第9讲 相似三角形性质及应用 培优讲义（知识梳理+典例+练习） 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第9讲·相似三角形性质及应用·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方 · 掌握对应高、对应中线、对应角平分线之比等于相似比，并能用于计算 · 会用相似三角形解决太阳光与灯光下的测高测距问题（平行投影与中心投影） · 会解决小孔成像、凸透镜成像、反射与盲区等光学情境问题 · 会综合平行四边形、菱形、矩形、折叠与动点等知识解决相似压轴题 · 理解三角形重心的性质并会应用于线段与面积计算 🍗 知识梳理 ✅️ 1.相似三角形的性质 对应角相等，对应边成比例，相似比为 k 周长比 = k；对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于 k 面积比 = k²；由面积比反求相似比要开平方 「说法错误」类辨析题逐项对照：边、周长用 k，面积用 k² 相似比为 1 时两三角形全等 概念辨析例题：已知两个相似三角形的相似比为 2:3，其中较小三角形的周长为 12，则较大三角形的周长为（　　） 答案：18 解析：周长比 = 相似比 = 2:3，较大周长 = 12 × = 18。若是求面积则用 k² = 4:9。周长与面积的区别是相似性质题的核心考点。 【考点1】相似三角形的性质（第1-13题） · 周长比 = 相似比、面积比 = 相似比平方，辨析题逐项核对 · 对应高、中线、角平分线比 = 相似比 · 由面积比反求相似比开平方，注意比的方向 · 结合网格、函数图象时先求相似比再算 1．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法错误的是（     ） A．相似比为 B．面积比为 C．对应中线的比为 D．对应高的比为 2．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，已知点D，E分别在的边，上，，，，则和的相似比是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知，且与的面积比为，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）若，相似比为，则对应边的中线比为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测），于点D，，，则______． 8．（2024·北京海淀·二模）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为__________． 9．（24-25九年级上·广东佛山·期末）已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是__________． 10．（23-24九年级下·江西抚州·阶段检测）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是______． 11．（26-27九年级上·全国·阶段检测）在中，，于点，，，则的长为____________． 12．（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，，与交于点，且，，． (1)求的长； (2)求证：． 13．（25-26九年级下·全国·单元测试）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【考点2】实际应用——测高测距（第14-26题） · 太阳光平行投影：同一时刻物高与影长成正比 · 影子分段（地面+墙面）：把墙上影平移到地面再算 · 测河宽池宽：构造 X 字型，取整数倍点简化计算 · 镜面反射、坡度问题：等角构造相似 14．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置O处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部N与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端Q为止．此时，测得小亮眼睛P到地面的距离，小亮到O处的距离，电线杆底部N到O的距离．电线杆的高度的值为（   ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·广西北海·期末）如图，在池塘外取一点，使它可以直接看到，两点，连接并延长，，在的延长线上取一点，在的延长线上取一点，使，且测量得的长度为50米，则，两点的距离是（    ） A．110米 B．100米 C．50米 D．25米 16．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆长，它的影长为，旗杆的影长为，则旗杆的高度为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，数学兴趣小组想利用竹竿来测量旗杆的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为米，已知斜坡的坡度为，则旗杆的高度为__________． 18．（2025·江苏泰州·三模）小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为______步． 19．（24-25九年级上·重庆·期中）《周髀算经》中记载：“偃矩以望高”，是指把“矩”（图中）的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为_____． 20．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度．下午课外活动时她测得一根长为的竹竿的影子是，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图所示），她先测得留在墙壁上的影高为，又测得地面的影长为，请你帮她算一下，树高是______． 21．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图①），把“矩”竖立放置可以测量物体的高度．如图②，将“矩”的边放在水平地面上，不断调整“矩”的位置，使木杆的顶端与，在一条直线上，并测得．已知“矩”的边，，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 22．（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在点处水平放置一平面镜，然后向后退，保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时小明的眼睛离地面的高度，同时量得小明与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离． (1)求证：； (2)求旗杆的高度． 23．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）小美和小丽利用学过的数学知识测量家门口一盏路灯的高度，如图，当小丽站在D处时，她的影子为，小美测量出，当小丽移动至点F时，她的影子为，小美测量出．已知，点B、D、M、F、N在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，请你求出路灯的高度． 24．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，公路旁有两个高度相等的路灯．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． (1)在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标明太阳光、灯光． (2)若上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为，他离里程碑E恰好，求路灯高． 25．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上．已知，，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，求塔AB的高度． 26．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 【考点3】实际应用——光学投影（第27-39题） · 小孔成像、凸透镜：物高:像高 = 物距:像距 · 中心投影：光源到物体与影子的距离比 = 位似比 · 盲区：视线与遮挡物构造相似求范围 · 反射问题：入射角=反射角，等角构造相似 27．（25-26九年级上·全国·期末）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺的一边长为，则投影三角形的对应边长为（  ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 29．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，是一个小孔成像的示意图，光线经过小孔，物体在幕布前形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到物体和实像的水平距离，分别为，则实像的高度为（    ）    A． B． C． D． 30．（2026·山西忻州·二模）为规范小区车辆通行、提升出入口管理效率，某居民小区大门安装了车牌识别智能升降挡车杆，车辆驶入时设备自动识别车牌，控制挡车杆绕固定支点旋转升降，实现快速通行．如图是其工作示意图，智能箱与挡车杆交于点，挡车杆为，为，要使挡车杆右端从水平位置下降的垂直距离为，则挡车杆左端垂直上升的距离的长为（     ） A． B． C． D． 31．（2025·重庆·一模）凸透镜成像的原理如图所示，是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，，．若物距与像距之比为，测得蜡烛高为，则像的长为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 33．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了小孔成像的实验、并在《墨经》中有这样记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 34．（2024·浙江·二模）如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为6cm，则像的长__________cm． \ 35．（21-22九年级上·湖南衡阳·期末）小刚和小明在太阳光下行走，小刚身高，他的影长为，小刚比小明矮，此刻小明的影长是_____________． 36．（2026·江苏扬州·三模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 37．（2025·福建三明·二模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，则像的高为______． 38．（24-25九年级上·四川成都·期末）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中点在同一水平面上． (1)求反射点到木板的距离（即的长）； (2)求灯泡到地面的高度． 39．（24-25九年级上·四川达州·期末）星期六上午兄妹二人在中心广场上玩耍时，妹妹突然微笑着对哥哥说：“咦，哥我踩到你的‘脑袋’了．”哥哥说：是因为我们的影子在同一直线上（如图所示），请你根据他们的对话，完成下列问题． (1)画出此时妹妹在阳光下的影子； (2)若哥哥身高为，哥哥和妹妹之间的距离为，而妹妹的影子长为，求妹妹的身高． 【考点4】相似与四边形、动点综合（第40-52题） · 平行四边形对边平行 → A 字、X 字相似 · 菱形矩形折叠：等线段 + 相似列方程 · 双动点：含 t 表示线段，分区间列方程 · 重心 2:1 分比与面积 1:3 结论直接使用 40．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在平行四边形纸片中，对角线交于点，将点与点重叠对折，得折痕，点在边上，展开后连接交于点，若面积为2，则四边形的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 42．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25九年级下·山东菏泽·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点O，交边于点P，则的长度为（   ） A． B．1 C． D． 44．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在菱形中，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，若，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D．8 45．（25-26九年级上·四川达州·期末）在平行四边形中，是上一点，、交于点，若，，则的长为_______． 46．（2024·山西晋城·三模）如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，点为延长线上一点，直线分别交，于点，，若，，则的长为___． 47．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，平分交于点，连接，则的长为______． 48．（23-24九年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，AD平分交BC于点D，，则______ 49．（21-22九年级下·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 50．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 51．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 52．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，在中，点，分别在边和对角线上，，，，则的长为______． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 周长比 = 相似比 k，面积比 = k²，反求 k 开平方 · 对应高、中线、角平分线之比都等于相似比 k · 太阳光同刻物高/影长成正比；分段影子先平移到地面 · 小孔成像、凸透镜：物高:像高 = 物距:像距 · 平行四边形对边相等把局部比转整体比 【作业 1】（25-26八年级下·上海静安·期末）如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【作业 2】（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边的边的中点M．若等边的面积为16，则k的值为_________． 【作业 3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，中，是边上的中线，是重心，如果，那么线段______． 【作业 4】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，G是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，P，Q分别是和的重心，长为12，则的长为___________． 【作业 5】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，中线，相交于点．，交于点，则与的比为________． 【作业 6】（2024八年级下·福建南平·竞赛）在中，点是的重心，若的面积等于6，______． 【作业 7】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则的值为____． 【作业 8】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，矩形中，，在边上取一点，将翻折，使点落在点处，折痕为，于点．若交于点，则______． 【作业 9】（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中的边上找一点，使； (2)在图②中画的角平分线； (3)在图③中的边上画一点，使． 【作业 10】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，中，为上一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，的面积分别为4，9，求的面积． 【作业 11】（24-25九年级下·全国·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，且．求证：．    【作业 12】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与点，重合），点在边的延长线上，且，连接交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【作业 13】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）学习了相似的相关数学知识以后，老师布置了课后作业：查阅历史上相似学的典型应用．安安阅读了《周髀算经》，在这部中国最早的“测天量地”著作里，安安发现相似学大量用于测量，下面是安安关于“陈子模型”的学习笔记，请将表格补充完整，写出计算过程与结论： 测量目标 知道太阳的高低和大小 测量方法 使用圭表，利用影长测量人与太阳的距离：利用竹竿测量太阳直径． 测量一 图形 测量过程 已知：圭表高8尺，从太阳正下方无影之点直上到太阳的距离（）为里，圭表距太阳正下方的距离（）为里．步骤：在观测点 A．当圭表（）上的影长（）为6尺时，计算观测人与太阳的距离．即的长（点C为太阳中心点）． 计算过程及结论： 图形 测量过程 测量二 已知：与上述测量同时同地，利用竹空（古代望远设备）．竹空筒长 （H到的距离）与竹空直径（） 的长度之比为． 步骤：观测人让太阳（）的边缘恰好充满竹管的圆孔时可计算太阳的直径． 计算过程及结论： 【作业 14】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，为上一点，且，． (1)求证：； (2)如图，过点作，连接，若，且，，求的长． 【作业 15】（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若，的面积为，求的值． 【作业 16】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【作业 17】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，点，，分别在，，边上，， ，．    (1)若，求线段的长； (2)若的面积是，求的面积． 【作业 18】（25-26九年级上·四川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上是否存在一点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点为直线上一点，设点E为直线AB与直线CD的交点，在平面直角坐标系内，是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲·相似三角形性质及应用·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方 · 掌握对应高、对应中线、对应角平分线之比等于相似比，并能用于计算 · 会用相似三角形解决太阳光与灯光下的测高测距问题（平行投影与中心投影） · 会解决小孔成像、凸透镜成像、反射与盲区等光学情境问题 · 会综合平行四边形、菱形、矩形、折叠与动点等知识解决相似压轴题 · 理解三角形重心的性质并会应用于线段与面积计算 🍗 知识梳理 ✅️ 1.相似三角形的性质 对应角相等，对应边成比例，相似比为 k 周长比 = k；对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于 k 面积比 = k²；由面积比反求相似比要开平方 「说法错误」类辨析题逐项对照：边、周长用 k，面积用 k² 相似比为 1 时两三角形全等 概念辨析例题：已知两个相似三角形的相似比为 2:3，其中较小三角形的周长为 12，则较大三角形的周长为（　　） 答案：18 解析：周长比 = 相似比 = 2:3，较大周长 = 12 × = 18。若是求面积则用 k² = 4:9。周长与面积的区别是相似性质题的核心考点。 ✅️ 2.测高测距的实际应用 太阳光（平行投影）：同一时刻物高与影长成正比，物与影构成相似直角三角形 影子部分落在墙上/建筑物上：分段处理，先求墙上的虚影再算地面影长 测河宽、池宽：在可测一侧构造 X 字型（如延长取倍数点），用相似求不可达距离 镜面反射：入射角等于反射角，入射光线与反射光线构造等角相似 坡度坡比：坡度 = 竖直高度 : 水平宽度，先化直角三角形再算 概念辨析例题：旗杆的影子一部分落在地面（长 12m），一部分落在墙上（墙上的影高 2m），同一时刻 1.6m 标杆影长 1.2m，则旗杆高为（　　） 答案：18m 解析：设想墙面无阻挡，旗杆影长 = 12 + 2 = 14m（墙上 2m 影相当于延长了 2m 地面影），由 = 得 h ≈ 18.67……本题按 = 计算：h = 2 + 12× = 18m。分段影长把「墙上的影」平移到地面是关键技巧。 ✅️ 3.光学投影的应用 小孔成像：倒立实像，物高:像高 = 物距:像距（以小孔为位似中心） 凸透镜成像：蜡烛、光心、像构成 X 字型相似，物高:像高 = 物距:像距 中心投影（灯光）：光源、物体顶端、影子顶端三点共线，物体与影子相似 盲区问题：视线被遮挡区域用相似求边界位置 反射问题：入射角 = 反射角，由对称或等角构造相似三角形 概念辨析例题：小孔成像中，蜡烛高 12cm 距小孔 20cm，光屏距小孔 10cm，则光屏上像的高度为（　　） 答案：6cm 解析：物高:像高 = 物距:像距，12:像 = 20:10，像 = 6cm。小孔成像是倒立的，但高度计算只看比值；像的大小随光屏远离小孔而增大。 ✅️ 4.相似与四边形、动点综合 平行四边形：对边平行产生 A 字型、X 字型相似（如 △AEF ∽ △CBF） 菱形、矩形：对角线、折叠产生等线段，结合相似求线段 动点问题：设时间 t 表示线段，由相似列方程，注意分区间讨论 双动点重合/成比例：位置关系转化为含 t 的比例式 面积最值：用相似表示面积关于 t 的二次函数求最值 概念辨析例题：在 ▱ABCD 中，E 在 AD 上，DE:EA = 2:3，连接 CE 交 BD 于 F，则 DF:FB = （　　） 答案：2:5 解析：DE ∥ BF 得 △DEF ∽ △BCF，DF:FB = DE:BC。设 DE = 2k，则 AD = 5k，BC = AD = 5k，所以 DF:FB = 2:5。平行四边形中「对边相等」把内部比转为整体比。 ✅️ 5.三角形重心的性质 重心：三条中线的交点；顶点到重心的距离 = 2 × 重心到对边中点的距离 重心分中线为 2:1（AG:GD = 2:1，G 为重心、D 为 BC 中点） 重心与顶点连线所在中线把三角形面积平分 三条中线把三角形分成 6 个面积相等的小三角形 重心坐标 = 三顶点坐标的平均值（坐标系中） 概念辨析例题：△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，若 AG = 6，则 GD = （　　） 答案：3 解析：重心分中线为 2:1，AG:GD = 2:1，GD = 6 ÷ 2 = 3。见到「重心」立即写 2:1 分比，并可推出 S△ABG = S△ABC 等面积结论。 🧀 知识总结表 【考点1】相似三角形的性质（第1-13题） · 周长比 = 相似比、面积比 = 相似比平方，辨析题逐项核对 · 对应高、中线、角平分线比 = 相似比 · 由面积比反求相似比开平方，注意比的方向 · 结合网格、函数图象时先求相似比再算 1． 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴相似比为，A选项不符合题意， ∵相似三角形对应中线的比、对应高的比都等于相似比， ∴对应中线的比为，对应高的比为，C、D选项不符合题意， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴面积比为，B选项符合题意． 2． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【详解】解：∵，，， ∴， 即和的相似比是． 3． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵，且与的面积比为， ∴与的相似比为． 故选：C 4． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，能理解相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形对应边上中线的比等于相似比． 相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可． 【详解】解：与的相似比为， ∴与对应边上中线的比是， 故选：A． 5． 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设，则，求出，再由，即可求出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 6． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明即可判定A、B、C正确，D错误． 【详解】解：， ， ， ， ， ，故A正确； ， ， ，，故B、C正确，D错误． 7． 【答案】16 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的性质以及相似比的应用．利用互余关系证明：，可证，然后利用相似比，就可求出的值． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴， ∴， 解得∶， 故答案为：16． 8． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可证，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 9． 【答案】15 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．设的周长为，根据相似三角形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：设的周长为， ∵且相似比为，若的周长为20， ， 解得：， 所以的周长是15， 故答案为：15． 10． 【答案】2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 首先连接，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，，， ， 根据题意得：， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 11． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用公共角和直角相等证明三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例计算的长度． 【详解】解： 在中，，， ， ， ， ， 代入，，得， 解得． 12． 【答案】(1)； (2) 证明：∵， ， ， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键； （1）根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， 即：， ； （2）略 13． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的应用，根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中为，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴； 故选：． 【考点2】实际应用——测高测距（第14-26题） · 太阳光平行投影：同一时刻物高与影长成正比 · 影子分段（地面+墙面）：把墙上影平移到地面再算 · 测河宽池宽：构造 X 字型，取整数倍点简化计算 · 镜面反射、坡度问题：等角构造相似 14． 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ，，， ， ． 经检验，是方程的解， 故电线杆的高度的值为， 故选：D． 15． 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查的是三角形相似的应用，根据相似形的判定定理判断出和相似，再根据三角形相似的性质解答即可． 【详解】解：∵和中，，且， ∴， ∴， 又∵米， ∴米． 故选：B． 16． 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，根据“同一时刻物高与影长成正比”列式计算即可，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 【详解】解：同一时刻物高与影长成正比， ， 木杆长，它的影长为，旗杆的影长为， ， ， 故选：D． 17． 【答案】11 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题考查了相似三角形的应用、解直角三角形的应用．延长交于点，过点作于点，解直角三角形求出的长，再由同一时刻物高与影长成正比得出的长，然后根据可知，根据相似三角形的对应边成比例即可得出的长． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点， ∵斜坡的坡度为， ∴， ∵米，， ∴米， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴，解得（米）， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（米）， 答：旗杆的高度为11米． 故答案为：11． 18． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设该城堡的边长为x步，判定，推出，得到，求出，即可得到答案． 本题考查相似三角形的应用，关键是判定，推出． 【详解】解：设该城堡的边长为x步，则步， 由题意得：步，步， ， ， ， ∴， ∴ ∴ 舍去负值， 该城堡的边长为步． 故答案为： 19． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵和均为直角， ∴， ∴， ∵长，长，长， ∴， ∴． 故答案为：． 20． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，首先根据竹竿的成影情况，利用相似三角形的对应边成比例，求出墙上的影高落在地面上时的长度，即列方程为，然后求出树在地面的实际影子长是，再根据“同一时刻物高与影长的比值相等”，列出方程，即可得到树的高度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 设是在地面的影子，树高为，   ∵竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同， ∴， ∵， ∴， ∴树在地面的实际影长是， ∵竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同， ∴， ∴，即树高是， 故答案为：． 21． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，根据，证明，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 答：木杆的高度为． 22． 【答案】(1) 证明：根据题意，得，， ∴； (2)9.6米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是： （1）根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即， 解得，经检验，符合题意， 答：旗杆的高度9.6米． 23． 【答案】路灯的高度为． 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．证明，可得，再由，可得，可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ 解得：， 答：路灯的高度为． 24． 【答案】(1) 如图． (2) 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题综合考查了相似三角形的判定和性质的运用，掌握平行投影的光线是平行的是解题的关键． （1）根据题意画出图形，即可求解； （2）证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为， ∴小明的影长为． ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∴， 即， 解得：． 即路灯高． 25． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，证明字模型相似三角形，，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意，得，，，， ，， 又， ， ， ． 故塔的高度为． 26． 【答案】旗杆的高度为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的相似的应用，灵活运用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解题的关键． 如图：分别延长、相交于点F，，易得，则；再证明，然后运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：分别延长、相交于点F，， 根据题意得： ，解得： ∵ ， ∵， ∴， ∵， ， ，即，解得：． 答：旗杆的高度为． 【考点3】实际应用——光学投影（第27-39题） · 小孔成像、凸透镜：物高:像高 = 物距:像距 · 中心投影：光源到物体与影子的距离比 = 位似比 · 盲区：视线与遮挡物构造相似求范围 · 反射问题：入射角=反射角，等角构造相似 27． 【答案】C 【知识点】中心投影、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键． 根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，即可得出投影三角形的对应边长． 【详解】∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的一边长为， ∴投影三角形的对应边长为：． 故选：C． 28． 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即塔高为米， 故选：D． 29． 【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可得，得到，即得，再由得，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵，分别为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 30． 【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∵， ∴， ， ， 解得． 31． 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，通过证明，得出，即可解答．解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， ， ， 故选：D． 32． 【答案】5 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，根据，证明，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：， ， ， ， 的高为,为,为, ， 故答案为：5 33． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的性质是关键． 根据题意可证，得到，代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 34． 【答案】3 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意得，列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 35． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.从而求出小明的身高从而可以求出小明的影长． 【详解】解：∵小刚身高，小刚比小明矮， ∴小明的身高为， 根据题意得：， ∴即， 则． ∴小明的影长是． 故答案为：． 36． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点C，延长交于点D， 由题意得， ∴，， ∴， 即 即小孔O到的距离为． 37． 【答案】18 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质，先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出即可求出的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 38． 【答案】(1)的长为； (2)灯泡到地面的高度为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）证明，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴， 即， 解得：， 经检验，是上述分式方程的解， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴灯泡到地面的高度为． 39． 【答案】(1) 如图，线段为此时妹妹在阳光下的影子； (2) 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用； （1）利用阳光是平行投影进而得出妹妹在阳光下的影子进而得出答案； （2）利用相同时刻身高与影子成正比进而得出即可 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵哥哥身高为，哥哥和妹妹之间的距离为，而妹妹的影子长为， 即，，， ∴， ∴， ∴妹妹的身高是． 【考点4】相似与四边形、动点综合（第40-52题） · 平行四边形对边平行 → A 字、X 字相似 · 菱形矩形折叠：等线段 + 相似列方程 · 双动点：含 t 表示线段，分区间列方程 · 重心 2:1 分比与面积 1:3 结论直接使用 40． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可得，再根据线段之间的关系求出的长度． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， . 故选：A. 41． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、折叠问题 【分析】本题重点考查平行四边形的性质、翻折变换的性质、三角形的面积等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质得，由折叠得，进而得到，，易得，利用相似三角形的面积比来求得，进而求出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形，对角线，交于点， ∴． ∵将点与点重叠对折，得折痕，在边上， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 42． 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、折叠问题 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，由条件可以得出 设就有设 根据相似三角形的性质就可以表示出，再根据就可以求出与的数量关系，从而求出结论，解答时运用相似三角形的性质建立方程求解是关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠可知：与关于对称， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， 故选：C． 43． 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由作图可知，平分，根据角平分线的定义得到，根据平行四边形的性质得到，进而可得，即得是等边三角形，故，再证明，得到，根据即可求出答案． 【详解】解：由作图可知，平分， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的定义等知识． 44． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据线段的和差得到，根据菱形的性质得到，，则有，进而得到，设，根据线段的和差列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 45． 【答案】6 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合相似三角形的判定定理得到相似三角形，再利用相似比求解线段长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴与的相似比为， ∴：：3． ∵， ∴． 故答案为：6． 46． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；先证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 解得： 故答案为：． 47． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、两直线平行内错角相等 【分析】延长，交延长线于点，由矩形性质可得，，，，则，所以，通过勾股定理求得，然后由角平分线定义和平行线的性质得，所以，故，然后代入求得，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长，交延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即的长为． 48． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，延长至使，由，AD平分可得，进而得到等边三角形和，得到，最后根据求解即可． 【详解】延长至使， ∵，AD平分， ∴， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 49． 【答案】4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题 【分析】分两种情况：①当时；②当时，进一步结合相似三角形求解即可． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴． 分类讨论：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， 此时与没有交点， 综上可知，线段的长为4． 50． 【答案】(1)不可能， 如图，作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴面积不可能是为； (2)存在，时间t为或秒时，使得与相似 理由如下∶ ①当时，则， ∴， 解得∶． ②当时，则， ∴， 解得； 答∶存在，时间t为或秒时，使得与相似． 【知识点】相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）作于点H，先根据勾股定理求出的长，再根据，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 51． 【答案】或秒 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 综上所述，运动或秒后，与相似． 52． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行判定相似，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质求解． 【详解】解：在中，点，分别在边和对角线上，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 周长比 = 相似比 k，面积比 = k²，反求 k 开平方 · 对应高、中线、角平分线之比都等于相似比 k · 太阳光同刻物高/影长成正比；分段影子先平移到地面 · 小孔成像、凸透镜：物高:像高 = 物距:像距 · 平行四边形对边相等把局部比转整体比 【作业1】 【答案】C 【知识点】重心的有关性质 【分析】先求出的总面积，再利用三角形重心的性质求出和 的值，最后与已知面积进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵、、的面积分别为、、， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴． 【作业2】 【答案】4 【知识点】反比例函数与几何综合、等边三角形的性质、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点A作轴，垂足为C，过点M作轴，垂足为D，根据k的几何意义，确定，证明，得到，根据的面积是16，求出，根据图象的分布确定k值即可； 【详解】解：过点A作轴，垂足为C，过点M作轴，垂足为D， ∵反比例函数的图象经过点M， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵等边的面积为16， ∴， ∴， ∴，解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义，灵活运用相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【作业3】 【答案】3 【知识点】重心的有关性质 【分析】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，根据题目条件准确画出对应图形是解题的关键．由重心的性质求解． 【详解】解：是边上的中线，点是重心， ， ， ， 故答案为：3． 【作业4】 【答案】2 【知识点】重心的有关性质、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．连接，延长交于F点，连接，由G是的重心，可证是的中位线，从而可得．利用三角形重心的定义和性质得到，，得到，再证明得即可． 【详解】解：连接，延长交于F点，连接，如图， ∵G是的重心， ∴、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵P，Q分别是和的重心， ∴点为的中点，， ∴点在中线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业5】 【答案】/ 【知识点】重心的有关性质、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键； 由三角形重心的性质推出，令，，得到，由平行线等分线段定理推出求出，，即可得到， 【详解】 ，是的中线， 是的重心， 令，， ， ，， ， ， ． 故答案为． 【作业6】 【答案】 【知识点】重心的有关性质、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键． 先根据点是的重心得出，再由的面积等于，得出的面积等于，即可求出． 【详解】解：∵中，点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【作业7】 【答案】或/或 【知识点】已知正弦值求边长、全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】分和两种情况进行解答；①当时，如图1：过点B作于H，过点C作，在上截取，连接，先证可得，进而证和全等，即，然后在中，利用勾股定理求出即可；②当时，如图2：过点D作于N，过点C作，在上截取，连接，先证可得，进而证可得，则，然后在中利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵是以为腰的等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①当时，如图1：过点B作于H，过点C作，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，, ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：；即 ②当时，如图2：过点D作于N，过点C作，在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 综上所述：的长为或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形和相似三角形以及分类讨论思想的应用是解题的关键和难点． 【作业8】 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点P作交的延长线于点H，根据矩形的性质得到，则可求出；证明，得到；设，则，由折叠的性质可得，由勾股定理得，解得或（舍去），，可得，解得． 【详解】解：如图所示，过点P作交的延长线于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 【作业9】 【答案】(1) 如图所示： (2) 如图所示： (3) 如图所示： 【知识点】三线合一、无刻度直尺作图、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题主要考查三角函数的知识、等腰三角形三线合一的知识、相似三角形的知识． （1）线根据三角函数与边的关系得出，再代入即可得出答案． （2）根据等腰三角形的三线合一的知识，先构造等腰三角形，再找到底边中点连线即可． （3）根据相似三角形对应边成比例构造的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， 以点为顶点，构造等腰三角形， 根据三线合一的知识可知等腰三角形的中线是顶点的角平分线． （3）略 【作业10】 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； (2)30 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）根据平行四边形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，的面积分别为4，9， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴的面积为． 【作业11】 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定， 先根据等边对等角得，得出，再说明，即可得，然后根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出答案． 【详解】略 【作业12】 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ，，， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； (2) 证明：，， ， 由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再根据全等三角形的性质得到，根据性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到，由（1）知，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本几何模型． 【作业13】 【答案】 解：测量一结论：人与太阳的距离约为10万里． 在中，里． 万里 即：人与太阳中心的距离约为10万里． 测量二结论：太阳的直径约为1250里． 由测量一可知，人与太阳中心的距离为10万里 ， ． ， 万里 即：太阳的直径约为1250里． 【知识点】相似三角形实际应用、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先求出万里，证明，利用相似三角形的性质即可求出太阳的直径． 【详解】略 【作业14】 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， ， ； (2)5 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据角的关系可得，即可证明； （2）设，由相似的性质得到，进而证明，得到，再代入求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：设， 由（1）得， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得或（舍去）， ． 【作业15】 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积相等．作轴，垂足为点，连接，利用相似得到三角形面积，根据线段之比得到三角形的面积，两个面积之和为绝对值的一半即可求出值． 【详解】解：作轴，垂足为点，连接， ，轴， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ，， ， ， 反比例函数图象在第一象限， ． 【作业16】 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【知识点】利用平方根解方程、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 【作业17】 【答案】(1)； (2)的面积为． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、比例的性质 【分析】（）先由，得，通过证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：由（）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【作业18】 【答案】(1) (2)点P坐标为或 (3)存在，或或 【知识点】求一次函数解析式、矩形的判定定理理解、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与几何综合 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定； （1）设直线的表达式为，先求出C点坐标，然后将C、D坐标代入解析式即可； （2）由折叠得，，①当时，，利用，得出直线解析式与直线的函数解析式值相同，求出直线的函数解析式再与直线解析式联立，即可求出的坐标，②当时，，利用翻折的性质可得点重合，将直线的函数解析式与直线解析式联立，即可求出的坐标； （3）以点、、、为顶点的四边形为矩形，①当为对角线时，、相交于点F，利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，先求出点F的坐标，利用可求出的坐标，进而求出的坐标，②当为对角线时，、相交于点F，此时点重合，利用F的坐标，求出的坐标，③当为对角线时，、相交于点F，此时共线，点N在直线上，利用F的坐标，求出的坐标． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ,, , 将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处， , ∴, ， 设直线的表达式为，将代入得： ,解得：, 直线的函数解析式为． （2）解：在直线上存在一点P，使得与相似，理由如下： 由折叠得，， ①当时，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为，将代入得： ,解得：, 直线的函数解析式为， ∵， ∴直线的函数解析式为， 将直线的函数解析式与直线解析式联立： ，解得：， ∴， ②当时，，如图所示： ∵，， ∴， ∵直线的函数解析式为，直线解析式为， ∴， ∵， ∴关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点都在直线上， ∴点重合， 将直线的函数解析式与直线解析式联立： ，解得：， ∴． 综上：点P坐标为或． （3）解：当为对角线时，、相交于点F，如图所示： 由翻折可得， ∴， ∵四边形为矩形， ∴为中点， ∴， ∵，， ∴， ∵点为直线上一点， ∴设， ∴， 解得：或（舍去） ， ∴， ∵为中点， ∴，即， 当为对角线时，、相交于点F， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴共线， 又∵点为直线上一点， ∴点重合， ∵四边形为矩形， ∴为中点， ∴， ∴，即， 当为对角线时，、相交于点F， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴共线， ∴点N在直线上， 设， ∵点为直线上一点， 设， ∵四边形为矩形， ∴为中点， ∴，解得：， ∴，即． 综上：若点为直线上一点，在平面直角坐标系内，存在点或或，使以点、、、为顶点的四边形为矩形． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $