第11讲·四分位数和箱线图·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第11讲·四分位数和箱线图·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版九年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解四分位数（下四分位数 Q1、中位数、上四分位数 Q3）的概念与求法 · 认识箱线图的五个组成部分：最小值、Q1、中位数、Q3、最大值（五数概括） · 会从箱线图中读出中位数、四分位数、极差与四分位距，并比较两组数据 · 会综合平均数、方差、中位数、箱线图判断数据的集中趋势与波动大小 · 会由原始数据或统计表绘制（解读）箱线图，解决实际问题 · 能综合多种统计量对两组数据进行分析比较并作出合理决策 🍗 知识梳理 ✅️ 1.四分位数 将数据从小到大排序后，处于 1/4 与 3/4 位置的数分别叫下四分位数 Q1、上四分位数 Q3 中位数 Q2 是第二个四分位数，将数据分成前后两半 求 Q1：取排序后前一半（偶数个含中位）数据的中位数；Q3 同理取后一半的中位数 四分位距 IQR = Q3 - Q1，反映中间 50% 数据的波动范围 四分位数不受极端值影响，与中位数一样是稳健统计量 概念辨析例题：数据 10，11，9，13，10，9，12，12 排序后为 9，9，10，10，11，12，12，13，则其下四分位数 Q1 为（　　） 答案：9.5 解析：共 8 个数，前一半为 9，9，10，10，其中位数 = (9+10)/2 = 9.5，即 Q1 = 9.5。四分位数必须先排序，Q1 取前一半的中位数，Q3 取后一半（11，12，12，13）的中位数 12。 ✅️ 2.箱线图的构成与读法 箱线图由五数概括：最小值、下四分位数 Q1、中位数、上四分位数 Q3、最大值 箱体两端是 Q1 与 Q3，箱内线是中位数，两条须的端点是最小值与最大值 从箱线图可直接读出：中位数、四分位数、极差（最大-最小）、四分位距（Q3-Q1） 箱体越「矮」（Q3-Q1 小），中间 50% 数据越集中；须越长，两端数据越分散 两箱线图比较：比中位数看总体水平高低，比箱体长度/四分位距看波动大小 概念辨析例题：某班心率的箱线图中，最小值 60，Q1 = 72，中位数 75，Q3 = 80，最大值 95，则这组数据的四分位距与极差分别为（　　） 答案：8 与 35 解析：四分位距 IQR = Q3 - Q1 = 80 - 72 = 8；极差 = 最大值 - 最小值 = 95 - 60 = 35。箱线图五个数读出来后，IQR 与极差直接作差。 ✅️ 3.方差与数据稳定性 方差 s² 反映数据波动大小，方差越小越稳定 比较稳定性先用平均数看总体水平（相同或接近时才比方差） 数据同加常数 a：平均数加 a，方差不变；同乘 k：方差变 k² 倍 箱线图中也可看波动：箱体与须的整体范围越大，数据越分散 「最整齐」即方差最小，从条形图或数据列先算平均再算方差 概念辨析例题：甲、乙、丙、丁四队身高的方差分别为 3.2、5.6、3.2、7.1（平均数相近），则身高最整齐的球队是（　　） 答案：甲和丙 解析：方差越小越整齐，甲与丙方差同为 3.2 最小，故甲、丙两队身高最整齐。「最整齐」对应最小方差，若并列则都选。 ✅️ 4.统计综合与决策 决策题标准流程：算平均数（比水平）→ 算方差或看箱线图（比稳定）→ 结合实际意义下结论 箱线图 + 平均数综合：中位数高的班级总体成绩未必好，还要看平均与波动 频数分布表/直方图与箱线图结合：先还原数据列或确定各分段人数 由样本估计总体：用样本的中位数、优秀率估计总体情况 结论表述要完整：统计量比较 + 检验（或实际背景）理由 概念辨析例题：两班人数相同，甲班中位数 85、Q1 = 78、Q3 = 92；乙班中位数 82、Q1 = 75、Q3 = 96，则下列说法合理的是（　　） 答案：甲班整体成绩较稳定（四分位距 14 小于乙班 21），乙班高分段更分散 解析：中位数甲高说明甲班中间水平高；甲 IQR = 14 < 乙 IQR = 21，甲班中间 50% 成绩更集中。两班各有优势，决策时要说明用了哪个统计量、依据是什么。 🧀 知识总结表 概念 含义 求法/读法 Q1 下四分位 1/4 位置的数 前一半数据的中位数 Q2 中位数 中间位置的数 排序后取中位 Q3 上四分位 3/4 位置的数 后一半数据的中位数 四分位距 IQR Q3 - Q1 中间50%数据的范围 箱线图 五数概括 最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 方差 s² 波动大小 越小越稳定 📩 核心考点 【考点1】方差与数据稳定性（第1-11题） · 「最整齐」「最稳定」找最小方差 · 先比平均数（水平），再比方差（稳定），两步走 · 数据同加 a 方差不变、同乘 k 方差乘 k² · 由数据列或统计表先求平均再求方差 1．（25-26八年级上·山西晋中·期末）甲、乙、丙、丁四支排球队队员的身高情况如图所示，则身高最整齐的球队是（    ） A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队 2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，12，则这组样本数据的第75百分位数是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的下四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班成绩的中位数低于二班 4．（25-26八年级上·北京·期中）现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是（   ） A．113 B．112 C．106 D．109 5．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知（1）班和（2）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（     ） A．（1）班成绩比（2）班成绩集中 B．（1）班成绩的上四分位数是80分 C．（1）班有同学的成绩超过140分 D．（1）班的最低分低于（2）班的最低分 6．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某校九年级（1）班的名学生比赛每分钟跳绳，数据（单位：次）分别是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，则这组数据的第一四分位数是_________． 7．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）五一期间温州园博园某小组8名游客的游玩时长（单位：小时）依次为：，，，，，，，，则这组数据的上四分位数是______． 8．（25-26八年级下·江苏·期中）为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 9．（25-26八年级下·广西来宾·期末）响应“阳光体育，强健体魄”的校园号召，甲、乙两名同学主动坚持每日体育锻炼，并连续12次参与校级体能综合测评，用坚持磨炼意志、提升身体素质．现将甲、乙两位同学12次体能测试成绩（单位：分）统计如下： 甲：72，75，70，73，75，71，76，73，74，72，75，74 乙：69，74，72，75，73，76，71，77，73，75，72，74 (1)整理数据，补充填写下表： 学生 最小值 最大值 甲 70 72 73.5 75 76 乙 75 77 (2)请在图中补全乙同学的箱线图； (3)结合四分位数与箱线图，对比分析甲、乙两同学成绩分散程度． 10．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某校开展航天知识竞赛，记分员分别记录了甲，乙两组同学的得分情况（单位：分）．相关信息如下： 甲组：． 乙组：． 甲、乙两组竞赛成绩的箱线图如图． (1)求乙组的四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中甲组的箱线图，绘制乙组的箱线图． 11．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在某次射击训练中，队员甲、乙、丙都进行了12次射击，射击成绩（单位：环）信息统计如下： 信息一：如图1，队员甲的12次射击成绩的统计图； 信息二：队员乙的12次射击成绩的平均数为8环，方差为2.5； 信息三：如图2，根据队员甲和队员乙的12次射击成绩绘制的箱线图； 信息四：队员丙的12次射击成绩记录整理为：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10 (1)计算队员甲的12次射击成绩的平均数和方差； (2)求队员丙的12次射击成绩的四分位数，，，并在图2中绘制相应的箱线图； (3)根据上述信息，请你评价这次训练中甲、乙、丙三个队员的射击情况． 【考点2】中位数与四分位数（第12-22题） · 四分位数必须先排序；Q1 取前一半中位数、Q3 取后一半中位数 · 偶数个数据取中间两数平均，结果可能不在原数据 · 由频数表定位中位数：累计频数到中间位置 · 含未知数的中位数问题注意分类讨论 12．（25-26八年级下·江苏南通·期末）某乡镇组织开展村超等群众文化赛事活动，其中参赛的七个村得分分别为55，64，51，66，50，61，55，则这组数据的下四分位数是（     ） A．51 B．55 C．58 D．64 13．（25-26八年级下·陕西延安·期末）某班选拔学生参加学校的运动会，如图是测量的每位学生心率的箱线图，则这组数据的第一四分位数是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·河南焦作·期末）观察如图所示的箱线图，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的上四分位数是15 C．这组数据的中位数是10 D．这组数据的最小值是3，最大值是18 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某校“魅力篮球节”活动中，有8位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，9，8．则这8位同学投篮进球次数的上四分位数为（   ） A．5.5次 B．6次 C．8.5次 D．9次 16．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是一组数据的箱线图，这组数据的下四分位数是_______． 17．（25-26八年级上·河北保定·期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为________． 18．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）在某项以至为评价等级的调查问卷中，收集到的个得分数据分别为：，，，，，，，，，，其下四分位数和上四分位数之和是_______________． 19．（25-26八年级下·湖南永州·期末）八年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：165、182、136、112、145、171、155、93．这组数据中第一四分位数是____________． 20．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温方差较大的是_______．（选填“甲地”或“乙地”） 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 22．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）【概念理解】 箱线图由长方形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1，箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】 为了备考体育中考，某校九年级、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）． 体育老师已对A班同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图如图2所示； B班同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班同学的箱线图，A班同学跳绳个数的平均数是______，四分位距是______． (2)根据B班同学的跳绳个数，请在图2中补全B班同学跳绳个数的箱线图，并标出B班同学跳绳个数的平均数，第一四分位数，中位数，第三四分位数及两端极值点． (3)已知A班同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404， a ， b ， c ，397，396，缺失了其中的三个数据，根据箱线图，通过计算将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明，答一点即可） 【考点3】箱线图的读图（第23-33题） · 五数概括从图上直接读：最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 · IQR = Q3 - Q1，极差 = 最大值 - 最小值，别混淆 · 两箱线图比较：比中位数看水平，比箱体长度看波动 · 「说法正确/不正确」逐项对照五数与计算规则 23．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，是八年级某班学生1分钟跳绳次数的箱线图，根据图中信息，能确定这组数据的上四分位数为（     ） A．200 B．170 C．160 D．120 24．（25-26八年级上·全国·期末）已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的下四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 25．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（　　） A．这个月空气质量指数的最大值为 B．中位数为 C．数据在箱体的右侧比较集中 D．第一四分位数为 26．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）在“大家跳起来”的学校跳操比赛中，八年级参赛的10名学生成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（   ） A．众数是90分 B．中位数是85分 C．平均数是89分 D．分位数是90分 27．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示，下列说法正确的是（     ） 年龄（岁） 62 50 43 32 30 28 25 人数（人） 2 3 3 5 2 4 1 A．这20人年龄的下四分位数是29岁 B．这20人年龄的上四分位数是29岁 C．这20人年龄的中位数是31岁 D．这20人年龄的众数是5人 28．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知甲、乙两个班的人数相同，在一次数学测试中两个班成绩的箱线图如图所示(满分为150分)，则下列说法错误的是（     ） A．这次测试中两个班均没有满分 B．甲班成绩的下四分位数与乙班成绩的中位数相同 C．甲班成绩的波动比乙班的大 D．乙班成绩的平均分比甲班的高 29．（25-26八年级下·全国·周测）小伟参加如奕围棋学生社团年度校园挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小伟这场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（   ） A．比赛最高得分是分 B．比赛得分的中位数是分 C．比赛得分数据集中在分之间 D．比赛得分的上四分位数是分 30．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的四分位数是______分． 31．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图是莉莉种植的20棵花卉10天的生长高度箱线图（单位：毫米），根据箱线图可知，这20棵花卉10天生长高度的上四分位数是_______________毫米． 32．（26-27九年级上·北京·开学考试）某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示． 给出下面结论： ①这个月空气质量指数的最大值是110； ②这个月空气质量指数的中位数是70； ③这个月空气质量指数在40至80之间的占数据总数的一半． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 33．（25-26八年级下·江西上饶·期末）为了响应“阳光体育”的号召，某校八年级（2）班开展了一场1分钟仰卧起坐挑战赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： 两组成绩（单位：个）统计如下： 甲组：44，32，36，48，32，36，44，30，33，44 乙组：35，38，40，36，38，34，36，33，39，41 甲、乙两组数据的四分位数（单位：个）如表： 组别 甲组 32 36 44 乙组 35 1分钟仰卧起坐箱线图如图所示： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________． (2)根据四分位数绘制的箱线图，（填A或B）反映的是甲组的成绩． (3)根据箱线图和对四分位数的理解，判断哪组成绩的方差更大，并说明理由． 【考点4】统计综合与决策（第34-44题） · 决策三步：平均数比水平、方差或箱线图比稳定、结合实际下结论 · 箱线图与频数表、直方图综合：先还原数据或分段人数 · 由样本估计总体：中位数、优秀率可推广到总体 · 结论必须写明所用统计量与理由 34．（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 35．（2025八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 36．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）【数据收集】某校为提高学生跳绳能力，准备组织跳绳训练．在组织跳绳训练前抽取了15名男生的1分钟跳绳测试成绩，获得以下按序排列后的数据（单位：次）：108，120，124，125，130，136，142，148，150，154，162，167，169，170，181． 【数据整理】训练一个月后，对这15位男同学又一次进行1分钟的跳绳测试．下图是训练前后跳绳成绩的箱线图． 【数据分析】箱线图中 (1) ， ， ； 【数据应用】 (2)若学校以训练后的成绩为依据，要制定男生1分钟跳绳成绩优秀的标准，能让男生的跳绳成绩达到优秀，你会选择什么数据作为标准； (3)请结合箱线图的信息，评价这一个月的训练效果． 37．（25-26八年级上·江苏南通·期末）典故是中华传统文化的“浓缩载体”，它将复杂的道理、深厚的情感寄托于简短的历史故事或传说中，既便于流传又极具感染力．某中学八年级以“探典故源流，品华夏文脉”为主题开展比赛．比赛满分10分，得分均为整数，在比赛中，甲、乙两组（每组12人）学生成绩如下（单位：分）： 甲组：3  5  6  6  6  6  7  8  9  9  9  10 乙组：5  5  5  6  7  7  7  7  8  9  9  9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 组别 平均数 中位数 众数 甲组 a b 6 乙组 7 7 c (1)根据上述信息填空：__________，__________，__________； (2)乙组数据的第一四分位数__________； (3)根据箱线图，比较两个组成绩的特点（写出一个即可）． 38．（26-27九年级上·山东德州·开学考试）为了增强全民国家安全意识，我国将每年月日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩百分制进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩单位：分 甲：，，，，，，，，，． 乙：，，，，，，，，，． 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数分 众数分 中位数分 方差分 甲 乙 【信息】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图单位：分 根据以上信息，回答下列问题： (1)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (2)根据【信息】和【信息】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 39．（25-26八年级下·浙江·期中）某校为调查学生生态环保科普知识掌握情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差 甲      70 a      乙      b 90      【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图如图所示（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1) ， ； (2)甲组学生竞赛成绩的第一四分位数 ，第三四分位数 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 40．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某校八年级甲、乙两班各有50人．为了了解这两个班学生的身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（单位：分）如下： 甲班：65，75，75，80，60，50，75，90，85，65． 乙班：90，55，80，70，56，70，95，80，65，70． (1)整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩x/分 甲班 1 3 3 2 1 乙班 2 1 2 则______，_______． (2)分析数据： ①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表： 班级 平均数 中位数 众数 甲班 72 75 乙班 70 则_______，_______． ②乙班这组数据的四分位数_______，_______． ③若规定80分以上的学生的身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生人数． 41．（25-26八年级下·北京丰台·期末）某班要从甲、乙、丙、丁四名学生中选取一名学生代表班级参加年级一分钟跳绳“班超”联赛、每人测试10次，对这四名学生的10次测试成绩的数据进行了整理、描述和分析，给出了部分信息． a．甲、乙两名学生10次测试成绩的折线图： b．学生丙10次测试成绩： 180  182  184  188  188  188  190  192  194  194 c．学生丁10次测试成绩的第三四分位数是189； d．四名学生10次测试成绩的平均数、中位数．方差如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 188 188 188 中位数 188 188 188 方差 4.8 20.8 4.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为_________，的值为_________； (2)表中的_________4.8（填“>”“=”或“<”）； (3)根据这10次测试成绩，按如下方式评估这四名学生的实力强弱：首先比较平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较发挥的稳定性、成绩越稳定者实力更强；若平均数、稳定性分别相同，则比较第三四分位数，第三四分位数越大者实力更强．最终当选正式参赛队员的是_________．其10次测试成绩的第三四分位数是_________． 42．（25-26九年级上·江苏南京·期中）某班40名学生身高的数据信息如图所示． 请回答以下问题： (1)从图中你能直接读出这40名学生身高的平均数、中位数和众数吗？ (2)一定有身高为的学生吗？一定有身高为的学生吗？ (3)依身高将同学们排序，中间的学生其身高处于哪个范围？ (4)不低于的学生在全班学生中占比多少？ 43．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校、两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试，为了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从，两个校区的八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩（百分制且为整数），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．从校区抽取的学生成绩如表1所示： 表1 分组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 成绩/分 人数 1 3 2 4 4 2 b．从校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下： 70  74  77  77  78  79  79  81  82  85  85  85  85  87  88  88  91  96  96  97 c．从校区抽取的学生成绩的箱线图如图： d．从两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 表2 校区 平均数 中位数 众数 校区 84 82 校区 84 85 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中_____，表2中_____，_____； (2)已知校区八年级有480名学生，估计校区八年级学生中成绩高于90分的学生有多少人； (3)若从校区抽取的第六组中某位学生的成绩是90分，求其余3名学生成绩中的最小值． 44．（25-26八年级上·山东济南·期中）【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，__________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，__________，可以看出，__________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________环，②处应填__________环，③处应填__________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数__________选手射击成绩的中位数（填，或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 【作出决策】 （3）如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？说明理由． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 四分位数先排序：Q1 取前一半中位数，Q3 取后一半中位数 · 箱线图五数概括：最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 · 四分位距 IQR = Q3 - Q1，极差 = 最大值 - 最小值，不要混淆 · 箱体越长数据越分散；比中位数看水平、比箱体看波动 · 方差小则稳定；「最整齐」就是找最小方差 【作业 1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）在学校举办的 “劳动与科技” 实践周中，九年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用 “智能水肥一体化” 技术种植，乙组地块采用 “传统土壤” 方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，15，13，16，13，12 【数据整理】 同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表． 表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 a 13 乙 13 13 b 图：甲组数据的箱线图 （已知甲组数据的五数概括为：最小值11，下四分位数12，中位数13，上四分位数14，最大值15） 【问题解答】 (1)填空：请直接写出表格中a和b的值：_________， ； (2)绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图，并在图的旁边标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数的数值； (3)决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是 “甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由． 【作业 2】（25-26九年级下·上海·阶段检测）【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． (2)根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． (3)已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 【作业 3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： (1)写出扇形图中______________，并补全条形图； (2)在这次抽测中，测试成绩的众数是______________中位数是______________，第一四分位数是______________． (3)该区体育中考选报引体向上的男生共有人，如果体育中考引体向上达个以上（含个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 【作业 4】（26-27九年级上·江西·阶段检测）某市射击队为了从两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，___________环，通过计算方差，___________． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 (2)小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________，②处应填___________，③处应填___________． 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【作业 5】（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：，，，，，，，，，，， 八年级：，，，，，，，，，，， 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 和 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________；________； (2)八年级成绩箱线图的下四分位是________； (3)该校八年级共人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为多少人？ 【作业 6】（25-26八年级下·江苏南通·期末）某城市月份空气质量指数的箱线图如图所示． (1)这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？ (2)请分析这个月空气质量的特点． 【作业 7】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【作业 8】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；请求出B阅览室预约人数的四分位数． 【作业 9】（25-26八年级下·江苏南通·期末）为了解学生科学素养情况，随机抽取，班各名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制，单位：分）进行了收集、整理和分析，部分信息如下： （Ⅰ）班成绩如下：、 、 、、、、、、、； （Ⅱ）部分数据如下表： 班级 平均数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 (1)请计算： ； ； (2)请补全箱线图； (3)小华计算了两个班分数的平均数，发现，得出结论：801班学生科学素养情况要优于802班．你认为合理吗？请结合箱线图，说明理由． 【作业 10】（25-26八年级下·广东云浮·期末）某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，，80，，95．（，且，为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求，，． (2)观察图中乙组比赛成绩的箱线图求，． 【作业 11】（25-26八年级下·江苏南通·期末）某校为了解学生对体育运动的了解程度，组织七、八年级全体学生进行了相关的知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下． 【收集数据】从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级学生的分数如下：75，90，35，60，85，85，95，100，80，85，80，85，90，75，65，60，80，100，70，75． 【整理、描述数据】将抽取的七、八年级学生的竞赛成绩x（分）分组整理如表所示： 分数/分 七年级人数 2 3 6 5 4 八年级人数 1 3 a 7 5 【分析数据】七、八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 下四分位数/分 上四分位数/分 七年级 78.5 75 84 71 86 八年级 78.5 根据以上提供的信息，解答下列问题． (1)填空：________，________，________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在相关知识竞赛中，哪个年级学生对体育运动的了解程度更高？请分别就中位数、众数、四分位数等角度进行分析； (3)已知该校七、八年级各有800名学生，为表扬在这次竞赛中表现优异的学生，该校决定给两个年级竞赛成绩在80分及以上的学生颁发奖状，请估计该校需要准备多少张奖状？ 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲·四分位数和箱线图·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解四分位数（下四分位数 Q1、中位数、上四分位数 Q3）的概念与求法 · 认识箱线图的五个组成部分：最小值、Q1、中位数、Q3、最大值（五数概括） · 会从箱线图中读出中位数、四分位数、极差与四分位距，并比较两组数据 · 会综合平均数、方差、中位数、箱线图判断数据的集中趋势与波动大小 · 会由原始数据或统计表绘制（解读）箱线图，解决实际问题 · 能综合多种统计量对两组数据进行分析比较并作出合理决策 🍗 知识梳理 ✅️ 1.四分位数 将数据从小到大排序后，处于 1/4 与 3/4 位置的数分别叫下四分位数 Q1、上四分位数 Q3 中位数 Q2 是第二个四分位数，将数据分成前后两半 求 Q1：取排序后前一半（偶数个含中位）数据的中位数；Q3 同理取后一半的中位数 四分位距 IQR = Q3 - Q1，反映中间 50% 数据的波动范围 四分位数不受极端值影响，与中位数一样是稳健统计量 概念辨析例题：数据 10，11，9，13，10，9，12，12 排序后为 9，9，10，10，11，12，12，13，则其下四分位数 Q1 为（　　） 答案：9.5 解析：共 8 个数，前一半为 9，9，10，10，其中位数 = (9+10)/2 = 9.5，即 Q1 = 9.5。四分位数必须先排序，Q1 取前一半的中位数，Q3 取后一半（11，12，12，13）的中位数 12。 ✅️ 2.箱线图的构成与读法 箱线图由五数概括：最小值、下四分位数 Q1、中位数、上四分位数 Q3、最大值 箱体两端是 Q1 与 Q3，箱内线是中位数，两条须的端点是最小值与最大值 从箱线图可直接读出：中位数、四分位数、极差（最大-最小）、四分位距（Q3-Q1） 箱体越「矮」（Q3-Q1 小），中间 50% 数据越集中；须越长，两端数据越分散 两箱线图比较：比中位数看总体水平高低，比箱体长度/四分位距看波动大小 概念辨析例题：某班心率的箱线图中，最小值 60，Q1 = 72，中位数 75，Q3 = 80，最大值 95，则这组数据的四分位距与极差分别为（　　） 答案：8 与 35 解析：四分位距 IQR = Q3 - Q1 = 80 - 72 = 8；极差 = 最大值 - 最小值 = 95 - 60 = 35。箱线图五个数读出来后，IQR 与极差直接作差。 ✅️ 3.方差与数据稳定性 方差 s² 反映数据波动大小，方差越小越稳定 比较稳定性先用平均数看总体水平（相同或接近时才比方差） 数据同加常数 a：平均数加 a，方差不变；同乘 k：方差变 k² 倍 箱线图中也可看波动：箱体与须的整体范围越大，数据越分散 「最整齐」即方差最小，从条形图或数据列先算平均再算方差 概念辨析例题：甲、乙、丙、丁四队身高的方差分别为 3.2、5.6、3.2、7.1（平均数相近），则身高最整齐的球队是（　　） 答案：甲和丙 解析：方差越小越整齐，甲与丙方差同为 3.2 最小，故甲、丙两队身高最整齐。「最整齐」对应最小方差，若并列则都选。 ✅️ 4.统计综合与决策 决策题标准流程：算平均数（比水平）→ 算方差或看箱线图（比稳定）→ 结合实际意义下结论 箱线图 + 平均数综合：中位数高的班级总体成绩未必好，还要看平均与波动 频数分布表/直方图与箱线图结合：先还原数据列或确定各分段人数 由样本估计总体：用样本的中位数、优秀率估计总体情况 结论表述要完整：统计量比较 + 检验（或实际背景）理由 概念辨析例题：两班人数相同，甲班中位数 85、Q1 = 78、Q3 = 92；乙班中位数 82、Q1 = 75、Q3 = 96，则下列说法合理的是（　　） 答案：甲班整体成绩较稳定（四分位距 14 小于乙班 21），乙班高分段更分散 解析：中位数甲高说明甲班中间水平高；甲 IQR = 14 < 乙 IQR = 21，甲班中间 50% 成绩更集中。两班各有优势，决策时要说明用了哪个统计量、依据是什么。 🧀 知识总结表 概念 含义 求法/读法 Q1 下四分位 1/4 位置的数 前一半数据的中位数 Q2 中位数 中间位置的数 排序后取中位 Q3 上四分位 3/4 位置的数 后一半数据的中位数 四分位距 IQR Q3 - Q1 中间50%数据的范围 箱线图 五数概括 最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 方差 s² 波动大小 越小越稳定 📩 核心考点 【考点1】方差与数据稳定性（第1-11题） · 「最整齐」「最稳定」找最小方差 · 先比平均数（水平），再比方差（稳定），两步走 · 数据同加 a 方差不变、同乘 k 方差乘 k² · 由数据列或统计表先求平均再求方差 1． 【答案】B 【知识点】画箱线图 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图分析即可得到答案，读懂箱线图是解题的关键． 【详解】解：由箱线图可知，乙队队员的身高差距最小，身高较为集中， 故选：． 2． 【答案】D 【知识点】求四分位数 【分析】先将数据从小到大排列，再分别用取中位数法和百分比法求第75百分位数． 【详解】解：将数据从小到大排列为9，9，10，10，11，12，12，13，共个数据． 解法一：中位数， 上半部分数据为11，12，12，13， ． 解法二：，位置为整数， ． 两种方法结果一致，第75百分位数为12． 3． 【答案】B 【知识点】求中位数、求四分位数、画箱线图 【分析】考查知识点为箱线图的特征（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值的含义）；解题关键是明确箱体长度、中位数、最值对应的箱线图元素． 先回忆箱线图的含义：箱体长度反映数据集中程度（越短越集中），箱体下端是下四分位数、中间线是中位数，须线端点是最值．再逐一分析选项． 【详解】选项A：箱线图中，箱体越短代表数据越集中．一班的箱体长度长于二班，因此一班成绩更分散，该选项错误． 选项B：一班成绩的下四分位数对应的是箱体下端，图中一班箱体下端为80分，故该选项正确． 选项C：箱线图的最大值为140分，说明一班成绩的最大值是140分，无同学超过140分，该选项错误． 选项D：一班成绩的中位数是箱体中间线（100分），二班中位数低于100分，因此一班中位数高于二班，该选项错误． 故选：B． 4． 【答案】D 【知识点】求四分位数 【分析】本题主要考查上四分位数的概念，是数据排序后上半部分的中位数． 首先将数据排序，找到中位数，然后取上半部分数据计算中位数即可． 【详解】∵ 数据排序后为：96, 98, 100, 102, 104, 106, 112, 113， ∴ 上半部分数据为：104, 106, 112, 113， ∴ 上四分位数为， 故上四分位数为109． 故选：D． 5． 【答案】D 【知识点】求四分位数、画箱线图 【分析】根据箱线图的特征，分别观察数据的集中程度、四分位数、最大值及最小值进行判断即可． 【详解】解：A、观察箱线图知：（1）班成绩的箱线图的长度较长，数据分布较分散，则（2）班成绩比（1）班成绩集中，故该选项A错误； B、观察箱线图知：（1）班成绩的下四分位数是80分，上四分位数约为110分，故该选项B错误； C、观察箱线图知：（1）班成绩的最大值约为135分，低于140分，没有同学的成绩超过140分，故该选项C错误； D、观察箱线图知：（1）班成绩的最低分约为50分，（2）班成绩的最低分约为70分，，即（1）班的最低分低于（2）班的最低分，故该选项D正确． 6． 【答案】 【知识点】求四分位数 【详解】解法一：数据从小到大排序为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 左半部分数据是：，，，，，，，，，，第5项为，第6项为，第一四分位数是左半部分数据的中位数：， 解法二：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个数据， ，第一四分位数为第5项和第6项的平均值为． 7． 【答案】 【知识点】求四分位数 【分析】题干给出从小到大排好序的个数据，要求计算上四分位数，先计算分位数位置，再根据规则计算即可求解． 【详解】解：∵数据已经按从小到大排列，样本容量， 第一种方法：计算位置，为整数，根据分位数计算规则，上四分位数为第项与第项数据的平均数，第项数据是，第项数据是， ∴ 第二种方法：从小到大排列，后4个数据为：，，，， ∴上四分位数 8． 【答案】 9 12 【知识点】求四分位数 【分析】分别计算下四分位数、中位数和上四分位数即可． 【详解】解：由数据排序得：，，，，，，，，，， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即； 下四分位数为前个数据的中位数，即第个数据； 上四分位数为后个数据的中位数，即原数据中的第个数据． 9． 【答案】(1) 学生 最小值 最大值 甲 70 72 73.5 75 76 乙 69 72 73.5 75 77 (2) (3)从四分位数上看，两位同学的四分位数相同，箱线图上看甲的箱线图中的箱线的上下延伸段比乙的短，说明甲的成绩整体更集中稳定，乙的成绩比甲分散． 【知识点】统计表、求中位数、求四分位数、画箱线图 【分析】（1）将乙的数据从小到大排序，根据四分位数的计算方法进行计算即可； （2）根据表格数据，画出箱线图即可； （3）根据箱线图进行分析作答即可． 【详解】（1）解：将乙的数据从小到大排序为69，71，72，72，73，73，74，74，75，75，76，77； 故最小值为69， 求两种方法： 方法一：，故为第3个数据和第4个数据的平均数， 故； 方法二：前6个数据为69，71，72，72，73，73， 故为第3个数据和第4个数据的平均数， 故； 为第6个和第7个数据的平均数， 故； 填表略 （2）略 （3）略 10． 【答案】(1)乙组的上四分位数90，乙组的下四分位数78 (2) 【知识点】求四分位数、画箱线图 【分析】（1）根据四分位数的求法作答即可； （2）根据（1）中数据绘制箱线图即可． 【详解】（1）解：乙组的上四分位数：方法一、乙组的中位数是， ∴乙组的上四分位数是中位数右侧四个数的中位数，即， 乙组的下四分位数是中位数左侧四个数的中位数，即， 方法二、∵，， ∴上四分位数是第、个数据的平均数，即， 下四分位数是第2、3个数据的平均数，即； （2）略 11． 【答案】(1)队员甲的12次射击成绩的平均数为环；方差为 (2)，，， 如图2，箱线图即为所求： (3)甲的成绩比较集中且稳定，乙和丙成绩比较分散（答案不唯一） 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、求四分位数、画箱线图 【分析】本题主要考查了平均数，方差，四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）根据平均数和方差的定义计算即可； （2）先计算出四分位数，，，根据四分位数绘制箱线图即可； （2）计算求出队员丙的方差，再根据箱线图，方差即可解答． 【详解】（1）解：队员甲的12次射击成绩的平均数为：（环）； 方差为； （2）解：根据题意，队员丙的12次射击成绩的四分位数，，， （3）解：队员丙的12次射击成绩的平均数为：（环）， 方差为； ∵队员乙的12次射击成绩的平均数为8环，方差为；队员甲的12次射击成绩的平均数为8环，方差为；且，， ∴甲的成绩比较集中且稳定，乙和丙成绩比较分散（答案不唯一）． 【考点2】中位数与四分位数（第12-22题） · 四分位数必须先排序；Q1 取前一半中位数、Q3 取后一半中位数 · 偶数个数据取中间两数平均，结果可能不在原数据 · 由频数表定位中位数：累计频数到中间位置 · 含未知数的中位数问题注意分类讨论 12． 【答案】A 【知识点】求四分位数 【分析】解题思路为先将数据从小到大排序，再计算下四分位数的位置，根据分位数的计算规则得到结果． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序：， 数据个数， 方法一：，向上取整数为，即下四分位数为排序后的第个数据，是； 方法二：这组数据的中位数是第个数据，为，下四分位数为前三个数据的中位数，即为． 13． 【答案】B 【知识点】求四分位数、画箱线图 【分析】箱线图中箱体的左边界表示第一四分位数． 【详解】解：由图可知，箱体的左边界对应的数值为， 这组数据的第一四分位数是． 14． 【答案】C 【知识点】求四分位数、画箱线图 【分析】根据箱线图的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由箱线图可知这组数据的下四分位数是4，原说法正确，故此选项不符合题意； B、由箱线图可知这组数据的上四分位数是15，原说法正确，故此选项不符合题意； C、由箱线图可知这组数据的中位数大于10且小于11，原说法错误，故此选项符合题意； D、由箱线图可知这组数据的最小值是3，最大值是18，原说法正确，故此选项不符合题意． 15． 【答案】C 【知识点】求四分位数 【分析】本题考查上四分位数的计算，需先将数据从小到大排序，再取上半部分数据的中位数． 【详解】解：∵数据从小到大排序为4，5，6，6，7，8，9，10，共8个数据， ∴上半部分数据为7，8，9，10， ∵上半部分数据有4个， ∴上四分位数为第2和第3个数据的平均值，即（次）， 故选：C． 16． 【答案】 【知识点】求四分位数、画箱线图 【分析】根据箱线图的结构，箱体的下边缘表示下四分位数，直接观察图形读取数值即可． 【详解】解：由箱线图可知，箱体的下边界对应的数值为60， ∴ 这组数据的下四分位数是60． 17． 【答案】 【知识点】求四分位数 【分析】本题考查箱线图的结构与统计意义，准确读取统计量是解题关键． 根据箱线图的结构提取下四分位数即可． 【详解】解：据图可知，该组数据的下四分位数为． 故答案为：． 18． 【答案】 【知识点】求四分位数 【分析】先将数据从小到大排序，再根据四分位数计算规则得到下四分位数和上四分位数，计算两者的和即可． 【详解】解：将给定数据从小到大排序，得到：，，，，，，，，，， 方法一： 下四分位数位置，位置不是整数，向上取整得第个数据， 下四分位数为， 上四分位数位置，位置不是整数，向上取整得第个数据， 上四分位数为， 两者之和为； 方法二：下四分位数为，，，，的中位数， 上四分位数为，，，，的中位数， 两者之和为． 19． 【答案】 【知识点】求四分位数 【分析】先把这组数据排序，再根据第一四分位数的定义求解即可． 【详解】解：将给定数据从小到大排序可得：，，，，，，，， 方法1：∵， ∴这组数据中第一四分位数是排序后的第2个数和第3个数的平均数，即为； 方法2：排序后的前4个数为，，，，这四个数的中位数为， ∴这组数据中第一四分位数是124； 综上所述，这组数据中第一四分位数是124． 20． 【答案】甲地 【知识点】根据方差判断稳定性、画箱线图 【分析】根据气温的波动大小判断即可．方差的意义，方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定，据此即可求解． 【详解】解： 根据图形可知甲地的平均气温波动较大，故甲地的日平均气温的方差大． 21． 【答案】(1)A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可) (2)A组有可能是青年组 【知识点】画箱线图 【分析】本题考查了箱线图，能从箱线图获取信息是解题的关键． （1）观察箱线图，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群； （2）根据箱线图并结合实际情况即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可)； （2）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间比于B年龄段人群晚，而表青年人晚上休息时间普遍晚于老年人， 所以A组有可能是青年组． 22． 【答案】(1)； (2) (3)403；401；398 (4)解：A班的四分位距远小于B班，说明A班抽取的10位同学跳绳成绩更集中，B班的成绩两极分化更明显；两个班跳绳成绩的平均数相同，但B班的满分人数占比更高，B班整体高分段表现更好． 【知识点】求一组数据的平均数、已知 平均数求未知数据的值、求中位数、 利用中位数求未知数据的值、求四分位数、画箱线图 【分析】（1）根据箱线图的信息可得答案； （2）求出B班的中位数，第一四分位数，第三四分位数和平均数，再画出对应的箱线图即可； （3）根据A班的中位数可得的值，根据第一四分位数可得的值，根据平均数可得的值； （4）结合箱线图言之合理即可． 【详解】（1）解：由题意得，A班同学跳绳个数的平均数是个， 四分位距是； （2）解：把B班同学跳绳个数按照从低到高的顺序排列：335，390，399，404，405，415，425，427，430，442， ∴； 方法1：前5个数的中位数为399，后5个数的中位数为427， ∴； 方法2：， ∴第一四分位数为排序后的第3个数，第三四分位数为排序后的第8个数， ∴； 综上所述，； 平均数为； 箱线图见答案； （3）解：∵A班同学的跳绳个数的中位数为， ∴， ∴； ∵A班同学的跳绳个数的第一四分位数为398， ∴同（2）可得A班同学的跳绳个数的第一四分位数为从大到小排序后的第8个数， ∴， ∵A班同学的跳绳个数的平均数为， ∴， ∴； （4）略 【考点3】箱线图的读图（第23-33题） · 五数概括从图上直接读：最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 · IQR = Q3 - Q1，极差 = 最大值 - 最小值，别混淆 · 两箱线图比较：比中位数看水平，比箱体长度看波动 · 「说法正确/不正确」逐项对照五数与计算规则 23． 【答案】B 【知识点】求四分位数 【分析】箱线图由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个统计量组成，其中箱体的上边缘表示上四分位数． 【详解】解：观察箱线图可知，最下方的实线对应最小值80，箱体下边缘对应下四分位数120，箱体中间实线对应中位数160，箱体上边缘对应上四分位数170，最上方的实线对应最大值200，故上四分位数为170． 24． 【答案】B 【知识点】画箱线图 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解∶A．观察箱线图知∶二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误； B．观察箱线图知∶ 一班成绩的下四分位数是80分，故原说法正确； C．观察箱线图知∶ 一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误； D．观察箱线图知∶ 一班的平均分低于二班的平均分， 故原说法错误； 故选∶B． 25． 【答案】D 【知识点】画箱线图 【分析】本题考查箱线图的应用，熟记箱线图及相关统计量的意义是解决问题的关键． 由箱线图得到最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为，结合相关统计量逐项分析选项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为， A、这个月空气质量指数的最大值为，说法正确，不符合题意； B、中位数为，说法正确，不符合题意； C、在箱体中，中位数左侧宽、右侧窄，则数据在箱体的右侧比较集中，说法正确，不符合题意； D、第一四分位数为，选项中原说法错误，符合题意； 故选：D． 26． 【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求四分位数 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数的定义、四分位数和折线统计图的知识，注重数形结合是解答本题的关键．根据众数、中位数、平均数、四分位数的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案． 【详解】解：∵90出现了5次，出现的次数最多， ∴众数是90分，故A正确； ∵共有10个数， ∴中位数是第5、6个数的平均数， ∴中位数是分，故B错误； ∵平均数是分，故C正确； ∵从小到大排序，后5个数，90，90，90，95，95， ∴分位数是90分，故D正确． 综上所述，B选项符合题意， 故选：B． 27． 【答案】A 【知识点】求中位数、求众数、求四分位数 【分析】将年龄从小到大排列，确定各位置对应的年龄后，结合各统计量的定义计算判断． 【详解】解：将年龄从小到大排列如下： 年龄（岁） 25 28 30 32 43 50 62 人数（人） 1 4 2 5 3 3 2 A、解法一：下四分位数即分位数，， 为第5个和第6个数据的平均数， 即，故A正确； 解法二：共有20个数据，中位数为， 下四分位数为前半部分的中位数， 即，故A正确； B、解法一：上四分位数即分位数，， 为第15个和第16个数据的平均数， 即，故B错误； 解法二：共有20个数据，中位数为， 上四分位数为后半部分的中位数， 即，故B错误； C、， 中位数为第10个和第11个数据的平均数，， 即中位数为32，故C错误； D、众数是出现次数最多的年龄，为32岁，故D错误． 28． 【答案】B 【知识点】利用平均数做决策、运用中位数做决策、求四分位数、画箱线图 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：对于A，由图可知甲、乙两班的最高分都未达到150分，所以两班均没有满分，故此选项说法正确，不符合题意； 对于B，甲班成绩的上四分位数与乙班成绩的中位数相同，都是120，故此选项说法错误，符合题意； 对于C，甲班的成绩的箱体比乙班的成绩的箱体更高，所以甲班的成绩比乙班的成绩波动更大，故此选项说法正确，不符合题意； 对于D，由图可知乙班成绩的中位数与甲班成绩的上四分位数相同，并且乙班成绩的最小值与甲班成绩的下四分位数相同，乙班成绩的下四分位数与甲班成绩的中位数几乎相同，说明乙班的平均分比甲班的平均分更高，故此选项说法正确，不符合题意． 29． 【答案】C 【知识点】求四分位数、画箱线图 【分析】本题主要考查了箱线图，解决本题的关键是根据箱线图中的各部分表示的意义逐项判断． 【详解】解：A选项：由箱线图可知，比赛的最高得分是分，故A选项错误； B选项：由箱线图可知，比赛得分的中位数是分，故B选项错误； C选项：由箱线图可知，得分的上四分位数是，下四分位数是，比赛得分数据集中在分之间，故C选项正确； D选项：由箱线图可知，比赛得分的下四分位数是，故D选项错误． 故选：C． 30． 【答案】 【知识点】求四分位数、画箱线图 【详解】解：由箱线图可得，该班学生成绩的四分位数是68分 ． 31． 【答案】84 【知识点】求四分位数 【分析】结合箱线图以及四分位数的定义即可得出上四分位数． 【详解】解：由箱线图可知，该数据的中位数为，上四分位数是． 32． 【答案】①③ 【知识点】求中位数、求四分位数、画箱线图 【分析】根据箱线图读取最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数及最大值，结合箱线图的统计意义逐一判断． 【详解】解：由箱线图可知，该组数据的最小值为，第一四分位数为，中位数为，第三四分位数为，最大值为． 对于①，观察图形最右端的数据，最大值为，故①正确； 对于②，观察图形箱体中间的竖线，中位数为，不是，故错误； 对于③，数据在至之间，即从第一四分位数到第三四分位数，根据箱线图的性质，这部分数据占总数据的，即一半，故③正确． 综上所述，正确的结论是①③． 33． 【答案】(1)37，39 (2)A (3)甲组的方差更大． 理由：方差反映数据的离散程度，从箱线图和四分位数来看，甲组的极差大于乙组的极差，且甲组的四分位距远大于乙组的四分位距，说明甲组数据更分散，因此甲组的方差更大． 【知识点】求四分位数、画箱线图 【分析】（1）先将乙组数据从小到大排序，再计算出上四分位数和中位数即可； （2）根据箱线图和甲乙两组数据特征分析即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论． 【详解】（1）解：方法一：将乙组的成绩从小到大排列为：33，34，35，36，36，38，38，39，40，41， 为第5，6个数的平均数； 为38，38，39，40，41的中位数，； 方法二：将乙组的成绩从小到大排列为：33，34，35，36，36，38，38，39，40，41， ∵， ∴第二四分位数（）为； ∵，不是整数，8是大于7.5的最小整数， ∴第三四分位数是第8个数为； （2）解：甲组的四分位数：，且甲组数据的最大值为48，最小值为30，数据的极差和四分位距都比乙组大，箱线图中A的分布更分散，B更集中，所以A反映的是甲组的成绩； （3）略 【考点4】统计综合与决策（第34-44题） · 决策三步：平均数比水平、方差或箱线图比稳定、结合实际下结论 · 箱线图与频数表、直方图综合：先还原数据或分段人数 · 由样本估计总体：中位数、优秀率可推广到总体 · 结论必须写明所用统计量与理由 34． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是． 绘制箱线图如图． (2) 从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 【知识点】求中位数、求四分位数、画箱线图 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． （2）略 35． 【答案】(1)128；128 (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学 (3)甲班平均分较高 【知识点】求中位数、求四分位数、画箱线图 【分析】本题考查箱线图的相关知识，涉及平均数，中位数，上四分位数，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键．四分位数应用于统计学的箱线图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱线图中“箱体”的下底边对应数据为下四分位数，上底边对应数据为上四分位数，中间的线对应中位数． （1）根据箱线图得到学生分数的大致分布情况，即可得出答案； （2）根据箱线图的定义解答即可； （3）根据箱线图得到学生分数在128分以上的大致情况，即可作出判断． 【详解】（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128， 故答案为：128；128； （2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学； （3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． 36． 【答案】(1)125；148；167 (2)170 (3)对比训练前后的箱线图： 训练后成绩的中位数、下四分位数、上四分位数均高于训练前； 训练后成绩的最小值也高于训练前的最小值； 整体数据分布更集中且整体水平明显提升，说明这一个月的训练效果显著，男生的跳绳成绩普遍提高 【知识点】求中位数、利用合适的统计量做决策、求四分位数 【分析】（1）根据中位数、上四分位数、下四分位数的定义求解即可； （2）根据上四分位数可得结论； （3）根据训练前后的中位数、下四分位数、上四分位数、最小值、整体数据分布进行分析判断即可． 【详解】（1）解：已知训练前的15个数据：108，120，124，125，130，136，142，148，150，154，162，167，169，170，181； ∴中位数：15个数据的中位数是第8个数据，即148，所以； 下四分位数：第4个数据，即125，所以； 上四分位数：第12个数据，即167，所以； （2）解：要让的男生达到优秀，，即取训练后成绩的第75百分位数(上四分位数)作为标准； 从箱线图中可以看到训练后的上四分位数为170次，所以选择170次作为标准，能让的男生达到优秀； （3）略 37． 【答案】(1)7；；7 (2) (3) 从箱线图可知，乙组数据比较集中，比较稳定，比较整齐． 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求四分位数 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义以及计算方法进行计算即可； （2）根据四分位数的定义以及计算方法进行计算即可； （3）根据箱线图进行解答即可． 【详解】（1）解： 甲组位于正中间的两个数均为6和7， ∴； 乙组数据中出现次数最多的是7， ∴； 故答案为：7；；7； （2）解：乙组数据共12个，从小到大排列为：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9， 第一四分位数是下半部分（前6个数）的中位数， 下半部分数据为：5，5，5，6，7，7，其中位数为第3和第4个数的平均数，即， 因此，乙组的第一四分位数为， 故答案为：； （3）略 【点睛】本题考查算术平均数，中位数、众数以及箱线图，掌握平均数、中位数、众数的计算方法以及箱线图的意义是正确解答的关键． 38． 【答案】(1)；； (2)解：乙组竞赛成绩较好．理由如下： 因为乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差，说明乙组平均分更高，成绩更稳定．所以乙组竞赛成绩较好． 【知识点】利用平均数做决策、求中位数、运用方差做决策、求四分位数、画箱线图 【分析】（1）根据四分位数的定义求出第一四分位数和第三四分位数，再画图即可； （2）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【详解】（1）解：把甲组学生竞赛成绩按照从低到高的顺序排列为：，，，，，，，，，， ∵一共有10个数据， ∴中位数为第5个数和第6个数的平均数，即中位数为； 方法一：前5个数据为，，，，，它们的中位数为，则， 后5个数据为，，，，，它们的中位数为，则； 方法二：，那么第3个数据即为下四分位数，即， ，那么第8个数据即为上四分位数，即； 甲组的最大数据100，中位数为，最小数为，补全甲组竞赛成绩的箱线图见答案； （2）略 39． 【答案】(1)90；92 (2)70；96；箱线图如图 (3)乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好．（答案不唯一） 【知识点】利用平均数做决策、求中位数、求众数、运用方差做决策、求四分位数、画箱线图 【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求解． （2）根据四分位数的定义求出第一四分位数和第三四分位数，再画图即可． （3）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【详解】（1）解：甲组数据从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 甲组10个数，排序后第五和第六位分别是89和91， ∴中位数， 众数是出现次数最多的，乙组92最多， ∴众数． （2）解：甲组数据从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 方法一：10个数据的第一四分位数的位置为，故第一四分位数为第3个数是，因此； 第三四分位数的位置为，故第三四分位数为第8个数是，因此； 方法二：第一四分位数为前5个数据的中位数，故； 第三四分位数为后5个数据的中位数，故； 箱线图见答案 （3）略 40． 【答案】(1)， (2)①；；②，；③估计乙班名学生中身体素质为优秀的学生人数为名． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表、求中位数、求众数、求四分位数 【分析】（1）根据所给数据即可得到答案； （2）①根据中位数和众数的定义求解即可；②根据四分位数的定义求解即可；③用乘以样本中乙班学生中身体素质为优秀的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：①把甲班的成绩按照从低到高的顺序排列为：50，60，65，65，75，75，75，80，85，90，共10个数据， ∴甲班的成绩的中位数为第5个和第6个数据的平均数，即分， ∴； ∵乙班的成绩中，得分为分的人数最多， ∴乙班的成绩的众数为分，即； ②解法一：把乙班的成绩按照从低到高的顺序排列为：55，56，65，70，70，70，80，80，90，95， 取排序后的前个数，55，56，65，70，70，这个数的中位数为，则， 取排序后的后个数，70，80，80，90，95，这个数的中位数为，则； 解法二：把乙班的成绩按照从低到高的顺序排列为：55，56，65，70，70，70，80，80，90，95， ，， ∴第一四分位数为第个数，即， 第三四分位数为第个数，即； ③（名）， 答：估计乙班名学生中身体素质为优秀的学生人数为名． 41． 【答案】(1)188，188； (2)>； (3)甲，190 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、根据方差判断稳定性、运用方差做决策、求四分位数 【分析】（1）根据中位数及平均数定义计算即可； （2）根据折线图可知，学生乙成绩明显比学生甲成绩波动大，据此得出结论； （3）先比较平均数、中位数，再比较方差，最后比较第三四分位数即可得出结论． 【详解】（1）解：学生甲10次测试成绩按从小到大顺序排列：184，186，186，188，188，188，188，190，190，192； 则学生甲10次测试成绩的中位数是； 学生丙10次测试成绩的平均数； （2）解：由甲、乙两名学生10次测试成绩的折线图可知，学生乙成绩明显比学生甲成绩波动大， ∴学生乙成绩的方差大于学生甲成绩的方差， 即表中的； （3）解：甲、乙、丙、丁四名学生成绩的平均数、中位数都相同，且甲、丁两名学生成绩的方差较小，都为，需要比较这两位同学10次测试成绩的第三四分位数， 解法一：学生甲10次测试成绩按从小到大顺序排列：184，186，186，188，188，188，188，190，190，192； 第三四分位数为后5个数据的中位数， ∴第三四分位数为； 解法二：学生甲10次测试成绩按从小到大顺序排列：184，186，186，188，188，188，188，190，190，192； ∵， ∴第三四分位数为第8个数：； ∵学生丁10次测试成绩的第三四分位数是； ∴最终当选正式参赛队员的是甲，其10次测试成绩的第三四分位数是190． 42． 【答案】(1)见详解 (2)一定有身高是的学生，一定没有身高为的学生 (3)中间的学生其身高处于到这个范围 (4)不低于的学生在全班学生中占比 【知识点】频数分布直方图、求中位数、求众数、求四分位数 【分析】（1）根据频数分布直方图，平均数，中位数，众数及箱线图可进行求解； （2）根据箱线图可直接进行求解； （3）根据箱线图进行求解即可； （4）先得出身高不低于的学生人数，然后问题可求解． 【详解】（1）解：从图中无法直接得出这40名学生身高的平均数； 由箱线图可知：这组数据的中位数是； 从所给的统计图中无法直接得出众数，只能得出众数所在的组； （2）解：由箱线图可知：最大值是，说明这组数据中最高身高是； ∴一定有身高是的学生，一定没有身高为的学生； （3）解：由箱线图可知：下四分位数是，上四分位数是， ∴中间的学生其身高处于到这个范围； （4）解：不低于的学生人数共有（人）， ∴； 答：不低于的学生在全班学生中占比． 43． 【答案】(1)；； (2)估计高于90分的学生有96人； (3)93． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表、求中位数、求众数、求四分位数 【分析】（1）根据表格、箱线图以及中位数和众数的定义求解即可； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）结合箱线图求解即可． 【详解】（1）解：由表格知， 解得； 由箱线图可知，校区中位数； B校区成绩里出现次最多，众数； （2）解：B校区样本人中高于90分的有：91，96，96，97，共4人 ∴， 答：估计高于90分的学生有96人； （3）解：A校区箱线图：最小值66，下四分位数76.5，中位数85，上四分位数91.5，最大值99． 一共20个数据，上四分位数是第15、16号两个数据的平均数，等于91.5． 也就是：第16号数据，第17号是第六组的第一个数据． 第六组：，本组一共4个学生，其中1人成绩是90分． 所有成绩从小到大排，第15、16、17、18号属于第六组，第19、20号属于第七组． 已知第六组最低分第15号成绩为90，结合第15、16号平均数为91.5， 计算可得第16号成绩为93，其余3名学生成绩最小值为93． 所以除去90分之外，剩下3名同学成绩的最小值是93． 44． 【答案】（1）9；；；； （2）；9；10；； （3）选择选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为，两名选手的中位数相等，但选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【知识点】求方差、求四分位数、画箱线图 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数和方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴的成绩略高； ， ∴， ∴的射击水平发挥更稳定， 故答案为：9；；；； （2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为，即； 则中位数为，即， 选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为， 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数， 故答案为：；9；10；； （3）略 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 四分位数先排序：Q1 取前一半中位数，Q3 取后一半中位数 · 箱线图五数概括：最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 · 四分位距 IQR = Q3 - Q1，极差 = 最大值 - 最小值，不要混淆 · 箱体越长数据越分散；比中位数看水平、比箱体看波动 · 方差小则稳定；「最整齐」就是找最小方差 【作业1】 【答案】(1)； (2) (3)推荐甲组种植方式． 理由： 甲、乙两组草莓甜度的平均数均为13，说明两种种植方式下草莓的平均甜度相当． 甲组的方差为1.2，乙组的方差为3.4．甲组的方差明显小于乙组，说明甲组草莓的甜度数据波动更小，更稳定． 从箱线图也可以看出，甲组数据的分布更集中，而乙组数据分布较分散． 因此，甲组“智能水肥一体化”种植方式下的草莓甜度更稳定、品质更均匀，更符合高端超市的收购标准． 【知识点】求中位数、求众数、运用方差做决策、求四分位数、画箱线图 【分析】（1）根据众数和中位数的定义，直接从甲、乙两组数据中找出或计算得出． （2） 根据乙组数据，找出最小值、最大值、下四分位数、中位数和上四分位数，然后画出箱线图． （3） 通过比较甲、乙两组的平均数和方差，结合箱线图的特征，评估两种种植方式的甜度稳定性和品质均匀度． 【详解】（1）解：由题意可知， 在甲组数据中：11出现1次，12出现2次，13出现4次，14出现2次，15出现1次． 所以甲组的众数 ． 将乙组数据从小到大排列：10， 11， 12， 12， 13， 13， 14， 15， 16， 16 所以乙组的中位数． （2）解：将乙组数据从小到大排列：10， 11， 12， 12， 13， 13， 14， 15， 16， 16 由题意可知，乙组数据的最小值为10；最大值为16；中位数为13； 解法一：下四分位数（第一四分位）： ， 下四分位数（第一四分位）取第3个数，即12． 上四分位数（第三四分位）： ， 上四分位数（第三四分位）取第8个数，即15． 解法二：下四分位数（第一四分位）为前个数据的中位数， 下四分位数（第一四分位）为； 上四分位数（第三四分位）为后个数据的中位数， 上四分位数（第三四分位）为． 乙组数据的箱线图：略 （3）略 【作业2】 【答案】(1)407.2；17 (2) 补全B班小组同学跳绳个数的箱线图如下， (3)403，401，398 (4)1、A、B两班跳绳个数的平均数相同；2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小；3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求四分位数、画箱线图 【分析】（1）由图即可得A班小组同学跳绳个数的平均值和四分位距； （2）将B班小组同学的跳绳个数从小到大排列分别计算出平均数，及两端极值，画出图即可； （3）将A班小组同学的跳绳个数从小到大排列根据中位数，下四分位数，平均数即可求解； （4）根据箱线图及数据特征写出结论即可． 【详解】（1）解：由图可得，A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2，四分位距是． （2）解：∵B班小组同学的跳绳个数从小到大排列为：335，390，399，404，405，415，425，427，430，442， ∴最大值为442，最小值为335，，，，平均数； （3）解：∵A班小组同学的跳绳个数从小到大排列为： 396，397，______，_____，______， 404，405，415，418，435， 由图可得，中位数，则第5个数为403， 下四分位数，则第3个数为398， ∵A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2， ∴第4个数为， ∴缺失的数据从大到小为403，401，398． （4）解：1、A、B两班跳绳个数的平均数相同； 2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小； 3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 【作业3】 【答案】(1) (2)，， (3)估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有人 【知识点】求条形统计图的相关数据、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、求众数、求四分位数 【分析】（1）根据扇形统计图中其他各项的数据可以求出，由扇形统计图可知测试成绩为个的占总数的，由条形统计图可知测试成绩为个的有人，可以求出抽测的总人数为人，再根据测试成绩为的人数所占的百分比求出测试成绩为的人数，根据求出的数据补全条形统计图； （2）根据众数和中位数的定义求出结果；根据第一四分位数的定义，可以把抽测的个学生的成绩按照从小到大排列后，取前名，前名成绩的中位数即为第一四分位数；也可以把抽测的个学生的成绩按照从小到大排列后，第名学生和第名学生的成绩的平均数即为第一四分位数； （3）利用样本百分数估计总体百分数，估计出名男生能获得满分的人数． 【详解】（1）解：扇形统计图中， 由扇形统计图可知测试成绩为个的占总数的，由条形统计图可知测试成绩为个的有人， 抽测的总人数为人， 测试成绩为的人数为人， 补全条形统计图如下图所示： （2）解：测试成绩中出现次数最多的是个，占总数的， 这次抽测中，测试成绩的众数是； 由条形统计图可知测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为， 把测试成绩按照从小到大的顺序排列第个和个的成绩均为， 测试成绩的中位数是； 方法一、把测试成绩按照从小到大的顺序排列前名的成绩中，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为， 其中第名的成绩为，第名的成绩为， 前名的成绩的中位数是， 这组数据的第一四分位数是； 方法二、把抽测的名学生的成绩按照从小到大的顺序排列前的学生即第名学生的成绩是，第名学生的成绩为， 这组数据的第一四分位数是； （3）解：抽测的名学生中测试成绩达到个以上（含个）的占， 估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有人． 【作业4】 【答案】(1)，； (2)①；②；③． (3)应选拔运动员． 理由：， ∴运动员的平均成绩更高； ∵， ∴运动员的成绩更稳定． ∴应选拔运动员参加青少年射击比赛． 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求方差、运用方差做决策、求四分位数 【分析】（1）由折线图读出B的成绩，求平均数与方差． （2）按四分位数的意义求①②③． （3）比较平均数与方差作决策． 【详解】（1）解：由图1可知，运动员B的八轮成绩为（环）， ∴（环）， ． （2）解：运动员A的成绩从小到大排列为， ∴①处，②处； 运动员B的成绩从小到大排列为， ∴③处． （3）略． 【点睛】本题考查平均数、方差、四分位数与箱线图的综合应用：方差越小成绩越稳定，平均数反映整体水平；作决策时应综合比较，本题中B的平均数更高且方差更小，故选拔B． 【作业5】 【答案】(1)6.5，4.5，7 (2)5.5 (3)80人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、求方差、求四分位数 【分析】（1）将七年级12个得分数据从小到大依次排列，找出第6个和第7个得分数据，相加除以2，即可求出七年级中位数的值，再根据方差公式，即可求出七年级方差的值．观察八年级得分数据，出现最多的数字即为八年级众数的值． （2）解法一：将八年级12个得分数据从小到大依次排列，可知中位数在第6个和第7个得分数据之间，找出前6个得分数据，再求出前6个数据的中位数，即为八年级成绩箱线图的下四分位数．解法二：用样本数据乘以算出下四分位数的位置，其数值为第3个数据与第4个数据的平均数，求解即可得出答案． （3）算出八年级12名学生中成绩在8分及以上的学生人数占比，再乘以240，即可得出八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数． 【详解】（1）解：七年级的中位数：， 方差：； 八年级的众数为：； 故答案为：6.5，4.5，7． （2）解：解法一：八年级学生成绩数据中位数是7，选取中位数前的6个得分数据：，，，，，，再求出前6个数据的中位数，即为下四分位数， 所以下四分位数； 解法二：样本一共选取了12名八年级学生的成绩： ，，，，，，，，，，，， 由可知，下四分位数的值为第3个数据与第4个数据的平均数， 所以， 故答案为：5.5． （3）解：（人）， 所以估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人． 【作业6】 【答案】(1)解：这个月空气质量指数的最大值是、最小值是、下四分位数是、上四分位数是 (2)解：由箱线图可知，这个月空气质量指数有集中在到之间，分布在到之间，这个月空气质量指数的中位数是，说明这个月空气质量指数有一半低于，中位数右边较长，说明空气质量指数大的部分较分散，空气质量指数小的部分较集中． 【知识点】求四分位数 【分析】（1）根据箱线图找出这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数即可； （2）根据箱线图中这个月空气质量指数的最大值、最小值、上四分位数、下四分位数、中位数分析即可． 【详解】（1）略 （2）略 【作业7】 【答案】(1)，40和25，； (2)； 绘制箱线图如图所示： (3)社区应该挑选阅览室A． 理由：因为阅览室A的众数和中位数大于阅览室B，且从箱线图看B阅览室预约人数的差距大，A阅览室预约人数的差距小，更稳定，所以社区应该挑选阅览室A． 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、利用合适的统计量做决策、求四分位数、画箱线图 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据完成表格即可； （2）结合数据和图表确定第25、50、75百分位数对应的位置，计算得到对应的四分位数，在B的位置标注最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，画出箱线图即可； 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据数据， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数b为25和40； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； （2）略 （3）略 【作业8】 【答案】(1) ，和， (2) B阅览室预约人数的四分位数为，， 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求四分位数 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合已知数据分别计算对应值． （2）参照A阅览室四分位数的计算规则，对排序后的B阅览室数据计算三个四分位数． 【详解】（1）解： 计算A阅览室预约人数的平均数： ， B阅览室的10个数据中，25和40均出现2次，出现次数最多， ∴ 众数和， 将B阅览室数据从小到大排列为：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80， 共10个数据， 中位数为第5个和第6个数据的平均数， ∴ ． （2）解：由A阅览室的四分位数结果可得，10个从小到大排列的数据的四分位数计算规则为： 计算， 若结果为非整数，向上取整后对应位置的数为该分位数； 若结果为整数，对应位置与下一位置数的平均数为该分位数， B阅览室数据已从小到大排序，共10个，计算如下： ∵ ，向上取整为3，对应第3个数据为35， ∴ ， ∵ ，为整数， 对应第5个和第6个数据的平均数， ∴ ， ∵ ， 向上取整为8，对应第8个数据为65， ∴ ， 综上所述，B阅览室预约人数的四分位数为，，． 【作业9】 【答案】(1)； (2) (3)不合理，理由如下：平均数，只能说明班学生科学素养平均成绩大于班，不能表明班学生科学素养情况要优于班， 由箱线图可得，班的科学素养成绩更集中，波动更小，说明班的科学素养情况要优于班． 【知识点】利用平均数做决策、求中位数、求四分位数、画箱线图 【分析】（1）把班的成绩从小到大排序，中位数为第五位，第六位数和的一半，得到前半段的数据，即可得到，； （2）由题意可得，最大值为，最小值为，，，的值，补全箱线图，即可； （3）根据箱线图，进行解答，即可． 【详解】（1）解：把班成绩的成绩从小到大排序：、 、 、、、、、、、； ∴中位数为：； ∴前半段的数据为：、 、 、、； ∴． （2）略 （3）略 【作业10】 【答案】(1)，，； (2)或93、； 【知识点】求四分位数、画箱线图 【分析】（1）根据四分位数的定义进行解答即可； （2）根据题意进行分析讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100         第一四分位数： 法一：，向上取整为第3个数据， ∴第一四分位数，         法二：∵甲组共有10个数据，第一四分位数为前5个数据的中位数， ∴第一四分位数， 第二四分位数： 法一：，为第5个数据， ∴第二四分位数，         法二：∵甲组共有10个数据，第二四分位数为第5个和第6个数据的平均数， ∴第二四分位数， 第三四分位数： 法一：，向上取整为第8个数据， 则第三四分位数； 法一：甲组共有10个数据，第三四分位数为后5个数据的中位数， ∴第三四分位数， （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96         若在第4个位置，则中位数为，不符合题意；         若在第5个位置，则中位数为，即，由于， 不符合题意         若在第6个位置，则中位数为，即，         若在第7个位置，则中位数为，此时，         当时，乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时，乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； 【作业11】 【答案】(1)4，80，85，72.5，87.5； (2)从中位数角度：因为两个年级的学生竞赛成绩的平均数相等，都是78.5，但八年级学生成绩的中位数为80分，大于七年级学生成绩的中位数75分，所以八年级学生对体育运动的了解程度更高． 从众数角度：因为两个年级的学生竞赛成绩的平均数相等，都是78.5，但八年级学生成绩的众数为85分，大于七年级学生成绩的众数84分，所以八年级学生对体育运动的了解程度更高． 从四分位数角度：八年级下四分位数与上四分位数分别大于七年级下四分位数与上四分位数．由此可见，八年级高分相对多，故八年级学生对体育运动的了解程度更高． (3)估计该校需要准备约840张奖状． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、求四分位数 【分析】（1）根据中位数、众数和四分位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数以及四分位数比较即可得解； （3）由样本估计总体的方法计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 将八年级20名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11名的成绩为80分，80分， ∴， 八年级20名学生的竞赛成绩中85出现的次数最多， 故； 下四分位数：； 上四分位数：； （2）解：略 （3）解：（张）， 答：估计该校需要准备约840张奖状． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $