22.3.4 相似三角形的应用 讲义 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第22章 22.3.4  相似三角形的应用 

【新教材华东师大版】

知识点  相似三角形的应用

1. 测量高度（测高问题）

利用影子或镜面反射测量无法直接到达顶部的物体高度.

平行光（影子）模型：

 原理： 同一时刻，太阳光线是平行的，故物高与影长成正比.

公式： .

注意： 必须是同一时刻；影长是指从物体底部到影子顶端的水平距离.

镜面反射模型：

原理： 入射角 = 反射角，故两个直角三角形相似.

构造： 人眼、镜子、物体顶端构成两个直角三角形.

公式： .

2. 测量宽度/距离（测距问题）

利用“人”或“标杆”作为中间桥梁，测量河宽、池塘宽等.

 人字模型 / 标杆模型：

场景： 站在岸边，通过标杆或手臂遮挡对岸目标.

原理： 构造“X”型或“A”型相似.

关键： 找准对应边.

通常是：

或.

3. 盲区与视线问题

原理： 视线是直线，障碍物边缘与视线相切.

应用： 判断能否看到物体、计算刚好看到物体时的距离.

方法： 连接“眼睛”与“障碍物顶端”并延长，与地面/目标线的交点即为临界点.

【题型1  利用影子测物体高度】

1．在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是

．已知甲同学直立时的身高为．求路灯离地面的高度．

2．在一次课外活动中，小泽和小方想利用一些测量工具和所学的几何知识测量某山上宝塔的塔高，由于观测点与宝塔底部之间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量．如图所示，首先，在阳光下，小方在某一时刻测得站立在E处的小泽的影长，在同一时刻宝塔顶端A的影子落在地面上的点C处，此时测得，小泽在E处竖起一根标杆，测得标杆的高，此时，宝塔的顶端A、标杆的顶端G及点F在同一条直线上．已知，，点在同一水平线上，小泽的身高，求宝塔的塔高．

3．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米．

(1)求路灯的高度；

(2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是多少米；

(3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度．

4．凌霄塔是榆阳区境内分布的明代塔幢建筑之一，也是榆林古城“南塔北台中古城”格局的核心地标，梓轩和几位同学准备利用所学知识测量凌霄塔的高度．如图，梓轩在地面上的点C处用测角仪测得凌霄塔顶端A的仰角，随后，梓轩从点C处沿BC方向移动4.1m到达点D处，在点D处竖立一根高为2m的标杆DE，在某一时刻，凌霄塔AB在太阳光下的影子顶端与标杆ED在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点F处，经测量，，，点B，C，D，F在同一水平线上，求凌霄塔的高度

AB．（结果保留整数，参考数据：，，）

5．一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离．

6．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为．

(1)求路灯的高度．

(2)当秒时，求影子的长？

(3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．

①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）；

②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒；