】本题考查相似图形的识别，掌握相似图形形状相同、大小可不同是解题的关键．
通过观察图形的形状，判断哪些图形与分别具有相同的形状．
【详解】解：与相似的图形：观察形状，与的形状相同，故①为；
与相似的图形：与的形状相同，故②为；
与相似的图形：与的形状相同，故③为．
故答案为：．
21．
【答案】 12 16.5
【知识点】相似多边形的性质
【分析】此题考查相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键，
（1）根据相似多边形的性质解答即可；
（2）根据相似多边形的性质解答即可
【详解】解：（1）∵四边形四边形．
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵四边形四边形．
∴，即，
解得，
故答案为：
22．
【答案】9
【知识点】相似多边形的性质
【分析】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握相似的图形对应边成比例．根据相似图形对应边成比例即可进行解答．
【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，
∴或，
解得：或（不合题意舍去）．
故答案为：9 ．
23．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，可设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】，
设，则，，
四边形与矩形相似，
，则，
解得，（不合题意舍去），
经检验是原方程的解．
故答案为：．
24．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例即可求解．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∴，，
解得，，，，
∴．
25．
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、相似多边形的性质
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识．根据相似得到，则，用公式法解一元二次方程得到，根据矩形的长和宽均为正数即可得到答案．
【详解】解：设原矩形的长是a，宽是b（，且），则剩下矩形的长为b，宽为．
由题意可得，所以．
将的两边同除以，得，
所以．
因为矩形的长和宽均为正数，所以．
故原矩形的长和宽的比为．
26．
【答案】米
【知识点】相似多边形的性质
【分析】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边相等是解题的关键；
根据多边形的性质之列出比例式，计算即可．
【详解】矩形矩形
，即，
设的长为x米
，
解得： ，或（负数不合题意舍去），
的长为米。
【考点3】平行线分线段成比例（第27-39题）
· 三条平行线截两直线：对应线段成比例，交叉相乘
· A 字型用「部分比整体」，X 字型用「上比下」
· 等距平行线（五线谱、横格）可构造特殊比例
· 与三角形中线、中位线结合时注意「对应」关系
27．
【答案】C
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，进而可求解．
【详解】解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成，
，
即，
解得：，
故选：C
28．
【答案】D
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得到求解即可．
【详解】解：如图，
由题意，，，，
∴，又，
∴，则，
故选：D．
29．
【答案】A
【知识点】由平行判断成比例的线段
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可．
【详解】解：，
直线被所截得线段，
直线被所截得线段，
，，，
无法证明A成立，故A选项符合题意，
故选： A．
30．
【答案】B
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，由得，根据可得，代入数据进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
故选：B．
31．
【答案】B
【知识点】由平行判断成比例的线段、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．先求出直线解析式，与反比例函数解析式联立方程组确定、的横坐标，利用平行线得到、的代数式，根据条件进行判断即可．
【详解】解：在图象上，
，
，
令，
，
△，
与有两个交点，
，
，
，
，
点的横坐标为，点的横坐标为，
作于点，作轴于点，则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
故选：B．
32．
【答案】B
【知识点】由平行判断成比例的线段
【分析】过点作交于点，根据平行线分线段成比例求解．
【详解】解：如图，过点作交于点，
是的中点，
，则，
，
，
，
．
33．
【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，灵活运用定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再结合已知条件即可得解．
【详解】解：∵，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
34．
【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即：，
∴；
故答案为：．
35．
【答案】6
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据题意，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：∵，，
即
∴，
故答案为： 6．
36．
【答案】平行线分线段成比例定理
【知识点】由平行判断成比例的线段
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解．掌握平行线分线段成比例定理是关键．
【详解】∵
∴．
∴依据是平行线分线段成比例定理．
故答案为：平行线分线段成比例定理．
37．
【答案】3
【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
即，
解得：，
故答案为：3．
38．
【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理知识的应用．由是的高，，即可证得，又由E为的中点，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由，即可求得的值．
【详解】解：∵是的高，，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
39．
【答案】/
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，过点作交于点．利用平行线等分线段定理，证明即可．
【详解】解：如图，过点作交于点．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点4】黄金分割及其应用（第40-52题）
· 黄金比 ≈ 0.618：长段 = 全长 × 0.618
· 定义式 AC² = AB·BC 是列方程的依据
· 黄金矩形中裁去正方形剩下仍是黄金矩形
· 与勾股、方程综合时先表示线段再列式
40．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【分析】本题考查了黄金分割点的定义与性质，解题的关键是牢记“当点是线段的黄金分割点且时，”这一核心比例关系，并能据此推导相关等式．
先明确黄金分割点（）的核心关系：；由该比例交叉相乘可得，据此判断A、B选项正确；C选项比例式与核心关系矛盾，可初步判断其错误；通过，代入，可推导得，判断D选项正确．
【详解】解：已知是线段AB的黄金分割点且，根据黄金分割定义，核心关系为
A、由核心关系直接可知，此选项不符合题意；
B、由交叉相乘，得，此选项不符合题意；
C、由核心关系应为，变形为，而非，此选项符合题意；
D、∵，且，
∴，此选项不符合题意．
故选：C．
41．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【分析】首先设，由线段，可求得的值，又由是与的比例中项，列方程即可求得线段的长．
【详解】解：设，则，
∵是与的比例中项，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴．
故选：B．
42．
【答案】A
【知识点】根据正方形的性质求线段长、二次根式的混合运算、根据矩形的性质求线段长、黄金分割
【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
先根据黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，计算出矩形的宽，在根据矩形的性质求解即可．
【详解】解：黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，
，
，
，
根据矩形的性质得：，
,
故选：A
43．
【答案】
【知识点】黄金分割
【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题．
【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，
即点B为黄金分割点，
设B点下方的琴弦长为，
且二胡的琴弦长为
则有，
解得，
故答案为：．
44．
【答案】
【知识点】黄金分割
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
故答案为：．
45．
【答案】或
【知识点】黄金分割
【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义和二次根式的运算，解题的关键是掌握黄金分割点的定义．
利用黄金分割点的定义进行求解即可．
【详解】解：∵C为线段的黄金分割点，
则,
或；
故答案为：或．
46．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、黄金分割
【分析】本题考查黄金分割，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
先由正方形的性质得，再由黄金分割求出，再根据正方形的性质得到，，即可由勾股定理求解．
【详解】解：连接，
∵正方形，
∴，
∵点是线段的黄金分割点（），
∴，
∵正方形，
∴，，
∴．
故答案为：．
47．
【答案】
【知识点】黄金分割
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
故答案为：．
48．
【答案】
【知识点】解一元二次方程——配方法、黄金分割
【分析】本题考查了黄金分割点的知识，理解并掌握黄金分割点的定义和性质是解题关键．设，则，利用黄金分割点可以得到成比例线段，可知，代入数值并整理，解方程即可获得答案．
【详解】解：∵两点都是线段的黄金分割点，
设，则，
∴，
∴，
整理可得，
解得，（舍去），
∴的长为．
故答案为：．
49．
【答案】/
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、黄金分割、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，
∴，
∴，
故答案为：．
50．
【答案】
是，证明如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形
是矩形 ，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即点F是的黄金分割点，
∴，
∴，
∴，
即，
∴矩形是黄金矩形．
【知识点】分母有理化、矩形性质理解、黄金分割
【分析】本题主要考查了黄金分解的定义，根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案．
【详解】略
51．
【答案】
【知识点】黄金分割
【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽．
【详解】解：根据题意得，，
∵，
∴，
即该黄金矩形的宽是．
52．
【答案】(1)2
(2)
证明：根据折叠的性质，得四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是黄金矩形．
【知识点】矩形与折叠问题、黄金分割
【分析】（1）根据题意，，结合，解答即可；
（2）根据定义证明即可．
本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键．
【详解】（1）解：∵黄金矩形纸片，，
∴，
∴，
解得．
（2）略
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 比例基本性质 ad = bc 是所有比例变形的源头
· 等比性质处理连比：分子和比分母和等于每个比
· 相似多边形：周长比 = 相似比，面积比 = 相似比平方
· 平行线分线段成比例：找准对应，上比下=上比下
· 黄金比 ≈ 0.618：长段² = 全长 × 短段
【作业1】
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、由平行判断成比例的线段、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解
【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质、平行线的证明、平行线分线段成比例定理对选项逐一判断即可得到答案．
【详解】解：由题意知，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
故A项正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
故B项正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
故C项正确；
根据已知条件推不出，故D项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的旋转的性质，等边三角形的证明，平行线的证明，平行线分线段成比例定理，熟练掌握图形旋转前后对应边相等，对应角相等．平行线分线段成比例定理是解题的关键，
【作业2】
【答案】D
【知识点】求角的正切值、证明某直线是圆的切线、黄金分割、角平分线的性质定理
【分析】根据勾股定理的逆定理，可判断①结论；过点作交于点，结合角平分线的性质，可判断②结论；利用三角形的面积公式，求出的长，进而求出和的长，即可判断③结论；利用对顶角相等和正切的定义，可判断④结论．
【详解】解：，，，
，
是直角三角形，①结论正确；
如图，过点作交于点，
平分，，
，
是的半径，
与直线相切，②结论正确；
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
E是线段的黄金分割点，③结论正确；
，
，④结论正确，
即正确的结论有①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质，圆的切线的判定定理，黄金分割，三角函数值，掌握相关知识点是解题关键．
【作业3】
【答案】
【知识点】比例的性质、二元一次方程的解
【分析】此题考查了比例的性质和二元一次方程．
设男同学人数为x人，女同学为y人，根据题意得到，则，利用比例的性质即可得到答案．
【详解】解：设男同学人数为x人，女同学为y人，
则
解得
∴
故答案为：
【作业4】
【答案】/
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握是解答本题的关键．延长交于点，可证，得到，设，，则，根据平行线分线段成比例得到，得到，能够得到，根据勾股定理得，，能够得到，先计算即可求得．
【详解】解：延长交于点，
由折叠得，，，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
点为的中点，
，
设，，则，
在矩形中，
，，
，
即，
，
即，
，
即，
，
在中，，
在中，，
，
，
即，
化简得，
解得（舍），，
即，
，
即，
故答案为：．
【作业5】
【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是构造平行线．
过点作，交于点，利用平行线分线段成比例进行求解即可．
【详解】解：如图，过点作，交于点，
∵为上的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【作业6】
【答案】6
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题主要考查了平行线所截线段对应成比例，根据平行线所截线段对应成比例得，进而求解即可．
【详解】解：∵，且相邻两弦之间的距离相等，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6．
【作业7】
【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，根据条件可得，再进一步求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
把，，代入，
得，
解得：．
【作业8】
【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
【作业9】
【答案】（1）（2），，
【知识点】解一元二次方程——配方法、多边形内角和问题、相似多边形的性质
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，相似多边形的性质，多边形内角和．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解．
【详解】解：（1）
解得：；
（2）四边形四边形，
，
，
，即，
，即，
，
．
【作业10】
【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查平行线分线段成比例，先得出，进而可得出答案．
【详解】解：，
．
，
，
，
．
【作业11】
【答案】(1)
证明：∵，
∴，
∴；
(2)3
【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由即可得到，即可求证；
（2）由平行四边形得到，则．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【作业12】
【答案】(1)
(2)
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例是解答本题的关键．
（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长；
（2）由可得，由平行线分线段成比例定理得，代入可得结论．
【详解】（1）解：，
，
，，，
∴，
，
；
（2）解：∵，
∴，
，
∴，
，
．
【作业13】
【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
解得BD．
【作业14】
【答案】(1)
(2)菱形；
理由如下：
由折叠的性质可知，，又图为矩形纸片，
，则，
，
，
四边形为菱形．
(3)
(4)见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、黄金分割
【分析】本题考查几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
（1）利用勾股定理计算即可；
（2）根据菱形的判定方法即可判断；
（3）根据黄金矩形的定义即可判断．
（4）根据黄金矩形的定义即可判断．
【详解】（1）解：连接，如图③，
由题知四边形为正方形，且，
，
又两个矩形相等，，
．
（2）略
（3）解：图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形．
，
，
则，
故四边形为黄金矩形，
，
故四边形为黄金矩形．
（4）解：选其中一种写理由均可
四边形是黄金矩形的，理由如下：
，
，
则，
故四边形为黄金矩形，
或者四边形是黄金矩形的理由如下：
，
故四边形为黄金矩形．
【作业15】
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】已知正弦值求边长、等边三角形的判定和性质、由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线间的垂线段，利用等距平行线的条件结合定理与性质推导结论，计算时抓住特殊三角形的边角关系求解距离．
（1）过直角顶点C作l₂的垂线，分别交于E、F；由等距得，再根据平行线分线段成比例定理，得出与的比值为1，从而证明；
（2）由直角三角形性质（直角三角形斜边中线等于斜边一半），结合、得；又（直角三角形两锐角互余，，判定为等边三角形；最后在中，利用（等边三角形高平分内角）和正弦函数，结合求出的长，即平行线间的距离．
【详解】（1）过点C作的垂线分别交与，于点E、F，如图，
，且，
，
；
（2），，，
∴，即：是等边三角形，
即：之间的距离为．
【作业16】
【答案】方案一：，方案二：，方案一的正方形水池面积更大．
【知识点】用勾股定理解三角形、正方形性质理解、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合
【分析】方案一：设正方形边长为x米，利用平行线分线段成比例定理即可求出正方形的边长；方案二：根据题意画出图形，作交于点．根据直角三角形的面积得出的长，利用相似三角形的判定定理即可得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出正方形的边长；把两方案中正方形的边长进行比较即可得出结论．
【详解】解：设正方形的边长为米．
方案一：∵，
∴，
∴，
∴；
方案二：如图2，作于H，交于点，
则四边形是矩形，
∴米，米；
由勾股定理得：米，
∵，
∴米；
∵，
∴ ，
∴，
∴，
解得：；
∵，
∴方案一的正方形水池面积更大．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质等知识，利用相似三角形的性质是解题的关键．
【作业17】
【答案】(1)
(2)
【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是利用平行线分线段成比例定理，结合线段的比例关系建立等式求解．
（1）根据平行线分线段成比例定理，可得，先求出的长度，再代入已知数据求解即可．
（2）由平行线分线段成比例定理可知，结合已知比例和的长度求出，进而求出即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【作业18】
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、求角的正弦值、黄金分割
【分析】设，，则由题意可得．再根据折叠的性质及等角对等边得出，然后利用勾股定理得到，最后根据正弦的定义即可求出答案．
【详解】解：设，，则由题意可得．
在矩形中，，，
．
由折叠的性质，得，
，
，
．
在中，，
整理，得，
，
，
．
【点睛】本题考查黄金分割、矩形的性质及翻折变换，熟知黄金分割的定义、矩形的性质及正弦的定义是解题的关键．
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第7讲·成比例线段及相似图形·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 理解比例线段的概念，掌握比例的基本性质并会进行比例变形与求值
· 认识相似图形与相似多边形，掌握相似多边形的性质（对应角相等、对应边成比例）
· 掌握平行线分线段成比例定理及其推论（A 字型、X 字型），会求线段的比与长度
· 理解黄金分割的概念，记住黄金比约为 0.618，会解决黄金分割的计算与应用问题
· 会综合勾股定理、方程等知识解决成比例线段的实际问题
· 会利用比例设参法（设 k 法）解决含多个比例式的求值问题
🍗 知识梳理
✅️ 1.比例线段与比例的性质
比例线段：四条线段 a、b、c、d 满足 = ，则称它们成比例线段
比例基本性质： = ⟺ ad = bc（交叉相乘）
合比性质： = ⟹ =
等比性质： = = … = ⟹ = （各分母之和不为 0）
设参法：已知 = = k，设 a = kb、c = kd 代入求值，是处理连比问题的通法
概念辨析例题：已知 = = ，且 a + c = 10，则 b + d 的值为（ ）
答案：15
解析：由等比性质： = ，a + c = 10，所以 b + d = 10 × = 15。等比性质把多个比「合并」，是连比求和问题的捷径。
✅️ 2.相似图形与相似多边形
相似图形：形状相同的图形（大小可以不同）
相似多边形：对应角相等、对应边成比例的两个多边形
相似比：对应边的比；相似比为 1 时两多边形全等
相似多边形周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方
判断相似多边形必须两个条件同时满足：对应角相等且对应边成比例
概念辨析例题：两个相似多边形的相似比为 2:3，若较大多边形面积为 36，则较小多边形的面积为（ ）
答案：16
解析：面积比 = 相似比的平方 = 4:9。S小 = 36 × = 16。相似多边形问题与相似三角形性质一致：边与周长用 k，面积用 k²。
✅️ 3.平行线分线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
推论（A 字型）：平行于三角形一边的直线截其他两边，对应线段成比例
推论（X 字型）：两条直线被平行线所截，交点在两平行线之间时同样成比例
平行线间的平行线段相等（如五线谱、练习本横格线间的竖直段）
使用时先找准「对应」：上比下 = 上比下，左比右 = 左比右
概念辨析例题：如图，l₁ ∥ l₂ ∥ l₃，直线 m、n 分别交 l₁、l₂、l₃ 于点 A、B、C 和 D、E、F，若 AB = 3，BC = 5，DE = 2，则 EF = （ ）
答案：
解析：由平行线分线段成比例： = ，即 = ，EF = 。三条平行线截两直线，对应线段成比例，交叉相乘即可。
✅️ 4.黄金分割
黄金分割：点 C 把线段 AB 分成 AC > BC 的两段，且 AC² = AB·BC（AC 是 AB 与 BC 的比例中项）
黄金比： = ≈ 0.618（长段占全长的 0.618）
短段:长段 = 长段:全长，黄金矩形宽长之比约为 0.618
常见计算：AB = 10 时，长段 ≈ 6.18，短段 ≈ 3.82
应用：五角星、二胡千斤、摄影构图、建筑比例等
概念辨析例题：线段 AB = 10，点 C 是 AB 的黄金分割点（AC > BC），则 AC 的长约为（ ）
答案：6.18
解析：AC = × AB ≈ 0.618 × 10 = 6.18，BC = 10 - 6.18 = 3.82。验证：AC² ≈ 38.2，AB·BC ≈ 38.2，满足 AC² = AB·BC。黄金分割题先分清长段短段再代 0.618。
✅️ 5.成比例线段的综合应用
比例尺问题：图上距离:实际距离 = 比例尺，注意单位换算
设参求值：连比设 k 或用合比、等比性质变形
与几何综合：折叠、旋转、矩形中构造成比例线段，结合勾股定理
方程思想：由比例式列方程求未知线段
实际测量：梯子、琴弦、五线谱等情境抽象出平行截线模型
概念辨析例题：在比例尺为 1:50000 的地图上，量得甲、乙两地距离为 3cm，则两地实际距离为（ ）
答案：1.5km
解析：实际距离 = 3 × 50000 = 150000cm = 1.5km。比例尺问题先算实际长度，再统一单位（cm 换 m、km），是本讲最基础的实物应用。
🧀 知识总结表
性质/概念
内容
用途
比例基本性质
ad = bc
交叉相乘求线段
等比性质
分子和/分母和 = 每个比
连比求和问题
相似多边形
角等 + 边成比例
周长比=k 面积比=k²
平行分线段
对应线段成比例
A字/X字型求线段
黄金比
≈ 0.618
长段=全长×0.618
设参法
a=kb, c=kd
连比代入求值
📩 核心考点
【考点1】比例线段与比例的性质（第1-13题）
· 比例基本性质交叉相乘是最常用的变形
· 合比、等比性质处理「比的和差」问题
· 设参法（设 k）解连比与代数式求值
· 比例尺注意图上与实际的单位换算
1．（24-25九年级上·四川达州·阶段检测）在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（ ）千米．
A．18 B．180 C．1800 D．18000
2．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·四川内江·期中）已知，则分式（ ）
A． B． C． D．1
5．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）已知，则的值为______．
6．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为_____．
7．（2024·宁夏固原·模拟预测）若，则______．
8．（25-26九年级上·广东佛山·期中），则的值为______．
9．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知为的三边，且，则__________．
10．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，则的值为______．
11．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）（1）已知，且，求a的值．
（2）已知，求x的值．
12．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：．
(1)求代数式的值；
(2)如果，求的值．
13．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）若，且，求的值．
【考点2】相似图形与相似多边形（第14-26题）
· 相似多边形两条件：对应角相等且对应边成比例
· 周长比 = 相似比，面积比 = 相似比平方
· 相似比 1:2、2:3 等直接代 k 与 k²
· 装裱、扩边等情境先写出对应边再列比例
14．（24-25九年级上·山西运城·阶段检测）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（25-26九年级上·河南郑州·期中）将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（ ）
A． B．
C． D．
17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
18．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）两个相似多边形的相似比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（ ）
A．矩形的面积 B．矩形的面积 C．矩形的面积 D．矩形的面积
20．（2025九年级·全国·专题练习）观察图①、图②并填空：
图②中，与A相似的图形有_______；与B相似的图形有_______；与C相似的图形有_______（填字母序号）．
21．（25-26九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，四边形四边形．
（1）______；
（2）求边______，______
22．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为（），则________．
23．（23-24九年级上·四川巴中·期末）如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则______．
24．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，四边形四边形，求的值和的大小．
25．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，从一个矩形中剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比．
26．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形，现将其扩大成矩形，且使得矩形矩形，求的长．
【考点3】平行线分线段成比例（第27-39题）
· 三条平行线截两直线：对应线段成比例，交叉相乘
· A 字型用「部分比整体」，X 字型用「上比下」
· 等距平行线（五线谱、横格）可构造特殊比例
· 与三角形中线、中位线结合时注意「对应」关系
27．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
28．（23-24九年级上·广西来宾·期中）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段BC长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
29．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
30．（24-25九年级上·安徽池州·阶段检测）如图，在四边形中，点，分别在，上，且．若，，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
31．（2024·江苏南通·一模）定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
33．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，已知，，，则的长为______．
34．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，则的长为_______．
35．（22-23九年级上·新疆喀什·期末）如图，已知直线分别交直线于点A、B、 C，交直线 交于点D、 E、F，且，，则_______．
36．（2024·江苏南京·三模）如图所示，若，则．依据是______．
37．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______．
38．（24-25九年级下·安徽淮南·阶段检测）是的高，为的中点，，如果，那么等于_________________．
39．（21-22九年级上·江苏常州·期中）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则_____．
【考点4】黄金分割及其应用（第40-52题）
· 黄金比 ≈ 0.618：长段 = 全长 × 0.618
· 定义式 AC² = AB·BC 是列方程的依据
· 黄金矩形中裁去正方形剩下仍是黄金矩形
· 与勾股、方程综合时先表示线段再列式
40．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是( )
A． B．
C． D．
41．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知，点在线段上，是，的比例中项，则的长（ ）．
A． B． C． D．
42．（25-26九年级上·福建泉州·期中）黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
43．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________．
44．（2024·江苏无锡·一模）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则 _________．（结果保留根号）
45．（22-23九年级上·全国·期中）已知：线段，点C是的黄金分割点，则_______．
46．（24-25九年级上·山西太原·期末）在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形是正方形，点是线段的黄金分割点（），以为边在正方形内作正方形．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若的长为，则，两点之间的距离为______．
47．（2024·安徽合肥·一模）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为__________（保留根号）．
48．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为________．（结果保留根号）
49．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为______（结果保留根号）．
50．（25-26九年级上·北京·课后作业）宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
51．（24-25八年级下·云南保山·期末）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？
52．（25-26九年级上·云南昆明·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接．然后将纸片展开．
(1)求的长；
(2)求证：四边形是黄金矩形．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 比例基本性质 ad = bc 是所有比例变形的源头
· 等比性质处理连比：分子和比分母和等于每个比
· 相似多边形：周长比 = 相似比，面积比 = 相似比平方
· 平行线分线段成比例：找准对应，上比下=上比下
· 黄金比 ≈ 0.618：长段² = 全长 × 短段
【作业 1】（2022·安徽·模拟预测）如图，在锐角中，D为边上一点，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点D，B的对应点分别为A，E，交于点O，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【作业 2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知在中，，，，作的平分线交于点D，以点D为圆心，长为半径作圆，与射线交于点E、F．下列结论：①是直角三角形；②与直线相切；③E是线段的黄金分割点；④．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【作业 3】（23-24八年级下·全国·期末）操场上有一些学生，他们的平均年龄是岁，其中男同学的平均年龄是岁，女同学的平均年龄是岁，则男女同学的比例是______________．
【作业 4】（24-25九年级下·浙江·阶段检测）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则=______．
【作业 5】（2024·广东·二模）如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则______
【作业 6】（25-26九年级上·广东深圳·期末）古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图，已知弦，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦上一点，过点P作射线，交弦于点A，交弦于点E．若，则______．
【作业 7】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长．
【作业 8】（24-25九年级上·北京房山·期中）如图，在中，，．求的长．
【作业 9】（23-24九年级上·贵州安顺·阶段检测）（1）用配方法解方程：；
（2）如图，已知四边形四边形，求，和的值．
【作业 10】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，且，且，，求的长．
【作业 11】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，为对角线，、分别是边上的点，连接，且，、分别交于点、．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【作业 12】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，．
(1)若，，，求的长；
(2)若，，求的长．
【作业 13】（2025九年级·陕西西安·专题练习）如图，已知，求长．
【作业 14】（2024·广西·模拟预测）【探究与证明】
【问题情境】：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）
【操作发现】
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．
第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形．
【问题解决】
(1)图③中______（保留根号）；
(2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图④矩形就是黄金矩形，图④的矩形______也是黄金矩形；
(4)请你选择图④的其中一个黄金矩形来说明理由．
【作业 15】（22-23九年级上·全国·期中）已知，如图，直线是三条等距的平行线，将一块含角的直角三角板如图放置，使直角顶点C落在上，另两个顶点A与B刚好分别落在与上,与交于点D
(1)求证：；
(2)若，求直线之间的距离．
【作业 16】（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大．
【作业 17】（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，，直线，与，，分别相交于点，，和点，，．
(1)若，求的长．
(2)若，求的长．
【作业 18】（2025九年级·全国·专题练习）宽与长的比是的矩形叫做“黄金矩形”，“黄金矩形”给我们以协调、匀称的美感．如下图，把“黄金矩形”沿对角线翻折，点落在点处，交于点．求的值．
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