第11讲 图形位置与坐标 培优讲义（知识梳理+典例+练习） 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

第11讲·图形位置与坐标·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解确定位置的两种基本方法：有序数对定位法与方向角距离定位法 · 会根据实际情况建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示物体的位置 · 掌握坐标系中点的坐标特征（象限、坐标轴上点的符号规律） · 会综合运用勾股定理、全等与相似等知识求坐标系中图形的坐标与线段长 · 掌握坐标与图形变换（平移、轴对称、位似）的坐标变化规律 · 能在坐标系中作图并解决棋盘定位、地图寻宝等实际综合问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.确定位置的方法 有序数对定位：用两个数（如行列号、经纬度）表示位置，顺序不同位置不同 方向角与距离定位：以参照点为原点，用「南偏西 30°、距离 50m」等方式表示 确定位置需要两个独立数据，只有一个数据无法唯一确定位置 描述相对位置时必须先明确参照点（以谁为原点） 方位角规范：先南北后偏东西，如北偏东 60°、南偏西 25° 概念辨析例题：下列数据中，能确定物体具体位置的是（　　）A．光明剧院 2 排　B．距学校 500 米　C．东经 118°，北纬 30°　D．北偏东 30° 答案：C 解析：确定位置需要两个独立数据：A 只给排数，B 只有距离没有方向，D 只有方向没有距离，均不能确定位置；C 用经度与纬度两个数据可唯一确定位置。选 C。 ✅️ 2.用坐标表示位置 建立坐标系的步骤：确定原点、正方向、单位长度，同一种位置关系可建不同的坐标系 同一参照物在不同坐标系中的坐标不同，但相对位置关系不变 实际问题（棋盘、地图、示意图）中常以格点建立坐标系，先看准单位长度 由已知两点坐标推算其他点的坐标：数格子或用加减关系 用坐标描点、连线可还原图形轮廓，是「数形结合」的基础 概念辨析例题：象棋盘上建立坐标系，「帅」位于点 (1, -1)，「马」位于 (3, -1)，则「炮」位于「帅」的正上方 3 个单位处，「炮」的坐标为（　　） 答案：(1, 2) 解析：「炮」在「帅」正上方 3 个单位：横坐标不变仍为 1，纵坐标加 3 得 2，故「炮」位于 (1, 2)。同列横坐标相同，上行纵坐标增大。 ✅️ 3.坐标系中的图形计算 各象限点的符号：一 (+,+)、二 (-,+)、三 (-,-)、四 (+,-)；坐标轴上的点不属于任何象限 求图形顶点坐标：过顶点向坐标轴作垂线，结合距离与象限确定符号 常与勾股定理结合：求坐标系中线段长需构造直角三角形 与全等、相似、等边（直角）三角形、圆、切线等几何知识综合 利用对称性、特殊三角形（等边）的性质简化坐标计算 概念辨析例题：等边 △ABC 的顶点 B 的坐标为 (0, -，顶点 C 在 y 轴正半轴上，点 A 在第一象限，BC = 2，则点 A 的横坐标为（　　） 答案：3 解析：BC = 2，等边三角形高 = ( = 3。BC 在 y 轴上，A 到 BC 的距离即 A 的横坐标 = 高 = 3。几何求坐标的关键是「过顶点作垂线，垂线段长即坐标绝对值」。 ✅️ 4.坐标与图形变换 平移：向右（上）平移 m 个单位，横（纵）坐标加 m；向左（下）平移则减 轴对称：关于 x 轴对称 (x, y)→(x, -y)；关于 y 轴对称 (x, y)→(-x, y) 位似：以原点为位似中心、相似比 k，对应点坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky) 图形整体平移 = 每个顶点坐标做相同变化，图形形状大小不变 综合变换按顺序逐步计算每个顶点的新坐标 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，将 △ABC 各顶点的横坐标减 2、纵坐标加 3，得到 △A'B'C'，则该变换是（　　） 答案：向左平移 2 个单位再向上平移 3 个单位 解析：横坐标减 2 → 向左平移 2 个单位；纵坐标加 3 → 向上平移 3 个单位。坐标变换与图形平移互译是坐标系的基本功。 ✅️ 5.定位与坐标的实际综合应用 常见情境：棋盘对弈、地图寻宝、景区示意图、七巧板、家乡地图 解题关键：把实物位置抽象为有序数对或坐标，或反向由坐标还原位置 由两个已知点确定坐标系（原点、方向、单位长度），再推算其余位置 台风移动、行程等动态问题：位置随时间变化，用含 t 的坐标表示 中心投影（灯光影子）可与坐标系结合，用相似求影长 概念辨析例题：台风中心上午 6 时位于 A(1, 2)，沿直线匀速移动，上午 8 时到达 B(3, 6)，则台风中心每小时移动（　　） 答案： 个单位长度 解析：每小时移动量为 [(3-1)÷2, (6-2)÷2] = (1, 2)，每小时位移 = = 。动态定位问题先求单位时间的坐标变化，再用两点距离公式。 🧀 知识总结表 核心内容 规则 示例 确定位置 两个独立数据 有序数对 / 方向角+距离 象限符号 一(+,+) 二(-,+) 三(-,-) 四(+,-) 轴上点不属于象限 平移 右加左减，上加下减 (x,y)→(x+2, y-3) 轴对称 x轴: (x,-y)；y轴: (-x,y) 关于谁对称谁不变 位似(原点) (kx, ky) 或 (-kx, -ky) k>0同侧，k<0两侧 两点距离 勾股定理的应用 📩 核心考点 【考点1】确定位置的方法（第1-12题） · 确定位置必须有两个独立数据：方向角与距离、经纬度、行列号等 · 描述相对位置先定参照点，方位角按「先南北后偏东西」书写 · 由参照点与方向角、距离可画出目标位置 · 钟面代码、暗号等新定义定位要先读懂对应规则 1． 【答案】D 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置、根据方位描述确定物体的位置 【分析】本题考查确定物体具体位置的要素，确定物体的具体位置需要两个相互独立的定位信息(单一的方向、距离或排数等都无法确定唯一位置)． 【详解】解：A选项：东偏南方向只有方向信息，没有距离，不能确定物体的具体位置； B选项：仅知道距学校，没有明确方向，以学校为圆心、为半径的圆上的点都满足该条件，无法确定具体位置； C选项：电影院第2排包含多个座位，仅排数无法确定具体的座位位置； D选项：东经，北纬是一组经纬度坐标，两个参数能唯一确定地球上某一点的具体位置； 故选：D． 2． 【答案】A 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查的是方向角，准确理解方向角的定义及确定物体间相对位置是解题的关键，根据图中的角度标识及方位角的判定规则，确定从点看点的方位． 【详解】解：由图可知，从点看点的方向是南偏东． 故选：． 3． 【答案】B 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了方位角的定义，理解方位角是解题的关键，结合图形求解即可． 【详解】解：根据图象得：以A为参照点，B的位置可表示为北偏西，距离处， 故选：B． 4． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查坐标表示位置；由题意易得当以乙为坐标原点时，甲和丙的位置分别为，，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可知：当以乙为坐标原点时，甲和丙的位置分别为，， 所以甲和丙的水平距离为1，竖直距离为1，且甲在丙的左下方， 故当以丙为坐标原点时，甲的位置是； 故答案为：． 5． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．根据题意首先确定原点的位置，进而得出“宝藏”点C的位置． 【详解】解：根据两个标志点，可建立如下所示的坐标系， 由平面直角坐标系知，“宝藏”点C的位置是， 故答案为：． 6． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解决问题的关键． 根据题意建立平面直角坐标系，根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可． 【详解】解：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系如图，当接下来的棋子■下在位置时，图上的所有棋子构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故答案为：． 7． 【答案】北偏东， 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了方位角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．根据方位角的概念，可得答案． 【详解】解：根据题意得：1班位于 处，2班位于处，如图所示： ∵2班在1班的南偏西处，； ∴1班在2班的北偏东，处． 故答案为：北偏东，． 8． 【答案】070066 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解代码的各位数字的实际意义是解题的关键．根据代码编写要求，第1、2、3、4位数字表示时间，第5、6位数字表示距离，再根据南偏西方向方向与对应，然后写出即可． 【详解】解：∵南偏西方向的时刻是， ∴南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为070066． 故答案为：070066． 9． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据点的坐标为，点C的坐标为，可确定原点的位置，从而建立平面直角坐标系，即可判断点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点C的坐标为， ∴可确定原点的位置，如图，建立平面直角坐标系， ∴点的坐标是． 10． 【答案】 商场在学校北偏西方向上，距离学校； 书店在学校北偏东方向上，距离学校； 游泳馆在学校南偏西方向上，距离学校； 车站在学校南偏东方向上，距离学校． 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】此题主要考查依据方向角和距离确定物体的位置． 确定物体的位置要有三个步骤：（1）定观察点，（2）量角度，（3）算距离，据此即可进行解答． 【详解】略 11． 【答案】(1) 建立坐标系如下： (2)； (3) (4)同意，东北方向上，且距离为 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、用方向角和距离确定物体的位置 【分析】（1）根据超市的坐标是，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系解答即可． （2）根据坐标系，直接写出学校、少年宫的坐标即可； （3）超市的坐标是，少年宫的坐标是，两地距离为（米）； （4）根据公园、图书馆、超市点坐标即可判定都在一三象限的象限角的平分线上，即可写出图书馆相对于公园的位置． 本题考查了坐标系的建立，平移的应用，写出点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键． 【详解】（1）解：超市的坐标是，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点． （2）解：根据前面建立的坐标，得学校的坐标为，少年宫的坐标为． （3）解：根据题意，得超市的坐标是，少年宫的坐标是， 故两地距离为（米）． （4）解：同意， ∵超市的坐标是，图书馆的坐标是，公园的坐标是， ∴都在一三象限的象限角的平分线上， 由此可以判定，图书馆在公园的东北方向上，且距离为． 12． 【答案】(1)如图， (2)（北偏东） 【知识点】用有序数对表示位置、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，写平面直角坐标系中点的坐标，用方向角和距离表示物体的位置．熟练掌握用有序数对表示位置是解题的关键． （1）根据文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．画出x轴与y轴，再根据大宋校场的位置写出其坐标即可； （2）测出表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角和连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度即可求解． 【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系，大宋校场的坐标为． （2）解：由图测得：表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角为，连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度为． ∴大宋校场的位置记为（北偏东） 故答案为：（北偏东）． 【考点2】用坐标表示位置（第13-24题） · 由已知两点坐标确定坐标系，再推算其他点的坐标 · 棋盘、网格类问题先数清单位长度与正负方向 · 同一位置在不同坐标系中坐标不同，相对关系不变 · 描点连线还原图形，注意对称图形的坐标特征 13． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据“馬”和“車”的坐标建立坐标系，进而得到“炮”的坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系， ∴炮”的坐标为， 故选：C．    14． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了平面直角坐标系， 根据小刚家的坐标位置建立直角坐标系，进而可求得小敏家的位置． 【详解】解：根据小刚家的位置坐标建立平面直角坐标系，    根据图形得学校的位置坐标为． 故选：C． 15． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】解题思路是先利用已知两点的坐标确定坐标系的方向与单位长度，再通过网格位置确定目标点的横、纵坐标，从而得到八泉峡的坐标．本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定，涉及的知识点是平面直角坐标系的坐标规则．解题中用到的方法是坐标定位法，即通过已知点的坐标确定坐标系，再结合网格位置确定目标点坐标．解题关键是准确对应已知点的坐标与网格位置，避免横、纵坐标的方向混淆．易错点是误将纵坐标的上下方向搞反，导致坐标符号错误． 【详解】首先，根据已知的黄崖洞坐标和漳泽湖国家城市湿地公园坐标，确定平面直角坐标系的原点与坐标轴． 如图所示： 八泉峡对应的坐标为． 故答案选A． 16． 【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系如下： “岛”的坐标是． 17． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、求一次函数解析式 【分析】本题考查了点的坐标和用待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数解析式的求法是解题的关键．根据棋子“帅”位于点的位置，求出“马”所在的点的坐标，由此解答即可． 【详解】解：由题意，∵“帅”位于点， ∴“马”， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， ∴， ∴． ∴． 故选：A． 18． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据时代广场店的点的坐标为，大众服饰店的点的坐标为，可确定坐标轴和原点的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，故表示天使城店的点的坐标是， 故选：C． 19． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据点A、点B的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得C点的坐标． 【详解】解：由表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，得出坐标系如图所示： 表示足部点的坐标为， 故选：C． 20． 【答案】 7，10 黑5 4，10 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，在平面直角坐标系确定点的坐标成为解题的关键． ①直接根据直角坐标系确定白8的位置和表示的棋子； ②根据五子棋的规则确定位置，再用坐标表示即可． 【详解】解：①由平面直角坐标系可知：白8的位置是，表示的是黑5； ②根据五子棋的规则可知：下一步白方走棋，他只要把棋子放在的位置上，就可以赢棋了． 故答案为：7，10；黑5；4，10． 21． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【详解】解：由题意，建立如图所示坐标系， 由图可知，点的坐标为. 22． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了点的坐标，根据已知点的坐标，找出原点，建立平面直角坐标系，然后根据点的位置，写出点的坐标．解题关键是熟练掌握根据已知点的坐标，找出坐标原点． 【详解】解：如图所示，根据点，，建立坐标系，如图所示： ∴点坐标为：， 故答案为：． 23． 【答案】(1)， (2) 如图，点D即为所求， ， 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标与图形，平移等知识，解题的关键是∶ （1）直接利用点A坐标得出原点位置，进而得出各点的坐标． （2）利用平移的性质描出点D，然后连接即可． 【详解】（1）解：根据题意，得路桥区政府B的坐标为，街心公园C的坐标为； （2）解：由图知D的坐标为． 24． 【答案】(1) (2)超市，电影院 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】（1）根据学校和体育馆的坐标建立平面直角坐标系； （2）根据超市和电影院所在位置写出坐标． 【详解】（1）略 （2）解：超市所在位置的坐标为，电影院所在位置的坐标为． 【考点3】坐标系中的图形计算（第25-36题） · 求顶点坐标：作垂线定绝对值，按象限定符号 · 与勾股定理结合求线段长，构造直角三角形 · 综合全等、相似、等边、圆、切线等知识时先解几何再回坐标 · 复平面、新定义运算等创新题按定义转化即可 25． 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、坐标与图形综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和坐标与图形性质的应用，关键是能根据题意求出符合条件的所有情况．先画出图形，再根据图形作答即可. 【详解】解：如图所示： ∴有3个点，当E在D、F处以及本身处时，和全等， 则点E的坐标是：，，， 故选：B． 26． 【答案】B 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，在y轴上的点的坐标特点，在y轴上的点的横坐标为0，据此求出m的值，进而求出A、B、C的坐标，则可推出轴，再由垂线段最短，可得当时，有最小值，则此时轴，据此可得答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴轴， ∵垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴此时轴， ∴， 故选：B． 27． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形综合 【分析】本题考查了轴对称－最短路径以及含的直角三角形的性质，等边三角形的性质，坐标与图形，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键． 作点关于轴的对称点，过点作交轴于点，进而得出的值最小的情况，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：作点关于轴的对称点，过点作交轴于点，如图：    则此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 28． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标平面内的点的坐标的特征、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平面直角坐标系各个象限的点的坐标特征是解答本题的关键． 先由勾股定理得到，结合矩形的性质及点所在象限即可解答． 【详解】解：矩形的边，分别落在直角坐标系y轴和x轴上， ， 轴，轴， ，， ， ， 故选：D． 29． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、求角的余弦值、坐标与图形综合 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．连接，由，根据圆周角定理可得：是的直径，由，，，可得，，根据勾股定理可求，然后由圆周角定理可得，然后求出的值，即可得的值． 【详解】解：如图，连接， ， 是的直径， ，， ，， 由勾股定理得：， ， ． 故选：B 30． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、应用切线长定理求解、坐标与图形综合 【分析】如图所示：设大正方形的中心为，设内切圆的圆心为，切点为、、、连接、，再以点为平面直角坐标系的原点，分别以大正方形的边所在的直线为轴，轴，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，整理得，再表达出点，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：设大正方形的中心为，设内切圆的圆心为，切点为、、、连接、，再以点为平面直角坐标系的原点，分别以大正方形的边所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 由题意得：， 由切线长定理可得：，，，且， 则，四边形为正方形， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 则， 整理得， 则， ∵点是大正方形的中心， 则， ∴， 则, 即， ∵， ∴， 令，则， 即， ∴， 整理得：， 即， 解得：或（舍去）， 把代入中， 整理得即， 解得或， ∴或， ∴， ∴大正方形的边长为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式变形求值，综合性强，能力要求高．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 31． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形变化－平移，先画出平行四边形，得出，然后根据平移的性质可得点的坐标． 【详解】解：如图， 由图可知，， ∴将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是． 故答案为：． 32． 【答案】 或 【知识点】新定义下的实数运算、已知两点坐标求两点距离、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了新定义，两点间的距离公式，位似的性质． 先根据复数对应点坐标，利用距离公式求长度；再根据以原点为位似中心的位似变换性质，直接缩放点A坐标得到坐标，从而得到对应复数． 【详解】解：∵点A对应复数，故坐标为；点B对应复数，故坐标为． ∴线段的长度为． ∵以原点O为位似中心，位似比为，即相似比为， ∴点A的对应点的坐标为即或即， 故对应的复数为或． 故答案为：，或． 33． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、坐标与图形综合 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，根据等边三角形的性质，勾股定理确定点的坐标是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作于点，轴于点， ∴， ∵， ∴， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 34． 【答案】 6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，如图1，以M为顶点，为边构造等边三角形，连接，然后证明根得到，当N，A，B三点共线时，最大，即最大，如图2，过M作轴，垂足为T，利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解；如图1，以M为顶点，为边构造等边三角形，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 当N，A，B三点共线时，最大，即最大， 如图2，过M作轴，垂足为T， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴的最大值， ． 故答案为：6；． 35． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用平移的性质求解、坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与平移，掌握坐标与平移的关系是解题的关键． 设，由点的坐标、平移可得到、、的长度，然后根据阴影部分的面积等于的面积减去的面积，得到关于的方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】解：设． ∵点，点的坐标为，线段向右平移3个单位长度得到线段， ，，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 36． 【答案】(1)或； (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根、已知点所在的象限求参数、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求平方根和求立方根的方法解方程，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据求平方根的方法和求立方根的方法解方程求出x、y的值即可得到答案； （2）根据点P在坐标轴上可得点P的横坐标为0或纵坐标为0，则点P的坐标为，再由平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同可得点Q的纵坐标，再根据即可求出点Q的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴或，， ∴点P的坐标为或； （2）解：∵点P在坐标轴上， ∴点P的坐标为， ∵轴， ∴∵Q的纵坐标为2， ∵点Q是第二象限内的点，且， ∴点Q的横坐标为， ∴点Q的坐标为． 【考点4】坐标与图形变换（第37-48题） · 平移：右加左减、上加下减，逐顶点计算 · 轴对称：关于 x 轴 y 变号，关于 y 轴 x 变号 · 位似：原点位似对应坐标乘 k 或 -k，注意两种可能 · 作图题先算各顶点新坐标再描点连线，最后检验 37． 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 38． 【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据位似比，分两种情况进行讨论即可． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴当点在线段上时，点的坐标为， 即为； 当点在线段的反向延长线上时，点关于原点对称的点的坐标为， ∴点的坐标为， 即为； 故选：D． 39． 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影、坐标与图形综合 【分析】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线，熟记物体与投影面平行时的投影是放大即位似变换的关系是解决问题的关键．证明，然后利用相似比即可求出的长． 【详解】解：木杆两端的坐标分别为，， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ， ， 故选：B． 40． 【答案】A 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； 41． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、中心投影、坐标与图形综合 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，根据相似三角形的性质求出的长，再求出的长，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，的边上的高为，的边上的高为， ∴， ∴，即， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 42． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了在平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是求出每小时横纵坐标移动的距离及方向．根据上午两个小时的移动位置确定移动规律，据此规律推算，即可解题． 【详解】解：上午6时到上午8时横坐标向右移动个单位，纵坐标向下移动个单位， 上午10时的位置为，即为， 故答案为：． 43． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似图形的性质和相似三角形的性质、勾股定理．首先根据点的坐标为，点的坐标为，求出和的长度，根据可以求出，过点作轴，过点作轴，构造相似三角形，根据相似三角形的性质求出、的长度，再根据点在第四象限，确定点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 如下图所示， 过点作轴，过点作轴， 点的坐标是，点的坐标为， ，， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 解得：，， ，， 又点在第四象限， 点的坐标为． 故答案为： ． 44． 【答案】 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查坐标系下的位似．理解并掌握位似图形的定义，是解题的关键． 根据位似图形的定义，得到，求出位似比，即可得，求解即可． 【详解】解：∵点的坐标分别为、， ∴， ∵四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴， 故答案为：． 45． 【答案】或（） 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，根据位似图形的性质求出，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴=， ∵轴，轴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴的面积； ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 同理可得，的面积； …… 则的面积为， 故答案为：或（）． 46． 【答案】 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到，再根据、两点的坐标得到，所以． 【详解】解： ，， ， 与是以原点为位似中心，位似比为的位似图形， ， 故答案为：． 47． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求，则，； (2) 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，垂线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据点C和点的坐标可得平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度，据此得到，的坐标的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）由垂线段最短可知，当轴，有最小值，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由垂线段最短可知，当轴，有最小值， ∵， ∴． 48． 【答案】(1) 解：如图，即为所求． (2) 解：即为所求． 点D的坐标为． 【知识点】画轴对称图形、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题主要考查了轴对称作图，位似作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）根据两个三角形在点P的同侧，相似比为2，作出点、、的对应点D、E、F，然后顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 确定位置需要两个独立数据：有序数对或方向角加距离 · 同一位置在不同坐标系中坐标不同，先看准原点与单位长度 · 象限符号一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)，轴上点不属于象限 · 平移右加左减、上加下减；对称关于谁谁不变；位似坐标乘 k · 求坐标常作垂线：垂线段长定绝对值，象限定符号 【作业1】 【答案】(1) ①平面直角坐标系如图所示： ②，， (2) 如图所示： 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，②结合①的坐标系，即可作答． （2）根据建立适当的坐标系，使长方形顶点A的坐标为这些条件，即可作答． 【详解】（1）解：①略 ②由①得出：，， （2）略 【作业2】 【答案】(1) 即为所求： (2) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得到点，，的对应点，即可求解； （2）根据位似图形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，位似比为， ∴点坐标为． 【作业3】 【答案】(1) 如图所示，即为所求， (2) 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了位似的性质，平面直角坐标系内三角形面积的求法， （1）根据相似比的以及点的坐标即可求得； （2）根据位似的性质可得到的坐标，利用割补法即可求得四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：， ∵与位似，且位似比为； 则， ∴． ． 【作业4】 【答案】(1) 解：画出平面直角坐标系如图所示； (2)， (3) 解：标出超市与水果店的位置如图所示． 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】此题考查了坐标确定位置，由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键． （1）根据邮局的坐标是，书店的坐标是画出坐标系即可； （2）根据象限点的坐标特征写出小明家、学校的坐标； （3）在图中标出超市，水果店的位置即可． 【详解】（1）略 （2）解：小明家的坐标是，学校的坐标是； （3）略 【作业5】 【答案】(1)画出平面直角坐标系如答图所示 (2)城隍庙，县衙，日昇昌，关帝庙． (3)点将台的位置如图所示 【知识点】坐标系中描点、用有序数对表示位置、写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】（1）根据市楼的坐标为，清虚观的坐标为，即可画出平面直角坐标系； （2）根据（1）中的平面直角坐标系，即可解答； （3）根据点将台的坐标为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【作业6】 【答案】(1) 解：如图，的位似图形即为所求； (2)，或，； (3)；27 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐标系中画位似图形 【分析】此题考查了作图-位似变换，注意掌握位似图形的性质是解此题的关键． （1）由以原点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比是，可求得各对应点的坐标，继而画出位似图形； （2）由（1），可求得点、的坐标； （3）根据位似图形的性质，即可求得与的相似比，再进一步计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，点A的对应点A2的坐标为， ∴与的相似比为：； 与的面积比为：， ∵的面积为， ∴的面积为27， 故答案为：；27． 【作业7】 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3)解：如图，点即为所求； 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出； （2）根据点的平移规律，左减右加，上加下减，写出、、的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点. 【详解】（1）略 （2）解：由图可知：； ∴， 即； （3）略 【作业8】 【答案】(1) 画图如下， 则即为所求． ， (2) (3)或或 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数、利用平移的性质求解、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图，平移法，平行四边形的判定和性质， （1）根据位似比，结合位置要求画图形即可． （2）根据位似比，结合位置，确定位似点的坐标为或，计算即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，似比为，， 故位似点的坐标为． （2）解：根据(1)得， 故答案为：． （3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下： ∵， 当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【作业9】 【答案】(1) 如图所示：，即为所求； (2) 如图：即为所求； 【知识点】平移(作图)、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了作图－位似变换与平移变换， （1）分别作出点、B、C向下平移4个单位后的点、、，顺次连接即可得到即可； （2）根据位似的性质得出、、的坐标，顺次连接、、，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 【作业10】 【答案】问题背景：，；数学理解：（1）；深入探究：（2）存在这样的点，使与全等，此时的值为1或7 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、坐标与图形综合 【分析】问题背景：先根据绝对值、偶次方和算术平方根的非负性求出的值，由此即可得； 数学理解：（1）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据建立方程，解方程即可得； 深入探究：（2）分两种情况：当点在线段上时和当点在的延长线上时，先证出，，从而可得只能是，再根据全等三角形的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：问题背景：∵，， ∴， ∴， 则由图1可知，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，． 数学理解：（1）如图2，过点作于点， 由上可知，， 由题意得：， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 深入探究：（2）如图3，当点在线段上时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只能是， ∴，即， 解得，符合题设； 如图4，当点在的延长线上时，则， 同理可得：，， 又∵， ∴此时只能是， ∴，即， 解得，符合题设； 综上，存在这样的点，使与全等，此时的值为1或7． 【点睛】本题考查了绝对值、偶次方和算术平方根的非负性，坐标与图形，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理等知识，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键． 【作业11】 【答案】(1) 解：如图， (2) 解：如图， 为所求作图形． 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形综合 【分析】本题考查了确立平面直角坐标系，作轴对称图形； （1）根据、点的坐标，确立平面直角坐标系，即可求解； （2）根据轴对称的性质，作出图形，即可求解； 掌握轴对称的性质，能根据坐标确立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【作业12】 【答案】(1) (2) 证明：如图2：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． (3)的长度不变，的值为2． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）如图：作轴于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据y轴上点的坐标特征即可求出B点的坐标； （2）证明得到，结合图形即可证明结论； （3）证明得到，证明得到，进而完成解答． 【详解】（1）解：如图1：作轴于H，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴B点的坐标为． （2）略 （3）解：的长度不变，的值为2． 如图：作轴于G， ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲·图形位置与坐标·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解确定位置的两种基本方法：有序数对定位法与方向角距离定位法 · 会根据实际情况建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示物体的位置 · 掌握坐标系中点的坐标特征（象限、坐标轴上点的符号规律） · 会综合运用勾股定理、全等与相似等知识求坐标系中图形的坐标与线段长 · 掌握坐标与图形变换（平移、轴对称、位似）的坐标变化规律 · 能在坐标系中作图并解决棋盘定位、地图寻宝等实际综合问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.确定位置的方法 有序数对定位：用两个数（如行列号、经纬度）表示位置，顺序不同位置不同 方向角与距离定位：以参照点为原点，用「南偏西 30°、距离 50m」等方式表示 确定位置需要两个独立数据，只有一个数据无法唯一确定位置 描述相对位置时必须先明确参照点（以谁为原点） 方位角规范：先南北后偏东西，如北偏东 60°、南偏西 25° 概念辨析例题：下列数据中，能确定物体具体位置的是（　　）A．光明剧院 2 排　B．距学校 500 米　C．东经 118°，北纬 30°　D．北偏东 30° 答案：C 解析：确定位置需要两个独立数据：A 只给排数，B 只有距离没有方向，D 只有方向没有距离，均不能确定位置；C 用经度与纬度两个数据可唯一确定位置。选 C。 ✅️ 2.用坐标表示位置 建立坐标系的步骤：确定原点、正方向、单位长度，同一种位置关系可建不同的坐标系 同一参照物在不同坐标系中的坐标不同，但相对位置关系不变 实际问题（棋盘、地图、示意图）中常以格点建立坐标系，先看准单位长度 由已知两点坐标推算其他点的坐标：数格子或用加减关系 用坐标描点、连线可还原图形轮廓，是「数形结合」的基础 概念辨析例题：象棋盘上建立坐标系，「帅」位于点 (1, -1)，「马」位于 (3, -1)，则「炮」位于「帅」的正上方 3 个单位处，「炮」的坐标为（　　） 答案：(1, 2) 解析：「炮」在「帅」正上方 3 个单位：横坐标不变仍为 1，纵坐标加 3 得 2，故「炮」位于 (1, 2)。同列横坐标相同，上行纵坐标增大。 ✅️ 3.坐标系中的图形计算 各象限点的符号：一 (+,+)、二 (-,+)、三 (-,-)、四 (+,-)；坐标轴上的点不属于任何象限 求图形顶点坐标：过顶点向坐标轴作垂线，结合距离与象限确定符号 常与勾股定理结合：求坐标系中线段长需构造直角三角形 与全等、相似、等边（直角）三角形、圆、切线等几何知识综合 利用对称性、特殊三角形（等边）的性质简化坐标计算 概念辨析例题：等边 △ABC 的顶点 B 的坐标为 (0, -，顶点 C 在 y 轴正半轴上，点 A 在第一象限，BC = 2，则点 A 的横坐标为（　　） 答案：3 解析：BC = 2，等边三角形高 = ( = 3。BC 在 y 轴上，A 到 BC 的距离即 A 的横坐标 = 高 = 3。几何求坐标的关键是「过顶点作垂线，垂线段长即坐标绝对值」。 ✅️ 4.坐标与图形变换 平移：向右（上）平移 m 个单位，横（纵）坐标加 m；向左（下）平移则减 轴对称：关于 x 轴对称 (x, y)→(x, -y)；关于 y 轴对称 (x, y)→(-x, y) 位似：以原点为位似中心、相似比 k，对应点坐标为 (kx, ky) 或 (-kx, -ky) 图形整体平移 = 每个顶点坐标做相同变化，图形形状大小不变 综合变换按顺序逐步计算每个顶点的新坐标 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，将 △ABC 各顶点的横坐标减 2、纵坐标加 3，得到 △A'B'C'，则该变换是（　　） 答案：向左平移 2 个单位再向上平移 3 个单位 解析：横坐标减 2 → 向左平移 2 个单位；纵坐标加 3 → 向上平移 3 个单位。坐标变换与图形平移互译是坐标系的基本功。 ✅️ 5.定位与坐标的实际综合应用 常见情境：棋盘对弈、地图寻宝、景区示意图、七巧板、家乡地图 解题关键：把实物位置抽象为有序数对或坐标，或反向由坐标还原位置 由两个已知点确定坐标系（原点、方向、单位长度），再推算其余位置 台风移动、行程等动态问题：位置随时间变化，用含 t 的坐标表示 中心投影（灯光影子）可与坐标系结合，用相似求影长 概念辨析例题：台风中心上午 6 时位于 A(1, 2)，沿直线匀速移动，上午 8 时到达 B(3, 6)，则台风中心每小时移动（　　） 答案： 个单位长度 解析：每小时移动量为 [(3-1)÷2, (6-2)÷2] = (1, 2)，每小时位移 = = 。动态定位问题先求单位时间的坐标变化，再用两点距离公式。 🧀 知识总结表 核心内容 规则 示例 确定位置 两个独立数据 有序数对 / 方向角+距离 象限符号 一(+,+) 二(-,+) 三(-,-) 四(+,-) 轴上点不属于象限 平移 右加左减，上加下减 (x,y)→(x+2, y-3) 轴对称 x轴: (x,-y)；y轴: (-x,y) 关于谁对称谁不变 位似(原点) (kx, ky) 或 (-kx, -ky) k>0同侧，k<0两侧 两点距离 勾股定理的应用 📩 核心考点 【考点1】确定位置的方法（第1-12题） · 确定位置必须有两个独立数据：方向角与距离、经纬度、行列号等 · 描述相对位置先定参照点，方位角按「先南北后偏东西」书写 · 由参照点与方向角、距离可画出目标位置 · 钟面代码、暗号等新定义定位要先读懂对应规则 1．（25-26八年级上·河北保定·期末）下列数据能确定物体具体位置的是（   ） A．东偏南方向 B．嘉嘉家距学校 C．电影院第2排 D．东经，北纬 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）振湖塔位于肥东县六家畈潜溪村，被誉为“合肥版比萨斜塔”，因地宫被盗致地基不稳而倾斜，是合肥地区仅存的清代密檐式砖塔．如图，小明一家前去参观，小明站在点处，振湖塔在点处，则从点看点的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏西 C．北偏西 D．南偏东 3．（23-24八年级下·河北邯郸·阶段检测）在如图所示的地图上，A是河北博物院，B是长安公园，以A为参照点，B的位置可表示为（    ） A．西偏北，距离处 B．北偏西，距离处 C．南偏东，距离处 D．北偏西，距离处 4．（23-24七年级下·四川德阳·期中）甲，乙，丙三人在同一平面内，分别以自己所处的位置为坐标原点，建立了三个不同的坐标系，但他们的坐标系x轴，y轴的正方向相同，且单位长度相同．甲说：“以我为坐标原点，乙的坐标是．”乙说：“以我为坐标原点，丙的坐标是．”如果以丙为坐标原点，那么甲的坐标是____________． 5．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示标志点，，则“宝藏”所在地点的坐标为___________． 6．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图是两位同学正在下棋的部分对弈图，若A棋子的位置用表示，B棋子的位置用表示，那么接下来的棋子■下在位置________处时，图上的所有棋子构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 7．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，位于处的1班准备前往相距的处与位于处的2班会合，用南偏西，就可以描述2班相对于1班的位置．反过来，1班相对于2班用方向和距离可描述为_______________． 8．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码020045来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为______．    9．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点C的坐标为，则点的坐标是_______． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，以学校为参照点，分别写出商场、书店、游泳馆和车站的位置． 11．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表）．慧慧说：“超市的坐标是．”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向．” (1)根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴； (2)写出学校、少年宫的坐标； (3)写出超市到少年宫的距离； (4)乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为，请写出图书馆相对于公园的位置． 12．（24-25七年级下·云南玉溪·期末）为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中组在文房博物馆体验“大宋科举”，组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)甲同学想到用平面直角坐标系，如图甲，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)乙同学想到用方位角和距离，如图乙，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 【考点2】用坐标表示位置（第13-24题） · 由已知两点坐标确定坐标系，再推算其他点的坐标 · 棋盘、网格类问题先数清单位长度与正负方向 · 同一位置在不同坐标系中坐标不同，相对关系不变 · 描点连线还原图形，注意对称图形的坐标特征 13．（2024·广东湛江·二模）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（    ）    A． B． C． D． 14．（2025·浙江杭州·二模）如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（    ）    A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·山西晋城·期中）2025年7月，山西省文化和旅游厅启动了“晋享清凉·活力一夏”山西好风光暑期大放送系列活动，长治市积极响应，在各景区推出丰富多彩的活动．如图所示是长治市部分景区的平面示意图，若将其放在平面直角坐标系中，表示黄崖洞和漳泽湖国家城市湿地公园两点的坐标分别为，，则表示八泉峡的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·上海崇明·期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，使“崇”，“明”所在位置的坐标分别是、，则“岛”的坐标是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·全国·期中）中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·河南许昌·期末）小明同学在做许昌胖东来游玩攻略时，绘制了胖东来各店位置的示意图如图所示，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示时代广场店的点的坐标为，表示大众服饰店的点的坐标为，则表示天使城店的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 19．（2025八年级上·全国·专题练习）山西野生动物保护宣传月启动仪式上举行了褐马鸡放归活动．如图是利用网格画出的褐马鸡示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·云南昆明·开学考试）右面是一副五子棋棋盘的平面图． ①白8的位置是（______），表示的是( )的位置． ②下一步白方走棋，他只要把棋子放在（______）的位置上，就可以赢棋了． 21．（25-26七年级下·河南商丘·期末）数学之美无处不在．如图，这是杨桃的横截面图，形状是“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ________． 22．（2024·山西朔州·模拟预测）我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点C坐标为______． 23．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图1是路桥区地图的一部分，其示意图如图2．分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，已知黄石公园A的坐标为． (1)分别写出路桥区政府B，街心公园C的坐标； (2)连接，平移线段，使点A和点B重合，在图2中画出点C的对应点D，并写出点D的坐标． 24．（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为． (1)请在图中画出这个平面直角坐标系； (2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标． 【考点3】坐标系中的图形计算（第25-36题） · 求顶点坐标：作垂线定绝对值，按象限定符号 · 与勾股定理结合求线段长，构造直角三角形 · 综合全等、相似、等边、圆、切线等知识时先解几何再回坐标 · 复平面、新定义运算等创新题按定义转化即可 25．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，如果存在点，使和全等，则下列选项中不符合题意的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·河北唐山·阶段检测）在平面直角坐标系中，有，，三点，为直线上的一点．当点恰好落在轴上，且点与点的距离最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点A的坐标是（ ）    A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·山东·阶段检测）如图，矩形的边分别落在直角坐标系轴和轴上，且，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知经过点E、B、C、O，且、、，则的值为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（   ） A．25 B．26 C．30 D．34 31．（24-25八年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，平行四边形顶点、、的坐标分别是，，，将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是______． 32．（25-26九年级上·四川成都·期中）直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，复数可用点表示，比如，复数对应复平面内点；复数对应复平面内点．若点A对应复数，点B对应复数，则线段的长是______；以原点O为位似中心，作的位似图形，且点A对应点，若与的位似比为，则对应的复数是______． 33．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中等边的顶点B的坐标为，点A在第一象限，则点A的坐标为_______． 34．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以线段为边构造等边，当线段取最大值时， _____，点M的坐标为______． 35．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点，线段向右平移3个单位长度得到线段，线段与轴交于点．若图中阴影部分面积是21，点的坐标为，则点的坐标为________．    36．（24-25七年级下·贵州黔西南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点P的横、纵坐标分别为x，y，已知，． (1)求点的坐标； (2)若点P在坐标轴上，点Q是第二象限内的点，轴，且，求出点Q的坐标． 【考点4】坐标与图形变换（第37-48题） · 平移：右加左减、上加下减，逐顶点计算 · 轴对称：关于 x 轴 y 变号，关于 y 轴 x 变号 · 位似：原点位似对应坐标乘 k 或 -k，注意两种可能 · 作图题先算各顶点新坐标再描点连线，最后检验 37．（2026·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 38．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，，，以点为位似中心作的位似图形，使它与的相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 39．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段检测）在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B． C． D． 40．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 41．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）小明家的客厅有一张直径为，高的圆桌，在距地面的A处有一盏灯，圆桌的影子为．如图，根据题意，以为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是_______． 42．（24-25八年级上·江苏南京·期末）某台风的中心沿直线匀速行进．若在坐标平面上台风中心在上午6时的位置为，在上午8时的位置为，则台风中心在上午10时的位置为__________． 43．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，（点、点、点的对应点分别是点、点、点），的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为_____ 44．（2026·上海金山·一模）如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 45．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，．按照这样的规律继续作下去，若，则的面积为________． 46．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为_____． 47．（24-25七年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将平移至处，点A，B，C的对应点分别为，，，其中点的坐标为． (1)请在图中画出，并写出点，的坐标； (2)点M在x轴上运动，当线段最短时，求点M的坐标． 48．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，点和在平面直角坐标系中，点A的坐标是． (1)画出关于y轴对称的图形； (2)以点P为位似中心作，使与位似，且这两个三角形在点P的同侧，相似比为2，并写出点的对应点D的坐标． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 确定位置需要两个独立数据：有序数对或方向角加距离 · 同一位置在不同坐标系中坐标不同，先看准原点与单位长度 · 象限符号一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)，轴上点不属于象限 · 平移右加左减、上加下减；对称关于谁谁不变；位似坐标乘 k · 求坐标常作垂线：垂线段长定绝对值，象限定符号 【作业 1】（23-24七年级下·河南安阳·期中）如图，下面网格图中，每个正方形边长均为1，长方形的顶点均在格点上． (1)①以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；②直接写出A、D、C三点的坐标； (2)在下图中建立适当的坐标系，使长方形顶点A的坐标为． 【作业 2】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为． (1)以原点O为位似中心,在y轴左侧画出的位似,与的相似比为,点对应点分别为点； (2)在(1)的情况下直接写出点的坐标． 【作业 3】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为； (2)求四边形的面积． 【作业 4】（24-25七年级下·广东湛江·期中）小明在学习了平面直角坐标系的相关知识后，绘制了一幅家附近建筑的平面示意图（如图）．已知邮局的坐标是，书店的坐标是． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)小明家的坐标是___________，学校的坐标是___________； (3)在图中标出超市，水果店的位置． 【作业 5】（26-27九年级上·全国·单元复习）平遥古城是现今中国境内保存最为完整的一座古代县城．如图是其部分景点分布示意图，已知市楼的坐标为，清虚观的坐标为． (1)请根据题目条件，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出城隍庙、县衙、日昇昌、关帝庙的坐标； (3)若点将台的坐标为，请你在图上标出点将台的位置． 【作业 6】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，请画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)写出点、的坐标； (3)若关于点O的位似图形中，点A的对应点的坐标为，则与的相似比为______；的面积为______． 【作业 7】（21-22八年级上·广西南宁·期中）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形； (2)将向左平移5个单位再向上平移1个单位得到，直接写出、、的坐标； (3)在y轴上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【作业 8】（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为； (2)请写出点A的对应点的坐标__________； (3)若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【作业 9】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知，在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，，(正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度)． (1)画出向下平移个单位得到的； (2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为3：1； 【作业 10】（24-25八年级上·广东汕头·期中）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，、、的长分别为a、b、c，且满足，点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．则A的坐标为_________，B的坐标为_________． 【数学理解】 （1）如图2，连接，当平分时，求出t的值． 【深入探究】 （2）过P作交直线于D，交y轴于Q，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【作业 11】（24-25八年级上·全国·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上，如果用表示A点的位置，用表示B点的位置． (1)画出平面直角坐标系； (2)画出与关于x轴对称的图形； 【作业 12】（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图， 等腰中，，点A、B分别在坐标轴上． (1)如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标； (2)如图②，若交x轴于点M， 过C点作交y轴于D点．求证：； (3)如图③，若点A的坐标为，点B是y轴正半轴上的一个动点，分别以为直角边在第一、第二象限作等腰，等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴正半轴上运动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值，若变化，求的取值范围． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $