第22章·图形的相似·期中复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第22章·图形的相似·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解比例的基本性质，掌握平行线分线段成比例定理 · 能熟练判定两个三角形相似并运用其性质求线段、周长、面积 · 能利用相似三角形解决测高、测距等实际问题 · 理解位似图形概念，能在坐标系中画位似图形并求相似比 · 了解相似多边形与黄金分割，能解决综合与动态问题 📚 知识梳理 ☆ 1.比例线段与平行线分线段成比例 比例的基本性质：若 a:b=c:d，则 ad=bc；合比、等比性质 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例 概念辨析例题：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，求EC的长。 答案：EC=4。 解析：由DE∥BC得 =，即 =，解得 EC=4。 ☆ 2.相似三角形的判定 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 两边对应成比例且夹角相等（SAS）；三边对应成比例（SSS） 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似 概念辨析例题：在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'=60°，AB=2，AC=4，A'B'=3，A'C'=6，判断是否相似。 答案：相似。 解析：=，==，两边成比例且夹角∠A=∠A'，由SAS判定两三角形相似。 ☆ 3.相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例，相似比为k 对应高、中线、角平分线之比等于相似比；周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方（k2） 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为2:3，较小三角形面积为8cm2，求较大三角形面积。 答案：18cm2。 解析：面积比等于相似比的平方，即 S小:S大=(2:3)2=4:9。故 S大=8×=18cm2。 ☆ 4.位似图形、相似多边形与黄金分割 位似图形：对应顶点连线交于一点（位似中心），对应边平行 坐标系中位似：以原点为位似中心，相似比为k，则对应点坐标比为k或-k 黄金分割：点C把线段AB分成AC、BC（AC>BC），若 ==≈0.618 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，△ABC以原点O为位似中心放大为原来的2倍，点A(1,2)的对应点A'坐标是？ 答案：(2,4)或(-2,-4)。 解析：以原点为位似中心、相似比为2时，对应点坐标为原坐标乘2或-2，故A'(2,4)或(-2,-4)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 比例性质 a:b=c:d ⇔ ad=bc 比例顺序不可乱 平行线分线段 对应线段成比例 认准对应边 相似判定 AA/SAS/SSS SAS须夹角相等 相似比 对应边之比k 周长比=k，面积比=k2 位似 对应顶点共点 位似中心为交点 黄金分割 ≈0.618 较长段占全长 ⚠️ 核心考点 【考点1】比例线段与平行线分线段成比例（第1-11题） · 比例性质变形：ad=bc，注意化乘积式为比例式 · 见平行想比例：找准截得的对应线段 · 重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍 · 求线段比常设未知数，按比例列方程 1．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·辽宁盘锦·一模）如图，在中，平分，按如下步骤作图：①分别以点、为圆心， 大于长为半径在两侧作弧，交于两点、；②连接，分别交、于点、；③连接、．若，，，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 4．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，，则下列比例式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，则的值为______． 6．（24-25九年级下·安徽淮南·阶段检测）是的高，为的中点，，如果，那么等于_________________． 7．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 8．（2025·上海松江·一模）已知： (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，用两种不同的方法证明． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，两条直线被三条平行线所截，，求的长． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知 ，求证：． 【考点2】相似三角形的判定（第12-15题） · 优先找两角相等（公共角、对顶角、平行角） · 有两边成比例时须验证夹角相等 · 网格中用勾股算三边比判定SSS · 证明题书写对应顶点字母顺序要一致 12．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，与相交于点，的平分线分别交、于、两点．如果，那么线段的长为（     ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在和中，，，，．求证：． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【考点3】相似三角形的性质（第16-27题） · 求线段长：列出对应边比例式 · 周长比=相似比，面积比=相似比平方，勿混用 · 动点问题按时间t表示线段再列比例 · 结合直角、角平分线时注意对应高之比 16．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图所示，在中，点、、分别在、、边上，连接、，、相交于，若，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 17．（2023·重庆铜梁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，，则与的周长之比是（ ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，正方形的边长为，点为边上一点，连接，延长到点，使，连接交于点． （1）当时，______； （2）连接，当时，______． 19．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为________． 20．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为________．    21．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）的三边、、的长分别是6、7、8，边上有一点M，，过点M的直线截其它边的交点是点N，如果截得的相似于，那么的长为______． 22．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个三角形的边长分别为4，5，6，和它相似的另一个三角形的最长边为24，则较大三角形的周长为________． 24．（2022·浙江台州·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是延长线上一点，交于点，是的中点．若，，则的长为_____． 26．（2026·西藏山南·二模）如图，已知，，点B，C，D在同一条直线上，若，，，则的长为________． 27．（24-25九年级下·甘肃平凉·阶段检测）“豆腐石磨”是我国古人制作豆腐的重要的生产工具，更是劳动人民智慧的结晶．生产过程中它主要靠人力推动木柄，带动上方石磨转动（下方石磨不动），将豆粒磨碎，进行生产．它的主要工作部件可以看成一个圆和线段，俯视图如图②所示．如图③，为石磨的圆心，连接．已知与石磨的边缘交于点，木柄米，连接，、、三点共线，始终在上运动，的半径米，固定点到石磨边缘距离米． (1)在同等条件下，时，工作最省力，求此时的正切值； (2)在石磨转动过程中，求的取值范围； (3)在工作的过程中，线段能否与平行，请说明理由． 【考点4】相似三角形的实际应用与投影（第28-32题） · 测高（旗杆、树、纪念碑）：物高/影长=相似比 · 平行投影下物高与影长成正比 · 中心投影（灯光）注意光源位置与相似三角形对应 · 建模后检验单位与实际意义 28．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为，把路灯看成一个点光源，身高的小明站在点处，且，当小明向路灯移动时，影长的变化是（   ） A．伸长了 B．伸长了 C．缩短了 D．缩短了 29．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为_____米． 30．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是__________米． 31．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，小莹用自制直角三角纸板测量“观光塔”的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得点离地面的高度为，小莹与“观光塔”的水平距离为，则“观光塔”的高度是______． 32．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子，表示一个圆形的凳子． (1)请你在图中标出路灯的位置，并画出的影子（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，路灯与地面的距离为，求影子的长． 【考点5】位似图形与坐标（第33-42题） · 位似中心是对应顶点连线的交点 · 以原点为位似中心：坐标×k或×(-k) · 画位似图形先定关键点对应位置再连线 · 位似比即相似比，周长比、面积比同相似性质 33．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 35．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 36．（22-23九年级下·山东青岛·开学考试）如图矩形与矩形是位似图形，点A是位似中心，矩形的周长是24，，，则和的长是（    ） A．4，2 B．8，4 C．8，6 D．10，6 37．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点是位似中心，若的面积为0.6，则的面积为（） A．1.2 B．2.4 C．5.4 D．6 38．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 39．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 40．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的． (1)以点为位似中心，将线段作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段(点、分别为、的对应点)，在网格内画出线段． (2)若点在第一象限，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________ 41．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均在小正方形的格点上． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为1：2； (2)连接（1）中的、，求四边形的周长．（结果保留根号） 42．（2025·河南焦作·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形扩大得到正方形，使其面积比为．交反比例函数的图象于点G，已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． 【考点6】相似多边形、黄金分割与综合（第43-52题） · 相似多边形对应角相等、对应边成比例 · 黄金分割比为，常结合一元二次方程 · 与反比例函数、一次函数综合时先求解析式再求交点 · 折叠/旋转综合注意全等与相似结合使用 43．（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 44．（23-24七年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，F，D，E分别是边，，上的点，且，，相交于点O．若点O是的重心，则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是的面积的一半；③图中与面积相等的三角形有5个．其中结论一定正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 45．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 46．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知线段是线段的黄金分割点，则_________． 47．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则_____． 48．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为______． 49．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形四边形，且，． (1)的度数为_______． (2)边BC的长为_______． 50．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 51．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 52．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，中线相交于点G， (1)若，求的长； (2)若的面积为1，求的面积． 💯 课后巩固 复习建议 · 默写比例性质、相似判定与性质公式 · 平行线分线段成比例多练对应边识别 · 相似性质注意周长比与面积比的区别 · 位似坐标题先定中心再乘相似比 · 实际应用建模后检验影长与物高对应关系 【作业1】．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，三边上点，满足，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”下一步应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（    ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 【作业3】．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，已知，则下列说法不正确的是（     ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．是相似比 D．点B和点D，点C和点E是对应点 【作业4】．（24-25九年级上·四川巴中·期末）下列四组线段中，不能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【作业5】．（26-27九年级下·全国·课后作业）已知线段和，依据下列点的坐标，能判断和是以原点为位似中心的位似图形的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【作业6】．（23-24九年级上·全国·课后作业）若，则____． 【作业7】．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如果线段上的点满足，那么点叫做线段的黄金分割点，此时的值为______． 【作业8】．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作，且．连接，当取得最小值时，点的坐标为______． 【作业9】．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，已知，，测得，，，那么该古城墙的高度是_______m． 【作业10】．（21-22九年级上·山东菏泽·期末）如图，是半圆的直径，半径于点O，平分，交于点D，连接，，下列结论：①；②；③；其中正确结论的序号是______． 【作业11】．（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为______． 【作业12】．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，是斜边上的高，其中，则__________． 【作业13】．（2026·陕西渭南·二模）陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 【作业14】．（2024·河北邯郸·二模）嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts． (1)如图1，①______；②点到直线的距离是______； (2)如图2，求证； (3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度； (4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值． 【作业15】．（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【作业16】．（2024·陕西西安·二模）如图，矩形中，点在边上，求作点，使点在边上且．（不写作法，保留作图痕迹） 【作业17】．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 【作业18】．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章·图形的相似·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解比例的基本性质，掌握平行线分线段成比例定理 · 能熟练判定两个三角形相似并运用其性质求线段、周长、面积 · 能利用相似三角形解决测高、测距等实际问题 · 理解位似图形概念，能在坐标系中画位似图形并求相似比 · 了解相似多边形与黄金分割，能解决综合与动态问题 📚 知识梳理 ☆ 1.比例线段与平行线分线段成比例 比例的基本性质：若 a:b=c:d，则 ad=bc；合比、等比性质 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例 概念辨析例题：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，求EC的长。 答案：EC=4。 解析：由DE∥BC得 =，即 =，解得 EC=4。 ☆ 2.相似三角形的判定 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 两边对应成比例且夹角相等（SAS）；三边对应成比例（SSS） 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似 概念辨析例题：在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'=60°，AB=2，AC=4，A'B'=3，A'C'=6，判断是否相似。 答案：相似。 解析：=，==，两边成比例且夹角∠A=∠A'，由SAS判定两三角形相似。 ☆ 3.相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例，相似比为k 对应高、中线、角平分线之比等于相似比；周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方（k2） 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为2:3，较小三角形面积为8cm2，求较大三角形面积。 答案：18cm2。 解析：面积比等于相似比的平方，即 S小:S大=(2:3)2=4:9。故 S大=8×=18cm2。 ☆ 4.位似图形、相似多边形与黄金分割 位似图形：对应顶点连线交于一点（位似中心），对应边平行 坐标系中位似：以原点为位似中心，相似比为k，则对应点坐标比为k或-k 黄金分割：点C把线段AB分成AC、BC（AC>BC），若 ==≈0.618 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，△ABC以原点O为位似中心放大为原来的2倍，点A(1,2)的对应点A'坐标是？ 答案：(2,4)或(-2,-4)。 解析：以原点为位似中心、相似比为2时，对应点坐标为原坐标乘2或-2，故A'(2,4)或(-2,-4)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 比例性质 a:b=c:d ⇔ ad=bc 比例顺序不可乱 平行线分线段 对应线段成比例 认准对应边 相似判定 AA/SAS/SSS SAS须夹角相等 相似比 对应边之比k 周长比=k，面积比=k2 位似 对应顶点共点 位似中心为交点 黄金分割 ≈0.618 较长段占全长 ⚠️ 核心考点 【考点1】比例线段与平行线分线段成比例（第1-11题） · 比例性质变形：ad=bc，注意化乘积式为比例式 · 见平行想比例：找准截得的对应线段 · 重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍 · 求线段比常设未知数，按比例列方程 1．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、重心的有关性质、三线合一、已知余弦求边长 【分析】先由等腰三角形“三线合一”得，结合求出的长度；再利用重心分中线的比例关系，结合推出，进而通过比例式求出的长． 【详解】解：在中，，点是重心， ，，， ， ， ， ，， ， ，即， ． 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数，等腰三角形性质，重心性质及平行线分线段成比例定理，结合三角函数求边长是解题关键． 2．（2021·辽宁盘锦·一模）如图，在中，平分，按如下步骤作图：①分别以点、为圆心， 大于长为半径在两侧作弧，交于两点、；②连接，分别交、于点、；③连接、．若，，，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查了基本作图以及平行线分线段成比例定理的运用，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．根据已知条件得出，，再根据平行线分线段成比例定理的推论，即可得到的长． 【详解】解：平分， ， 由作图可得，垂直平分， ， ， ， ， ， 又，， 平分， ， ， ， ， ，即， ， 故选：B． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，，则下列比例式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关键．根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、 ， ，选项A不正确； B、 ， ，选项B正确； C、 ，， ，，但， ，选项C不正确； D、 ， ，选项D不正确； 故选：B． 5．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，则的值为______． 【答案】3 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，利用设法，进行计算即可解答．熟练掌握用设法是解题的关键． 【详解】解：设， 则，，， ， 故答案为：3． 6．（24-25九年级下·安徽淮南·阶段检测）是的高，为的中点，，如果，那么等于_________________． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理知识的应用．由是的高，，即可证得，又由E为的中点，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由，即可求得的值． 【详解】解：∵是的高，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、由平行判断成比例的线段、两直线平行同位角相等、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 8．（2025·上海松江·一模）已知： (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 【答案】(1)， (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例， （1）根据题意得出，再结合即可解决问题； （2）在等式两边都减去，再进行变形即可解决问题； 解题的关键是掌握比例的基本性质：比例的内项之积与外项之积相等．也考查了恒等变形． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴，； （2）略 9．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，用两种不同的方法证明． 【答案】 方法一：证明：， ， ， ． 方法二：证明：， ． ， ， ． ， 方法三：证明：， ． ， ， ． ． 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了等式的性质及比的性质运算，运用等式的基本性质两边加1，可证；还可以运用比例的性质求解． 【详解】略 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，两条直线被三条平行线所截，，求的长． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题利用平行线分线段成比例定理，列出线段比例式，先求出的长度，再将与相加得到的长． 【详解】解：， ， ， ， 解得， ∴ 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知 ，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 两边同除以，得， 即． 【知识点】比例的性质、利用二次根式的性质化简 【分析】先得出，，则，再两边同除以即可得证． 【详解】略． 【考点2】相似三角形的判定（第12-15题） · 优先找两角相等（公共角、对顶角、平行角） · 有两边成比例时须验证夹角相等 · 网格中用勾股算三边比判定SSS · 证明题书写对应顶点字母顺序要一致 12．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，与相交于点，的平分线分别交、于、两点．如果，那么线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分母有理化、相似三角形的判定与性质综合、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】过点作于点，根据正方形性质和等腰直角三角形判定求出、的长，利用角平分线性质求出的长，进而得到正方形边长和对角线长，最后利用相似三角形性质求出的长． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 13．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在和中，，，，．求证：． 【答案】证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【详解】略 15．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【答案】(1) 如图所示，为所求作的三角形； (2) 如图所示， 【知识点】利用三边对应成比例判定相似、画旋转图形 【分析】本题主要考查了旋转作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 【考点3】相似三角形的性质（第16-27题） · 求线段长：列出对应边比例式 · 周长比=相似比，面积比=相似比平方，勿混用 · 动点问题按时间t表示线段再列比例 · 结合直角、角平分线时注意对应高之比 16．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图所示，在中，点、、分别在、、边上，连接、，、相交于，若，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定等等，根据平行线分线段成比例定理即可判断A、B；证明，，进而可证明，则可判断C；证明，得到，根据不一定成立，可得不一定成立，即可判断D． 【详解】解：∵， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∴，故C结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵不一定成立， ∴不一定成立，故D结论错误，符合题意 故选：D． 17．（2023·重庆铜梁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，，则与的周长之比是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到 ，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长之比等于相似比计算即可． 【详解】解： ， ． 与是位似图形， ，， ， ， 与的相似比是． 与的周长之比是． 故选：C． 18．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，正方形的边长为，点为边上一点，连接，延长到点，使，连接交于点． （1）当时，______； （2）连接，当时，______． 【答案】 【知识点】求角的正切值、由平行截线求相关线段的长或比值、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，角的正切，平行线分线段成比例，三线合一等知识； （1）根据勾股定理求得，进而根据题意求得的长，再根据正切的定义，即可求解； （2）根据三线合一可得，进而根据平行线分线段成比例得出，即可求得的长，再根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 19．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为________． 【答案】2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据网格结构特征可得，进而证明，利用相似三角形对应边的比等于对应边上的高之比即可求解． 【详解】解：由网格图可知， 与 均在竖直网格线上， ， ， 等于边上的高 与边上的高之比， 观察网格可知，边上的高为4，边上的高为6，， ， 解得． 20．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为________．    【答案】12.5 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似图形，根据两个位似图形一定相似，且相似比等于位似比，再根据两个相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，且， ∴，， ∴与的相似比为：， ∴与的周长比为：， ∵的周长为5， ∴的周长为12.5； 故答案为：12.5． 21．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）的三边、、的长分别是6、7、8，边上有一点M，，过点M的直线截其它边的交点是点N，如果截得的相似于，那么的长为______． 【答案】或 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，当点在上时，不可能相似于，故只需分两种情况：①，②，进行讨论，再利用相似三角形的性质得出答案，主要利用了相似三角形的对应边成比例，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 【详解】解：当点在上时，不可能相似于； 当点在上时， ①如图1，， ， ，，， ， 解得， ∴． ②如图2，， ， ，，， ， 解得， ∴ 综上所述，为或． 故答案为：或． 22．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、相似三角形——动点问题 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个三角形的边长分别为4，5，6，和它相似的另一个三角形的最长边为24，则较大三角形的周长为________． 【答案】60 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】先根据一个三角形的三边长分别为4，5，6，与其相似的三角形的最长的边为24，求出其相似比，再设较大三角形的周长为L，由相似三角形周长的比等于相似比即可得出L的值． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为4，5，6，与其相似的三角形的最长的边为24， ∴其相似比， 设较大三角形的周长为L， ∴， 解得． 即较大三角形的周长为60． 24．（2022·浙江台州·模拟预测）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F．若，则的长是______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形中位线定理可得且，进而证得，利用相似比求解即可． 【详解】解：点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是延长线上一点，交于点，是的中点．若，，则的长为_____． 【答案】 【知识点】矩形性质理解、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】证明得，求出，再根据勾股定理得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 在中，． 26．（2026·西藏山南·二模）如图，已知，，点B，C，D在同一条直线上，若，，，则的长为________． 【答案】6 【知识点】两直线平行内错角相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 27．（24-25九年级下·甘肃平凉·阶段检测）“豆腐石磨”是我国古人制作豆腐的重要的生产工具，更是劳动人民智慧的结晶．生产过程中它主要靠人力推动木柄，带动上方石磨转动（下方石磨不动），将豆粒磨碎，进行生产．它的主要工作部件可以看成一个圆和线段，俯视图如图②所示．如图③，为石磨的圆心，连接．已知与石磨的边缘交于点，木柄米，连接，、、三点共线，始终在上运动，的半径米，固定点到石磨边缘距离米． (1)在同等条件下，时，工作最省力，求此时的正切值； (2)在石磨转动过程中，求的取值范围； (3)在工作的过程中，线段能否与平行，请说明理由． 【答案】(1) (2)米米 (3) 线段与不平行， 理由：假设， 此时， 即， 不能构成三角形， 与不平行； 【知识点】求角的正切值、由平行截线求相关线段的长或比值、构成三角形的条件、点与圆上一点的最值问题 【分析】（1）由，米，木柄米，结合正切的定义解答即可； （2）画出图形，结合点与圆上各点的最大距离与最短距离解答即可； （3）假设，可得，求解，此时，再进一步结合三角形的三边关系可得结论. 【详解】（1）解：在同等条件下工作最省力时 ，米 米 ． （2）解：如图，当点共线时 的最小值为：米 的最大值为：米 米米     ； （3）略 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，平行线分线段成比例，三角形的三边关系的应用，锐角三角函数的应用，结合图形解题是关键. 【考点4】相似三角形的实际应用与投影（第28-32题） · 测高（旗杆、树、纪念碑）：物高/影长=相似比 · 平行投影下物高与影长成正比 · 中心投影（灯光）注意光源位置与相似三角形对应 · 建模后检验单位与实际意义 28．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为，把路灯看成一个点光源，身高的小明站在点处，且，当小明向路灯移动时，影长的变化是（   ） A．伸长了 B．伸长了 C．缩短了 D．缩短了 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由题意可得，即得，得到，求出变化前后的长度即可判断求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当小明向路灯移动时，， 由得，， ∴， ∴影长缩短了， 故选：． 29．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为_____米． 【答案】6 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯的高度等于6米； 故答案为：6． 30．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是__________米． 【答案】5 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由题意知，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：由题意知， ∴ 在和中 解得 故答案为：5． 31．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，小莹用自制直角三角纸板测量“观光塔”的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得点离地面的高度为，小莹与“观光塔”的水平距离为，则“观光塔”的高度是______． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证明，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， 点离地面的高度为， ， ， 故答案为：． 32．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子，表示一个圆形的凳子． (1)请你在图中标出路灯的位置，并画出的影子（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，路灯与地面的距离为，求影子的长． 【答案】(1) 如图，点即为所求，即为所求； (2)影子的长为． 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】本题考查了相似三角形的实际运用，中心投影的知识，解题的关键是作出相应的辅助线． （）延长交于点，连接分别交直线于点，然后连接即可； （）过作于点，交直线于点，则，，证明，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过作交直线于点，交直线于点，则，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴影子的长为． 【考点5】位似图形与坐标（第33-42题） · 位似中心是对应顶点连线的交点 · 以原点为位似中心：坐标×k或×(-k) · 画位似图形先定关键点对应位置再连线 · 位似比即相似比，周长比、面积比同相似性质 33．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质、求两个位似图形的相似比 【分析】先求出位似比，根据位似图形的性质，再由面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 五边形与五边形位似， ， ， ． 34．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形相的面积之比等于位似之比的平方是解题关键． 先说明与位似比，然后再根据位似图形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形 ∴位似比是 ∴，即， ∵的面积为4， ∴． 故选C． 35．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的性质，先根据位似图形的性质求得相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 36．（22-23九年级下·山东青岛·开学考试）如图矩形与矩形是位似图形，点A是位似中心，矩形的周长是24，，，则和的长是（    ） A．4，2 B．8，4 C．8，6 D．10，6 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】设，根据题意，得即，结合位似的性质，得，解答即可． 本题考查了位似的性质，比例的性质，熟练掌握位似性质是解题的关键． 【详解】解：设，根据题意，得即， ∵矩形与矩形是位似图形，点A是位似中心， ∴， ∴， ∴， 解得，则， 即． 故选B． 37．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点是位似中心，若的面积为0.6，则的面积为（） A．1.2 B．2.4 C．5.4 D．6 【答案】C 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】根据位似图形的性质得出的长，进而得出，求出的长即可． 【详解】解：∵与是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知点坐标为点坐标为， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出 是解题关键． 38．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 【答案】或/或 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． 39．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据题意可得位似比为或，用点A的横纵坐标乘以对应的位似比即可求出点的坐标． 【详解】解：∵，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到， ∴位似比为或， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 综上所述，点的对应点的坐标为或． 40．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的． (1)以点为位似中心，将线段作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段(点、分别为、的对应点)，在网格内画出线段． (2)若点在第一象限，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________ 【答案】(1)线段为所求： (2) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、在坐标系中画位似图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】（1）根据位似变换的作图要求找到对应点连线即可； （2）结合点和点的位置，根据平行四边形的性质即可依托点求得点． 【详解】（1）略． （2）解：如图， ∵，， ∴根据平行四边形的性质将点向上平移1个单位，向右平移3个单位， ∵， ∴． 41．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均在小正方形的格点上． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为1：2； (2)连接（1）中的、，求四边形的周长．（结果保留根号） 【答案】(1) 如图，为所求； (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用勾股定理得出各线段长，进而得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理，得， ， ∴四边形的周长为：． 42．（2025·河南焦作·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形扩大得到正方形，使其面积比为．交反比例函数的图象于点G，已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、根据正方形的性质求线段长、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长，位似图形的性质，解题的关键是求出函数解析式； （1）得点B坐标为代入解析式即可； （2）由题意得正方形的面积为2，故其边长为，根据点G在反比例函数上，令，解得即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得点B坐标为， 将其代入反比例函数解析式，， 反比例函数解析式为； （2）解：由题意得正方形的面积为2，故其边长为，点G在反比例函数上， 令，解得， ． 【考点6】相似多边形、黄金分割与综合（第43-52题） · 相似多边形对应角相等、对应边成比例 · 黄金分割比为，常结合一元二次方程 · 与反比例函数、一次函数综合时先求解析式再求交点 · 折叠/旋转综合注意全等与相似结合使用 43．（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【答案】D 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 44．（23-24七年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，F，D，E分别是边，，上的点，且，，相交于点O．若点O是的重心，则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是的面积的一半；③图中与面积相等的三角形有5个．其中结论一定正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】重心的有关性质、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，其性质是三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．根据三角形重心的概念和性质即可判定． 【详解】解：点是的重心， 线段，，是的三条中线，故①错误； 是中线， ， 的面积是面积的一半；故②正确； ，，是的三条中线， 面积面积面积，面积面积面积，面积面积面积， 面积面积面积面积面积面积， 图中与面积相等的三角形有5个，故③正确； 故选：C 45．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似图形、相似多边形的性质、相似多边形 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 46．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知线段是线段的黄金分割点，则_________． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，根据黄金分割点的概念解答即可，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系是解题的关键． 【详解】根据黄金分割点的概念，可知， 则， 故答案为：． 47．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则_____． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、黄金分割、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确建立方程是解题关键．设，则，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， 故答案为：． 48．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为______． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，，由矩形矩形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 49．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形四边形，且，． (1)的度数为_______． (2)边BC的长为_______． 【答案】 12 【知识点】相似多边形的性质、多边形内角和问题 【分析】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题. （1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和解决问题即可. （2）利用相似多边形对应边成比例，解决问题即可. 【详解】（1）解：． 故答案为：83． （2）解：由题意，得，即， 解得． 故答案为：12． 50．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 【答案】(1)①； ②； ③；理由如下： ，，，， ，，， ； (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+k的图象和性质、计算多项式乘多项式、坐标与图形综合 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图像与性质，求点的坐标，整式的乘法． （1）①若，抛物线的表达式为：，从而得到，，， 根据待定系数法即可求出直线的解析式； ②求出点E的坐标，根据即可解答； ③根据各点坐标得到，，，即可得到； （2）同（1）思路即可解答； （3）设点，点，由点A、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点，表示出，，即可解答． 【详解】（1）解：①若，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为：； ②对于直线：，当时，， ∴， ∴， 故答案为：； ③ 略 （2）解：，理由如下： 当时，抛物线的表达式为：， ∴，，， 同理可得：直线的表达式为：， ∴， ∴， ，， ∴； （3）解：，理由如下： 设点，点， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， ，， 则， ， ， 故答案为： 51．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【答案】， 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质. 根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长． 【详解】解：∵四边形四边形 ， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 52．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，中线相交于点G， (1)若，求的长； (2)若的面积为1，求的面积． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】重心的有关性质、根据三角形中线求面积 【分析】（1）根据题意可得点G是的重心，由重心的性质可得，据此求出的长即可得到答案； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再由（1）得，据此可得． 【详解】（1）解：∵在中，中线相交于点G， ∴点G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴； 由（1）得， ∴， ∴． 💯 课后巩固 复习建议 · 默写比例性质、相似判定与性质公式 · 平行线分线段成比例多练对应边识别 · 相似性质注意周长比与面积比的区别 · 位似坐标题先定中心再乘相似比 · 实际应用建模后检验影长与物高对应关系 【作业1】．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，三边上点，满足，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．由题意可证四边形是平行四边形，可得，，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解． 【详解】解：∵， ，， ， ，故A错误；， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误， 故选：B． 【作业2】．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”下一步应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（    ） A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用勾股定理分别求出每一处所构成的三角形的边长，再结合相似三角形的判定方法进行判断即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得，“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，当“马”落在①处时，“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，因为三边对应不成比例，所以①处不符合；当“马”落在②处时，“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，因为，所以②处符合；当“马”落在③处时，“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，因为三边对应不成比例，所以③处不符合；当“马”落在④处时，“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为，，，因为三边对应不成比例，所以④处不符合， 故选：． 【作业3】．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，已知，则下列说法不正确的是（     ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．是相似比 D．点B和点D，点C和点E是对应点 【答案】C 【知识点】位似图形的识别、判断位似中心、利用平行判定相似、位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比 【分析】根据位似图形的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴两个三角形是位似图形，点A是两个三角形的位似中心，故A、B正确，不符合题意； 或或是相似比，故C错误，符合题意； 点B和点D，点C和点E是对应点，故D正确，不符合题意． 【作业4】．（24-25九年级上·四川巴中·期末）下列四组线段中，不能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，用最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断即可，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵，， ∴，不能成比例，该选项符合题意； 故选：． 【作业5】．（26-27九年级下·全国·课后作业）已知线段和，依据下列点的坐标，能判断和是以原点为位似中心的位似图形的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【知识点】位似图形的识别、求位似图形的对应坐标 【详解】解：以原点为位似中心的位似图形，对应点的横、纵坐标均乘以同一个常数． A、与的横、纵坐标比值分别为和，不相等，不符合； B、与的横、纵坐标比值分别为和，不相等，不符合； C、与的横、纵坐标比值分别为和，不相等，不符合； D、与的横坐标比值为，纵坐标均为，满足同乘；与的横坐标比值为，纵坐标均为，满足同乘，符合题意． 【作业6】．（23-24九年级上·全国·课后作业）若，则____． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质求解即可，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【作业7】．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如果线段上的点满足，那么点叫做线段的黄金分割点，此时的值为______． 【答案】 【知识点】黄金分割、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查黄金分割点的概念． 根据题意，由及可得，将此方程转化为关于比值的一元二次方程，解方程即可求值． 【详解】解：∵，且， ∴， 两边同除以得，， 令，则， 解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【作业8】．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作，且．连接，当取得最小值时，点的坐标为______． 【答案】 【知识点】垂线段最短、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，坐标与图形，过点作轴于点，可证，得到，即得点在直线上运动，可知当垂直于这条直线时，最短，据此即可求出点的坐标，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在直线上运动，如图， 当垂直于这条直线时，最短，此时， 故答案为：． 【作业9】．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，已知，，测得，，，那么该古城墙的高度是_______m． 【答案】16 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．首先证明，可得，再代入相应数据可得答案． 【详解】解：如图， 根据光的反射可得， ∴， ，， ， ， ， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：16 【作业10】．（21-22九年级上·山东菏泽·期末）如图，是半圆的直径，半径于点O，平分，交于点D，连接，，下列结论：①；②；③；其中正确结论的序号是______． 【答案】③ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、角平分线的性质定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】①过点E作，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据直角三角形斜边大于直角边可证；②两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明；③根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再求证，利用其对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：①过点E作， ∵，平分交弧于点D， ∴， 在中，， ∴，故①错误． ②∵在和中，只有， ∵， ∴， ∴不能证明和相似，故②错误； ③∵平分交弧于点D， ∴， ∴， ∵是半圆直径， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确． 综上所述，只有③正确． 【作业11】．（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为______． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似图形、根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】依据题意，过点作，，垂足为、，由双曲线的解析式可知，由于点在矩形的对角线上，可知矩形 矩形，可求相似比为，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出，再根据在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，即可算选出的值．本题主要考查了反比例函数的综合运用．关键是过点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据多边形的相似中面积的性质求面积，得出其面积为反比例函数的系数的绝对值． 【详解】解：由题意，过点作，，垂足为、， 点在双曲线上， 矩形， 又， ， 点在矩形的对角线上， 矩形 矩形， ， ， ， ． 函数的解析式是：． 故答案为： 【作业12】．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，是斜边上的高，其中，则__________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求一个数的算术平方根 【分析】根据得到，然后利用算术平方根的定义得到的长． 【详解】解：∵是斜边上的高，即， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【作业13】．（2026·陕西渭南·二模）陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 【答案】纪念碑的高度为 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合、平行投影 【分析】设，可得和，证明，根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 由题意知，，， ， ，即， 解得， ∴纪念碑的高度为． 【作业14】．（2024·河北邯郸·二模）嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts． (1)如图1，①______；②点到直线的距离是______； (2)如图2，求证； (3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度； (4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值． 【答案】(1)①=；②2； (2) 根据题意可知， ∴， ； (3)； (4)7或． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】对于（1），根据勾股定理解答即可； 对于（2），根据“两角相等的两个三角形相似”证明即可； 对于（3），如图，连接，并说明，可求出，再求出，然后证明可得，进而得出，再根据勾股定理求，可根据特殊角的三角函数求出，然后根据勾股定理，得，最后根据求出答案． 【详解】（1）①；②2． 根据勾股定理，得． 根据题意，可知， ∴，， ∴， 解得， 所以点A到的距离是2． 故答案为：，2； （2）略 （3）如图，连接， ， 则． ， ． ， 则． ∵，，， ∴ ． 又 ． 又 根据勾股定理，得， ， 根据勾股定理，得， ． （4）7或． 由（3）知，当从初始位置旋转到点落在上时，， 则旋转所用时间为； 当平移到点落在上时，如图2，连接，由（3）知， ， ，在取点，使得， ． 设，则， 由， 得， 解得 ∴点平移的距离为， 平移所用的时间为， 故当平移到点落在上时，所运动的总时间为． 综上所述，的值为7或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，全等三角形的性质和判定，平移和旋转，等腰三角形的性质和判定，画出旋转和平移的图形并构造辅助线是解题的关键． 【作业15】．（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【答案】问题解决：（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形． （2）作图如图． 拓展延伸： 解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ， 矩形也是黄金矩形． 【知识点】黄金分割、二次根式的乘除混合运算、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形． （2）在线段的延长线上截取，过作的垂线交于，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形． （3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 拓展延伸 ：略 【作业16】．（2024·陕西西安·二模）如图，矩形中，点在边上，求作点，使点在边上且．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点即为所作． 【知识点】矩形性质理解、相似三角形的判定综合、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，在矩形中作，交于点即可．解题的关键是掌握基本作图，矩形的性质及相似三角形的判定． 【详解】解：如图，在矩形中作，交于点， 由作图可知：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 则点即为所作． 【作业17】．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1) ，理由如下： ∵，， ∴． (2) 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由可得，代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 由（1）可得 ， ∴， ∴， ∴． 【作业18】．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【答案】电线杆的高度为米 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】解：如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∵米，米，宽米，米， ∴米，，米， ∵点G是的中点， ∴米， ∴（米）， ∵实际高度和影长成正比例， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴（米）． 答：电线杆的高度为米． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $